Номер 10, страница 81, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

10 Расшифруй ребус. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.)

$\begin{array}{rl} & \text{ПРИМЕР} \\+ & \text{\hphantom{ПП}РИМЕР} \\\cline{2-2} & \text{\hphantom{ППП}ИМЕР} \\ & \text{\hphantom{ПППП}МЕР} \\ & \text{\hphantom{ППППП}ЕР} \\ & \text{\hphantom{ПППППП}Р} \\\cline{2-2} & \text{ЗАДАЧА}\end{array}$

Данный ребус представляет собой задачу на сложение в столбик, где каждая буква заменяет одну уникальную цифру от 0 до 9. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные. Запишем его в виде уравнений для каждого разряда.

 П Р И М Е Р+ Р И М Е Р И М Е Р М Е Р Е Р Р----------------- З А Д А Ч А 

В самом правом столбце (разряд единиц) шесть раз складывается цифра Р. Результат оканчивается на цифру А. Обозначим $C_1$ как перенос в следующий разряд (десятки).

$6 \cdot Р = А + 10 \cdot C_1$

Так как Р и А — это разные цифры, и Р не может быть нулём (поскольку 'Р' является первой цифрой в числе 'РИМЕР'), мы можем перебрать возможные значения для Р:

• Р=1: $6 \cdot 1 = 6 \implies А=6, C_1=0$
• Р=2: $6 \cdot 2 = 12 \implies А=2$ (не подходит, т.к. Р=А)
• Р=3: $6 \cdot 3 = 18 \implies А=8, C_1=1$
• Р=4: $6 \cdot 4 = 24 \implies А=4$ (не подходит, т.к. Р=А)
• Р=5: $6 \cdot 5 = 30 \implies А=0, C_1=3$
• Р=6: $6 \cdot 6 = 36 \implies А=6$ (не подходит, т.к. Р=А)
• Р=7: $6 \cdot 7 = 42 \implies А=2, C_1=4$
• Р=8: $6 \cdot 8 = 48 \implies А=8$ (не подходит, т.к. Р=А)
• Р=9: $6 \cdot 9 = 54 \implies А=4, C_1=5$

Таким образом, существует 5 возможных пар (Р, А): (1, 6), (3, 8), (5, 0), (7, 2), (9, 4).

Рассмотрим пятый столбец справа (разряд десятков тысяч). Сумма здесь равна $Р + Р + C_4 = А + 10 \cdot C_5$, где $C_4$ — перенос из разряда тысяч, а $C_5$ — перенос в разряд сотен тысяч. В последнем разряде имеем $П + C_5 = З$. Так как П и З — разные цифры, перенос $C_5$ не может быть равен нулю.

Теперь объединим уравнения из двух разрядов. Из первого шага мы знаем, что $А = 6 \cdot Р - 10 \cdot C_1$. Подставим это выражение для А в уравнение для десятков тысяч:

$2 \cdot Р + C_4 = (6 \cdot Р - 10 \cdot C_1) + 10 \cdot C_5$

Упростив, получаем ключевое соотношение:

$10 \cdot C_1 + C_4 = 4 \cdot Р + 10 \cdot C_5$

Проверим 5 найденных пар (Р, А) с помощью полученного уравнения. Учтем, что максимальный перенос из разряда тысяч $C_4$ маловероятен быть большим 2.

• (Р=1, А=6), $C_1=0$: $10 \cdot 0 + C_4 = 4 \cdot 1 + 10 \cdot C_5 \implies C_4 = 4 + 10 \cdot C_5$. Невозможно, так как $C_4$ не может быть больше 3.
• (Р=3, А=8), $C_1=1$: $10 \cdot 1 + C_4 = 4 \cdot 3 + 10 \cdot C_5 \implies C_4 - 2 = 10 \cdot C_5$. Единственное решение — $C_4=2$ и $C_5=0$, но мы знаем, что $C_5 \ne 0$.
• (Р=5, А=0), $C_1=3$: $10 \cdot 3 + C_4 = 4 \cdot 5 + 10 \cdot C_5 \implies 10 + C_4 = 10 \cdot C_5$. Единственное решение — $C_4=0$ и $C_5=1$. Этот вариант подходит.
• (Р=7, А=2), $C_1=4$: $10 \cdot 4 + C_4 = 4 \cdot 7 + 10 \cdot C_5 \implies 12 + C_4 = 10 \cdot C_5$. Невозможно, так как $12+C_4$ не кратно 10.
• (Р=9, А=4), $C_1=5$: $10 \cdot 5 + C_4 = 4 \cdot 9 + 10 \cdot C_5 \implies 14 + C_4 = 10 \cdot C_5$. Невозможно.

Итак, мы однозначно определили: $Р=5, А=0, C_1=3, C_4=0, C_5=1$.

У нас есть: Р=5, А=0. Использованы цифры {0, 5}. Переносы $C_1=3, C_4=0, C_5=1$. Рассмотрим оставшиеся разряды:

• Разряд десятков: $5 \cdot Е + C_1 = Ч + 10 \cdot C_2 \implies 5 \cdot Е + 3 = Ч + 10 \cdot C_2$.
• Разряд сотен: $4 \cdot М + C_2 = А + 10 \cdot C_3 \implies 4 \cdot М + C_2 = 10 \cdot C_3$. Это значит, что $4 \cdot М + C_2$ должно оканчиваться на 0.

Из второго условия следует, что $4 \cdot М$ должно оканчиваться на $10-C_2$. Перебрав возможные $C_2$, находим, что при $C_2=2$, $4 \cdot М$ должно оканчиваться на 8. Это верно для $М=2$ или $М=7$. Проверка показывает, что только вариант $М=7$ приводит к решению. При $М=7, C_2=2$ получаем $4 \cdot 7 + 2 = 30$, то есть $C_3=3$. Теперь подставим $C_2=2$ в уравнение для десятков: $5 \cdot Е + 3 = Ч + 20$. Перебирая свободные цифры для Е, находим, что подходит $Е=4$. Тогда $5 \cdot 4 + 3 = 23$, откуда $Ч=3$. На этом этапе найдены: Р=5, А=0, М=7, Е=4, Ч=3. Использованы {0, 3, 4, 5, 7}.

Далее, разряд тысяч: $3 \cdot И + C_3 = Д + 10 \cdot C_4$. Подставляем $C_3=3, C_4=0$: $3 \cdot И + 3 = Д$. Перебирая свободные цифры для И {1, 2, 6, 8, 9}, находим, что только $И=1$ дает свободную цифру для Д: $Д = 3 \cdot 1 + 3 = 6$. Найдено: И=1, Д=6. Использованы {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7}.

Наконец, разряд сотен тысяч: $П + C_5 = З$. Подставляем $C_5=1$: $П + 1 = З$. Из оставшихся свободных цифр {2, 8, 9} единственная пара, удовлетворяющая условию — это $П=8, З=9$.

Мы получили полное решение: П=8, Р=5, И=1, М=7, Е=4, А=0, Д=6, Ч=3, З=9. Подставим эти значения в ребус и проверим сложение:

 851745 + 51745 1745 745 45 5----------------- 906030 

Результат 906030 соответствует слову ЗАДАЧА (З=9, А=0, Д=6, А=0, Ч=3, А=0). Все цифры уникальны, условия выполнены.

Ответ: ПРИМЕР + РИМЕР + ИМЕР + МЕР + ЕР + Р = ЗАДАЧА расшифровывается как 851745 + 51745 + 1745 + 745 + 45 + 5 = 906030.