Страница 71, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

3 Выполни умножение.

$27 \cdot 24$ $26 \cdot 28$ $25 \cdot 32$ $24 \cdot 36$

Догадайся, по какому правилу составлены произведения. Составь следующее произведение и вычисли его значение.

Выполни умножение.

$27 \cdot 24 = 648$

$26 \cdot 28 = 728$

$25 \cdot 32 = 800$

$24 \cdot 36 = 864$

Ответ: 648; 728; 800; 864.

Догадайся, по какому правилу составлены произведения.

Проанализируем, как изменяются множители от одного примера к другому:
Первый множитель последовательно уменьшается на 1: $27, 26, 25, 24, \dots$
Второй множитель последовательно увеличивается на 4: $24, 28, 32, 36, \dots$

Ответ: В каждом следующем произведении первый множитель уменьшается на 1, а второй множитель увеличивается на 4.

Составь следующее произведение и вычисли его значение.

Используя найденное правило, определим следующее произведение в ряду. Последний пример в списке $24 \cdot 36$.
Уменьшаем первый множитель на 1: $24 - 1 = 23$.
Увеличиваем второй множитель на 4: $36 + 4 = 40$.
Получаем следующее произведение: $23 \cdot 40$.
Вычисляем его значение: $23 \cdot 40 = 920$.

Ответ: $23 \cdot 40 = 920$.

4 За 2 ч самолёт пролетел 600 км. Сколько километров пролетит этот самолёт за 3 ч?

Реши задачу двумя способами.

1 способ (через нахождение скорости)

1. Сначала найдём скорость самолёта. Для этого нужно разделить расстояние, которое он пролетел, на время, которое он был в пути. Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = S / t$, где $S$ – расстояние, а $t$ – время.
$v = 600 \text{ км} / 2 \text{ ч} = 300 \text{ км/ч}$

2. Теперь, зная, что скорость самолёта составляет 300 км/ч, мы можем найти расстояние, которое он пролетит за 3 часа. Для этого умножим скорость на новое время.
$S = v \cdot t$
$S = 300 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 900 \text{ км}$

Ответ: 900 км.

2 способ (приведение к единице)

1. Сначала найдём, какое расстояние самолёт пролетает за 1 час. Если за 2 часа он пролетает 600 км, то за 1 час он пролетит в два раза меньше.
$600 \text{ км} \div 2 = 300 \text{ км}$

2. Теперь мы знаем, что самолёт пролетает 300 км за 1 час. Чтобы найти, какое расстояние он пролетит за 3 часа, нужно расстояние за 1 час умножить на 3.
$300 \text{ км} \cdot 3 = 900 \text{ км}$

Ответ: 900 км.

5 Выполни действия.

$1000 - 39 \cdot 25 - 25$

$(480 + 256) : 4 \cdot 5 - 632 : 4$

$567 : 9 \cdot 12 + 144$

$124 \cdot 7 - (1000 - 199) : 9 \cdot 8$

1 000 - 39 · 25 - 25
Решим пример, соблюдая порядок выполнения арифметических операций: сначала умножение, затем вычитание слева направо.
1. Первым действием выполним умножение.
$39 \cdot 25 = 975$
2. Теперь выражение выглядит так: $1000 - 975 - 25$. Выполним первое вычитание.
$1000 - 975 = 25$
3. Выполним второе вычитание.
$25 - 25 = 0$
Ответ: 0

567 : 9 · 12 + 144
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняем деление и умножение слева направо, а затем сложение.
1. Выполним деление.
$567 : 9 = 63$
2. Полученный результат умножим на 12.
$63 \cdot 12 = 756$
3. К полученному результату прибавим 144.
$756 + 144 = 900$
Ответ: 900

