Номер 9, страница 339 - гдз по химии 11 класс учебник Еремин, Кузьменко

Параграф 71. Производство аммиака. Глава 7. Химическая технология - номер 9, страница 339.

Условие.

9. При каждом проходе колонны синтеза в аммиак превращается 20% азотоводородной смеси. Сколько раз нужно пропустить смесь через колонну, чтобы степень превращения превысила 95%?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Степень превращения за один проход, $x = 20\% = 0.2$

Требуемая общая степень превращения, $\eta_{общ} > 95\% = 0.95$

Найти:

Количество проходов смеси через колонну, $n$

Решение:

При каждом проходе через колонну синтеза в реакцию вступает 20% от оставшейся азотоводородной смеси. Это означает, что после каждого прохода остается не прореагировавшей $100\% - 20\% = 80\%$ (или 0.8) смеси от количества, поданного на вход в этом цикле.

Пусть начальное количество смеси условно равно 1. Обозначим долю непрореагировавшей смеси после $n$ проходов как $a_n$.

После 1-го прохода останется: $a_1 = 1 - 0.2 = 0.8$ от начального количества.

После 2-го прохода останется: $a_2 = a_1 \cdot 0.8 = 0.8 \cdot 0.8 = 0.8^2 = 0.64$.

Соответственно, после $n$ проходов доля непрореагировавшей смеси будет равна:

$a_n = (1 - 0.2)^n = 0.8^n$

Общая степень превращения $\eta_{общ}$ после $n$ проходов — это доля исходной смеси, которая превратилась в аммиак. Она равна 1 минус доля оставшейся смеси:

$\eta_{общ} = 1 - a_n = 1 - 0.8^n$

Нам нужно найти минимальное целое число проходов $n$, при котором общая степень превращения превысит 95% (то есть 0.95).

$1 - 0.8^n > 0.95$

Выразим $0.8^n$:

$1 - 0.95 > 0.8^n$

$0.05 > 0.8^n$

Это неравенство означает, что доля непрореагировавшей смеси должна стать меньше 5%.

Для нахождения $n$ прологарифмируем обе части неравенства. Так как логарифм числа, меньшего 1, отрицателен (например, $\ln(0.8) < 0$), при делении на него знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$\ln(0.05) > \ln(0.8^n)$

$\ln(0.05) > n \cdot \ln(0.8)$

$n > \frac{\ln(0.05)}{\ln(0.8)}$

Подставим значения логарифмов:

$n > \frac{-2.9957}{-0.2231} \approx 13.425$

Так как число проходов $n$ должно быть целым, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 14.

Проверим результат итерационно:

После 13 проходов степень превращения: $\eta_{13} = 1 - 0.8^{13} \approx 1 - 0.055 = 0.945$, или 94.5%, что меньше 95%.

После 14 проходов степень превращения: $\eta_{14} = 1 - 0.8^{14} \approx 1 - 0.044 = 0.956$, или 95.6%, что больше 95%.

Следовательно, необходимо 14 проходов.

Ответ: чтобы степень превращения превысила 95%, нужно пропустить смесь через колонну 14 раз.