Страница 65, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 Выполни умножение с объяснением.

$19 \cdot 46$

$27 \cdot 35$

$42 \cdot 23$

$25 \cdot 25$

19 · 46

Чтобы найти произведение чисел 19 и 46, выполним умножение в столбик. Этот метод заключается в поочередном умножении первого числа на разряды второго числа (сначала на единицы, потом на десятки) и последующем сложении результатов (неполных произведений).

1. Умножим 19 на 6 (единицы числа 46).
$9 \cdot 6 = 54$. Пишем 4 в разряд единиц, а 5 десятков запоминаем.
$1 \cdot 6 = 6$. Прибавляем 5, которые запомнили: $6 + 5 = 11$. Записываем 11.
Получаем первое неполное произведение: 114.

2. Умножим 19 на 4 (десятки числа 46).
Результат начинаем записывать под десятками.
$9 \cdot 4 = 36$. Пишем 6 под десятками, а 3 запоминаем.
$1 \cdot 4 = 4$. Прибавляем 3, которые запомнили: $4 + 3 = 7$. Записываем 7.
Получаем второе неполное произведение: 76 десятков, или 760.

3. Сложим неполные произведения: 114 и 760.
$114 + 760 = 874$.
Запись в столбик:
19
× 46
———
114
+ 76
———
874

Ответ: 874

27 · 35

Выполним умножение чисел 27 и 35 в столбик.

1. Умножим 27 на 5 (единицы числа 35).
$7 \cdot 5 = 35$. Пишем 5, а 3 запоминаем.
$2 \cdot 5 = 10$. Прибавляем 3, которые запомнили: $10 + 3 = 13$. Записываем 13.
Первое неполное произведение: 135.

2. Умножим 27 на 3 (десятки числа 35).
Результат записываем со сдвигом на один разряд влево (под десятками).
$7 \cdot 3 = 21$. Пишем 1, а 2 запоминаем.
$2 \cdot 3 = 6$. Прибавляем 2, которые запомнили: $6 + 2 = 8$. Записываем 8.
Второе неполное произведение: 81 десяток, или 810.

3. Сложим неполные произведения: 135 и 810.
$135 + 810 = 945$.
Запись в столбик:
27
× 35
———
135
+ 81
———
945

Ответ: 945

42 · 23

Выполним умножение чисел 42 и 23 в столбик.

1. Умножим 42 на 3 (единицы числа 23).
$2 \cdot 3 = 6$. Записываем 6.
$4 \cdot 3 = 12$. Записываем 12.
Первое неполное произведение: 126.

2. Умножим 42 на 2 (десятки числа 23).
Результат записываем, начиная с разряда десятков.
$2 \cdot 2 = 4$. Записываем 4.
$4 \cdot 2 = 8$. Записываем 8.
Второе неполное произведение: 84 десятка, или 840.

3. Сложим неполные произведения: 126 и 840.
$126 + 840 = 966$.
Запись в столбик:
42
× 23
———
126
+ 84
———
966

Ответ: 966

25 · 25

Выполним умножение чисел 25 и 25 в столбик.

1. Умножим 25 на 5 (единицы второго множителя).
$5 \cdot 5 = 25$. Пишем 5, а 2 запоминаем.
$2 \cdot 5 = 10$. Прибавляем 2, которые запомнили: $10 + 2 = 12$. Записываем 12.
Первое неполное произведение: 125.

2. Умножим 25 на 2 (десятки второго множителя).
Результат записываем со сдвигом на один разряд влево.
$5 \cdot 2 = 10$. Пишем 0, а 1 запоминаем.
$2 \cdot 2 = 4$. Прибавляем 1, который запомнили: $4 + 1 = 5$. Записываем 5.
Второе неполное произведение: 50 десятков, или 500.

3. Сложим неполные произведения: 125 и 500.
$125 + 500 = 625$.
Запись в столбик:
25
× 25
———
125
+ 50
———
625

Ответ: 625

2 Рабочий ежедневно изготавливает 28 деталей. Сколько деталей изготовит этот рабочий за 24 дня?

