Страница 4, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

2 а) A – множество букв в слове «ряд», B – множество букв в слове «двор». Запиши множества A и B с помощью фигурных скобок и отметить их элементы на диаграмме Эйлера-Венна.

$A = \{$

$B = \{$

б) Принадлежат ли множествам A и B буквы д, в, я, м, р? Вставь вместо пропусков знаки $\in$ или $\notin$:

в ... A

я ... A

д ... A

м ... A

р ... A

в ... B

я ... B

д ... B

м ... B

р ... B

в) Найди пересечение и объединение множеств A и B.

$A \cap B = \{$

$A \cup B = \{$

Закрась пересечение $A \cap B$ жёлтым карандашом, а объединение $A \cup B$ обведи красным карандашом.

а)

Множество A — это множество букв в слове «ряд». Каждая буква в множестве уникальна, поэтому мы записываем каждую букву только один раз.
$A = \{р, я, д\}$

Множество B — это множество букв в слове «двор».
$B = \{д, в, о, р\}$

Чтобы отметить элементы на диаграмме Эйлера-Венна, найдем общие и уникальные элементы:

• Общие элементы для A и B (которые войдут в пересечение диаграммы): 'р', 'д'.
• Элементы, которые есть только в A: 'я'.
• Элементы, которые есть только в B: 'в', 'о'.

Таким образом, в левую часть диаграммы (только A) вписывается 'я', в центральную (пересечение A и B) вписываются 'р' и 'д', а в правую часть (только B) вписываются 'в' и 'о'.
Ответ: $A = \{р, я, д\}$; $B = \{д, в, о, р\}$.

б)

Чтобы определить принадлежность букв множествам A и B, используем знак $\in$ (принадлежит) и $\notin$ (не принадлежит).
Напомним, что $A = \{р, я, д\}$ и $B = \{д, в, о, р\}$.

Проверим для множества A:
в $\notin$ A (буквы 'в' нет в множестве A)
я $\in$ A (буква 'я' есть в множестве A)
д $\in$ A (буква 'д' есть в множестве A)
м $\notin$ A (буквы 'м' нет в множестве A)
р $\in$ A (буква 'р' есть в множестве A)

Проверим для множества B:
в $\in$ B (буква 'в' есть в множестве B)
я $\notin$ B (буквы 'я' нет в множестве B)
д $\in$ B (буква 'д' есть в множестве B)
м $\notin$ B (буквы 'м' нет в множестве B)
р $\in$ B (буква 'р' есть в множестве B)
Ответ: в $\notin$ A, я $\in$ A, д $\in$ A, м $\notin$ A, р $\in$ A.
в $\in$ B, я $\notin$ B, д $\in$ B, м $\notin$ B, р $\in$ B.

в)

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B. Это общие буквы слов «ряд» и «двор».
$A \cap B = \{р, д\}$

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Это все буквы из обоих слов без повторений.
$A \cup B = \{р, я, д, в, о\}$

Далее, согласно заданию, на диаграмме Эйлера-Венна нужно закрасить жёлтым карандашом область пересечения (где находятся буквы 'р' и 'д'), а красным карандашом обвести контур всей фигуры, образованной двумя кругами (область объединения).
Ответ: $A \cap B = \{р, д\}$; $A \cup B = \{р, я, д, в, о\}$.

3 K – множество букв в слове «лодка», M – множество букв в слове «клад». Какое из множеств является подмножеством другого? Нарисуй их диаграммы и сделай записи с помощью знаков $ \subset $ и $ \not\subset $.

K ... M

M ... K

Для решения задачи сначала определим элементы каждого множества.

Множество K — это множество букв в слове «лодка». В множестве каждый элемент уникален, поэтому мы записываем каждую букву только один раз: $K = \{л, о, д, к, а\}$.

Множество M — это множество букв в слове «клад». Запишем его элементы: $M = \{к, л, а, д\}$.

Какое из множеств является подмножеством другого?