(480 + 256) : 4 · 5 - 632 : 4
Порядок действий: сначала выполняем действие в скобках, затем деление и умножение слева направо, и в конце — вычитание.
1. Выполним сложение в скобках.
$480 + 256 = 736$
2. Теперь выражение выглядит так: $736 : 4 \cdot 5 - 632 : 4$. Выполним первое деление.
$736 : 4 = 184$
3. Результат умножим на 5.
$184 \cdot 5 = 920$
4. Выполним второе деление.
$632 : 4 = 158$
5. Выполним вычитание.
$920 - 158 = 762$
Ответ: 762

124 · 7 - (1 000 - 199) : 9 · 8
Порядок действий: сначала вычисление в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце — вычитание.
1. Выполним вычитание в скобках.
$1000 - 199 = 801$
2. Выражение принимает вид: $124 \cdot 7 - 801 : 9 \cdot 8$. Выполним первое умножение.
$124 \cdot 7 = 868$
3. Выполним деление.
$801 : 9 = 89$
4. Результат деления умножим на 8.
$89 \cdot 8 = 712$
5. Теперь выражение выглядит так: $868 - 712$. Выполним вычитание.
$868 - 712 = 156$
Ответ: 156

6 Мебельная мастерская получила заказ на изготовление 288 шкафов и должна была выпускать по 6 шкафов в день. На сколько дней раньше срока мастерская выполнила этот заказ, если она изготавливала по 8 шкафов в день?

$(288 \div 6) - (288 \div 8)$

Для того чтобы узнать, на сколько дней раньше срока мастерская выполнила заказ, нужно сначала определить плановый и фактический сроки выполнения заказа, а затем найти их разницу.

1. Найдем плановый срок выполнения заказа. Мастерская должна была изготовить 288 шкафов, выпуская по 6 шкафов в день. Чтобы найти количество дней, разделим общее количество шкафов на дневную норму:

$288 \div 6 = 48$ (дней) – столько дней потребовалось бы по плану.

2. Теперь найдем фактический срок выполнения заказа. Мастерская изготавливала по 8 шкафов в день. Чтобы найти количество дней, разделим общее количество шкафов на фактическую производительность:

$288 \div 8 = 36$ (дней) – столько дней потребовалось на самом деле.

3. Чтобы найти, на сколько дней раньше был выполнен заказ, вычтем из планового срока фактический:

$48 - 36 = 12$ (дней).

Ответ: мастерская выполнила этот заказ на 12 дней раньше срока.

7 Найди длины сторон равностороннего треугольника, периметр которого равен периметру данной фигуры.

Выполни измерения и реши задачу.

Чтобы найти длины сторон равностороннего треугольника, необходимо сначала вычислить периметр фигуры, изображенной на рисунке. По условию, периметр треугольника равен периметру данной фигуры.

Вычисление периметра фигуры

Сначала нужно измерить все стороны многоугольника ABCDKN. Допустим, измерения с помощью линейки дали следующие значения:

AB = 3 см, BC = 9 см, CD = 1,5 см, DK = 2 см, KN = 1,5 см, NA = 7 см.

Периметр фигуры ($P_{фигуры}$) равен сумме длин всех её сторон:

$P_{фигуры} = AB + BC + CD + DK + KN + NA = 3 + 9 + 1,5 + 2 + 1,5 + 7 = 24 \text{ см}$.

Можно проверить расчет другим способом. Периметр данной фигуры равен периметру описывающего ее прямоугольника со сторонами, равными AB и BC. Это верно, так как сумма длин горизонтальных отрезков в нижней части ($NA+DK$) равна длине верхней стороны BC ($7+2=9 \text{ см}$), а сумма длин вертикальных отрезков справа ($CD+KN$) равна длине левой стороны AB ($1,5+1,5=3 \text{ см}$).

Периметр прямоугольника: $P = 2 \times (AB + BC) = 2 \times (3 + 9) = 2 \times 12 = 24 \text{ см}$.

Итак, периметр фигуры равен 24 см.

Нахождение длины стороны равностороннего треугольника

Периметр равностороннего треугольника ($P_{треуг.}$) равен периметру фигуры, следовательно, $P_{треуг.} = 24 \text{ см}$.

