Номер 9, страница 37, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

9 На столе лежит 10 пронумерованных мешочков, в каждом из которых лежит 10 золотых монет. В одном из мешочков все монеты фальшивые. Масса настоящей монеты равна $10 \text{ г}$, а масса фальшивой — $9 \text{ г}$. Как с помощью весов со шкалой в граммах определить, в каком из мешочков находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? (Весы могут взвешивать груз, масса которого не более $750 \text{ г}$.)

Для того чтобы определить мешочек с фальшивыми монетами за одно взвешивание, необходимо применить метод, который позволит по итоговой массе однозначно идентифицировать источник фальшивых монет. Алгоритм действий следующий:

1. Пронумеруем мешочки от 1 до 10 (как они и пронумерованы на рисунке).
2. Возьмем из мешочка №1 одну монету, из мешочка №2 — две монеты, из мешочка №3 — три монеты, и так далее, до мешочка №10, из которого возьмем десять монет.
3. Положим все отобранные монеты на весы и проведем взвешивание.

Далее проведем расчеты, чтобы понять, как интерпретировать результат взвешивания.

Сначала найдем общее количество монет, которые мы будем взвешивать. Это сумма чисел от 1 до 10:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$ монет.

Теперь рассчитаем, какой была бы общая масса, если бы все монеты были настоящими. Масса одной настоящей монеты — 10 г.
$55 \text{ монет} \times 10 \text{ г} = 550 \text{ г}$.

Эта масса (550 г) меньше максимальной грузоподъемности весов (750 г), следовательно, такое взвешивание провести возможно.

По условию, в одном из мешочков находятся фальшивые монеты, масса каждой из которых 9 г. Это значит, что каждая фальшивая монета на 1 грамм легче настоящей ($10 \text{ г} - 9 \text{ г} = 1 \text{ г}$).

Из-за наличия фальшивых монет итоговый вес на весах будет меньше 550 г. Величина этой "недостачи" веса в граммах будет в точности равна количеству фальшивых монет на весах. А поскольку мы взяли из каждого мешочка уникальное количество монет (равное его номеру), то количество фальшивых монет укажет нам на номер мешочка, из которого они были взяты.

Например:

• Если фальшивые монеты находятся в мешочке №1, то на весах окажется 1 фальшивая монета. Общий вес будет на 1 г меньше эталонного: $550 \text{ г} - 1 \text{ г} = 549 \text{ г}$.
• Если фальшивые монеты находятся в мешочке №2, то на весах окажется 2 фальшивые монеты. Общий вес будет на 2 г меньше эталонного: $550 \text{ г} - 2 \text{ г} = 548 \text{ г}$.
• И так далее, до последнего случая.
• Если фальшивые монеты находятся в мешочке №10, то на весах окажется 10 фальшивых монет. Общий вес будет на 10 г меньше эталонного: $550 \text{ г} - 10 \text{ г} = 540 \text{ г}$.

Таким образом, номер мешочка с фальшивыми монетами $N$ можно вычислить по формуле: $N = 550 - M$, где $M$ — это масса, которую показали весы.

Ответ: Нужно взять из мешочка №1 — 1 монету, из мешочка №2 — 2 монеты, и так далее до мешочка №10, из которого взять 10 монет. Затем взвесить все эти монеты вместе. Номер мешочка с фальшивыми монетами будет равен разнице между 550 г и показанием весов в граммах.