Страница 11, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Прочитай записи. Подчеркни выражения одной чертой, равенства – двумя, а неравенства – волнистой линией.

$a + 2 = 7$   $b - 6$   $c < 3$   $8 - d : 3$   $k = 5$   $m \cdot 4 > 20$

Для выполнения этого задания нужно проанализировать каждую запись и определить, является ли она выражением, равенством или неравенством, а затем подчеркнуть её соответствующим образом.

• Выражения — это математические записи, которые содержат числа, переменные и знаки действий, но не имеют знаков сравнения (таких как $=, <, >$). Их нужно подчеркнуть одной чертой.
• Равенства — это записи, в которых две части соединены знаком равно ($=$). Их нужно подчеркнуть двумя чертами.
• Неравенства — это записи, в которых для сравнения двух частей используются знаки больше ($>$) или меньше ($<$). Их нужно подчеркнуть волнистой линией.

Выражения

В предложенном списке две записи не содержат знаков равенства или неравенства, поэтому они являются выражениями:

• $b-6$
• $8-d:3$

Подчеркиваем их одной чертой.

Ответ: $b-6$, $8-d:3$.

Равенства

Две записи содержат знак равно ($=$), следовательно, они являются равенствами:

• $a+2=7$
• $k=5$

Подчеркиваем их двумя чертами.

Ответ: $a+2=7$, $k=5$.

Неравенства

Две записи содержат знаки сравнения ($<$ и $>$), поэтому они являются неравенствами:

• $c<3$
• $m \cdot 4 > 20$

Подчеркиваем их волнистой линией.

Ответ: $c<3$, $m \cdot 4 > 20$.

2 Что общего в записях? Укажи для каждого неравенства одно значение переменной, при котором это неравенство становится верным.

$y < 3$ $t > 56$ $75 - x > 4$

$\text{____} < 3$ (верно) $\text{____} > 56$ (верно) $75 - \text{____} > 4$ (верно)

$y = \text{____}$ $t = \text{____}$ $x = \text{____}$

Как можно назвать указанные числа? Предложи свой вариант.

Проверь себя по учебнику, с. 3. Если нужно, исправь ошибки.

Общим в этих записях является то, что все они являются неравенствами. В каждом из них используется знак сравнения ($<$ или $>$) и присутствует переменная (буква), вместо которой нужно подставить число, чтобы получилось верное утверждение.

y < 3

Чтобы неравенство $y < 3$ стало верным, нужно вместо переменной $y$ подставить любое число, которое меньше 3. Например, выберем число 2.

Проверка: $2 < 3$. Утверждение верно.

Заполняем пропуски:

2 $ < 3$ (верно)

$y = $ 2

Ответ: $y = 2$.

t > 56

Чтобы неравенство $t > 56$ стало верным, нужно вместо переменной $t$ подставить любое число, которое больше 56. Например, выберем число 60.

Проверка: $60 > 56$. Утверждение верно.

Заполняем пропуски:

60 $ > 56$ (верно)

$t = $ 60

Ответ: $t = 60$.

75 − x > 4

Чтобы неравенство $75 - x > 4$ стало верным, нужно найти такое значение $x$, чтобы разность $75 - x$ была больше 4. Это значит, что вычитаемое $x$ должно быть меньше, чем $75 - 4 = 71$. Выберем любое число меньше 71, например, $x = 10$.

Проверка: $75 - 10 = 65$. Сравниваем результат с 4: $65 > 4$. Утверждение верно.

Заполняем пропуски:

$75 -$ 10 $ > 4$ (верно)

$x = $ 10

Ответ: $x = 10$.

Как можно назвать указанные числа? Предложи свой вариант.

Числа, которые при подстановке в неравенство вместо переменной превращают его в верное числовое неравенство, называются решениями неравенства. Поскольку для каждого из этих неравенств существует бесконечно много решений, то любое одно конкретное число (например, $y=2$) является частным решением.

3 Какие из чисел 0, 23, 45, 68 являются решениями неравенства $x < 45$?

Обоснуй свой ответ.

a) $x = 0$

☐ $< 45$ да, нет

б) $x = 23$

☐ $< 45$ да, нет

в) $x = 45$

☐ $< 45$ да, нет

г) $x = 68$

☐ $< 45$ да, нет

Вывод: числа ____________ являются решениями неравенства $x < 45$

числа ____________ не являются решениями неравенства $x < 45$

Чтобы определить, какие из чисел 0, 23, 45, 68 являются решениями неравенства $x < 45$, нужно подставить каждое из этих чисел вместо $x$ и проверить, будет ли полученное неравенство верным.

