Страница 8, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

12 Выполни действия. Какие свойства чисел здесь используются?

a) $15 \cdot 0 = $

б) $24 - 24 = $

в) $0 + 9 = $

г) $7 : 1 = $

д) $16 - 0 = $

е) $1 \cdot 35 = $

ж) $0 : 43 = $

з) $8 : 8 = $

а) $15 \cdot 0 = 0$. Здесь используется свойство умножения на ноль: при умножении любого числа на ноль в произведении всегда получается ноль. Ответ: 0

б) $24 - 24 = 0$. Здесь используется свойство вычитания числа из самого себя: если из числа вычесть то же самое число, в результате получится ноль. Ответ: 0

в) $0 + 9 = 9$. Здесь используется свойство сложения с нулём (нуль является нейтральным элементом для сложения): если к любому числу прибавить ноль, то получится то же самое число. Ответ: 9

г) $7 : 1 = 7$. Здесь используется свойство деления на единицу: при делении любого числа на единицу получается то же самое число. Ответ: 7

д) $16 - 0 = 16$. Здесь используется свойство вычитания нуля: если из любого числа вычесть ноль, то получится то же самое число. Ответ: 16

е) $1 \cdot 35 = 35$. Здесь используется свойство умножения на единицу (единица является нейтральным элементом для умножения): при умножении любого числа на единицу получается то же самое число. Ответ: 35

ж) $0 : 43 = 0$. Здесь используется свойство деления нуля: при делении нуля на любое число, не равное нулю, в частном получается ноль. Ответ: 0

з) $8 : 8 = 1$. Здесь используется свойство деления числа на само себя: при делении любого числа (кроме нуля) на само себя в частном получается единица. Ответ: 1

13 а) Какое из чисел, обозначенных буквой, больше? На сколько?

$a + 8 = b$ [ ] больше, чем [ ], на [ ]

$c - d = 5$ [ ] больше, чем [ ], на [ ]

$k - 4 = m$ [ ] больше, чем [ ], на [ ]

б) Какое из чисел, обозначенных буквой, меньше? Во сколько раз?

$t \cdot 3 = s$ [ ] меньше, чем [ ], в [ ] раз

$x : y = 9$ [ ] меньше, чем [ ], в [ ] раз

$n : 7 = p$ [ ] меньше, чем [ ], в [ ] раз

Рассмотрим уравнение $a + 8 = b$. В этом выражении $b$ является суммой, а $a$ — одним из слагаемых. Чтобы получить $b$, к числу $a$ необходимо прибавить 8. Это означает, что $b$ больше, чем $a$. Чтобы определить, на сколько $b$ больше $a$, нужно найти их разность. Из уравнения следует, что $b - a = 8$.
Ответ: $b$ больше, чем $a$, на 8.

Рассмотрим уравнение $c - d = 5$. В этом выражении $c$ — это уменьшаемое, а $d$ — вычитаемое. Так как разность (число 5) положительна, это означает, что уменьшаемое $c$ больше вычитаемого $d$. Само уравнение показывает, что разность между $c$ и $d$ равна 5.
Ответ: $c$ больше, чем $d$, на 5.

Рассмотрим уравнение $k - 4 = m$. В этом выражении $k$ — это уменьшаемое, а $m$ — разность. Уменьшаемое всегда больше разности на величину вычитаемого. В данном случае вычитаемое равно 4. Следовательно, $k$ больше $m$ на 4. Это также можно увидеть, преобразовав уравнение: $k - m = 4$.
Ответ: $k$ больше, чем $m$, на 4.

Рассмотрим уравнение $t \cdot 3 = s$. В этом выражении $s$ — это произведение, а $t$ — один из множителей. Это означает, что $s$ в 3 раза больше, чем $t$ (при условии, что $t$ - положительное число). Соответственно, $t$ в 3 раза меньше, чем $s$. Отношение $s$ к $t$ равно 3 ($s : t = 3$).
Ответ: $t$ меньше, чем $s$, в 3 раз.

Рассмотрим уравнение $x : y = 9$. В этом выражении $x$ — это делимое, $y$ — делитель, а 9 — частное. Частное показывает, во сколько раз делимое больше делителя. Таким образом, $x$ в 9 раз больше, чем $y$. Соответственно, $y$ в 9 раз меньше, чем $x$.
Ответ: $y$ меньше, чем $x$, в 9 раз.

Рассмотрим уравнение $n : 7 = p$. В этом выражении $n$ — это делимое, а $p$ — частное. Это уравнение можно переписать в виде $n = p \cdot 7$. Это означает, что $n$ в 7 раз больше, чем $p$. Соответственно, $p$ в 7 раз меньше, чем $n$.
Ответ: $p$ меньше, чем $n$, в 7 раз.