Равносторонний треугольник имеет 3 стороны одинаковой длины. Обозначим длину стороны буквой $a$. Тогда его периметр вычисляется по формуле $P_{треуг.} = 3 \times a$.

Чтобы найти длину стороны, нужно периметр разделить на количество сторон, то есть на 3:

$a = P_{треуг.} \div 3 = 24 \div 3 = 8 \text{ см}$.

Ответ: длины сторон равностороннего треугольника равны 8 см.

8 Вычисли способом округления.

$57 + 19$

$81 - 46$

$163 + 99$

$354 - 98$

$148 + 319 + 227 + 188$

$960 - 399 - 201 - 159$

57 + 19
Чтобы упростить вычисление, округлим слагаемое 19 до 20, прибавив к нему 1. Затем, чтобы компенсировать это изменение, мы вычтем 1 из полученной суммы.
$57 + 19 = 57 + (20 - 1) = (57 + 20) - 1 = 77 - 1 = 76$
Ответ: 76

81 - 46
Округлим вычитаемое 46 до 50, прибавив 4. Так как мы вычитаем число, которое на 4 больше исходного, то к результату необходимо будет прибавить 4 для компенсации.
$81 - 46 = 81 - (50 - 4) = 81 - 50 + 4 = 31 + 4 = 35$
Ответ: 35

163 + 99
Округлим слагаемое 99 до 100, прибавив 1. Затем вычтем эту единицу из полученной суммы, чтобы результат был верным.
$163 + 99 = 163 + (100 - 1) = (163 + 100) - 1 = 263 - 1 = 262$
Ответ: 262

354 - 98
Округлим вычитаемое 98 до 100, прибавив 2. Поскольку мы вычитаем число на 2 больше, чем исходное, к результату нужно прибавить 2.
$354 - 98 = 354 - (100 - 2) = 354 - 100 + 2 = 254 + 2 = 256$
Ответ: 256

148 + 319 + 227 + 188
Округлим каждое слагаемое до ближайшего круглого числа: 148 до 150 (прибавили 2), 319 до 320 (прибавили 1), 227 до 230 (прибавили 3) и 188 до 190 (прибавили 2). Сложим полученные числа, а затем из результата вычтем сумму всех добавок.
$148 + 319 + 227 + 188 = (150 - 2) + (320 - 1) + (230 - 3) + (190 - 2)$
$ = (150 + 320 + 230 + 190) - (2 + 1 + 3 + 2) = 890 - 8 = 882$
Ответ: 882

960 - 399 - 201 - 159
Округлим каждое вычитаемое до удобного числа, а затем скорректируем результат. 399 округляем до 400 (добавили 1), 201 до 200 (вычли 1), 159 до 160 (добавили 1).
$960 - 399 - 201 - 159 = 960 - (400 - 1) - (200 + 1) - (160 - 1)$
Раскроем скобки: $960 - 400 + 1 - 200 - 1 - 160 + 1$
Сгруппируем числа: $(960 - 400 - 200 - 160) + (1 - 1 + 1) = 200 + 1 = 201$
Ответ: 201

9 За 1 ч человек прошёл 5 км. За сколько минут человек пройдёт 3 км с той же скоростью?

Для решения этой задачи можно использовать метод пропорции. Сначала переведем время из часов в минуты, так как ответ требуется дать в минутах.

1 час = 60 минут.

Из условия мы знаем, что человек проходит 5 км за 60 минут. Нам нужно узнать, за какое время ($x$ минут) он пройдет 3 км с той же скоростью. Составим пропорцию:

5 км — 60 минут

3 км — $x$ минут

Запишем отношение расстояний и времен в виде уравнения:

$\frac{5}{3} = \frac{60}{x}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5 \cdot x = 3 \cdot 60$

$5x = 180$

Найдем $x$, разделив 180 на 5:

$x = \frac{180}{5}$

$x = 36$

Следовательно, 3 км человек пройдет за 36 минут.

