Номер 7, страница 67, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

Квадратный метр стр. 66-67. Числа от 1 до 100. Умножение и деление (продолжение). ч. 1 - номер 7, страница 67.

7. 1) Начерти на листе клетчатой бумаги такой квадрат, вырежи его и разрежь по показанным на чертеже линиям.

2) Запиши номера фигур, которые ты сможешь выложить, используя полученные части квадрата.

3) Чему равна площадь каждой из этих фигур?

4) Верно ли, что все фигуры 1 — 5 будут симметричными?

Для решения этой задачи мысленно или практически выполним пункт 1: начертим квадрат, а затем разрежем его по двум диагоналям. В результате мы получим четыре одинаковых (конгруэнтных) прямоугольных равнобедренных треугольника. Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Тогда площадь квадрата равна $S = a^2$. Каждый из четырех полученных треугольников будет иметь гипотенузу длиной $a$ (это бывшая сторона квадрата) и два катета длиной $l = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Площадь каждого такого треугольника равна $\frac{S}{4} = \frac{a^2}{4}$. Эти четыре треугольника мы будем использовать для сборки фигур.

1)

Этот пункт является практическим заданием. Необходимо начертить на клетчатой бумаге квадрат, вырезать его и разрезать по двум диагоналям. В результате получатся четыре одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника, которые будут являться "строительными блоками" для следующих заданий.

Ответ: Задание выполнено, получено четыре одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника.

2)

Проанализируем, какие из предложенных фигур можно сложить из полученных четырех треугольников.

• Фигура 1 (трапеция): Эту фигуру сложить можно. Для этого два треугольника располагаем рядом так, чтобы их катеты образовали одну длинную прямую линию — это будет нижнее основание трапеции. Два оставшихся треугольника соединяем по их гипотенузам, чтобы образовать квадрат. Этот квадрат помещаем сверху в центре между первыми двумя треугольниками. Получается равнобедренная трапеция.
• Фигура 2 (стрелка): Эту фигуру сложить можно. "Наконечник" стрелки составляется из двух треугольников, соединенных по одному из катетов. Получается большой равнобедренный треугольник. "Древко" стрелки составляется из двух оставшихся треугольников, соединенных по гипотенузе, что образует квадрат. Этот квадрат приставляется к основанию "наконечника".
• Фигура 3 (домик): Эту фигуру сложить нельзя. Если предположить, что крыша "домика" (равнобедренный треугольник) сложена из двух наших треугольников, соединенных по катету, то ширина ее основания будет равна сумме длин двух катетов ($2l$). Прямоугольное основание "домика" должно иметь такую же ширину $2l$. Оставшиеся два треугольника должны образовать этот прямоугольник. Единственный прямоугольник, который можно сложить из двух наших треугольников — это квадрат со стороной $l$ (соединив их по гипотенузе). Ширина этого квадрата $l$ не совпадает с требуемой шириной $2l$. Следовательно, сложить фигуру 3 невозможно.
• Фигура 4 (песочные часы): Эту фигуру сложить можно. Сначала из двух треугольников, соединив их по катету, складываем большой равнобедренный треугольник. Затем из двух оставшихся треугольников складываем второй такой же большой треугольник. Расположив эти два больших треугольника вершинами друг к другу, мы получим фигуру "песочные часы".
• Фигура 5 (прямоугольник с вырезом): Эту фигуру сложить можно. Для этого три треугольника располагаем так, как будто мы собираем исходный квадрат (они займут три четверти квадрата). Четвертый треугольник мы прикладываем к свободной стороне (гипотенузе) одного из крайних треугольников, но "внутрь" фигуры, то есть зеркально отразив его относительно этой стороны.

Ответ: Можно сложить фигуры с номерами 1, 2, 4, 5.

3)

Площадь фигуры — это величина, показывающая, сколько места она занимает на плоскости. Все фигуры, которые можно сложить из четырех частей исходного квадрата (фигуры 1, 2, 4, 5), состоят из одного и того же набора частей. Согласно свойству аддитивности площади, площадь составной фигуры равна сумме площадей ее частей. Так как все эти фигуры составлены из одних и тех же четырех треугольников, их площади равны между собой и равны площади исходного квадрата.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Тогда его площадь $S = a^2$. Площадь каждой из фигур 1, 2, 4 и 5 также будет равна $S = a^2$. Такие фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Поскольку фигуру 3 сложить из заданных частей нельзя, ее площадь в рамках данной задачи не определяется через площадь исходного квадрата.

Ответ: Площади фигур 1, 2, 4 и 5 равны между собой и равны площади исходного квадрата, из которого были вырезаны части.

4)

Симметричная фигура — это фигура, которую можно совместить с собой некоторым движением (отражением или поворотом). Проверим каждую фигуру на наличие симметрии.

• Фигура 1 (трапеция): Является равнобедренной трапецией и имеет одну ось симметрии, проходящую вертикально через середины оснований. Фигура симметрична.
• Фигура 2 (стрелка): Имеет одну вертикальную ось симметрии. Фигура симметрична.
• Фигура 3 (домик): В представленном виде фигура состоит из равнобедренного треугольника и прямоугольника и имеет одну вертикальную ось симметрии. Фигура симметрична.
• Фигура 4 (песочные часы): Имеет две оси симметрии (горизонтальную и вертикальную), а также является центрально-симметричной (симметрична относительно поворота на 180°). Фигура симметрична.
• Фигура 5 (прямоугольник с вырезом): Имеет одну диагональную ось симметрии. Фигура симметрична.

Таким образом, все пять изображенных фигур обладают симметрией.

Ответ: Да, верно. Все фигуры 1–5 являются симметричными.