а) x = 0
Подставляем 0 в неравенство: $0 < 45$.
Это утверждение верно, так как 0 действительно меньше 45. Значит, 0 является решением.
Ответ: да.

б) x = 23
Подставляем 23 в неравенство: $23 < 45$.
Это утверждение верно, так как 23 действительно меньше 45. Значит, 23 является решением.
Ответ: да.

в) x = 45
Подставляем 45 в неравенство: $45 < 45$.
Это утверждение неверно. Число 45 равно 45, но не меньше 45. Неравенство строгое. Значит, 45 не является решением.
Ответ: нет.

г) x = 68
Подставляем 68 в неравенство: $68 < 45$.
Это утверждение неверно, так как 68 больше 45. Значит, 68 не является решением.
Ответ: нет.

Вывод:
Числа 0, 23 являются решениями неравенства $x < 45$.
Числа 45, 68 не являются решениями неравенства $x < 45$.

4 Определи, является ли число 12 решением данного неравенства? Зачеркни неверный ответ.

a) $y + 25 > 37$

да, нет

б) $96 : x < 9$

да, нет

в) $k \cdot 0 < 1$

да, нет

а) y + 25 > 37
Чтобы определить, является ли число 12 решением данного неравенства, подставим его вместо переменной $y$ и проверим, получится ли верное утверждение.
Подставляем: $12 + 25 > 37$.
Выполняем сложение в левой части неравенства: $12 + 25 = 37$.
Получаем: $37 > 37$.
Это утверждение является неверным, так как 37 равно 37, а не больше. Следовательно, число 12 не является решением этого неравенства.
Ответ: нет

б) 96 : x < 9
Подставим число 12 в неравенство вместо переменной $x$.
Получаем: $96 : 12 < 9$.
Выполняем деление в левой части: $96 : 12 = 8$.
Теперь неравенство выглядит так: $8 < 9$.
Это утверждение верно, так как число 8 действительно меньше числа 9. Значит, число 12 является решением данного неравенства.
Ответ: да

в) k · 0 < 1
Подставим число 12 вместо переменной $k$.
Получаем: $12 \cdot 0 < 1$.
Выполняем умножение в левой части: $12 \cdot 0 = 0$.
Получаем неравенство: $0 < 1$.
Это утверждение верно, так как 0 меньше 1. Следовательно, число 12 является решением этого неравенства.
Ответ: да

5 Укажи, какие из чисел, принадлежащих $N_0$, являются решениями неравенства:

а) $8 - a > 5$

б) $6 \cdot b < 25$

в) $c + 7 > 10$

г) $d - 3 < 2$

а) Требуется найти все числа $a$ из множества $N_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\}$, которые являются решениями неравенства $8 - a > 5$. Будем подставлять значения из $N_0$ по порядку:

• Если $a = 0$, то $8 - 0 = 8$, и $8 > 5$. Это верное неравенство.
• Если $a = 1$, то $8 - 1 = 7$, и $7 > 5$. Это верное неравенство.
• Если $a = 2$, то $8 - 2 = 6$, и $6 > 5$. Это верное неравенство.
• Если $a = 3$, то $8 - 3 = 5$, а неравенство $5 > 5$ является неверным.

При дальнейших увеличениях $a$ разность $8 - a$ будет только уменьшаться, поэтому другие числа из $N_0$ не будут решениями.
Ответ: 0, 1, 2.

б) Требуется найти все числа $b$ из множества $N_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\}$, которые являются решениями неравенства $6 \cdot b < 25$. Будем подставлять значения из $N_0$ по порядку:

• Если $b = 0$, то $6 \cdot 0 = 0$, и $0 < 25$. Это верное неравенство.
• Если $b = 1$, то $6 \cdot 1 = 6$, и $6 < 25$. Это верное неравенство.
• Если $b = 2$, то $6 \cdot 2 = 12$, и $12 < 25$. Это верное неравенство.
• Если $b = 3$, то $6 \cdot 3 = 18$, и $18 < 25$. Это верное неравенство.
• Если $b = 4$, то $6 \cdot 4 = 24$, и $24 < 25$. Это верное неравенство.
• Если $b = 5$, то $6 \cdot 5 = 30$, а неравенство $30 < 25$ является неверным.