Ответ: 36 минут.

1 Какой сегодня день недели?

1

Чтобы определить текущий день недели, необходимо обратиться к календарю. На момент генерации этого ответа, согласно данным о текущей дате, сегодня — пятница.

Ответ: пятница.

2 Сколько полных недель будет в сентябре этого года? А сколько в октябре? Сколько в среднем недель в одном месяце?

Сколько полных недель будет в сентябре этого года?
В сентябре 30 дней. В одной неделе 7 дней. Чтобы найти количество полных недель, нужно общее количество дней в месяце разделить на количество дней в неделе и взять целую часть от деления.
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2).
Это значит, что в сентябре 4 полные недели и еще 2 дня.
Ответ: 4 полные недели.

А сколько в октябре?
В октябре 31 день. Проводим аналогичное вычисление.
$31 \div 7 = 4$ (остаток 3).
Это значит, что в октябре 4 полные недели и еще 3 дня.
Ответ: 4 полные недели.

Сколько в среднем недель в одном месяце?
Чтобы найти среднее количество недель в месяце, нужно разделить среднее количество дней в месяце на 7 (количество дней в неделе). Среднее количество дней в месяце можно найти, разделив общее количество дней в году на 12 (количество месяцев).
Возьмем для расчета невисокосный год, в котором 365 дней.
Среднее количество дней в месяце: $365 \div 12 \approx 30.42$ дня.
Среднее количество недель в месяце: $\frac{365 \text{ дней}}{12 \text{ месяцев} \times 7 \text{ дней/неделя}} = \frac{365}{84} \approx 4.345$ недели.
Обычно для простоты расчетов это значение округляют.
Ответ: В среднем в одном месяце примерно 4,35 недели.

3 Какие дни в феврале нынешнего года являются воскресными? На какие числа в мае этого года приходится среда?

Какие дни в феврале нынешнего года являются воскресными?

Чтобы определить, какие дни в феврале нынешнего года являются воскресными, нам нужно знать текущий год и календарь на этот месяц. Нынешний год — 2024. Этот год является високосным, поэтому в феврале 29 дней.

1 февраля 2024 года был четверг. Исходя из этого, найдем первое воскресенье месяца:

• 1 февраля — четверг
• 2 февраля — пятница
• 3 февраля — суббота
• 4 февраля — воскресенье

Первое воскресенье февраля — 4-е число. Чтобы найти остальные воскресные дни, нужно последовательно прибавлять 7 дней к найденной дате:

• Второе воскресенье: $4 + 7 = 11$ февраля
• Третье воскресенье: $11 + 7 = 18$ февраля
• Четвертое воскресенье: $18 + 7 = 25$ февраля

Следующее воскресенье ($25 + 7 = 32$) будет уже в марте.

Ответ: В феврале 2024 года воскресными днями являются 4, 11, 18 и 25 числа.

На какие числа в мае этого года приходится среда?

Чтобы определить, на какие числа в мае 2024 года приходится среда, мы также воспользуемся календарем. В мае 31 день.

1 мая 2024 года была среда. Это первая среда месяца. Все последующие среды в мае можно найти, прибавляя по 7 дней:

• Вторая среда: $1 + 7 = 8$ мая
• Третья среда: $8 + 7 = 15$ мая
• Четвертая среда: $15 + 7 = 22$ мая
• Пятая среда: $22 + 7 = 29$ мая

Следующая среда ($29 + 7 = 36$) будет уже в июне.

Ответ: В мае 2024 года среда приходится на 1, 8, 15, 22 и 29 числа.

4 Сколько всего будет полных недель и сколько отдельных дней составляют зимние каникулы? Сколько всего полных недель в одном квартале? в одном году?

Сколько всего будет полных недель и сколько отдельных дней составляют зимние каникулы?

