Номер 9, страница 3, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебник Петерсон

9 Подбери вместо звёздочек знаки «+» и «-», чтобы получилось верное равенство:

$10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5$

Для решения этой задачи не обязательно перебирать все возможные комбинации знаков. Можно использовать логический подход.

Пусть $S_+$ — это сумма всех чисел в выражении, перед которыми стоит знак «+», а $S_-$ — это сумма всех чисел, перед которыми стоит знак «-». Первое число, 10, всегда положительно, так как стоит в начале выражения.

Тогда исходное равенство можно записать в виде системы уравнений:
1) $S_+ - S_- = 5$ (согласно условию задачи)
2) $S_+ + S_- = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ (сумма всех чисел в выражении)

Сначала найдем сумму всех чисел от 1 до 10. Это можно сделать по формуле суммы арифметической прогрессии или простым сложением:
$S_{10} = \frac{(1 + 10) \cdot 10}{2} = 55$.
Таким образом, $S_+ + S_- = 55$.

Теперь решим получившуюся систему уравнений:
$S_+ - S_- = 5$
$S_+ + S_- = 55$

Сложив два уравнения, получим:
$(S_+ - S_-) + (S_+ + S_-) = 5 + 55$
$2S_+ = 60$
$S_+ = 30$

Подставив значение $S_+$ в любое из уравнений, найдем $S_-$:
$30 - S_- = 5 \implies S_- = 25$

Это означает, что сумма всех чисел со знаком «+» должна быть равна 30, а сумма всех чисел со знаком «-» должна быть равна 25.

Число 10 всегда входит в группу положительных чисел. Значит, нам нужно из оставшихся чисел ${9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}$ выбрать те, которые вместе с 10 дадут в сумме 30. Сумма этих дополнительных чисел должна быть равна $30 - 10 = 20$.

Попробуем найти комбинацию чисел из набора ${9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}$, которая дает в сумме 20. Начнем с самых больших чисел для удобства:
$9 + 8 = 17$. Для получения 20 не хватает 3. Число 3 есть в нашем наборе.
Таким образом, числа, перед которыми должен стоять знак «+», это: $10, 9, 8, 3$.
Проверим их сумму: $10 + 9 + 8 + 3 = 30$. Верно.

Все остальные числа ${7, 6, 5, 4, 2, 1}$ должны иметь знак «-». Проверим их сумму:
$7 + 6 + 5 + 4 + 2 + 1 = 25$. Тоже верно.

Теперь расставим знаки в исходном выражении и выполним проверку:
$10 + 9 + 8 - 7 - 6 - 5 - 4 + 3 - 2 - 1 = $
$= (10+9+8+3) - (7+6+5+4+2+1) = $
$= 30 - 25 = 5$.
Равенство выполняется.

Ответ: $10 + 9 + 8 - 7 - 6 - 5 - 4 + 3 - 2 - 1 = 5$.