При дальнейших увеличениях $b$ произведение $6 \cdot b$ будет только расти, поэтому другие числа из $N_0$ не будут решениями.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

в) Требуется найти все числа $c$ из множества $N_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\}$, которые являются решениями неравенства $c + 7 > 10$. Чтобы найти $c$, вычтем 7 из обеих частей неравенства:
$c > 10 - 7$
$c > 3$
Таким образом, решениями являются все числа из множества $N_0$, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6 и так далее.
Ответ: 4, 5, 6, 7, ...

г) Требуется найти все числа $d$ из множества $N_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\}$, которые являются решениями неравенства $d - 3 < 2$. Чтобы найти $d$, прибавим 3 к обеим частям неравенства:
$d < 2 + 3$
$d < 5$
Таким образом, решениями являются все числа из множества $N_0$, которые меньше 5. Это числа 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

1 Какую часть отрезка CD составляет отрезок AB? Какую часть отрезка AB составляет отрезок CD? Допиши равенства. Что ты замечаешь?

$AB = \frac{3}{5} CD$

$CD = \frac{5}{3} AB$

Какой из этих отрезков можно назвать правильной частью другого отрезка, а какой – неправильной частью?

Проверь себя по учебнику, с. 18. Если нужно, исправь ошибки.

Какую часть отрезка CD составляет отрезок AB?

Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим на изображение. Мы видим, что оба отрезка разделены на равные части. Примем длину одной такой части за единицу. Тогда длина отрезка AB равна 2 единицам, а длина отрезка CD равна 3 единицам. Чтобы найти, какую часть отрезок AB составляет от отрезка CD, нужно найти отношение их длин:

$ \frac{\text{длина AB}}{\text{длина CD}} = \frac{2}{3} $

Таким образом, отрезок AB составляет $ \frac{2}{3} $ от отрезка CD.

Ответ: Отрезок AB составляет $ \frac{2}{3} $ отрезка CD.

Какую часть отрезка AB составляет отрезок CD?

Аналогично, чтобы найти, какую часть отрезок CD составляет от отрезка AB, нужно найти отношение их длин:

$ \frac{\text{длина CD}}{\text{длина AB}} = \frac{3}{2} $

Таким образом, отрезок CD составляет $ \frac{3}{2} $ от отрезка AB.

Ответ: Отрезок CD составляет $ \frac{3}{2} $ отрезка AB.

Допиши равенства. Что ты замечаешь?

На основе полученных результатов заполняем пропуски в равенствах:

$ AB = \frac{2}{3} CD $

$ CD = \frac{3}{2} AB $

Можно заметить, что коэффициенты в этих равенствах, дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{2} $, являются взаимно обратными числами, так как их произведение равно 1: $ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 $.

Ответ: $ AB = \frac{2}{3} CD $, $ CD = \frac{3}{2} AB $. Дроби в равенствах являются взаимно обратными.

Какой из этих отрезков можно назвать правильной частью другого отрезка, а какой – неправильной частью?

Часть целого, которая выражается правильной дробью (дробь, у которой числитель меньше знаменателя), называется правильной частью. Если же часть выражается неправильной дробью (дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю), то она называется неправильной частью.

Отрезок AB составляет $ \frac{2}{3} $ отрезка CD. Так как дробь $ \frac{2}{3} $ является правильной ($ 2 < 3 $), то отрезок AB можно назвать правильной частью отрезка CD.

Отрезок CD составляет $ \frac{3}{2} $ отрезка AB. Так как дробь $ \frac{3}{2} $ является неправильной ($ 3 > 2 $), то отрезок CD можно назвать неправильной частью отрезка AB.

Ответ: Отрезок AB является правильной частью отрезка CD, а отрезок CD — неправильной частью отрезка AB.

