Номер 18, страница 33, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

18. Выйдет ли квадратная проволочная рамка со стороной 7 см из треугольной рамки, каждая сторона которой равна 9 см?

Для того чтобы квадратная рамка прошла через треугольную, необходимо, чтобы квадрат мог поместиться внутри треугольника в какой-либо ориентации. Рассмотрим, возможно ли это.

Треугольная рамка представляет собой равносторонний треугольник со стороной $a = 9$ см. Квадратная рамка имеет сторону $s = 7$ см.

Проверим, сможет ли квадрат поместиться в треугольнике. Самый простой способ размещения — это когда одна из сторон квадрата параллельна одной из сторон треугольника. Для остроугольного треугольника (каким является равносторонний) именно такое расположение позволяет вписать квадрат наибольшего размера.

Сначала найдем высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a = 9$ см. Высота в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле:

$h = a \cdot \sin(60^{\circ}) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4.5\sqrt{3}$ см.

Приближенное значение высоты: $h \approx 4.5 \cdot 1.732 = 7.794$ см.

Высота треугольника ($ \approx 7.794$ см) больше стороны квадрата ($7$ см). Это означает, что чисто теоретически по высоте квадрат может поместиться. Однако необходимо также, чтобы он помещался и по ширине.

Представим, что мы поместили квадрат внутрь треугольника так, что его нижняя сторона параллельна основанию треугольника. Ширина треугольника уменьшается по мере увеличения высоты от основания. Для того чтобы квадрат поместился, его ширина ($7$ см) должна быть меньше или равна ширине треугольника на соответствующей высоте.

Наибольшие требования к ширине предъявляются у верхних вершин квадрата. Пусть нижняя сторона квадрата находится на высоте $y$ от основания треугольника. Тогда его верхняя сторона будет на высоте $y+7$. Ширина треугольника $W$ на высоте $y'$ от основания связана с длиной основания $a$ и высотой $h$ соотношением подобия:

$\frac{W(y')}{a} = \frac{h - y'}{h}$ или $W(y') = a \left(1 - \frac{y'}{h}\right)$

Нам нужно, чтобы на высоте верхней стороны квадрата ($y' = y+7$) ширина треугольника была не меньше стороны квадрата ($s=7$):

$W(y+7) \ge 7$

Подставим значения $a=9$ и $h = 4.5\sqrt{3}$:

$9 \left(1 - \frac{y+7}{4.5\sqrt{3}}\right) \ge 7$

Разделим обе части на 9:

$1 - \frac{y+7}{4.5\sqrt{3}} \ge \frac{7}{9}$

Вычтем 1 из обеих частей и сменим знак:

$-\frac{y+7}{4.5\sqrt{3}} \ge \frac{7}{9} - 1$

$-\frac{y+7}{4.5\sqrt{3}} \ge -\frac{2}{9}$

Умножим на $-1$ (неравенство изменит знак):

$\frac{y+7}{4.5\sqrt{3}} \le \frac{2}{9}$

Выразим $y+7$:

$y+7 \le \frac{2}{9} \cdot 4.5\sqrt{3} = \frac{2 \cdot 4.5}{9}\sqrt{3} = \frac{9}{9}\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Итак, мы получили неравенство $y+7 \le \sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:

$y+7 \le 1.732$

Высота $y$, на которой расположена нижняя сторона квадрата, не может быть отрицательной, то есть $y \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение левой части неравенства равно $0+7=7$. Таким образом, мы приходим к неверному утверждению $7 \le 1.732$.

Это означает, что невозможно разместить квадрат со стороной 7 см внутри равностороннего треугольника со стороной 9 см. Следовательно, квадратная рамка не сможет выйти из треугольной.

Ответ: Нет, не выйдет.