Номер 11, страница 87, часть 3 - гдз по математике 2 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 33. Деление суммы на число. Часть 3 - номер 11, страница 87.

Условие 2023.

11* Замени буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным – разные). Имеются ли другие решения данной задачи?

$AA + Y = УРР$ $МУ + БУ = МУУ$ $АУ + УА = СОС$

Решение 2 (2023).

АА + У = УРР

Запишем данное равенство в математическом виде. Число АА представляет собой $10 \cdot А + А = 11 \cdot А$. Число УРР — это $100 \cdot У + 10 \cdot Р + Р = 100 \cdot У + 11 \cdot Р$. Таким образом, уравнение выглядит так: $11 \cdot А + У = 100 \cdot У + 11 \cdot Р$

Перенесем У в правую часть: $11 \cdot А = 99 \cdot У + 11 \cdot Р$

Разделим обе части уравнения на 11: $А = 9 \cdot У + Р$

Теперь проанализируем это уравнение, учитывая, что А, У и Р — это разные цифры от 0 до 9. Также, поскольку А и У являются первыми цифрами в числах АА и УРР, они не могут быть равны нулю.

Рассмотрим возможные значения для У:

• Если $У = 1$, то $А = 9 \cdot 1 + Р = 9 + Р$. Так как А — это однозначное число ($А \le 9$), единственное возможное значение для Р — это $Р = 0$. В этом случае $А = 9$. Мы получили набор цифр: $А = 9, У = 1, Р = 0$. Все они различны, и условия $А \ne 0, У \ne 0$ соблюдены. Проверим исходное равенство: $99 + 1 = 100$. Это верно, так как УРР при $У=1$ и $Р=0$ как раз и есть 100.
• Если $У \ge 2$, то $А = 9 \cdot У + Р \ge 9 \cdot 2 + 0 = 18$. Это невозможно, так как А должно быть однозначным числом.

Таким образом, существует только одно решение.

Ответ: $А = 9, У = 1, Р = 0$. Равенство: $99 + 1 = 100$. Других решений нет.

МУ + БУ = МУУ

Запишем равенство в виде уравнения: $(10 \cdot М + У) + (10 \cdot Б + У) = 100 \cdot М + 10 \cdot У + У$

Упростим его: $10 \cdot М + 10 \cdot Б + 2 \cdot У = 100 \cdot М + 11 \cdot У$

Перегруппируем члены: $10 \cdot Б = (100 - 10) \cdot М + (11 - 2) \cdot У$ $10 \cdot Б = 90 \cdot М + 9 \cdot У$

М, У, Б — различные цифры. М и Б не могут быть нулем, так как они первые цифры в числах. Левая часть уравнения, $10 \cdot Б$, является числом, которое оканчивается на 0. Следовательно, правая часть, $90 \cdot М + 9 \cdot У$, также должна оканчиваться на 0.

Так как $90 \cdot М$ всегда оканчивается на 0, для выполнения условия необходимо, чтобы и $9 \cdot У$ оканчивалось на 0. Единственная цифра У, для которой это возможно, — это $У = 0$.

Подставим $У = 0$ в наше уравнение: $10 \cdot Б = 90 \cdot М + 9 \cdot 0$ $10 \cdot Б = 90 \cdot М$

Разделим обе части на 10: $Б = 9 \cdot М$

Так как М и Б — это разные и ненулевые цифры:

• Если $М = 1$, то $Б = 9 \cdot 1 = 9$. Получаем набор: $М = 1, Б = 9, У = 0$. Все цифры различны. Проверяем исходное равенство: $10 + 90 = 100$. Это верно, так как МУУ при $М=1$ и $У=0$ есть 100.
• Если $М \ge 2$, то $Б = 9 \cdot М \ge 18$, что невозможно для цифры.

Следовательно, у этой задачи также только одно решение.

Ответ: $М = 1, У = 0, Б = 9$. Равенство: $10 + 90 = 100$. Других решений нет.

АУ + УА = СОС

Переведем ребус в алгебраическое уравнение: $(10 \cdot А + У) + (10 \cdot У + А) = 100 \cdot С + 10 \cdot О + С$

Упростим левую и правую части: $11 \cdot А + 11 \cdot У = 101 \cdot С + 10 \cdot О$ $11 \cdot (А + У) = СОС$

Из этого уравнения следует, что трехзначное число СОС должно делиться на 11. Сумма двух двузначных чисел АУ и УА является трехзначным числом СОС, значит $СОС \ge 100$. $11 \cdot (А + У) \ge 100 \implies А + У \ge 100/11 \approx 9.09$. Следовательно, $А + У \ge 10$. Максимальная сумма двух разных цифр — это $9 + 8 = 17$. Значит, $10 \le А + У \le 17$.

Таким образом, число СОС находится в диапазоне от $11 \cdot 10 = 110$ до $11 \cdot 17 = 187$. Из этого диапазона видно, что первая цифра числа СОС, то есть С, может быть только 1. Итак, $С = 1$.

Теперь мы знаем, что число имеет вид 1О1. Применим признак делимости на 11: знакопеременная сумма цифр ($1 - О + 1 = 2 - О$) должна делиться на 11. Поскольку О — это цифра от 0 до 9, выражение $2 - О$ может принимать значения от $2-9=-7$ до $2-0=2$. Единственное кратное 11 число в этом диапазоне — это 0. Значит, $2 - О = 0$, откуда $О = 2$.

Мы нашли, что $С = 1$ и $О = 2$. Сумма равна $СОС = 121$. Вернемся к уравнению: $11 \cdot (А + У) = 121$. Отсюда $А + У = 11$.

Нам осталось найти пары различных цифр А и У, которые в сумме дают 11, при этом они не должны быть равны уже использованным цифрам 1 и 2, и не должны быть нулем (так как А и У — первые цифры чисел). Возможные пары для $(А, У)$:

• (2, 9) — не подходит, так как цифра 2 уже занята (О=2).
• (3, 8) — подходит. Цифры 3, 8, 1, 2 все различны. Пример: $38 + 83 = 121$.
• (4, 7) — подходит. Цифры 4, 7, 1, 2 все различны. Пример: $47 + 74 = 121$.
• (5, 6) — подходит. Цифры 5, 6, 1, 2 все различны. Пример: $56 + 65 = 121$.

Поскольку порядок А и У не имеет значения в сумме ($АУ+УА=УА+АУ$), мы нашли три набора решений для этой задачи.

Ответ: Да, у этой задачи есть другие решения. Во всех решениях $С=1, О=2$. Пары для А и У могут быть следующими: (3, 8), (4, 7), (5, 6). Пример одного из решений: $А = 4, У = 7, С = 1, О = 2$. Равенство: $47 + 74 = 121$.

Условие 2020-2022.

11* Замени буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство (в каждом равенстве одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные). Имеются ли другие решения данной задачи?

$AA + Y = YPP$

$MU + BU = MUU$

$AU + UA = COC$

Решение 2020-2022.