2 Найди и подчеркни неправильные части отрезков:

$\frac{4}{5}$ EF

$\frac{7}{3}$ AC

$\frac{2}{9}$ MK

$\frac{5}{8}$ XY

$\frac{3}{2}$ BD

$\frac{10}{4}$ LS

Для того чтобы найти неправильные части отрезков, необходимо определить, какие из предложенных дробей являются неправильными. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель (число сверху) больше или равен знаменателю (числу снизу). Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Рассмотрим каждую часть отрезка по отдельности:

$\frac{4}{5} EF$

В этой дроби числитель $4$ меньше знаменателя $5$ ($4 < 5$). Следовательно, это правильная дробь.

$\frac{7}{3} AC$

В этой дроби числитель $7$ больше знаменателя $3$ ($7 > 3$). Следовательно, это неправильная дробь.

$\frac{2}{9} MK$

В этой дроби числитель $2$ меньше знаменателя $9$ ($2 < 9$). Следовательно, это правильная дробь.

$\frac{5}{8} XY$

В этой дроби числитель $5$ меньше знаменателя $8$ ($5 < 8$). Следовательно, это правильная дробь.

$\frac{3}{2} BD$

В этой дроби числитель $3$ больше знаменателя $2$ ($3 > 2$). Следовательно, это неправильная дробь.

$\frac{10}{4} LS$

В этой дроби числитель $10$ больше знаменателя $4$ ($10 > 4$). Следовательно, это неправильная дробь.

Таким образом, неправильными являются части отрезков, которые выражены дробями $\frac{7}{3}$, $\frac{3}{2}$ и $\frac{10}{4}$. Согласно заданию, их нужно подчеркнуть.

Ответ: $\frac{4}{5} EF$, $\frac{7}{3} AC$, $\frac{2}{9} MK$, $\frac{5}{8} XY$, $\frac{3}{2} BD$, $\frac{10}{4} LS$.

3 Определи, какую часть каждый из отрезков на рисунке составляет от остальных отрезков.

$AB = \Box CD$ $AB = \Box EF$ $CD = \Box EF$

$CD = \Box AB$ $EF = \Box AB$ $EF = \Box CD$

Для того чтобы определить, какую часть один отрезок составляет от другого, сначала найдем длину каждого отрезка в условных единицах. За одну единицу примем расстояние между двумя соседними отметками на отрезке.

• Отрезок AB состоит из 2 таких единиц. Длина AB = 2.
• Отрезок CD состоит из 4 таких единиц. Длина CD = 4.
• Отрезок EF состоит из 5 таких единиц. Длина EF = 5.

Теперь вычислим отношения длин для каждого случая.

AB = ... CD
Чтобы найти, какую часть отрезок AB составляет от отрезка CD, необходимо разделить длину отрезка AB на длину отрезка CD.
$ \frac{\text{длина AB}}{\text{длина CD}} = \frac{2}{4} $
Сокращаем полученную дробь: $ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
Следовательно, отрезок AB составляет $ \frac{1}{2} $ от отрезка CD.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

AB = ... EF
Найдем отношение длины отрезка AB к длине отрезка EF.
$ \frac{\text{длина AB}}{\text{длина EF}} = \frac{2}{5} $
Эта дробь является несократимой. Следовательно, отрезок AB составляет $ \frac{2}{5} $ от отрезка EF.
Ответ: $ \frac{2}{5} $

CD = ... EF
Найдем отношение длины отрезка CD к длине отрезка EF.
$ \frac{\text{длина CD}}{\text{длина EF}} = \frac{4}{5} $
Эта дробь является несократимой. Следовательно, отрезок CD составляет $ \frac{4}{5} $ от отрезка EF.
Ответ: $ \frac{4}{5} $

CD = ... AB
Найдем отношение длины отрезка CD к длине отрезка AB.
$ \frac{\text{длина CD}}{\text{длина AB}} = \frac{4}{2} = 2 $
Следовательно, отрезок CD в 2 раза длиннее отрезка AB.
Ответ: $ 2 $

EF = ... AB
Найдем отношение длины отрезка EF к длине отрезка AB.
$ \frac{\text{длина EF}}{\text{длина AB}} = \frac{5}{2} $
Следовательно, отрезок EF составляет $ \frac{5}{2} $ от отрезка AB.
Ответ: $ \frac{5}{2} $

EF = ... CD
Найдем отношение длины отрезка EF к длине отрезка CD.
$ \frac{\text{длина EF}}{\text{длина CD}} = \frac{5}{4} $
Следовательно, отрезок EF составляет $ \frac{5}{4} $ от отрезка CD.
Ответ: $ \frac{5}{4} $

4 Запиши, каким натуральным числам равны дроби:

$\frac{20}{4} = \square$ $\frac{56}{7} = \square$ $\frac{72}{8} = \square$ $\frac{42}{6} = \square$ $\frac{30}{5} = \square$

Чтобы найти, какому натуральному числу равна дробь, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Черта дроби обозначает действие деления.