14 Мишка с другом на даче варили кашу. Вначале объём крупы с водой был равен $420 \text{ см}^3$. Через несколько минут он удвоился и каша вылезла из кастрюли. А через некоторое время её объём увеличился ещё на $360 \text{ см}^3$. Чему стал равен объём каши за всё время варки?

Чтобы найти, чему стал равен объём каши за всё время варки, нужно выполнить два последовательных вычисления, исходя из условий задачи.

1. Сначала объём крупы с водой, который был равен $420 \text{ см}^3$, удвоился. Найдём новый объём, умножив первоначальный на 2:
$420 \text{ см}^3 \times 2 = 840 \text{ см}^3$.

2. Затем полученный объём каши увеличился ещё на $360 \text{ см}^3$. Рассчитаем итоговый объём, прибавив это значение к результату первого действия:
$840 \text{ см}^3 + 360 \text{ см}^3 = 1200 \text{ см}^3$.

Ответ: $1200 \text{ см}^3$.

15 Вырази в указанных единицах измерения:

а) 9 м 7 см = ___ см

б) 5 км 18 м = ___ м

в) 4 дм 6 мм = ___ мм

г) $3 \text{ м}^2 25 \text{ дм}^2 = \_\_\_ \text{ дм}^2$

д) $2 \text{ м}^2 9 \text{ см}^2 = \_\_\_ \text{ см}^2$

е) $8 \text{ м}^3 54 \text{ дм}^3 = \_\_\_ \text{ дм}^3$

ж) 12 кг 34 г = ___ г

з) 7 т 8 ц 5 кг = ___ кг

и) 306 кг = ___ ц ___ кг

к) 4 года 9 мес. = ___ мес.

л) 2 ч 18 мин = ___ мин

м) 5 мин 25 с = ___ с

а) 9 м 7 см = ___ см

Для перевода метров в сантиметры, необходимо знать, что в одном метре содержится 100 сантиметров. Сначала переведем метры в сантиметры, а затем прибавим оставшиеся сантиметры.

$9 \text{ м} = 9 \times 100 \text{ см} = 900 \text{ см}$

$900 \text{ см} + 7 \text{ см} = 907 \text{ см}$

Ответ: 907

б) 5 км 18 м = ___ м

Для перевода километров в метры, используем соотношение: 1 километр равен 1000 метрам. Переводим километры в метры и добавляем оставшиеся метры.

$5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$

$5000 \text{ м} + 18 \text{ м} = 5018 \text{ м}$

Ответ: 5018

в) 4 дм 6 мм = ___ мм

Для перевода дециметров в миллиметры, вспомним, что 1 дециметр равен 10 сантиметрам, а 1 сантиметр равен 10 миллиметрам. Следовательно, 1 дециметр равен $10 \times 10 = 100$ миллиметрам.

$4 \text{ дм} = 4 \times 100 \text{ мм} = 400 \text{ мм}$

$400 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 406 \text{ мм}$

Ответ: 406

г) 3 м² 25 дм² = ___ дм²

Для перевода квадратных метров в квадратные дециметры, используем тот факт, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Тогда $1 \text{ м}^2 = 1 \text{ м} \times 1 \text{ м} = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$.

$3 \text{ м}^2 = 3 \times 100 \text{ дм}^2 = 300 \text{ дм}^2$

$300 \text{ дм}^2 + 25 \text{ дм}^2 = 325 \text{ дм}^2$

Ответ: 325

д) 2 м² 9 см² = ___ см²

Для перевода квадратных метров в квадратные сантиметры, используем соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Тогда $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$.

$2 \text{ м}^2 = 2 \times 10000 \text{ см}^2 = 20000 \text{ см}^2$

$20000 \text{ см}^2 + 9 \text{ см}^2 = 20009 \text{ см}^2$

Ответ: 20009

е) 8 м³ 54 дм³ = ___ дм³

Для перевода кубических метров в кубические дециметры, используем соотношение $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Тогда $1 \text{ м}^3 = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 1000 \text{ дм}^3$.

$8 \text{ м}^3 = 8 \times 1000 \text{ дм}^3 = 8000 \text{ дм}^3$

$8000 \text{ дм}^3 + 54 \text{ дм}^3 = 8054 \text{ дм}^3$

Ответ: 8054

ж) 12 кг 34 г = ___ г

Для перевода килограммов в граммы, используем соотношение: 1 килограмм равен 1000 граммам.