Для того чтобы найти общее количество деталей, которое рабочий изготовит за 24 дня, необходимо умножить количество деталей, изготавливаемых за один день, на общее количество дней.

Дано:

• Количество деталей в день: 28
• Количество дней: 24

Выполним умножение этих двух чисел, чтобы найти итоговое количество деталей.

$28 \times 24$

Рассчитаем произведение столбиком:

1. Умножим 28 на 4:

$28 \times 4 = 112$

2. Умножим 28 на 20 (или на 2 и сдвинем результат на один разряд влево):

$28 \times 20 = 560$

3. Сложим полученные результаты:

$112 + 560 = 672$

Таким образом, за 24 дня рабочий изготовит 672 детали.

Ответ: 672

3 В школе 32 класса, по 25 учащихся в каждом. Сколько всего учащихся в этой школе?

Чтобы найти общее количество учащихся в школе, необходимо умножить количество классов на количество учащихся в каждом классе.

Дано:
Количество классов = 32.
Количество учащихся в каждом классе = 25.

Выполним умножение:
$32 \times 25$

Для удобства вычислений можно представить число 25 как $100 / 4$:
$32 \times 25 = 32 \times \frac{100}{4} = \frac{32 \times 100}{4} = \frac{3200}{4} = 800$.

Таким образом, в школе всего 800 учащихся.

Ответ: 800 учащихся.

$725 \cdot (25800 : 200 - 4380 : 60) + 75300 : 300$

Для решения данного выражения необходимо соблюдать правильный порядок арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках (сначала деление, затем вычитание), затем умножение и деление слева направо, и в последнюю очередь — сложение.

1. Выполним первое действие в скобках — деление: $25 800 : 200$. Для удобства можно сократить нули: $258 : 2 = 129$.

2. Выполним второе действие в скобках — также деление: $4 380 : 60$. Сокращаем нули: $438 : 6 = 73$.

3. Теперь выполним вычитание в скобках, используя результаты предыдущих двух действий: $129 - 73 = 56$.

4. Следующим шагом будет умножение числа 725 на результат, полученный в скобках: $725 \cdot 56 = 40 600$.

5. Теперь выполним деление, стоящее после скобок: $75 300 : 300$. Сокращаем нули: $753 : 3 = 251$.

6. Последнее действие — сложение результатов четвертого и пятого шагов: $40 600 + 251 = 40 851$.

Таким образом, полная цепочка вычислений выглядит следующим образом:
$725 \cdot (25 800 : 200 - 4 380 : 60) + 75 300 : 300 = 725 \cdot (129 - 73) + 251 = 725 \cdot 56 + 251 = 40 600 + 251 = 40 851$.

Ответ: 40851.

27. Запиши выражения и вычисли их значения.

1) Сумму чисел 15 807 и 6 410 увеличить в 2 раза. $(15807 + 6410) \times 2$

2) Произведение чисел 305 и 24 уменьшить в 10 раз. $(305 \times 24) \div 10$

3) Частное чисел 912 и 38 умножить на разность чисел 1 560 и 1 460. $(912 \div 38) \times (1560 - 1460)$

1) Чтобы увеличить сумму чисел 15 807 и 6 410 в 2 раза, необходимо сначала найти их сумму, а затем полученный результат умножить на 2. Запишем соответствующее выражение:

$$(15 807 + 6 410) \cdot 2$$

Теперь выполним вычисления по действиям:

Первое действие — сложение в скобках: $15 807 + 6 410 = 22 217$.

Второе действие — умножение: $22 217 \cdot 2 = 44 434$.

Ответ: 44 434.

2) Чтобы уменьшить произведение чисел 305 и 24 в 10 раз, нужно сначала найти их произведение, а затем полученный результат разделить на 10. Запишем выражение:

$$(305 \cdot 24) : 10$$

Теперь выполним вычисления по действиям:

Первое действие — умножение в скобках: $305 \cdot 24 = 7 320$.

