Номер 9, страница 88, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

9 Расшифруй ребус. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.)

$ \text{ОДИН} + \text{ОДИН} = \text{МНОГО} $

Для решения этого ребуса представим его в виде сложения в столбик. В данном ребусе одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, а разные буквы – разным. Слово "ОДИН" – это четырёхзначное число, а "МНОГО" – пятизначное.

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & О & Д & И & Н \\ + & О & Д & И & Н \\ \hline М & Н & О & Г & О \\ \end{array} $$

1. Находим цифру М.

Сумма двух четырёхзначных чисел ("ОДИН") даёт пятизначное число ("МНОГО"). Это означает, что при сложении старших разрядов (букв О) произошёл перенос в следующий разряд. Максимальная сумма двух одинаковых цифр с учётом возможного переноса из предыдущего разряда равна $9+9+1=19$. В любом случае, перенос в новый, пятый разряд может быть только равен 1. Таким образом, буква М может быть только 1.

2. Находим связь между О, Н и Г.

Рассмотрим сложение в каждом столбце, обозначая переносы между разрядами как $c_1, c_2, c_3, c_4$ (справа налево):

• Единицы: $Н + Н = О + 10 \cdot c_1$
• Десятки: $И + И + c_1 = Г + 10 \cdot c_2$
• Сотни: $Д + Д + c_2 = О + 10 \cdot c_3$
• Тысячи: $О + О + c_3 = Н + 10 \cdot c_4$
• Десятки тысяч: $c_4 = М$

Из последнего уравнения и нашего первого вывода мы знаем, что $c_4 = М = 1$.

3. Определяем цифры О и Н.

Подставим $М=1$ в уравнение для разряда тысяч: $О + О + c_3 = Н + 10 \cdot 1$, или $2 \cdot О + c_3 = 10 + Н$. Поскольку $c_3$ (перенос из сотен) может быть равен 0 или 1, $2 \cdot О$ должно быть близко к 10. Это значит, что $О \ge 5$ (так как если $О=4$, то $2 \cdot 4 + 1 = 9$, что меньше 10).

Теперь посмотрим на разряд единиц: $Н + Н = О + 10 \cdot c_1$. Это означает, что последняя цифра числа $2 \cdot Н$ должна быть равна $О$. Проверим возможные значения для $О \ge 5$:

• Если $О=5$, то $2 \cdot Н$ должно оканчиваться на 5. Таких цифр $Н$ нет.
• Если $О=6$, то $2 \cdot Н$ должно оканчиваться на 6. Это возможно, если $Н=3$ ($2 \cdot 3 = 6$) или $Н=8$ ($2 \cdot 8 = 16$).
• Если $О=7$, то $2 \cdot Н$ должно оканчиваться на 7. Таких цифр $Н$ нет.
• Если $О=8$, то $2 \cdot Н$ должно оканчиваться на 8. Это возможно, если $Н=4$ ($2 \cdot 4 = 8$) или $Н=9$ ($2 \cdot 9 = 18$).
• Если $О=9$, то $2 \cdot Н$ должно оканчиваться на 9. Таких цифр $Н$ нет.

У нас есть четыре возможные пары $(О, Н)$: $(6, 3)$, $(6, 8)$, $(8, 4)$, $(8, 9)$. Теперь проверим их в уравнении для тысяч: $2 \cdot О + c_3 = 10 + Н$.

• Пара $(О=6, Н=3)$: $2 \cdot 6 + c_3 = 10 + 3 \implies 12 + c_3 = 13 \implies c_3=1$. Это возможно.
• Пара $(О=6, Н=8)$: $2 \cdot 6 + c_3 = 10 + 8 \implies 12 + c_3 = 18 \implies c_3=6$. Невозможно, так как перенос $c_3$ может быть только 0 или 1.
• Пара $(О=8, Н=4)$: $2 \cdot 8 + c_3 = 10 + 4 \implies 16 + c_3 = 14 \implies c_3=-2$. Невозможно.
• Пара $(О=8, Н=9)$: $2 \cdot 8 + c_3 = 10 + 9 \implies 16 + c_3 = 19 \implies c_3=3$. Невозможно.

Единственный возможный вариант: О = 6 и Н = 3. При этом мы установили, что перенос из сотен $c_3=1$, а из единиц $c_1=0$ (так как $3+3=6$).

4. Находим цифры Д, И, Г.

Теперь, когда мы знаем $О=6, Н=3, М=1$ и переносы $c_3=1, c_1=0$, мы можем найти остальные цифры.

Рассмотрим уравнение для сотен: $Д + Д + c_2 = О + 10 \cdot c_3$. Подставляем известные значения: $2 \cdot Д + c_2 = 6 + 10 \cdot 1 = 16$.

• Если перенос из десятков $c_2=0$, то $2 \cdot Д = 16 \implies Д=8$.
• Если перенос из десятков $c_2=1$, то $2 \cdot Д + 1 = 16 \implies 2 \cdot Д = 15$. Нет целого решения для $Д$.

Значит, Д = 8, а перенос $c_2$ должен быть равен 0.

Наконец, рассмотрим уравнение для десятков: $И + И + c_1 = Г + 10 \cdot c_2$. Подставляем известные переносы: $2 \cdot И + 0 = Г + 10 \cdot 0 \implies 2 \cdot И = Г$.

На данный момент использованы цифры: 1 (М), 3 (Н), 6 (О), 8 (Д).
Свободные цифры: 0, 2, 4, 5, 7, 9. Нам нужно найти пару разных цифр $(И, Г)$ из свободных, удовлетворяющих условию $2 \cdot И = Г$. Также мы знаем, что перенос $c_2=0$, а это значит, что $И$ должно быть меньше 5.

• Если $И=0$, то $Г=0$. Невозможно, так как $И$ и $Г$ – разные буквы.
• Если $И=2$, то $Г=4$. Обе цифры свободны. Это решение подходит: И = 2, Г = 4.
• Если $И=4$, то $Г=8$. Невозможно, так как цифра 8 уже занята буквой $Д$.

Таким образом, мы нашли все цифры.

5. Проверка.

Соберем все найденные значения:

• О = 6
• Д = 8
• И = 2
• Н = 3
• М = 1
• Г = 4

Подставляем цифры в исходный ребус:

ОДИН + ОДИН = 6823 + 6823 = 13646

МНОГО = 13646

Все сходится.

Ответ: Ребус расшифровывается как $6823 + 6823 = 13646$.