$\frac{20}{4}$
Для нахождения натурального числа, которому равна дробь $\frac{20}{4}$, разделим числитель 20 на знаменатель 4.
$20 \div 4 = 5$
Ответ: 5

$\frac{56}{7}$
Для нахождения натурального числа, которому равна дробь $\frac{56}{7}$, разделим числитель 56 на знаменатель 7.
$56 \div 7 = 8$
Ответ: 8

$\frac{72}{8}$
Для нахождения натурального числа, которому равна дробь $\frac{72}{8}$, разделим числитель 72 на знаменатель 8.
$72 \div 8 = 9$
Ответ: 9

$\frac{42}{6}$
Для нахождения натурального числа, которому равна дробь $\frac{42}{6}$, разделим числитель 42 на знаменатель 6.
$42 \div 6 = 7$
Ответ: 7

$\frac{30}{5}$
Для нахождения натурального числа, которому равна дробь $\frac{30}{5}$, разделим числитель 30 на знаменатель 5.
$30 \div 5 = 6$
Ответ: 6

5 Реши уравнения. Сделай проверку устно.

$x + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$

$x=$

$x=$

$y - \frac{4}{11} = \frac{6}{11}$

$y=$

$y=$

$\frac{12}{10} - n = \frac{8}{10}$

$n=$

$n=$

$x + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$

В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = \frac{7}{9} - \frac{5}{9}$

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, мы вычитаем их числители, а знаменатель оставляем прежним.

$x = \frac{7-5}{9}$

$x = \frac{2}{9}$

Устная проверка: подставляем $x$ в исходное уравнение: $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9}$. Так как $\frac{7}{9} = \frac{7}{9}$, решение верное.

Ответ: $x = \frac{2}{9}$

$y - \frac{4}{11} = \frac{6}{11}$

В данном уравнении $y$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

$y = \frac{6}{11} + \frac{4}{11}$

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, мы складываем их числители, а знаменатель оставляем прежним.

$y = \frac{6+4}{11}$

$y = \frac{10}{11}$

Устная проверка: подставляем $y$ в исходное уравнение: $\frac{10}{11} - \frac{4}{11} = \frac{10-4}{11} = \frac{6}{11}$. Так как $\frac{6}{11} = \frac{6}{11}$, решение верное.

Ответ: $y = \frac{10}{11}$

$\frac{12}{10} - n = \frac{8}{10}$

В данном уравнении $n$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.

$n = \frac{12}{10} - \frac{8}{10}$

Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, мы вычитаем их числители, а знаменатель оставляем прежним.

$n = \frac{12-8}{10}$

$n = \frac{4}{10}$

Устная проверка: подставляем $n$ в исходное уравнение: $\frac{12}{10} - \frac{4}{10} = \frac{12-4}{10} = \frac{8}{10}$. Так как $\frac{8}{10} = \frac{8}{10}$, решение верное. (Дробь $\frac{4}{10}$ также можно сократить до $\frac{2}{5}$).

Ответ: $n = \frac{4}{10}$

6 Вася шифрует числа. Сначала он выписывает произведение первой и второй цифр, за ним – второй и третьей и так далее. Например, число 346 превратится в 1224. Сколько чисел превращается в 5648?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Согласно условию, шифрование числа происходит путем последовательной записи произведений соседних цифр. Чтобы расшифровать число 5648, нам нужно выполнить обратную операцию: разбить его на части, каждая из которых является произведением двух однозначных чисел, и восстановить исходную последовательность цифр.

Произведение двух однозначных чисел (от 0 до 9) не может быть больше чем $9 \times 9 = 81$. Значит, каждая часть зашифрованного числа может состоять из одной или двух цифр.

Рассмотрим возможные варианты длины исходного числа.

Случай 1: Исходное число трехзначное ($d_1d_2d_3$)
В этом случае зашифрованное число состоит из двух произведений: $p_1 = d_1 \times d_2$ и $p_2 = d_2 \times d_3$. Число 5648 нужно разбить на две части. Единственный возможный вариант, при котором обе части не превышают 81, это 56 и 48.

