Номер 9, страница 89, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

9 Расшифруй ребус. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.)

$ЛЮБА + ЛЮБИТ = АРБУЗЫ$

Для решения данного ребуса необходимо заменить буквы цифрами от 0 до 9, учитывая, что одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные. Также, первая цифра в числе не может быть нулем.

Запишем ребус в виде сложения в столбик для наглядности:

Л Ю Б А
+ Л Ю Б И Т
-----------
А Р Б У З Ы

Решение

1. При сложении пятизначного числа (ЛЮБИТ) и четырехзначного (ЛЮБА) получается шестизначное число (АРБУЗЫ). Это означает, что произошел перенос в самый старший разряд (сотни тысяч). Сумма самых больших возможных чисел ($98765 + 9876$) равна $108641$. Следовательно, первая цифра результата, А, может быть только 1.
2. Рассмотрим сложение в старших разрядах. Буква А в итоговом числе является переносом ($c_5$) из разряда десятков тысяч. Таким образом, $c_5=А=1$. Для разряда десятков тысяч имеем уравнение: $Л + c_4 = Р + 10 \cdot c_5$, где $c_4$ — перенос из разряда тысяч. Подставив $c_5=1$, получаем $Л + c_4 = Р + 10$. Поскольку $Л$ и $Р$ — это цифры, а $c_4$ (перенос из суммы $Л+Ю+c_3$) не может быть больше 1, то $c_4$ должно быть равно 1. Если $c_4=0$, то $Л = Р + 10$, что невозможно. Итак, $c_4=1$. Тогда $Л + 1 = Р + 10$, что упрощается до $Л = Р + 9$. Учитывая, что $Л$ и $Р$ — разные цифры, единственное возможное решение — это Р = 0 и Л = 9.
3. Теперь рассмотрим разряд тысяч: $Л + Ю + c_3 = Б + 10 \cdot c_4$. Подставляем известные значения $Л=9$ и $c_4=1$: $9 + Ю + c_3 = Б + 10$, что дает $Ю + c_3 = Б + 1$. Перенос $c_3$ из разряда сотен может быть 0 или 1. Если $c_3=1$, то $Ю + 1 = Б + 1 \Rightarrow Ю = Б$, что противоречит условию. Значит, $c_3=0$. Таким образом, мы получаем соотношение: Ю = Б + 1.
4. Рассмотрим разряд единиц: $А + Т = Ы + 10 \cdot c_1$. Подставляем $А=1$: $1 + Т = Ы + 10 \cdot c_1$. Перенос $c_1$ может быть 0 или 1. Если $c_1=1$, то $1+Т = Ы+10 \Rightarrow Т = Ы+9$. Для этого равенства единственное решение в цифрах — $Ы=0$ и $Т=9$. Но эти цифры уже заняты (Р=0, Л=9). Следовательно, $c_1=0$. Отсюда получаем второе соотношение: Ы = Т + 1.
5. Соберем все известные факты:
   • Найденные цифры: А=1, Л=9, Р=0.
   • Свободные цифры: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
   • Соотношения: $Ю = Б + 1$ и $Ы = Т + 1$.
   • Переносы: $c_1=0, c_3=0, c_4=1$.
   • Оставшиеся уравнения (из разрядов десятков и сотен):
     $Б + И + c_1 = З + 10 \cdot c_2 \implies Б + И = З + 10 \cdot c_2$
     $Ю + Б + c_2 = У + 10 \cdot c_3 \implies (Б+1)+Б+c_2 = У \implies 2Б + 1 + c_2 = У$
6. Теперь найдем оставшиеся цифры, рассмотрев два случая для переноса $c_2$.

   Случай 1: $c_2=0$

   Уравнения принимают вид: $Б + И = З$ $2Б + 1 = У$ Мы ищем пары последовательных цифр (Б, Ю) и (Т, Ы) среди свободных {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

   • Пробуем Б=2. Тогда Ю=3. Из второго уравнения находим У=5. Использованы цифры {2,3,5}. Остаются {4,6,7,8}. Из первого уравнения $2+И=З$. Среди оставшихся цифр подходит пара И=4, З=6. Для букв Т и Ы остаются цифры {7,8}. Соотношение $Ы=Т+1$ выполняется для Т=7 и Ы=8. Все условия выполнены, решение найдено.
   • Если бы мы попробовали другие значения для Б (например, Б=3), то не смогли бы подобрать оставшиеся цифры, чтобы удовлетворить всем условиям. При Б=4, У=9, что совпадает с Л.

   Случай 2: $c_2=1$

   Уравнения: $Б + И = З + 10$ и $2Б + 2 = У$.
   • Пробуем Б=2, тогда Ю=3, У=6. Из первого уравнения $2+И=З+10 \implies И=З+8$. Среди свободных цифр {4,5,7,8} нет такой пары.
   • При больших значениях Б решения также не находятся.
   Таким образом, существует только одно решение.
7. Финальная расшифровка: А=1, Б=2, З=6, И=4, Л=9, Р=0, Т=7, У=5, Ы=8, Ю=3.
8. Проверка: $ЛЮБА + ЛЮБИТ = АРБУЗЫ$
   $9321 + 93247 = 102568$
   

   9321
   + 93247
   -------
   102568

   Результат соответствует найденным буквам: А=1, Р=0, Б=2, У=5, З=6, Ы=8. Решение верно.

Ответ: $9321 + 93247 = 102568$.