Страница 43, часть 3 - гдз по математике 2 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Составь из цифр 3, 4, 9 все трёхзначные числа. Подчеркни наибольшее число (цифры в записи числа не повторяются).

Для решения задачи выполним последовательно два действия, указанных в условии.

Составь из цифр 3, 4, 9 все трёхзначные числа

Чтобы составить все возможные трёхзначные числа из цифр 3, 4 и 9 без их повторения в одном числе, нужно перебрать все варианты их расстановки. Каждое число будет содержать одну из этих цифр в разряде сотен, одну в разряде десятков и одну в разряде единиц.

• Если на месте сотен стоит цифра 3, то оставшиеся цифры 4 и 9 могут образовать числа: 349 и 394.
• Если на месте сотен стоит цифра 4, то оставшиеся цифры 3 и 9 могут образовать числа: 439 и 493.
• Если на месте сотен стоит цифра 9, то оставшиеся цифры 3 и 4 могут образовать числа: 934 и 943.

Таким образом, мы получили 6 различных трёхзначных чисел. Это число перестановок из трёх элементов, которое равно $P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 349, 394, 439, 493, 934, 943.

Подчеркни наибольшее число

Из списка полученных чисел (349, 394, 439, 493, 934, 943) необходимо выбрать самое большое. Для этого сначала сравним числа по старшему разряду — разряду сотен. Наибольшим будет то число, у которого цифра в разряде сотен самая большая. В нашем случае это цифра 9.

У нас есть два числа, начинающиеся с цифры 9: 934 и 943.

Теперь сравним их по следующему разряду — разряду десятков. В числе 934 в разряде десятков стоит цифра 3, а в числе 943 — цифра 4. Так как $4 > 3$, то число 943 больше, чем 934. Следовательно, 943 является наибольшим из всех составленных чисел.

Запишем итоговый ряд чисел, подчеркнув в нем наибольшее.

Ответ: 349, 394, 439, 493, 934, 943.

4. Олег записал число 256 и зачеркнул цифру 5. На сколько уменьшилось число?

По условию задачи, Олег записал число 256. В этом числе цифра 2 означает сотни, цифра 5 — десятки, а цифра 6 — единицы.

Затем Олег зачеркнул цифру 5. Когда из числа 256 убирается цифра 5, которая стоит в разряде десятков, оставшиеся цифры 2 и 6 образуют новое число. Цифра 2 теперь обозначает десятки, а 6 — единицы. Таким образом, получилось число 26.

Чтобы найти, на сколько уменьшилось исходное число, необходимо из первоначального числа вычесть то, которое получилось после зачеркивания цифры.

Выполним вычитание:
$256 - 26 = 230$

Следовательно, число уменьшилось на 230.

Ответ: 230

1 Ивану-царевичу нужно добраться до своей стрелы по кочкам болота. Для этого он должен решить примеры и проложить путь от наименьшего значения к наибольшему. Соедини кочки стрелками в нужном порядке.

$2 \cdot 2 = \Box$

$2 \cdot 5 = \Box$

$2 \cdot 7 = \Box$

$1 \cdot 2 = \Box$

$6 \cdot 2 = \Box$

$9 \cdot 2 = \Box$

$3 \cdot 2 = \Box$

$2 \cdot 4 = \Box$

$8 \cdot 2 = \Box$

Чтобы помочь Ивану-царевичу добраться до своей стрелы, необходимо выполнить задание в два этапа: сначала решить все примеры на кочках, а затем, на основе полученных результатов, проложить путь от наименьшего значения к наибольшему.

Вычислим значения для каждого примера, написанного на кочке:

$2 \cdot 2 = 4$

$2 \cdot 5 = 10$

$2 \cdot 7 = 14$

$1 \cdot 2 = 2$

$6 \cdot 2 = 12$

$9 \cdot 2 = 18$

$3 \cdot 2 = 6$

$2 \cdot 4 = 8$

$8 \cdot 2 = 16$

Ответ: Полученные значения: 4, 10, 14, 2, 12, 18, 6, 8, 16.

Теперь расположим все полученные значения в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), чтобы определить правильный маршрут для Ивана-царевича:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.

Каждому значению в этой последовательности соответствует определённый пример на кочке. Таким образом, правильный путь будет проходить через кочки в следующем порядке:

1. $1 \cdot 2 = 2$
2. $2 \cdot 2 = 4$
3. $3 \cdot 2 = 6$
4. $2 \cdot 4 = 8$
5. $2 \cdot 5 = 10$
6. $6 \cdot 2 = 12$
7. $2 \cdot 7 = 14$
8. $8 \cdot 2 = 16$
9. $9 \cdot 2 = 18$

Иван-царевич должен прыгать по кочкам, соединяя их стрелками в указанном порядке, чтобы добраться до лягушки со своей стрелой.