$12 \text{ кг} = 12 \times 1000 \text{ г} = 12000 \text{ г}$

$12000 \text{ г} + 34 \text{ г} = 12034 \text{ г}$

Ответ: 12034

з) 7 т 8 ц 5 кг = ___ кг

Для перевода в килограммы, используем следующие соотношения: 1 тонна (т) = 1000 килограммов; 1 центнер (ц) = 100 килограммов. Переведем все единицы в килограммы и сложим.

$7 \text{ т} = 7 \times 1000 \text{ кг} = 7000 \text{ кг}$

$8 \text{ ц} = 8 \times 100 \text{ кг} = 800 \text{ кг}$

$7000 \text{ кг} + 800 \text{ кг} + 5 \text{ кг} = 7805 \text{ кг}$

Ответ: 7805

и) 306 кг = ___ ц ___ кг

Для перевода килограммов в центнеры и килограммы, нужно разделить общее количество килограммов на 100 (так как 1 ц = 100 кг). Целая часть от деления будет количеством центнеров, а остаток — количеством килограммов.

$306 \div 100 = 3 \text{ и } 6 \text{ в остатке}$

Таким образом, 306 кг = 3 ц 6 кг.

Ответ: 3 ц 6 кг

к) 4 года 9 мес. = ___ мес.

Для перевода в месяцы, используем соотношение: 1 год = 12 месяцев.

$4 \text{ года} = 4 \times 12 \text{ мес.} = 48 \text{ мес.}$

$48 \text{ мес.} + 9 \text{ мес.} = 57 \text{ мес.}$

Ответ: 57

л) 2 ч 18 мин = ___ мин

Для перевода в минуты, используем соотношение: 1 час = 60 минут.

$2 \text{ ч} = 2 \times 60 \text{ мин} = 120 \text{ мин}$

$120 \text{ мин} + 18 \text{ мин} = 138 \text{ мин}$

Ответ: 138

м) 5 мин 25 с = ___ с

Для перевода в секунды, используем соотношение: 1 минута = 60 секунд.

$5 \text{ мин} = 5 \times 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$

$300 \text{ с} + 25 \text{ с} = 325 \text{ с}$

Ответ: 325

1 ИСПОЛЬЗУЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ СЛОЖЕНИЕМ И ВЫЧИТАНИЕМ, ЗАПОЛНИ ПРОПУСКИ В ПРЕДЛОЖЕНИИ:

$a - b = c \iff c + b = a$

Вычесть из числа a число b – это значит найти такое число _____, которое при ____ с числом ____ даёт число _____.

1

В задании требуется заполнить пропуски в определении операции вычитания, используя её связь со сложением. Эта связь выражена формулой: $a - b = c \iff c + b = a$.

Данное равенство означает, что вычитание является операцией, обратной сложению. Разность $c$ — это такое число, которое при сложении с вычитаемым $b$ даёт в результате уменьшаемое $a$.

Проанализируем предложение и заполним пропуски по порядку:

"Вычесть из числа $a$ число $b$ – это значит найти такое число ___, которое при _________ с числом ___ даёт число ___."

• Первый пропуск: "найти такое число ___". Результатом вычитания $b$ из $a$ является число $c$. Следовательно, в первом пропуске должно быть c.
• Второй, третий и четвертый пропуски описывают свойство числа $c$. Согласно формуле $c + b = a$, число $c$ при сложении (второй пропуск) с числом b (третий пропуск) даёт число a (четвертый пропуск).

Таким образом, полностью заполненное предложение выглядит так:
Вычесть из числа $a$ число $b$ – это значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.

Ответ: c, сложении, b, a.

2 a) Попробуй выполнить вычитание: $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = $

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Проверь свою версию ответа, используя:

связь между сложением и вычитанием $\square + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ (да, нет)

числовой отрезок

Сделай вывод и запиши его с помощью букв:

$\frac{a}{n} - \frac{b}{n} = $

Проверь свой вывод по учебнику, с. 12. Если нужно, исправь ошибки.

a)

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, можно предположить, что нужно вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8}$

На данном этапе мы еще не знаем точного правила вычитания дробей, поэтому наша цель — научиться выполнять это действие и сформулировать правило. Для этого составим план: 1. Сделать предположение о результате вычитания. 2. Проверить это предположение, используя связь между сложением и вычитанием. 3. Проверить результат с помощью числового отрезка. 4. Сделать общий вывод и записать его в виде формулы.

