Номер 9, страница 45, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Акпаева, Лебедева

9. Выбери и построй две симметричные фигуры в тетради.

Выбор симметричных фигур

На изображении на клетчатом поле находятся три геометрические фигуры: два треугольника и один прямоугольник. Для того чтобы две фигуры были симметричны, они должны быть конгруэнтны, то есть иметь одинаковую форму и размеры. Сравнивая фигуры, мы видим, что два треугольника конгруэнтны друг другу, в то время как прямоугольник имеет другую форму. Следовательно, парой симметричных фигур являются именно два треугольника.

Объяснение симметрии и построение

Чтобы детально проанализировать симметрию и описать построение, введем на клетчатом поле систему координат. Пусть левый нижний узел видимой сетки является началом координат, точкой $O(0,0)$. Ось $Ox$ направим вправо, а ось $Oy$ — вверх. Каждая клетка имеет размер $1 \times 1$.

Определим координаты вершин левого треугольника, назовем его $T_1$:

• Вершина $A = (1,3)$
• Вершина $B = (1,1)$
• Вершина $C = (4,1)$

Это прямоугольный треугольник, так как стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны (одна вертикальна, другая горизонтальна). Прямой угол находится в вершине $B(1,1)$.

Определим координаты вершин правого треугольника, назовем его $T_2$:

• Вершина $D = (15,3)$
• Вершина $E = (18,3)$
• Вершина $F = (15,1)$

Это также прямоугольный треугольник, так как стороны $DE$ и $DF$ перпендикулярны. Прямой угол находится в вершине $D(15,3)$.

Убедимся, что треугольники конгруэнтны, сравнив длины их катетов:

• Для треугольника $T_1$: длина вертикального катета $AB = |3-1| = 2$ единицы. Длина горизонтального катета $BC = |4-1| = 3$ единицы.
• Для треугольника $T_2$: длина вертикального катета $DF = |3-1| = 2$ единицы. Длина горизонтального катета $DE = |18-15| = 3$ единицы.

Поскольку катеты треугольников соответственно равны, треугольники $T_1$ и $T_2$ конгруэнтны по двум катетам.

Теперь определим вид симметрии. Две фигуры симметричны, если одну можно получить из другой с помощью изометрического преобразования (движения). В данном случае треугольники связаны преобразованием, которое называется скользящая симметрия. Это композиция (последовательное выполнение) отражения относительно некоторой прямой и параллельного переноса на вектор, параллельный этой прямой.

Продемонстрируем это преобразование по шагам:

Шаг 1: Осевая симметрия (отражение)

Отразим левый треугольник $T_1$ относительно горизонтальной прямой $y=2$, которая проходит посередине высоты сетки. При отражении относительно прямой $y=c$ точка с координатами $(x,y)$ переходит в точку $(x, 2c-y)$. Для нашей оси $y=2$ преобразование имеет вид $(x,y) \rightarrow (x, 4-y)$.

Найдем координаты вершин отраженного треугольника $T'_1$:

• $A(1,3) \rightarrow A'(1, 4-3) = (1,1)$
• $B(1,1) \rightarrow B'(1, 4-1) = (1,3)$
• $C(4,1) \rightarrow C'(4, 4-1) = (4,3)$

Шаг 2: Параллельный перенос

Теперь выполним параллельный перенос полученного треугольника $T'_1$ вдоль оси $Ox$ на 14 единиц вправо. Это соответствует преобразованию $(x,y) \rightarrow (x+14, y)$.

Найдем итоговые координаты вершин треугольника $T''_1$:

• $A'(1,1) \rightarrow A''(1+14, 1) = (15,1)$, что совпадает с вершиной $F$ правого треугольника.
• $B'(1,3) \rightarrow B''(1+14, 3) = (15,3)$, что совпадает с вершиной $D$ правого треугольника.
• $C'(4,3) \rightarrow C''(4+14, 3) = (18,3)$, что совпадает с вершиной $E$ правого треугольника.

Таким образом, все вершины левого треугольника после выполнения скользящей симметрии совпали с вершинами правого треугольника. Это доказывает, что фигуры симметричны.

Построение фигур в тетради:

1. Начертите в тетради в клетку оси координат.
2. Для построения левого треугольника отметьте точки с координатами $(1,3)$, $(1,1)$ и $(4,1)$. Соедините их отрезками, чтобы получить треугольник.
3. Для построения правого треугольника отметьте точки с координатами $(15,3)$, $(18,3)$ и $(15,1)$. Соедините их, чтобы получить второй треугольник.
4. Вы можете визуально проверить симметрию, мысленно или с помощью кальки выполнив описанные выше шаги: отражение относительно горизонтальной линии, проходящей на уровне $y=2$, и последующий сдвиг вправо на 14 клеток.

Ответ: Симметричными фигурами на изображении являются два треугольника. Они симметричны относительно преобразования скользящей симметрии, которое состоит из отражения относительно горизонтальной прямой $y=2$ и последующего параллельного переноса на 14 единиц вправо.