Множество является подмножеством другого множества, если все его элементы содержатся во втором множестве. Сравним наши множества:

• Проверим, является ли M подмножеством K. Все элементы множества M (к, л, а, д) содержатся в множестве K ({л, о, д, к, а}). Следовательно, M является подмножеством K.
• Проверим, является ли K подмножеством M. Элемент «о» принадлежит множеству K, но не принадлежит множеству M. Следовательно, K не является подмножеством M.

Ответ: Множество M является подмножеством множества K.

Диаграммы множеств

Так как M является подмножеством K, на диаграмме Эйлера-Венна круг, обозначающий множество M, будет полностью находиться внутри круга, обозначающего множество K.

Ответ: Диаграмма, показывающая, что множество M вложено в множество K, представлена выше.

Записи с помощью знаков ⊂ и ⊄

Отношения между множествами K и M записываются с помощью математических знаков следующим образом:

1. Поскольку множество M является подмножеством K, используется знак $ \subset $:
$M \subset K$

2. Поскольку множество K не является подмножеством M, используется знак $ \not\subset $:
$K \not\subset M$

Ответ: $M \subset K$, $K \not\subset M$.

4 Разбей на классы и прочитай числа.

Назови для каждого из них предыдущее и последующее число.

2709 58062 347106 75003499 4908153200

Подчеркни в каждом числе цифру единиц класса тысяч и назови общее количество тысяч.

2709

Разбиваем число на классы (группы по три цифры справа налево): 2 709. Читаем: две тысячи семьсот девять.

Предыдущее число: $2709 - 1 = 2708$.

Последующее число: $2709 + 1 = 2710$.

Класс тысяч представлен цифрой 2. Единицы класса тысяч — это 2. Общее количество тысяч в числе — 2.

Ответ: 2 709 (две тысячи семьсот девять); предыдущее — 2708, последующее — 2710; цифра единиц тысяч — 2, всего тысяч — 2.

58062

Разбиваем число на классы: 58 062. Читаем: пятьдесят восемь тысяч шестьдесят два.

Предыдущее число: $58062 - 1 = 58061$.

Последующее число: $58062 + 1 = 58063$.

В числе 58 062 цифра единиц класса тысяч — это 8. Общее количество тысяч в числе — 58.

Ответ: 58 062 (пятьдесят восемь тысяч шестьдесят два); предыдущее — 58061, последующее — 58063; цифра единиц тысяч — 8, всего тысяч — 58.

347106

Разбиваем число на классы: 347 106. Читаем: триста сорок семь тысяч сто шесть.

Предыдущее число: $347106 - 1 = 347105$.

Последующее число: $347106 + 1 = 347107$.

В числе 347 106 цифра единиц класса тысяч — это 7. Общее количество тысяч в числе — 347.

Ответ: 347 106 (триста сорок семь тысяч сто шесть); предыдущее — 347105, последующее — 347107; цифра единиц тысяч — 7, всего тысяч — 347.

75003499

Разбиваем число на классы: 75 003 499. Читаем: семьдесят пять миллионов три тысячи четыреста девяносто девять.

Предыдущее число: $75003499 - 1 = 75003498$.

Последующее число: $75003499 + 1 = 75003500$.

В числе 75 003 499 цифра единиц класса тысяч — это 3. Общее количество тысяч в числе — 75003.

Ответ: 75 003 499 (семьдесят пять миллионов три тысячи четыреста девяносто девять); предыдущее — 75003498, последующее — 75003500; цифра единиц тысяч — 3, всего тысяч — 75003.

4908153200

Разбиваем число на классы: 4 908 153 200. Читаем: четыре миллиарда девятьсот восемь миллионов сто пятьдесят три тысячи двести.

Предыдущее число: $4908153200 - 1 = 4908153199$.

Последующее число: $4908153200 + 1 = 4908153201$.

В числе 4 908 153 200 цифра единиц класса тысяч — это 3. Общее количество тысяч в числе — 4908153.

