Номер 10, страница 114, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Дорофеев, Миракова

Часть 2. Числа от 100 до 1000. Умножение и деление. Письменное умножение на однозначное число - номер 10, страница 114.

Условие.

10 Задуманное число при делении на $2$ даёт остаток $1$, а при делении на $3$ — остаток $2$. Какой остаток даёт это число при делении на $6$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Обозначим задуманное число буквой $N$.

Из условия задачи мы имеем два утверждения:

1. При делении числа $N$ на 2 получается остаток 1. Это можно записать в виде формулы: $N = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Это означает, что число $N$ является нечётным.

2. При делении числа $N$ на 3 получается остаток 2. Это можно записать как: $N = 3m + 2$, где $m$ — некоторое целое число.

Нам нужно найти, какой остаток даёт число $N$ при делении на 6.

Рассмотрим оба равенства. Можно заметить, что если к задуманному числу $N$ прибавить 1, то получатся следующие выражения:

$N + 1 = (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$

$N + 1 = (3m + 2) + 1 = 3m + 3 = 3(m + 1)$

Из этих равенств видно, что число $(N + 1)$ делится нацело и на 2, и на 3.

Если число делится одновременно на 2 и на 3, то оно должно делиться и на их наименьшее общее кратное (НОК). Наименьшее общее кратное для 2 и 3 равно $2 \times 3 = 6$.

Следовательно, число $(N + 1)$ кратно 6. Это можно записать так:

$N + 1 = 6q$, где $q$ — некоторое целое число.

Теперь выразим задуманное число $N$ из этого равенства:

$N = 6q - 1$

Чтобы найти остаток от деления $N$ на 6, нам нужно представить это выражение в виде $N = 6q' + r$, где $r$ — это остаток, и $0 \leq r < 6$.

Преобразуем выражение $N = 6q - 1$:

$N = 6(q - 1) + 6 - 1 = 6(q - 1) + 5$

Эта запись показывает, что при делении числа $N$ на 6 частное будет равно $(q - 1)$, а остаток — 5.

В качестве проверки можно найти первое такое число. Числа, дающие остаток 2 при делении на 3: 2, 5, 8, 11, ... Из них выбираем нечётные: 5, 11, ... Проверяем число 5: $5 : 2 = 2$ (ост. 1), $5 : 3 = 1$ (ост. 2). Условия выполняются. При делении 5 на 6 получаем остаток 5.

Ответ: 5