Второе действие — деление: $7 320 : 10 = 732$.

Ответ: 732.

3) Чтобы умножить частное чисел 912 и 38 на разность чисел 1 560 и 1 460, необходимо сначала найти частное и разность, а затем перемножить полученные результаты. Запишем выражение:

$$(912 : 38) \cdot (1 560 - 1 460)$$

Теперь выполним вычисления по действиям:

Первое действие — деление в первых скобках: $912 : 38 = 24$.

Второе действие — вычитание во вторых скобках: $1 560 - 1 460 = 100$.

Третье действие — умножение результатов: $24 \cdot 100 = 2 400$.

Ответ: 2 400.

28. Выполни вычисления.

$(164 + 1036) : 100 \cdot (980 : 4 - 176)$

$(1400 + 600 - 840 : 7 \cdot 5) : 100 \cdot 253$

(164 + 1 036) : 100 ⋅ (980 : 4 - 176)

Для решения данного примера необходимо соблюдать правильный порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, а затем умножение и деление в порядке их следования слева направо.

1. Выполним действие в первой скобке (сложение):
$164 + 1036 = 1200$

2. Теперь выполним действия во второй скобке. Сначала деление:
$980 : 4 = 245$

3. Затем вычитание в той же скобке:
$245 - 176 = 69$

4. Теперь у нас есть выражение: $1200 : 100 \cdot 69$. Выполним деление:
$1200 : 100 = 12$

5. И, наконец, выполним умножение:
$12 \cdot 69 = 828$

Ответ: 828

(1 400 + 600 - 840 : 7 ⋅ 5) : 100 ⋅ 253

Решим второй пример, также строго следуя порядку действий. Первым делом выполняются действия в скобках, где умножение и деление имеют приоритет над сложением и вычитанием.

1. Начнем с вычислений в скобках. Первым идет деление:
$840 : 7 = 120$

2. Затем умножение:
$120 \cdot 5 = 600$

3. Теперь выражение в скобках выглядит так: $1400 + 600 - 600$. Выполним сложение:
$1400 + 600 = 2000$

4. Затем вычитание:
$2000 - 600 = 1400$

5. Исходное выражение упростилось до $1400 : 100 \cdot 253$. Выполним деление:
$1400 : 100 = 14$

6. Завершающим действием будет умножение:
$14 \cdot 253 = 3542$

Ответ: 3542

$40 \text{ т } 7 \text{ кг}$ $4\,007 \text{ кг}$

$40 \text{ ц } 7 \text{ кг}$ $4\,007 \text{ кг}$

$40 \text{ м } 7 \text{ см}$ $407 \text{ см}$

$40 \text{ км } 7 \text{ м}$ $40\,007 \text{ м}$

$40 \text{ кг } 70 \text{ г}$ $4\,070 \text{ г}$

$40 \text{ м } 70 \text{ дм}$ $4\,070 \text{ дм}$

30. Вычисли значения выражений и запиши полученные результаты в порядке возрастания.

$10 050 + 106$ $10 050 - 106$ $10 050 + 1 006$

$10 050 - 160$ $10 050 + 160$ $10 050 - 1 006$

Можно ли записать выражения, не проводя вычислений, в порядке увеличения их значений?

Сначала вычислим значения каждого из предложенных выражений:

$10050 + 106 = 10156$

$10050 - 106 = 9944$

$10050 + 1006 = 11056$

$10050 - 160 = 9890$

$10050 + 160 = 10210$

$10050 - 1006 = 9044$

Теперь запишем полученные результаты в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):

9044, 9890, 9944, 10156, 10210, 11056.

Ответ: 9044, 9890, 9944, 10156, 10210, 11056.

Да, можно. Для этого не нужно проводить полные вычисления, достаточно проанализировать структуру выражений.