Ответ: 4 908 153 200 (четыре миллиарда девятьсот восемь миллионов сто пятьдесят три тысячи двести); предыдущее — 4908153199, последующее — 4908153201; цифра единиц тысяч — 3, всего тысяч — 4908153.

5 Запиши числа в виде суммы разрядных слагаемых:

$536 = $

$9025 = $

$20740 = $

$306058 = $

536 = Чтобы записать число 536 в виде суммы разрядных слагаемых, нужно определить значение каждой цифры в зависимости от ее позиции (разряда). Цифра 5 стоит в разряде сотен и ее значение равно 500. Цифра 3 стоит в разряде десятков, ее значение — 30. Цифра 6 стоит в разряде единиц, ее значение — 6. Сложив эти значения, мы получим разложение числа на разрядные слагаемые. Ответ: $536 = 500 + 30 + 6$

9025 = В числе 9025 цифра 9 находится в разряде тысяч (значение 9000), цифра 0 — в разряде сотен (значение 0), цифра 2 — в разряде десятков (значение 20) и цифра 5 — в разряде единиц (значение 5). При записи суммы разрядных слагаемых члены, равные нулю, обычно опускают. Таким образом, получаем сумму ненулевых разрядных слагаемых. Ответ: $9025 = 9000 + 20 + 5$

20 740 = В числе 20 740 есть следующие разряды: 2 десятка тысяч (20 000), 0 тысяч, 7 сотен (700), 4 десятка (40) и 0 единиц. Записываем в сумму только те слагаемые, которые не равны нулю. Это 20 000, 700 и 40. Ответ: $20740 = 20000 + 700 + 40$

306 058 = Для числа 306 058 определим значение каждой ненулевой цифры. Цифра 3 находится в разряде сотен тысяч, ее значение — 300 000. Цифра 6 находится в разряде тысяч, ее значение — 6 000. Цифра 5 находится в разряде десятков, ее значение — 50. Цифра 8 находится в разряде единиц, ее значение — 8. Разряды десятков тысяч и сотен равны нулю, поэтому в итоговую сумму они не войдут. Ответ: $306058 = 300000 + 6000 + 50 + 8$

1 а) Запиши частные в виде дробей:

$3 : 6 = \text{___}$

$4 : 6 = \text{___}$

$1 : 6 = \text{___}$

$2 : 6 = \text{___}$

б) Запиши полученные дроби в порядке возрастания $\text{___}$

а)

Чтобы записать частное в виде дроби, нужно делимое (первое число) записать в числитель дроби (верхнюю часть), а делитель (второе число) — в знаменатель (нижнюю часть). Знак деления (:) при этом заменяется дробной чертой.

$3 : 6 = \frac{3}{6}$
$4 : 6 = \frac{4}{6}$
$1 : 6 = \frac{1}{6}$
$2 : 6 = \frac{2}{6}$

Ответ: $\frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}$.

б)

Необходимо записать полученные дроби ($\frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}$) в порядке возрастания, то есть от наименьшей к наибольшей.

Все эти дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 6. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями гласит: чем меньше числитель, тем меньше дробь.

Сравним числители наших дробей: 1, 2, 3, 4.

В порядке возрастания они располагаются так: $1 < 2 < 3 < 4$.

Соответственно, и дроби в порядке возрастания будут расположены в таком же порядке, как и их числители:

$\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}$.

2 a) Попробуй решить задачи. Что ты замечаешь?

1. На соревнованиях по теннису Алик сыграл 7 партий. Из них $\frac{3}{7}$ партий он выиграл. Сколько партий выиграл Алик на этих соревнованиях?

2. На соревнованиях по теннису Алик выиграл 3 партии, что составило $\frac{3}{7}$ всех сыгранных им партий. Сколько всего партий сыграл Алик на этих соревнованиях?

3. На соревнованиях по теннису Алик сыграл 7 партий. Из них 3 партии он выиграл. Какую часть всех сыгранных партий выиграл Алик?

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Для решения задачи 3 ответь на вопросы:

✓ Какую часть всех сыгранных Аликом партий составляет одна партия?

