Номер 17, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 17

Тела вращения, вписанные в сферу

1. В шар, радиус которого равен 7 см, вписан цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Радиусы оснований усечённого конуса равны $R$ и $r$, $R > r$, а угол между образующей усечённого конуса и его высотой равен $\alpha$. Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса.

3. Радиус основания конуса равен 4 см, а радиус шара, описанного около данного конуса, — 5 см. Найдите высоту конуса.

1.

Обозначим радиус шара как $R_{ш}$, радиус основания цилиндра как $r_{ц}$, а высоту цилиндра как $h_{ц}$. По условию, $R_{ш} = 7$ см, а высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть $h_{ц} = 2r_{ц}$.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. В сечении получится прямоугольник (осевое сечение цилиндра) с высотой $h_{ц}$ и шириной $2r_{ц}$, вписанный в большую окружность шара радиусом $R_{ш}$. Диагональ этого прямоугольника является диаметром шара.

Свяжем радиус шара с размерами цилиндра с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r_{ц}$ и половина его высоты $h_{ц}/2$, а гипотенузой — радиус шара $R_{ш}$.

$R_{ш}^2 = r_{ц}^2 + (\frac{h_{ц}}{2})^2$

Так как $h_{ц} = 2r_{ц}$, то $\frac{h_{ц}}{2} = r_{ц}$. Подставим это в уравнение:

$R_{ш}^2 = r_{ц}^2 + r_{ц}^2 = 2r_{ц}^2$

Подставим известное значение радиуса шара $R_{ш} = 7$ см:

$7^2 = 2r_{ц}^2$

$49 = 2r_{ц}^2$

$r_{ц}^2 = \frac{49}{2}$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi r_{ц} h_{ц}$. Используя условие $h_{ц} = 2r_{ц}$, получим:

$S_{бок} = 2\pi r_{ц} (2r_{ц}) = 4\pi r_{ц}^2$

Теперь подставим найденное значение $r_{ц}^2$:

$S_{бок} = 4\pi \cdot \frac{49}{2} = 2 \cdot 49 \pi = 98\pi$ см².

Ответ: $98\pi$ см².

2.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса и описанного около него шара. Сечением будет равнобокая трапеция, вписанная в большую окружность шара. Радиус этой окружности и есть искомый радиус шара, обозначим его $R_{ш}$.

Пусть радиусы оснований трапеции равны $R$ и $r$, боковая сторона (образующая конуса) равна $l$, а высота трапеции (высота конуса) равна $h$.

Угол $\alpha$ между образующей и высотой усечённого конуса в осевом сечении является углом между боковой стороной трапеции и её осью симметрии. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, образующей $l$ и отрезком, равным разности радиусов $(R-r)$, имеем:

$\sin\alpha = \frac{R-r}{l}$, откуда $l = \frac{R-r}{\sin\alpha}$.

Также $\cos\alpha = \frac{h}{l}$, откуда $h=l\cos\alpha$.

Радиус шара $R_{ш}$ равен радиусу окружности, описанной около трапеции. Для нахождения этого радиуса воспользуемся методом, основанным на свойстве вписанной трапеции. Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобокой. Рассмотрим треугольник, образованный диагональю трапеции $d$, её боковой стороной $l$ и большим основанием $2R$. Радиус описанной окружности для этого треугольника совпадает с $R_{ш}$.

По теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника (нашей трапеции), произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: $d^2 = (2R)(2r) + l^2 = 4Rr + l^2$.

Угол между боковой стороной $l$ и большим основанием $2R$ равен $\beta$. Из того же прямоугольного треугольника, что и ранее, $\beta = 90^\circ - \alpha$.

По теореме синусов для треугольника со сторонами $d$, $l$ и $2R$, радиус описанной окружности:

$R_{ш} = \frac{d}{2\sin\beta} = \frac{\sqrt{4Rr+l^2}}{2\sin(90^\circ-\alpha)} = \frac{\sqrt{4Rr+l^2}}{2\cos\alpha}$.

Подставим выражение для $l$:

$R_{ш} = \frac{\sqrt{4Rr + \left(\frac{R-r}{\sin\alpha}\right)^2}}{2\cos\alpha}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{4Rr + \left(\frac{R-r}{\sin\alpha}\right)^2}}{2\cos\alpha}$.

3.

Обозначим радиус основания конуса как $r_{к}$, высоту конуса как $h_{к}$, а радиус описанного шара как $R_{ш}$. По условию, $r_{к} = 4$ см, $R_{ш} = 5$ см.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанного шара. Сечением является равнобедренный треугольник, вписанный в большую окружность шара. Основание треугольника равно диаметру основания конуса $2r_{к}$, высота треугольника равна высоте конуса $h_{к}$, а радиус описанной окружности равен радиусу шара $R_{ш}$.

Пусть $O$ — центр шара, $D$ — центр основания конуса. Точки $O$ и $D$ лежат на оси конуса, которая также является высотой треугольника в сечении. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром шара $O$, центром основания конуса $D$ и точкой $C$ на окружности основания конуса. В этом треугольнике $OC$ — радиус шара, $DC$ — радиус основания конуса, а $OD$ — расстояние от центра шара до плоскости основания конуса.

По теореме Пифагора:

$OC^2 = OD^2 + DC^2$

$R_{ш}^2 = OD^2 + r_{к}^2$

$5^2 = OD^2 + 4^2$

$25 = OD^2 + 16$

$OD^2 = 9 \implies OD = 3$ см.

Высота конуса $h_{к}$ состоит из отрезка $OD$ и радиуса шара, проведенного к вершине конуса. Возможны два случая в зависимости от того, находится ли центр шара $O$ внутри конуса (между вершиной и основанием) или вне его.

Случай 1: Центр шара находится между вершиной конуса и его основанием. Это соответствует случаю, когда осевое сечение (треугольник) является остроугольным. Тогда высота конуса равна сумме радиуса шара и расстояния $OD$.

$h_{к} = R_{ш} + OD = 5 + 3 = 8$ см.

Случай 2: Основание конуса находится между вершиной и центром шара. Это соответствует случаю, когда осевое сечение является тупоугольным треугольником. Тогда высота конуса равна разности радиуса шара и расстояния $OD$.

$h_{к} = R_{ш} - OD = 5 - 3 = 2$ см.

Поскольку в условии задачи нет уточнений, оба случая являются допустимыми решениями.

Ответ: 8 см или 2 см.