Номер 2, страница 81, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

2 На модели шара, например на теннисном мяче, попробуй нарисовать окружность. Можно ли нарисовать на шаре прямую? треугольник? квадрат?

Окружность
Да, на шаре можно нарисовать окружность. В геометрии окружность на поверхности сферы определяется как сечение сферы плоскостью. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то в сечении получается так называемый большой круг (или ортодрома). Примером больших кругов на глобусе являются экватор и меридианы. Если плоскость не проходит через центр шара, то в сечении образуется малый круг (или локсодрома). Примером малых кругов являются параллели (кроме экватора). Таким образом, взяв теннисный мяч и обведя его по контуру, приложив, например, стакан, мы получим наглядное изображение окружности на сфере.
Ответ: да, можно.

Прямая
Нарисовать прямую в евклидовом смысле (то есть линию, которая не искривляется в пространстве) на поверхности шара невозможно. Поверхность шара искривлена, и любая линия, проведенная на этой поверхности, будет также искривлена. Если приложить линейку к мячу, она коснется его только в одной или двух точках, но не ляжет на поверхность целиком.
Аналогом прямой на сфере является геодезическая линия — кратчайший путь между двумя точками на поверхности. Для сферы геодезическими линиями являются дуги больших кругов. Хотя это кратчайший путь на поверхности, в трехмерном пространстве эта линия является дугой, а не прямой.
Ответ: нет, нельзя.

Треугольник
Да, на шаре можно нарисовать треугольник. Такой треугольник называется сферическим треугольником. Его стороны — это не прямые отрезки, а дуги больших кругов (геодезических линий).
Сферические треугольники обладают свойствами, отличными от треугольников на плоскости. Главное отличие заключается в сумме углов. Если в евклидовой геометрии сумма углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$, то в сферической геометрии сумма углов треугольника всегда больше $180^\circ$. Она может достигать почти $540^\circ$. Например, можно построить треугольник с тремя прямыми углами (сумма $270^\circ$). Для этого нужно взять две точки на экваторе, долгота которых отличается на $90^\circ$, и соединить их с Северным полюсом.
Ответ: да, можно (он будет называться сферическим треугольником).

Квадрат
Нарисовать на шаре квадрат, каким мы его знаем в евклидовой геометрии (четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами), невозможно.
Это связано с особенностями сферической геометрии. Согласно теореме Гаусса-Бонне, сумма углов сферического четырехугольника всегда больше $360^\circ$. Формула для суммы углов выпуклого сферического многоугольника: $S = (n-2)\cdot180^\circ + E$, где $n$ — число вершин, а $E$ — сферический избыток, пропорциональный площади многоугольника. Для четырехугольника ($n=4$) сумма углов равна $360^\circ + E$.
Если бы мы попытались нарисовать квадрат с четырьмя прямыми углами, их сумма была бы ровно $360^\circ$. Это означало бы, что сферический избыток $E$ равен нулю, а значит, и площадь такого четырехугольника должна быть равна нулю. Фигура с нулевой площадью является вырожденной (просто точка), а не квадратом. Следовательно, невырожденный четырехугольник на сфере не может иметь сумму углов, равную $360^\circ$.
Можно нарисовать сферический четырехугольник с равными сторонами (сферический ромб) или с равными углами (сферический прямоугольник), но у ромба углы не будут прямыми, а у прямоугольника стороны не будут равны.
Ответ: нет, нельзя.