Ответ: Правильная последовательность кочек: $1 \cdot 2 \rightarrow 2 \cdot 2 \rightarrow 3 \cdot 2 \rightarrow 2 \cdot 4 \rightarrow 2 \cdot 5 \rightarrow 6 \cdot 2 \rightarrow 2 \cdot 7 \rightarrow 8 \cdot 2 \rightarrow 9 \cdot 2$.

2 Что неизвестно? Вставь неизвестные числа в пустые окошки. Какая операция обратна сложению, вычитанию?

$15$ $ +12 $ [ ]
[ ]

[ ] $ -36 $ $24$
[ ]

[ ]
$17$ [ ] $ +9 $

Операция, обратная сложению, — это вычитание. Операция, обратная вычитанию, — это сложение.

Первый пример (слева)

Чтобы найти число в правом окошке, выполняем сложение, указанное над стрелкой: $15 + 12 = 27$.
Обратная операция для проверки, которую нужно вписать в синее окошко внизу, — это вычитание: $27 - 12 = 15$.
Ответ: в правое окошко нужно вписать 27, а в синее окошко под стрелкой — -12.

Второй пример (в центре)

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое в левом окошке, нужно выполнить операцию, обратную вычитанию, то есть сложение: $24 + 36 = 60$.
Проверяем, подставив найденное число: $60 - 36 = 24$.
Обратная операция, которую нужно вписать в синее окошко, — это сложение.
Ответ: в левое окошко нужно вписать 60, а в синее окошко под стрелкой — +36.

Третий пример (справа)

Нижняя стрелка показывает, что к неизвестному числу в правом окошке прибавили 9 и получили 17. Чтобы найти это число, нужно выполнить обратную операцию — вычитание: $17 - 9 = 8$.
Проверяем: $8 + 9 = 17$.
Операция для верхней стрелки (слева направо) будет обратной, то есть вычитанием, которое и нужно вписать в синее окошко: $17 - 9 = 8$.
Ответ: в правое окошко нужно вписать 8, а в синее окошко над стрелкой — -9.

3 В пакете 8 ирисок. Сколько ирисок в четырёх таких пакетах?

Составь произведение и найди его значение, используя смысл умножения.

$8 \times 4$

Какая операция обратна умножению?

В условии задачи сказано, что в одном пакете 8 ирисок. Нам нужно найти, сколько ирисок будет в четырёх таких же пакетах.

Смысл умножения заключается в сложении одинаковых слагаемых. В нашем случае, чтобы найти общее количество ирисок, нужно сложить количество ирисок из каждого из четырёх пакетов. То есть, взять число 8 четыре раза.

Сложение будет выглядеть так: $8 + 8 + 8 + 8 = 32$.

Это же действие можно записать в виде произведения, где 8 — это количество ирисок в одном пакете (слагаемое), а 4 — это количество пакетов (количество слагаемых):

$8 \times 4 = 32$

Ответ: 32 ириски.

Какая операция обратна умножению?

Операцией, обратной умножению, является деление. С помощью деления можно найти один из множителей, зная произведение и другой множитель. Например, из нашего примера $8 \times 4 = 32$ можно составить два примера на деление: $32 \div 4 = 8$ и $32 \div 8 = 4$.

Ответ: Деление.

4 а) Попробуй разделить 32 ириски на 4 равные части. Покажи эти части линиями на рисунке и запиши ответ.

$32 : 4 = \square$

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Сравни операции умножения и деления. Что ты замечаешь? Вставь пропущенные числа. Сделай вывод и запиши его буквами.

$32 : 4 = \square \Leftrightarrow \square \cdot 4 = 32$

$a : b = \square \Leftrightarrow \square \cdot b = a$

Проверь свой вывод по учебному пособию, с. 71.

a) Чтобы разделить 32 ириски на 4 равные части, необходимо выполнить математическую операцию деления. В этой задаче 32 — это делимое (общее количество ирисок), а 4 — это делитель (количество частей). Результатом будет частное — количество ирисок в каждой части.

На рисунке можно было бы обвести линиями 4 группы, в каждой из которых оказалось бы по 8 ирисок, так как $8 \cdot 4 = 32$.

Запишем и решим пример:

$32 : 4 = 8$

Ответ: $32 : 4 = 8$.

б) Сравнивая операции умножения и деления, можно заметить, что они являются взаимообратными. Это означает, что одно действие является проверкой для другого. Если мы знаем результат деления, мы можем проверить его умножением.