✓ Какую часть всех сыгранных Аликом партий составляют три партии?

✓ Каким действием можно найти полученное число?

Сделай вывод и проверь по учебнику, с. 5. Если нужно, исправь ошибки.

а) Попробуй решить задачи. Что ты замечаешь?

1. На соревнованиях по теннису Алик сыграл 7 партий. Из них $\frac{3}{7}$ партий он выиграл. Сколько партий выиграл Алик на этих соревнованиях?

Чтобы найти, сколько партий выиграл Алик, нужно найти $\frac{3}{7}$ от общего числа партий (7). Для этого умножим общее количество партий на дробь:

$7 \cdot \frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 3}{7} = 3$ (партии).

Ответ: 3 партии.

2. На соревнованиях по теннису Алик выиграл 3 партии, что составило $\frac{3}{7}$ всех сыгранных им партий. Сколько всего партий сыграл Алик на этих соревнованиях?

В этой задаче известно, что 3 выигранные партии — это $\frac{3}{7}$ от всех сыгранных партий. Чтобы найти общее количество партий (целое), нужно известную часть (3) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{3}{7}$):

$3 : \frac{3}{7} = 3 \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{3} = 7$ (партий).

Ответ: 7 партий.

3. На соревнованиях по теннису Алик сыграл 7 партий. Из них 3 партии он выиграл. Какую часть всех сыгранных партий выиграл Алик?

Чтобы найти, какую часть от всех сыгранных партий составляют выигранные, нужно количество выигранных партий (3) разделить на общее количество сыгранных партий (7).

$3 : 7 = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$ всех сыгранных партий.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что все три задачи описывают одну и ту же ситуацию и используют одни и те же числа: 7 (всего партий), 3 (выигранные партии) и дробь $\frac{3}{7}$. Однако в каждой задаче ищется разная величина. Такие задачи, в которых известное и искомое меняются местами, называются обратными. В первой задаче мы ищем часть от целого, во второй — целое по его части, а в третьей — какую часть одно число составляет от другого.

б) Для решения задачи 3 ответь на вопросы:

✓ Какую часть всех сыгранных Аликом партий составляет одна партия?

Поскольку всего было сыграно 7 партий, одна партия составляет одну седьмую часть от всех партий.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

✓ Какую часть всех сыгранных Аликом партий составляют три партии?

Если одна партия составляет $\frac{1}{7}$ всех партий, то три партии составляют в три раза большую часть. Для этого нужно долю одной партии умножить на три:

$\frac{1}{7} \cdot 3 = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$.

✓ Каким действием можно найти полученное число?

Чтобы найти, какую часть выигранные партии (3) составляют от всех сыгранных партий (7), нужно количество выигранных партий разделить на общее количество партий.

Ответ: делением.

3 Какую часть составляет:

а) 2 от 9

б) 5 от 14

в) 6 от 100

г) 27 от 100

а) Чтобы определить, какую часть составляет число 2 от 9, необходимо записать отношение этих чисел в виде дроби. Число, которое является частью (2), записывается в числитель, а число, которое является целым (9), — в знаменатель. Таким образом, получаем дробь $\frac{2}{9}$. Эта дробь является несократимой, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1.
Ответ: $\frac{2}{9}$

б) Аналогично, чтобы найти, какую часть составляет число 5 от 14, нужно составить дробь. Число 5 будет числителем, а 14 — знаменателем. Получается дробь $\frac{5}{14}$. Эта дробь несократимая.
Ответ: $\frac{5}{14}$

в) Чтобы определить, какую часть составляет число 6 от 100, составим дробь $\frac{6}{100}$. В данном случае и числитель (6), и знаменатель (100) являются четными числами, значит, их можно разделить на 2. Сократим дробь: $\frac{6}{100} = \frac{6 \div 2}{100 \div 2} = \frac{3}{50}$.
Ответ: $\frac{3}{50}$

г) Чтобы найти, какую часть составляет число 27 от 100, запишем это отношение в виде дроби, где 27 — числитель, а 100 — знаменатель. Получаем дробь $\frac{27}{100}$. У чисел 27 (делители: 1, 3, 9, 27) и 100 (делители: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100) нет общих делителей, кроме 1, поэтому данная дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{27}{100}$

1 Найди на рисунке углы указанных видов и соедини с их названиями. Подбери существенные признаки каждого угла и проведи линии.