Продолжительность зимних каникул может быть разной, но обычно она составляет от 10 до 14 дней. Для примера возьмем стандартную продолжительность в 10 дней.

В одной неделе 7 дней. Чтобы найти количество полных недель и оставшихся дней, нужно разделить общее количество дней каникул на 7 (выполнить деление с остатком).

Расчет: $10 \div 7 = 1$ (остаток $3$)

Это означает, что зимние каникулы продолжительностью 10 дней состоят из 1 полной недели и 3 отдельных дней.

Ответ: Если зимние каникулы длятся 10 дней, то они составляют 1 полную неделю и 3 отдельных дня.

Сколько всего полных недель в одном квартале?

Квартал — это четверть года, или 3 месяца. Количество дней в квартале может меняться в зависимости от того, какие месяцы в него входят, и является ли год високосным.

Продолжительность кварталов по дням:
- Первый квартал (январь, февраль, март): $31 + 28/29 + 31 = 90$ или $91$ день.
- Второй квартал (апрель, май, июнь): $30 + 31 + 30 = 91$ день.
- Третий квартал (июль, август, сентябрь): $31 + 31 + 30 = 92$ дня.
- Четвертый квартал (октябрь, ноябрь, декабрь): $31 + 30 + 31 = 92$ дня.

Теперь рассчитаем количество полных недель для каждого варианта, разделив количество дней на 7:
- Для 90 дней: $90 \div 7 = 12$ (остаток $6$). Итог: 12 полных недель.
- Для 91 дня: $91 \div 7 = 13$ (остаток $0$). Итог: 13 полных недель.
- Для 92 дней: $92 \div 7 = 13$ (остаток $1$). Итог: 13 полных недель.

Таким образом, в одном квартале может быть 12 или 13 полных недель.

Ответ: В одном квартале 12 или 13 полных недель.

Сколько всего полных недель в одном году?

В обычном (невисокосном) году 365 дней, а в високосном — 366 дней. Найдем количество полных недель для обоих случаев.

Расчет для обычного года (365 дней):
Разделим количество дней в году на количество дней в неделе: $365 \div 7 = 52$ (остаток $1$).
Получается 52 полные недели и 1 день.

Расчет для високосного года (366 дней):
Разделим количество дней в году на количество дней в неделе: $366 \div 7 = 52$ (остаток $2$).
Получается 52 полные недели и 2 дня.

В обоих случаях количество именно полных недель равно 52.

Ответ: В одном году 52 полные недели.

5 Выполни действия.

$720 \cdot 9 - 385 \div 5 \cdot (1029 - 980)$

$371 \cdot 50 - 8 \cdot (42 \cdot 100 - 616 \cdot 4)$

$(811 + 4189) \div 1000 \cdot 317 - 600$

$(95 \cdot 63 - 94 \cdot 56 + 279) \div 1000$

$3100 \div (67 \cdot 28 - 592 \cdot 3) + 2599$

$(53040 - 52584) \cdot 90 + 58960$

720 · 9 – 385 : 5 · (1 029 – 980)
Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо).
1) $1\ 029 - 980 = 49$
2) $720 \cdot 9 = 6\ 480$
3) $385 : 5 = 77$
4) $77 \cdot 49 = 3\ 773$
5) $6\ 480 - 3\ 773 = 2\ 707$
Ответ: 2707

(811 + 4 189) : 1 000 · 317 – 600
1) $811 + 4\ 189 = 5\ 000$
2) $5\ 000 : 1\ 000 = 5$
3) $5 \cdot 317 = 1\ 585$
4) $1\ 585 - 600 = 985$
Ответ: 985

3 100 : (67 · 28 – 592 · 3) + 2 599
1) Сначала действия в скобках. Первым идет умножение:
$67 \cdot 28 = 1\ 876$
$592 \cdot 3 = 1\ 776$
2) Теперь вычитание в скобках:
$1\ 876 - 1\ 776 = 100$
3) Выполняем деление:
$3\ 100 : 100 = 31$
4) Выполняем сложение:
$31 + 2\ 599 = 2\ 630$
Ответ: 2630