Ответ: $\frac{2}{8}$

б)

связь между сложением и вычитанием

Проверим полученный результат $\frac{2}{8}$ с помощью сложения. Если вычитание выполнено верно, то сумма разности и вычитаемого должна быть равна уменьшаемому:

$\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2+3}{8} = \frac{5}{8}$

Равенство $\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ верное. Это значит, что наша версия ответа правильная.

Ответ: да, версия верна.

числовой отрезок

На числовом отрезке, чтобы из $\frac{5}{8}$ вычесть $\frac{3}{8}$, нужно от точки $\frac{5}{8}$ переместиться влево на 3 единичных отрезка, каждый из которых равен $\frac{1}{8}$.

Двигаясь от $\frac{5}{8}$ на 3 деления влево, мы попадаем в точку $\frac{2}{8}$. Этот способ также подтверждает правильность нашего ответа.

Ответ: результат, полученный на числовом отрезке, подтверждает правильность вычислений.

Сделай вывод и запиши его с помощью букв:

На основе проделанных действий можно сделать вывод: чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменений. В виде формулы это правило выглядит следующим образом:

$\frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a-b}{n}$

Ответ: $\frac{a-b}{n}$

3 Выполни вычитание:

а) $ \frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \_ = \_ $

б) $ \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \_ = \_ $

в) $ \frac{9}{36} - \frac{7}{36} = \_ = \_ $

г) $ \frac{258}{100} - \frac{16}{100} = \_ = \_ \% $

а) Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5 - 2}{7} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$

б) Выполняем вычитание по тому же правилу, что и в предыдущем примере, так как знаменатели дробей одинаковы.

$\frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$

в) Сначала вычитаем числители, а знаменатель оставляем прежним. Затем, если это возможно, сокращаем полученную дробь.

$\frac{9}{36} - \frac{7}{36} = \frac{9 - 7}{36} = \frac{2}{36}$

Дробь $\frac{2}{36}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, равный 2.

$\frac{2 \div 2}{36 \div 2} = \frac{1}{18}$

Ответ: $\frac{1}{18}$

г) Выполняем вычитание дробей. Затем переводим результат в проценты. Процент — это сотая часть числа, поэтому дробь со знаменателем 100 легко перевести в проценты.

$\frac{258}{100} - \frac{16}{100} = \frac{258 - 16}{100} = \frac{242}{100}$

Чтобы выразить дробь со знаменателем 100 в процентах, нужно взять ее числитель.

$\frac{242}{100} = 242\%$

Ответ: $242\%$

4 Сумма двух чисел равна $\frac{11}{12}$, а одно из них - $\frac{5}{12}$. Какое из этих чисел меньше и на сколько?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем второе число.
Сумма двух чисел равна $\frac{11}{12}$, а одно из них — $\frac{5}{12}$. Чтобы найти второе число, нужно из суммы вычесть известное число:
$\frac{11}{12} - \frac{5}{12} = \frac{11 - 5}{12} = \frac{6}{12}$.
Итак, второе число равно $\frac{6}{12}$.

2. Сравним два числа.
Теперь у нас есть два числа: $\frac{5}{12}$ и $\frac{6}{12}$. Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители.
Так как $5 < 6$, то дробь $\frac{5}{12}$ меньше дроби $\frac{6}{12}$.
Следовательно, меньшее из двух чисел — это $\frac{5}{12}$.

3. Найдем, на сколько одно число меньше другого.
Чтобы узнать разницу между числами, вычтем из большего числа меньшее:
$\frac{6}{12} - \frac{5}{12} = \frac{6 - 5}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: Меньшее число — $\frac{5}{12}$. Оно меньше другого числа на $\frac{1}{12}$.

5* Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придётся сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?

Чтобы найти максимальное количество проб, которое может понадобиться, нужно рассмотреть самый неблагоприятный (худший) сценарий.

Возьмем первый чемодан и начнем подбирать к нему ключи. Всего у нас 5 ключей. В худшем случае мы будем раз за разом пробовать не тот ключ. Попробуем первый ключ — не подходит. Второй — не подходит. Третий — тоже. Четвертый — опять неудача. После четырех неудачных попыток нам не нужно пробовать пятый ключ, так как он точно подойдет (поскольку у каждого чемодана есть свой ключ). Таким образом, для определения ключа от первого чемодана в худшем случае потребуется 4 пробы. После этого у нас останется 4 чемодана и 4 ключа.

Теперь возьмем второй чемодан. Для него осталось 4 неизвестных ключа. Действуя по той же логике, в худшем случае нам придется перебрать 3 ключа, прежде чем мы найдем нужный (четвертый подойдет автоматически). Это еще 3 пробы.

