Номер 31, страница 65, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

31. Докажи, что сумма площадей двух зелёных четырёхугольников равна сумме площадей двух жёлтых четырёхугольников.

Для доказательства утверждения вычислим площади зелёных и жёлтых четырёхугольников. Примем сторону одной клетки за 1 единицу длины.

Все четыре цветные фигуры являются трапециями, так как у каждой есть пара параллельных сторон. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины параллельных оснований, а $h$ — высота.

1. Вычислим сумму площадей зелёных четырёхугольников.

Верхний зелёный четырёхугольник (трапеция):

• Длины параллельных оснований: $a_1 = 8 - 2 = 6$ и $b_1 = 6 - 4 = 2$.
• Высота: $h_1 = 10 - 6 = 4$.
• Площадь: $S_{з1} = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = \frac{8}{2} \cdot 4 = 16$ кв. единиц.

Правый зелёный четырёхугольник (трапеция):

• Длины параллельных оснований: $a_2 = 8 - 2 = 6$ и $b_2 = 6 - 4 = 2$.
• Высота: $h_2 = 10 - 6 = 4$.
• Площадь: $S_{з2} = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = 16$ кв. единиц.

Сумма площадей зелёных фигур: $S_{зелёных} = S_{з1} + S_{з2} = 16 + 16 = 32$ кв. единицы.

2. Вычислим сумму площадей жёлтых четырёхугольников.

Нижний жёлтый четырёхугольник (трапеция):

• Длины параллельных оснований: $a_3 = 8 - 2 = 6$ и $b_3 = 6 - 4 = 2$.
• Высота: $h_3 = 4 - 0 = 4$.
• Площадь: $S_{ж1} = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = 16$ кв. единиц.

Левый жёлтый четырёхугольник (трапеция):

• Длины параллельных оснований: $a_4 = 8 - 2 = 6$ и $b_4 = 6 - 4 = 2$.
• Высота: $h_4 = 4 - 0 = 4$.
• Площадь: $S_{ж2} = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = 16$ кв. единиц.

Сумма площадей жёлтых фигур: $S_{жёлтых} = S_{ж1} + S_{ж2} = 16 + 16 = 32$ кв. единицы.

Сравнивая результаты, получаем: $S_{зелёных} = 32$ кв. единицы и $S_{жёлтых} = 32$ кв. единицы. Следовательно, их суммы равны.

Ответ: Сумма площадей двух зелёных четырёхугольников ($32$ кв. ед.) равна сумме площадей двух жёлтых четырёхугольников ($32$ кв. ед.), что и требовалось доказать.