371 · 50 – 8 · (42 · 100 – 616 · 4)
1) Вычисляем выражение в скобках:
$42 \cdot 100 = 4\ 200$
$616 \cdot 4 = 2\ 464$
$4\ 200 - 2\ 464 = 1\ 736$
2) Выполняем умножения слева направо:
$371 \cdot 50 = 18\ 550$
$8 \cdot 1\ 736 = 13\ 888$
3) Выполняем вычитание:
$18\ 550 - 13\ 888 = 4\ 662$
Ответ: 4662

(95 · 63 – 94 · 56 + 279) : 1 000
1) Вычисляем выражение в скобках:
$95 \cdot 63 = 5\ 985$
$94 \cdot 56 = 5\ 264$
$5\ 985 - 5\ 264 = 721$
$721 + 279 = 1\ 000$
2) Выполняем деление:
$1\ 000 : 1\ 000 = 1$
Ответ: 1

(53 040 – 52 584) · 90 + 58 960
1) Выполняем вычитание в скобках:
$53\ 040 - 52\ 584 = 456$
2) Выполняем умножение:
$456 \cdot 90 = 41\ 040$
3) Выполняем сложение:
$41\ 040 + 58\ 960 = 100\ 000$
Ответ: 100000

6 С поля вывозили зерно на 10 машинах. Каждая машина делала по 12 рейсов в день и вывозила по 5 т зерна за один рейс. Сколько тонн зерна вывезли эти машины за 7 дней?

Для решения этой задачи нужно выполнить три последовательных действия.

1. Узнаем, сколько тонн зерна вывозила одна машина за один день.

Из условия известно, что каждая машина делала по 12 рейсов в день, а за один рейс вывозила 5 тонн зерна. Чтобы найти, сколько зерна вывозила одна машина за день, нужно умножить количество рейсов на массу зерна за один рейс.

$12 \times 5 = 60$

Получается, что одна машина за день вывозила 60 тонн зерна.

2. Узнаем, сколько тонн зерна вывозили все 10 машин за один день.

Всего работало 10 машин. Чтобы найти, сколько зерна они вывозили вместе за один день, нужно производительность одной машины умножить на количество машин.

$60 \times 10 = 600$

Таким образом, все 10 машин за один день вывозили 600 тонн зерна.

3. Узнаем, сколько тонн зерна вывезли все машины за 7 дней.

Машины работали 7 дней. Чтобы найти общее количество вывезенного зерна, нужно дневную производительность всех машин умножить на количество дней.

$600 \times 7 = 4200$

Эту задачу можно также решить одним выражением, перемножив все числовые данные из условия:

$10 \times 12 \times 5 \times 7 = 4200$

Ответ: за 7 дней эти машины вывезли 4200 тонн зерна.

7 Который сейчас час, если прошедшая часть суток в 5 раз меньше оставшейся части?

Для решения задачи обозначим прошедшую часть суток за $x$ часов. Тогда это и будет текущее время.

Всего в сутках 24 часа. Следовательно, оставшаяся часть суток составляет $(24 - x)$ часов.

По условию задачи, прошедшая часть суток ($x$) в 5 раз меньше оставшейся части ($(24 - x)$). Это значит, что если мы умножим прошедшую часть на 5, то получим оставшуюся. Составим и решим уравнение:

$5 \cdot x = 24 - x$

Перенесем $x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$5x + x = 24$

$6x = 24$

Найдем $x$:

$x = \frac{24}{6}$

$x = 4$

Таким образом, с начала суток прошло 4 часа. Проверим: прошедшая часть — 4 часа, оставшаяся — $24 - 4 = 20$ часов. $20 / 4 = 5$, что соответствует условию.

Ответ: Сейчас 4 часа утра (04:00).