Вставим пропущенные числа в первое выражение. Мы уже знаем, что $32 : 4 = 8$. Чтобы заполнить второй пропуск, выполним проверку: умножим частное (8) на делитель (4). Получим $8 \cdot 4 = 32$, что равно исходному делимому. Значит, в оба пропуска нужно вписать число 8.

$32 : 4 = 8 \iff 8 \cdot 4 = 32$

Теперь рассмотрим общее правило, записанное с помощью букв. Здесь $a$ — делимое, $b$ — делитель. Результат деления (частное) обозначим буквой $c$. Тогда, по определению деления, если $a : b = c$, то для проверки должно выполняться равенство $c \cdot b = a$. В оба пропуска нужно вписать частное, которое мы обозначили как $c$.

$a : b = c \iff c \cdot b = a$

Вывод: деление и умножение — это взаимообратные операции. Чтобы проверить правильность выполнения деления, нужно частное умножить на делитель. Если в результате получается делимое, то деление выполнено верно.

Ответ: В первом выражении пропущено число 8: $32 : 4 = 8 \iff 8 \cdot 4 = 32$. Во втором выражении пропущено частное (обозначим его $c$): $a : b = c \iff c \cdot b = a$. Вывод: деление — это операция, обратная умножению.

4 Используя числовой луч, выполни деление с остатком и допиши равенства. Какие остатки могут получаться при делении на 4?

а) 9 разделить на 4

$9 = \Box \cdot \Box + \Box$

б) 10 разделить на 4

$10 = \Box \cdot \Box + \Box$

в) 11 разделить на 4

$11 = \Box \cdot \Box + \Box$

г) 12 разделить на 4

$12 = \Box \cdot \Box + \Box$

а) 9 разделить на 4

Чтобы разделить 9 на 4 с остатком, находим на числовом луче самое большое число до 9, которое делится на 4 без остатка. Это число 8.
Определяем, сколько раз по 4 содержится в 8: $8 : 4 = 2$. Это неполное частное.
Далее находим разницу между 9 и 8, чтобы определить остаток: $9 - 8 = 1$. Остаток равен 1.
Получаем равенство: $9 = 2 \cdot 4 + 1$.
Ответ: $9 = 2 \cdot 4 + 1$.

б) 10 разделить на 4

На числовом луче находим самое большое число до 10, которое делится на 4. Это снова число 8.
Неполное частное: $8 : 4 = 2$.
Находим остаток: $10 - 8 = 2$. Остаток равен 2.
Получаем равенство: $10 = 2 \cdot 4 + 2$.
Ответ: $10 = 2 \cdot 4 + 2$.

в) 11 разделить на 4

На числовом луче находим самое большое число до 11, которое делится на 4. Это число 8.
Неполное частное: $8 : 4 = 2$.
Находим остаток: $11 - 8 = 3$. Остаток равен 3.
Получаем равенство: $11 = 2 \cdot 4 + 3$.
Ответ: $11 = 2 \cdot 4 + 3$.

г) 12 разделить на 4

Число 12 находится на числовом луче и делится на 4 без остатка.
Находим частное: $12 : 4 = 3$.
Остаток в этом случае равен 0, так как $12 - (3 \cdot 4) = 0$.
Получаем равенство: $12 = 3 \cdot 4 + 0$.
Ответ: $12 = 3 \cdot 4 + 0$.

Какие остатки могут получаться при делении на 4?

При делении с остатком, остаток всегда должен быть меньше делителя. В данном случае делитель равен 4.
Следовательно, остаток может быть любым целым числом от 0 до 3.
Ответ: При делении на 4 могут получаться остатки 0, 1, 2, 3.

5 Выполни деление с остатком, используя схему и числовой луч. Запиши ответ и сделай проверку.

a) $19 : 5 = \square \text{ (ост. } \square)$

$19 = \square \cdot \square + \square$

б) $17 : 4 = \square \text{ (ост. } \square)$

$17 = \square \cdot \square + \square$

в) $20 : 3 = \square \text{ (ост. } \square)$

$20 = \square \cdot \square + \square$

а)

Чтобы выполнить деление с остатком $19 : 5$, нужно найти, сколько раз число 5 полностью помещается в числе 19.

1. Находим неполное частное. Подбираем ближайшее к 19 число, которое меньше 19 и делится на 5 без остатка. Это число 15.
$15 : 5 = 3$.
Число 3 является неполным частным.

2. Находим остаток. Вычитаем из делимого 19 число 15:
$19 - 15 = 4$.
Число 4 является остатком. Важно проверить, что остаток меньше делителя ($4 < 5$).

Таким образом, $19 : 5 = 3$ (ост. 4).

