Номер 3, страница 57, часть 2 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

3. Вычислительная машина работает так:

Сначала определяет:

Делится введённое число на 3 без остатка?

1) Какое число получится на выходе из машины, если в неё ввести число 5; 2; 10; 14; 18; 42?

2) Какое число ввели в машину, если на выходе из машины получили число 13; 46?

3) Построй свою вычислительную машину, похожую на эту, но с другими числами. Поработай на ней.

Сначала проанализируем работу вычислительной машины, представленной на схеме.

Машина принимает на вход число. Затем она проверяет, делится ли это число на 3 без остатка.

• Если Да (число делится на 3), машина выполняет операцию: (входное число) $: 3 + 8$.
• Если Нет (число не делится на 3), машина выполняет операцию: (входное число) $\cdot 3 - 5$.

Результат вычислений подается на выход.

1) Какое число получится на выходе из машины, если в неё ввести число 5; 2; 10; 14; 18; 42?

Мы последовательно пропустим каждое число через алгоритм машины.

• Число 5: не делится на 3. Выполняем операцию $\cdot 3 - 5$.
  $5 \cdot 3 - 5 = 15 - 5 = 10$.
• Число 2: не делится на 3. Выполняем операцию $\cdot 3 - 5$.
  $2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$.
• Число 10: не делится на 3. Выполняем операцию $\cdot 3 - 5$.
  $10 \cdot 3 - 5 = 30 - 5 = 25$.
• Число 14: не делится на 3. Выполняем операцию $\cdot 3 - 5$.
  $14 \cdot 3 - 5 = 42 - 5 = 37$.
• Число 18: делится на 3. Выполняем операцию $: 3 + 8$.
  $18 : 3 + 8 = 6 + 8 = 14$.
• Число 42: делится на 3. Выполняем операцию $: 3 + 8$.
  $42 : 3 + 8 = 14 + 8 = 22$.

Ответ: при вводе чисел 5, 2, 10, 14, 18, 42 на выходе получатся соответственно числа 10, 1, 25, 37, 14, 22.

2) Какое число ввели в машину, если на выходе из машины получили число 13; 46?

Чтобы найти исходное число, нужно выполнить обратные операции. Пусть $x$ - входное число, а $y$ - выходное.

• Если на выходе получили 13:

  Проверим оба возможных пути вычислений.

  Вариант А: Предположим, исходное число делилось на 3. Тогда $y = x : 3 + 8$.
  $13 = x : 3 + 8$
  $x : 3 = 13 - 8$
  $x : 3 = 5$
  $x = 5 \cdot 3 = 15$
  Проверяем условие: 15 делится на 3. Условие выполняется, значит, это верный ответ.

  Вариант Б: Предположим, исходное число не делилось на 3. Тогда $y = x \cdot 3 - 5$.
  $13 = x \cdot 3 - 5$
  $x \cdot 3 = 13 + 5$
  $x \cdot 3 = 18$
  $x = 18 : 3 = 6$
  Проверяем условие: 6 делится на 3. Это противоречит предположению, что число не должно делиться на 3. Значит, этот вариант невозможен.

  Следовательно, если на выходе 13, на входе было число 15.

• Если на выходе получили 46:

  Аналогично проверим оба варианта.

  Вариант А: Исходное число делилось на 3. $y = x : 3 + 8$.
  $46 = x : 3 + 8$
  $x : 3 = 46 - 8$
  $x : 3 = 38$
  $x = 38 \cdot 3 = 114$
  Проверяем условие: 114 делится на 3 (так как $1+1+4=6$, а 6 делится на 3). Условие выполняется.

  Вариант Б: Исходное число не делилось на 3. $y = x \cdot 3 - 5$.
  $46 = x \cdot 3 - 5$
  $x \cdot 3 = 46 + 5$
  $x \cdot 3 = 51$
  $x = 51 : 3 = 17$
  Проверяем условие: 17 не делится на 3. Условие выполняется.

  В этом случае возможны два разных входных числа, которые приводят к одному и тому же результату.

Ответ: если на выходе 13, то ввели число 15; если на выходе 46, то могли ввести число 17 или число 114.

3) Построй свою вычислительную машину, похожую на эту, но с другими числами. Поработай на ней.

Создадим новую вычислительную машину.

Правила новой машины:

• На вход подается число.
• Машина проверяет: "Делится ли число на 5 без остатка?"
• Если Да, выполняется операция: (входное число) $: 5 + 10$.
• Если Нет, выполняется операция: (входное число) $\cdot 2 - 4$.

Работа на новой машине (примеры):

1. Вход: 25.

   Число 25 делится на 5? Да.
   Выполняем действие: $25 : 5 + 10 = 5 + 10 = 15$.
   Выход: 15.

2. Вход: 12.

   Число 12 делится на 5? Нет.
   Выполняем действие: $12 \cdot 2 - 4 = 24 - 4 = 20$.
   Выход: 20.

3. Обратная задача. Выход: 14. Какое число было на входе?

   Вариант А (делится на 5): $x : 5 + 10 = 14 \implies x : 5 = 4 \implies x = 20$. Число 20 делится на 5. Этот вариант подходит.

   Вариант Б (не делится на 5): $x \cdot 2 - 4 = 14 \implies x \cdot 2 = 18 \implies x = 9$. Число 9 не делится на 5. Этот вариант тоже подходит.

   Таким образом, для получения на выходе числа 14 можно было ввести либо 20, либо 9.

Ответ: создана новая вычислительная машина с условием деления на 5 и операциями $:5+10$ и $\cdot2-4$. Приведены примеры ее работы: при вводе 25 на выходе будет 15; при вводе 12 на выходе будет 20; если на выходе 14, то на входе могло быть число 20 или 9.