Для третьего чемодана, к которому нужно подобрать один из трех оставшихся ключей, в худшем случае понадобится 2 пробы.

Для четвертого чемодана осталось два ключа. В худшем случае мы попробуем один, и он не подойдет. Это 1 проба. Второй ключ, соответственно, будет правильным.

Когда мы дойдем до пятого чемодана, у нас останется только один ключ, который ему гарантированно соответствует. Поэтому никаких проб больше делать не нужно (0 проб).

Суммируем количество проб на каждом шаге, чтобы найти общее максимальное количество:

$4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10$

Ответ: В самом худшем случае придётся сделать 10 проб.

1 Запиши названия величин, которые измеряют, и результаты измерения. Допиши предложение.

Длина

$AB = \underline{\hspace{1em}} e$

Площадь

$S = \underline{\hspace{1em}} e$

Объем

$V = \underline{\hspace{1em}} e$

Масса

$m = \underline{\hspace{1em}} e$

«Измерить величину – это значит выбрать __________ и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой __________»

Длина

На первом рисунке измеряется длина отрезка AB. В качестве единицы измерения (мерки) используется отрезок e. Видно, что отрезок AB состоит из 5 таких мерок.

Следовательно, результат измерения: $AB = 5e$.

Ответ: $AB = 5e$

Площадь

На втором рисунке измеряется площадь прямоугольника S. В качестве единицы измерения (мерки) используется квадрат e. Прямоугольник состоит из 6 таких квадратов.

Следовательно, результат измерения: $S = 6e$.

Ответ: $S = 6e$

Объём

На третьем рисунке измеряется объём фигуры V. В качестве единицы измерения (мерки) используется куб e. Фигура состоит из 4 таких кубов.

Следовательно, результат измерения: $V = 4e$.

Ответ: $V = 4e$

Масса

На четвертом рисунке измеряется масса тыквы m. В качестве единицы измерения (мерки) используется гирька e. Весы находятся в равновесии, когда на одной чаше тыква, а на другой — 4 гирьки.

Следовательно, результат измерения: $m = 4e$.

Ответ: $m = 4e$

Допиши предложение

«Измерить величину — это значит выбрать мерку и узнать, сколько раз она содержится в измеряемой величине».

2 а) Попробуй измерить угол А:

$ \angle A = $ ________

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

«Измерить угол – это значит выбрать ________ и узнать, сколько раз она содержится в измеряемом ________»

Определи, какой угол выбран в качестве единицы измерения угла А. Отметь его буквой е. Запиши результат измерения.

$ \angle A = $ ________ $e$

Проверь свой результат по учебнику, с. 11.

Сделай вывод:

«С увеличением единицы измерения мера угла ________, а с уменьшением – ________»

а) Попробуй измерить угол А:

Измерить угол A, не имея специального инструмента (транспортира) и не зная общепринятых единиц измерения (градусов), невозможно. Для измерения необходимо сначала выбрать мерку — другой угол, который будет использоваться в качестве единицы измерения.

Что ты пока не знаешь? Я не знаю, какую единицу измерения (мерку) использовать и как с ее помощью определить величину угла.

Цель: Научиться измерять углы с помощью произвольной мерки.

План: 1. Выбрать угол, который будет служить единицей измерения (меркой). 2. Определить, сколько раз эта мерка укладывается внутри измеряемого угла. 3. Записать полученное число.

Ответ: Для измерения угла А необходимо выбрать единицу измерения (мерку).

б) Проанализируй решение задачи № 1 и сделай вывод:

«Измерить угол – это значит выбрать единицу измерения (мерку) и узнать, сколько раз она содержится в измеряемом угле».

В качестве единицы измерения (мерки), обозначенной буквой е, выбран острый угол. На рисунке показано, что угол А разделен на три таких одинаковых угла. Следовательно, мерка е содержится в угле А три раза.

$∠A = 3$ е

Ответ: $∠A = 3$ е.

в) Проанализируй решение и рисунки задания № 3, с. 11 учебника. Как изменяется мера угла, если мерка уменьшается, увеличивается? Сделай вывод:

Между размером единицы измерения (мерки) и мерой угла существует обратная зависимость. Чем больше мерка, тем меньшее количество раз она поместится в измеряемом угле, и, соответственно, тем меньше будет числовое значение меры угла. И наоборот, чем меньше мерка, тем больше раз она поместится в угле и тем больше будет его мера.

«С увеличением единицы измерения мера угла уменьшается, а с уменьшением – увеличивается».

Ответ: С увеличением единицы измерения мера угла уменьшается, а с уменьшением – увеличивается.