Во всех выражениях первое число одинаковое — $10050$. Значит, итоговое значение зависит только от операции (сложение или вычитание) и второго числа.

1. Выражения с вычитанием всегда дадут результат меньше, чем выражения со сложением, так как из одного и того же числа в одном случае вычитают, а в другом — прибавляют положительное число.

2. Сравним выражения с вычитанием: $10050 - 1006$, $10050 - 160$, $10050 - 106$. Чем большее число мы вычитаем, тем меньший результат получаем. Поскольку $1006 > 160 > 106$, то и значения выражений будут располагаться в обратном порядке: $10050 - 1006$ (самое маленькое), затем $10050 - 160$, затем $10050 - 106$.

3. Сравним выражения со сложением: $10050 + 106$, $10050 + 160$, $10050 + 1006$. Чем большее число мы прибавляем, тем больший результат получаем. Поскольку $106 < 160 < 1006$, то и значения выражений будут располагаться в том же порядке: $10050 + 106$, затем $10050 + 160$, затем $10050 + 1006$ (самое большое).

Объединив эти рассуждения, мы можем записать все выражения в порядке увеличения их значений:

$10050 - 1006, 10050 - 160, 10050 - 106, 10050 + 106, 10050 + 160, 10050 + 1006$.

Ответ: Да, можно. Порядок выражений будет следующим: $10050 - 1006$, $10050 - 160$, $10050 - 106$, $10050 + 106$, $10050 + 160$, $10050 + 1006$.

31. Докажи, что сумма площадей двух зелёных четырёхугольников равна сумме площадей двух жёлтых четырёхугольников.

Для доказательства утверждения вычислим площади зелёных и жёлтых четырёхугольников. Примем сторону одной клетки за 1 единицу длины.

Все четыре цветные фигуры являются трапециями, так как у каждой есть пара параллельных сторон. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины параллельных оснований, а $h$ — высота.

1. Вычислим сумму площадей зелёных четырёхугольников.

Верхний зелёный четырёхугольник (трапеция):

• Длины параллельных оснований: $a_1 = 8 - 2 = 6$ и $b_1 = 6 - 4 = 2$.
• Высота: $h_1 = 10 - 6 = 4$.
• Площадь: $S_{з1} = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = \frac{8}{2} \cdot 4 = 16$ кв. единиц.

Правый зелёный четырёхугольник (трапеция):

• Длины параллельных оснований: $a_2 = 8 - 2 = 6$ и $b_2 = 6 - 4 = 2$.
• Высота: $h_2 = 10 - 6 = 4$.
• Площадь: $S_{з2} = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = 16$ кв. единиц.

Сумма площадей зелёных фигур: $S_{зелёных} = S_{з1} + S_{з2} = 16 + 16 = 32$ кв. единицы.

2. Вычислим сумму площадей жёлтых четырёхугольников.

Нижний жёлтый четырёхугольник (трапеция):

• Длины параллельных оснований: $a_3 = 8 - 2 = 6$ и $b_3 = 6 - 4 = 2$.
• Высота: $h_3 = 4 - 0 = 4$.
• Площадь: $S_{ж1} = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = 16$ кв. единиц.

Левый жёлтый четырёхугольник (трапеция):

• Длины параллельных оснований: $a_4 = 8 - 2 = 6$ и $b_4 = 6 - 4 = 2$.
• Высота: $h_4 = 4 - 0 = 4$.
• Площадь: $S_{ж2} = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = 16$ кв. единиц.

Сумма площадей жёлтых фигур: $S_{жёлтых} = S_{ж1} + S_{ж2} = 16 + 16 = 32$ кв. единицы.

Сравнивая результаты, получаем: $S_{зелёных} = 32$ кв. единицы и $S_{жёлтых} = 32$ кв. единицы. Следовательно, их суммы равны.

Ответ: Сумма площадей двух зелёных четырёхугольников ($32$ кв. ед.) равна сумме площадей двух жёлтых четырёхугольников ($32$ кв. ед.), что и требовалось доказать.