Номер 8, страница 41, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

8 Расшифруй ребус. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.) Попробуй найти два варианта ответа.

$\begin{array}{c} \text{КОШКА} \\+ \text{КОШКА} \\+ \text{КОШКА} \\\hline \text{СОБАКА}\end{array}$

Запишем данный ребус в виде математического выражения: $КОШКА + КОШКА + КОШКА = СОБАКА$, что эквивалентно $3 \times КОШКА = СОБАКА$. В этом ребусе разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым — одинаковые.

Будем решать ребус, анализируя действия поразрядно, справа налево.

1. Разряд единиц (буква А): Произведение $3 \times А$ должно оканчиваться на цифру $А$. Это свойство выполняется только для двух цифр: $А=0$ ($3 \times 0 = 0$) и $А=5$ ($3 \times 5 = 15$).

2. Разряд десятков (буква К): Проверим оба варианта для $А$.
Если $А=5$, то из разряда единиц есть перенос 1. Тогда выражение $3 \times К + 1$ должно оканчиваться на $К$. Это значит, что $2 \times К + 1$ должно быть кратно 10. Однако $2 \times К + 1$ — всегда нечетное число, поэтому оно не может оканчиваться на 0. Следовательно, этот вариант невозможен.
Если $А=0$, то переноса из разряда единиц нет. Тогда $3 \times К$ должно оканчиваться на $К$, что означает, что $2 \times К$ кратно 10. Так как $К$ — первая цифра числа, $К \neq 0$. Единственная подходящая цифра — это $К=5$ ($2 \times 5 = 10$).
Таким образом, мы однозначно определили, что $А=0$ и $К=5$.

3. Разряд сотен (буква Ш): Из разряда десятков ($3 \times 5 = 15$) есть перенос 1. Тогда $3 \times Ш + 1$ должно оканчиваться на $А=0$. Это значит, что $3 \times Ш$ должно оканчиваться на 9. Единственная цифра, для которой это верно, — $Ш=3$ ($3 \times 3 = 9$). Итак, $Ш=3$. При этом $3 \times 3 + 1 = 10$, значит, в разряд тысяч переходит 1.

4. Старшие разряды (С, О, Б): Так как КОШКА — пятизначное число, начинающееся с 5, то произведение $3 \times КОШКА$ будет шестизначным числом, начинающимся с 1. Следовательно, $С=1$.
Теперь свяжем оставшиеся буквы $О$ и $Б$. Пусть из разряда тысяч в разряд десятков тысяч идет перенос $N$.
Для разряда тысяч имеем: $3 \times О + 1 = Б + 10 \times N$ (здесь 1 — перенос из разряда сотен).
Для разряда десятков тысяч: $3 \times К + N = О + 10 \times С$. Подставив $К=5$ и $С=1$, получаем: $3 \times 5 + N = О + 10 \times 1 \implies 15 + N = О + 10 \implies О = 5 + N$.
Поскольку $О$ и $К$ должны быть разными цифрами, $О \neq 5$, значит перенос $N$ не может быть равен 0. Максимальное значение $3 \times О + 1$ при $О=9$ равно 28, так что перенос $N$ может быть равен 1 или 2. Это дает нам два возможных варианта решения.

Первый вариант

Пусть перенос $N=1$. Тогда $О = 5 + 1 = 6$. Подставим $О=6$ и $N=1$ в уравнение для разряда тысяч: $3 \times 6 + 1 = Б + 10 \times 1 \implies 19 = Б + 10 \implies Б=9$. Все полученные цифры ($А=0, К=5, Ш=3, С=1, О=6, Б=9$) различны. Это является первым решением.
Ответ: $56350 + 56350 + 56350 = 169050$.

Второй вариант

Пусть перенос $N=2$. Тогда $О = 5 + 2 = 7$. Подставим $О=7$ и $N=2$ в уравнение для разряда тысяч: $3 \times 7 + 1 = Б + 10 \times 2 \implies 22 = Б + 20 \implies Б=2$. Все полученные цифры ($А=0, К=5, Ш=3, С=1, О=7, Б=2$) различны. Это является вторым решением.
Ответ: $57350 + 57350 + 57350 = 172050$.