УГЛЫ

1

2

3

4

НАЗВАНИЯ

прямой угол

острый угол

развёрнутый угол

тупой угол

ПРИЗНАКИ

меньше прямого угла

равен половине развёрнутого угла

больше прямого, но меньше развёрнутого угла

стороны образуют прямую

Угол 1

На рисунке 1 изображен угол, который меньше прямого угла. Такой угол называется острым. Его градусная мера $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Соответствующий ему признак из списка — "меньше прямого угла".

Ответ: Угол 1 — это острый угол, его признак — меньше прямого угла.

Угол 2

На рисунке 2 угол отмечен специальным знаком в виде квадрата. Это общепринятое обозначение прямого угла, величина которого составляет ровно $90^\circ$. Развёрнутый угол равен $180^\circ$, а его половина — $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Следовательно, подходящий признак для прямого угла — "равен половине развёрнутого угла".

Ответ: Угол 2 — это прямой угол, его признак — равен половине развёрнутого угла.

Угол 3

На рисунке 3 показан угол, который очевидно больше прямого, но не образует прямую линию, то есть он меньше развёрнутого угла. Такой угол называется тупым. Его градусная мера $\alpha$ удовлетворяет неравенству $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. В списке признаков этому соответствует описание "больше прямого, но меньше развёрнутого угла".

Ответ: Угол 3 — это тупой угол, его признак — больше прямого, но меньше развёрнутого угла.

Угол 4

На рисунке 4 стороны угла образуют прямую линию. Такой угол называется развёрнутым, и его величина равна $180^\circ$. Его основной признак так и звучит: "стороны образуют прямую".

Ответ: Угол 4 — это развёрнутый угол, его признак — стороны образуют прямую.

2 а) Попробуй найти смежные углы, отметь знаком ✔ и укажи их признаки:

($I$)

$M$ $N$ $P$ $K$ $T$

($II$)

$D$ $E$ $F$ $H$

($III$)

$A$ $B$ $C$ $O$

1)

2)

Что ты пока не знаешь?

Поставь перед собой цель и составь план.

б) Прочитай определение смежных углов и подчеркни два их признака:

«Смежными углами называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую».

Пользуясь определением, найди на рисунках $I-III$ смежные углы. Запиши их названия и обоснуй свой ответ.

1)

2)

Проверь себя по учебнику, с. 6. Если нужно, исправь ошибки.

Смежные углы изображены на рисунке III. ✓ Это углы $∠AOB$ и $∠BOC$.

Их признаки:

1) У этих углов есть общая сторона — луч OB.

2) Две другие их стороны, лучи OA и OC, лежат на одной прямой AC и являются дополнительными друг другу.

Что ты пока не знаешь?

Я не знаю точного определения смежных углов и их основного свойства (например, чему равна их сумма).

Ответ: Смежные углы — это $∠AOB$ и $∠BOC$ на рисунке III. Их признаки: у них есть общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Определение смежных углов: «Смежными углами называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую».

1) На рисунке III углы $∠AOB$ и $∠BOC$ являются смежными. Они полностью соответствуют определению: у них есть общая сторона OB, а две другие стороны, OA и OC, образуют прямую линию AC.

2) Углы на рисунках I ($∠MKN$ и $∠NKP$) и II ($∠DHE$ и $∠EHF$) не являются смежными. Хотя у каждой пары есть общая сторона (KN и HE соответственно), две другие их стороны не образуют прямую линию.

Ответ: На основании определения, смежными углами на данных рисунках являются только углы $∠AOB$ и $∠BOC$ (рисунок III).