Получаем систему:

• $d_1 \times d_2 = 56$
• $d_2 \times d_3 = 48$

Из первого уравнения возможны пары цифр $(d_1, d_2)$: (7, 8) или (8, 7).
Из второго уравнения возможны пары цифр $(d_2, d_3)$: (6, 8) или (8, 6).

Общая цифра $d_2$ должна быть одинаковой в обоих случаях.

• Если $d_2 = 8$, то из первого уравнения $d_1 = 7$, а из второго $d_3 = 6$. Мы получаем последовательность цифр 7, 8, 6, что соответствует исходному числу 786. Проверим: $7 \times 8 = 56$, $8 \times 6 = 48$. Шифр: 5648. Это решение подходит.
• Если $d_2 = 7$, то для второго уравнения ($7 \times d_3 = 48$) нет целочисленного решения, так как 48 не делится на 7.

В этом случае мы нашли одно число: 786.

Случай 2: Исходное число четырехзначное ($d_1d_2d_3d_4$)
В этом случае зашифрованное число состоит из трех произведений: $p_1 = d_1 \times d_2$, $p_2 = d_2 \times d_3$ и $p_3 = d_3 \times d_4$. Нужно разбить 5648 на три части.

Возможные разбиения:

• Разбиение 56, 4, 8:
  $d_1 \times d_2 = 56 \Rightarrow d_2 \in \{7, 8\}$.
  $d_2 \times d_3 = 4 \Rightarrow d_2 \in \{1, 2, 4\}$.
  Множества возможных значений для $d_2$ не пересекаются. Решений нет.
• Разбиение 5, 64, 8:
  $d_1 \times d_2 = 5 \Rightarrow d_2 \in \{1, 5\}$.
  $d_2 \times d_3 = 64 \Rightarrow d_2 = 8$.
  Значения для $d_2$ не совпадают. Решений нет.
• Разбиение 5, 6, 48:
  $d_1 \times d_2 = 5 \Rightarrow (d_1, d_2) \in \{(1, 5), (5, 1)\}$.
  $d_2 \times d_3 = 6$.
  $d_3 \times d_4 = 48 \Rightarrow d_3 \in \{6, 8\}$.
  Начнем с середины. Из $d_3 \times d_4 = 48$, $d_3$ может быть 6 или 8. Из $d_2 \times d_3 = 6$, $d_3$ может быть 1, 2, 3 или 6. Единственное общее значение - $d_3 = 6$.
  Если $d_3 = 6$, то из $d_2 \times 6 = 6$ получаем $d_2 = 1$.
  Если $d_2 = 1$, то из $d_1 \times 1 = 5$ получаем $d_1 = 5$.
  Если $d_3 = 6$, то из $6 \times d_4 = 48$ получаем $d_4 = 8$.
  Мы получили последовательность цифр 5, 1, 6, 8, что соответствует исходному числу 5168. Проверим: $5 \times 1 = 5$, $1 \times 6 = 6$, $6 \times 8 = 48$. Шифр: 5648. Это второе решение.

Случай 3: Исходное число имеет 5 и более цифр
Если исходное число пятизначное, то шифр должен состоять из 4 произведений. Число 5648 можно разбить на 4 однозначных числа: 5, 6, 4, 8. Но эта цепочка не приводит к решению. Например, из $d_1 \times d_2 = 5$ и $d_2 \times d_3 = 6$ следует $d_2=1$, $d_1=5$, $d_3=6$. Но из $d_3 \times d_4 = 4$ следует, что $d_3$ должно быть 1, 2 или 4, а не 6. Противоречие.

Таким образом, мы нашли ровно два числа, которые превращаются в 5648: это 786 и 5168.

Ответ: 2

5 На каждом рисунке отметь дугой $ \angle KMN $ и вычисли его градусную меру.