Использование числового луча: На числовом луче от 0 до 19 мы можем сделать 3 полных шага по 5 единиц ($0 \to 5 \to 10 \to 15$). После этого до числа 19 остается 4 единицы. Количество шагов (3) – это неполное частное, а оставшееся расстояние (4) – это остаток.

Использование схемы: Если взять 19 точек, их можно сгруппировать по 5. Получится 3 полные группы по 5 точек и еще 4 точки останутся.

Проверка:

Для проверки умножаем неполное частное на делитель и прибавляем остаток. Результат должен быть равен делимому.
$3 \cdot 5 + 4 = 15 + 4 = 19$.
$19 = 19$. Решение верно.
Заполняем второе равенство: $19 = 5 \cdot 3 + 4$.

Ответ: $19 : 5 = 3$ (ост. 4); $19 = 5 \cdot 3 + 4$.

б)

Выполним деление с остатком $17 : 4$.

1. Находим неполное частное. Ищем наибольшее число, не превышающее 17, которое делится на 4 без остатка. Это число 16.
$16 : 4 = 4$.
Неполное частное равно 4.

2. Находим остаток. Вычитаем из 17 число 16:
$17 - 16 = 1$.
Остаток равен 1. Проверяем: $1 < 4$.

Таким образом, $17 : 4 = 4$ (ост. 1).

Использование числового луча: На числовом луче от 0 до 17 мы можем сделать 4 полных шага по 4 единицы ($0 \to 4 \to 8 \to 12 \to 16$). От 16 до 17 остается 1 единица. 4 шага – это частное, 1 – остаток.

Использование схемы: 17 точек можно разложить на 4 полные группы по 4 точки, при этом 1 точка останется.

Проверка:

Умножаем неполное частное на делитель и прибавляем остаток:
$4 \cdot 4 + 1 = 16 + 1 = 17$.
$17 = 17$. Решение верно.
Заполняем второе равенство: $17 = 4 \cdot 4 + 1$.

Ответ: $17 : 4 = 4$ (ост. 1); $17 = 4 \cdot 4 + 1$.

в)

Выполним деление с остатком $20 : 3$.

1. Находим неполное частное. Ищем наибольшее число, не превышающее 20, которое делится на 3 без остатка. Это число 18.
$18 : 3 = 6$.
Неполное частное равно 6.

2. Находим остаток. Вычитаем из 20 число 18:
$20 - 18 = 2$.
Остаток равен 2. Проверяем: $2 < 3$.

Таким образом, $20 : 3 = 6$ (ост. 2).

Использование числового луча: На числовом луче от 0 до 20 мы можем сделать 6 полных шагов по 3 единицы ($0 \to 3 \to 6 \to 9 \to 12 \to 15 \to 18$). От 18 до 20 остается 2 единицы. 6 шагов – это частное, 2 – остаток.

Использование схемы: 20 точек можно разложить на 6 полных групп по 3 точки, при этом 2 точки останутся.

Проверка:

Умножаем неполное частное на делитель и прибавляем остаток:
$6 \cdot 3 + 2 = 18 + 2 = 20$.
$20 = 20$. Решение верно.
Заполняем второе равенство: $20 = 3 \cdot 6 + 2$.

Ответ: $20 : 3 = 6$ (ост. 2); $20 = 3 \cdot 6 + 2$.

6* 23 человека поехали на экскурсию на поезде. Они купили билеты в купе по 4 человека в каждом. Сколько купе они заняли полностью? Сколько всего было занято купе?

Полных купе . Всего занято купе .

Для решения этой задачи нужно выполнить деление с остатком.

Дано:

• Общее количество человек: 23
• Вместимость одного купе: 4 человека

Полных купе

Чтобы найти, сколько купе было занято полностью, нужно общее количество человек разделить на количество мест в одном купе и взять целую часть от частного.

Выполним деление с остатком:
$23 \div 4 = 5$ (остаток 3).

Это означает, что 23 человека могут полностью занять 5 купе, и еще 3 человека останутся.

Проверка: $5 \text{ купе} \times 4 \text{ человека} = 20 \text{ человек}$.

Итак, полностью были заняты 5 купе.

Ответ: 5.

Всего занято купе

Мы выяснили, что 5 купе были заняты полностью. В них разместились 20 человек.

Осталось еще 3 человека ($23 - 20 = 3$), которым также нужно место. Эти 3 человека займут еще одно купе, которое будет заполнено не полностью.

Следовательно, общее количество занятых купе — это сумма полных купе и одного неполного купе для оставшихся людей.

$5 \text{ (полных)} + 1 \text{ (неполное)} = 6 \text{ (всего)}$.

Таким образом, всего было занято 6 купе.

Ответ: 6.