Номер 10, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 10

Конус

1. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник, высота которого равна $3\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

2. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, центральный угол которого равен $150^\circ$, а радиус — 12 см. Найдите радиус основания конуса.

3. Стороны треугольника равны 4 см, 13 см и 15 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

1. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Пусть его сторона равна $a$. Высота такого треугольника $h$ связана со стороной формулой $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. По условию, высота $h = 3\sqrt{3}$ см.

Найдем сторону $a$ равностороннего треугольника:
$3\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$3 = \frac{a}{2}$
$a = 6$ см.

Сторона осевого сечения $a$ является образующей конуса $l$, а половина этой стороны — радиусом основания конуса $r$.
Образующая $l = a = 6$ см.
Радиус основания $r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$.
$S_{полн} = \pi \cdot 3^2 + \pi \cdot 3 \cdot 6 = 9\pi + 18\pi = 27\pi$ см².

Ответ: $27\pi$ см².

2. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

По условию, радиус сектора равен 12 см, следовательно, образующая конуса $l = 12$ см. Центральный угол сектора $\alpha = 150°$.

Длина дуги сектора $L$ вычисляется по формуле $L = \frac{2\pi l \alpha}{360°}$.
$L = \frac{2\pi \cdot 12 \cdot 150°}{360°} = \frac{2\pi \cdot 12 \cdot 5}{12} = 10\pi$ см.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C = 2\pi r$, где $r$ — искомый радиус основания.
$2\pi r = 10\pi$
$r = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

3. Тело вращения, полученное при вращении треугольника вокруг его наибольшей стороны, состоит из двух конусов, имеющих общее основание. Поверхность этого тела состоит из боковых поверхностей этих двух конусов.

Наибольшая сторона треугольника, вокруг которой происходит вращение, равна 15 см. Две другие стороны, 4 см и 13 см, являются образующими этих конусов: $l_1 = 4$ см, $l_2 = 13$ см.

Радиус общего основания конусов $r$ равен высоте треугольника, проведенной к наибольшей стороне. Найдем эту высоту. Сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр $p = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
Площадь треугольника:
$S_{\triangle} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24$ см².

С другой стороны, площадь треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$, где $c=15$ см — основание, а $h_c = r$ — искомая высота (радиус).
$24 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot r$
$r = \frac{24 \cdot 2}{15} = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3,2$ см.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:
$S_{тела} = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r (l_1 + l_2)$.
$S_{тела} = \pi \cdot 3,2 \cdot (4 + 13) = \pi \cdot 3,2 \cdot 17 = 54,4\pi$ см².

Ответ: $54,4\pi$ см².