Номер 10, страница 20, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

10 Расшифруй числовой ребус.

$у \cdot ГОЛ = УГУ$

(Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.)

Запишем данный числовой ребус У · ГОЛ = УГУ в виде математического уравнения. В ребусе одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные.

Число ГОЛ можно представить в виде суммы разрядных слагаемых как $100 \cdot Г + 10 \cdot О + Л$.
Число УГУ можно представить как $100 \cdot У + 10 \cdot Г + У$, что равно $101 \cdot У + 10 \cdot Г$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$У \cdot (100 \cdot Г + 10 \cdot О + Л) = 101 \cdot У + 10 \cdot Г$

Поскольку буквы У и Г являются первыми цифрами в числах, они не могут быть равны нулю. Так как $У \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на У:
$100 \cdot Г + 10 \cdot О + Л = \frac{101 \cdot У + 10 \cdot Г}{У}$
Или, что то же самое:
$ГОЛ = 101 + \frac{10 \cdot Г}{У}$

Из этого уравнения следует, что выражение $\frac{10 \cdot Г}{У}$ должно быть целым числом, то есть $10 \cdot Г$ должно делиться на У без остатка. Кроме того, первая цифра трехзначного числа $ГОЛ$ должна быть равна Г. Будем последовательно перебирать возможные значения для У от 1 до 9.

Последовательная проверка всех вариантов показывает, что решения существуют только при $У=2$ и $У=5$.

1. Если $У=2$, уравнение принимает вид $ГОЛ = 101 + \frac{10 \cdot Г}{2} = 101 + 5 \cdot Г$.
Первая цифра числа ГОЛ должна быть Г. Это возможно только если $100 \cdot Г \le 101 + 5 \cdot Г$, что упрощается до $95 \cdot Г \le 101$. Единственная ненулевая цифра Г, удовлетворяющая этому условию — это $Г=1$.
При $Г=1$ получаем: $ГОЛ = 101 + 5 \cdot 1 = 106$.
Отсюда $Г=1$, $О=0$, $Л=6$. Все цифры ($У=2, Г=1, О=0, Л=6$) различны, значит, это решение подходит.

2. Если $У=5$, уравнение принимает вид $ГОЛ = 101 + \frac{10 \cdot Г}{5} = 101 + 2 \cdot Г$.
Первая цифра числа ГОЛ должна быть Г. Это возможно только если $100 \cdot Г \le 101 + 2 \cdot Г$, что упрощается до $98 \cdot Г \le 101$. Единственная ненулевая цифра Г, удовлетворяющая этому условию — это также $Г=1$.
При $Г=1$ получаем: $ГОЛ = 101 + 2 \cdot 1 = 103$.
Отсюда $Г=1$, $О=0$, $Л=3$. Все цифры ($У=5, Г=1, О=0, Л=3$) различны, значит, это решение тоже подходит.

Проверка остальных значений для У (1, 3, 4, 6, 7, 8, 9) не дает решений, удовлетворяющих всем условиям ребуса.

Таким образом, данный ребус имеет два решения.

Первое решение: $У=2, Г=1, О=0, Л=6$.
Проверка: $2 \cdot 106 = 212$.
Ответ: $2 \cdot 106 = 212$.

Второе решение: $У=5, Г=1, О=0, Л=3$.
Проверка: $5 \cdot 103 = 515$.
Ответ: $5 \cdot 103 = 515$.