а) $ \angle KMN = $ ________

б) $ \angle KMN = $ ________

В) $ \angle KMN = $ ________

а) Угол $ \angle KMN $ состоит из двух прилежащих углов: $ \angle KMP $ и $ \angle PMN $. Чтобы найти его градусную меру, нужно сложить градусные меры составляющих его углов: $ \angle KMN = \angle KMP + \angle PMN = 55^\circ + 42^\circ = 97^\circ $.
Ответ: $ 97^\circ $

б) Углы $ \angle KMN $ и $ \angle NMF $ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол $ \angle KMF $, равный $ 180^\circ $. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $. Чтобы найти градусную меру угла $ \angle KMN $, нужно из $ 180^\circ $ вычесть известную меру угла $ \angle NMF $: $ \angle KMN = 180^\circ - \angle NMF = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ $.
Ответ: $ 116^\circ $

в) Угол $ \angle KMC $ — прямой, его градусная мера равна $ 90^\circ $ (на это указывает значок квадрата). Он разделен лучом MN на два угла: $ \angle KMN $ и $ \angle NMC $. Чтобы найти градусную меру угла $ \angle KMN $, нужно из градусной меры прямого угла вычесть известную меру угла $ \angle NMC $: $ \angle KMN = \angle KMC - \angle NMC = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ $.
Ответ: $ 62^\circ $

6 Сравни с помощью знаков >, <, =:

$ \frac{2}{10} \square \frac{7}{10} $

$ \frac{4}{3} \square \frac{3}{4} $

$ 1\frac{5}{7} \square 6\frac{5}{12} $

$ \frac{2}{2} \square \frac{9}{9} $

$ \frac{5}{6} \square \frac{5}{8} $

$ \frac{9}{16} \square \frac{16}{9} $

$ 2\frac{4}{5} \square 3\frac{1}{5} $

$ \frac{17}{100} \square 17\% $

$\frac{2}{10} \Box \frac{7}{10}$
Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше. Поскольку $2 < 7$, то $\frac{2}{10} < \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{2}{10} < \frac{7}{10}$

$\frac{4}{3} \Box \frac{3}{4}$
Дробь $\frac{4}{3}$ является неправильной, так как ее числитель (4) больше знаменателя (3), следовательно, она больше 1. Дробь $\frac{3}{4}$ является правильной, так как ее числитель (3) меньше знаменателя (4), следовательно, она меньше 1. Любое число, которое больше 1, больше любого числа, которое меньше 1. Поэтому $\frac{4}{3} > \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{4}{3} > \frac{3}{4}$

$1\frac{5}{7} \Box 6\frac{5}{12}$
При сравнении смешанных чисел сначала сравнивают их целые части. Целая часть первого числа — 1, а второго — 6. Так как $1 < 6$, то и все число $1\frac{5}{7}$ меньше, чем $6\frac{5}{12}$.
Ответ: $1\frac{5}{7} < 6\frac{5}{12}$

$\frac{2}{2} \Box \frac{9}{9}$
Если числитель дроби равен ее знаменателю, то такая дробь равна 1. В данном случае $\frac{2}{2} = 1$ и $\frac{9}{9} = 1$. Следовательно, дроби равны.
Ответ: $\frac{2}{2} = \frac{9}{9}$

$\frac{5}{6} \Box \frac{5}{8}$
Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Та дробь больше, у которой знаменатель меньше. Поскольку $6 < 8$, то $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$

$\frac{9}{16} \Box \frac{16}{9}$
Дробь $\frac{9}{16}$ является правильной (меньше 1), а дробь $\frac{16}{9}$ — неправильной (больше 1). Следовательно, $\frac{9}{16} < \frac{16}{9}$.
Ответ: $\frac{9}{16} < \frac{16}{9}$

$2\frac{4}{5} \Box 3\frac{1}{5}$
Сравниваем целые части смешанных чисел. Целая часть первого числа — 2, а второго — 3. Так как $2 < 3$, то $2\frac{4}{5} < 3\frac{1}{5}$.
Ответ: $2\frac{4}{5} < 3\frac{1}{5}$

$\frac{17}{100} \Box 17\%$
Процент — это сотая часть числа. Это означает, что $17\%$ можно представить в виде дроби $\frac{17}{100}$. Таким образом, мы сравниваем две одинаковые величины.
Ответ: $\frac{17}{100} = 17\%$

7 Реши уравнения:

$3\frac{5}{11} - x = 1\frac{9}{11}$

$y - 5\frac{4}{6} = 3\frac{2}{6}$

$n + \frac{7}{8} = 5\frac{1}{8}$

$3\frac{5}{11} - x = 1\frac{9}{11}$
В этом уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 3\frac{5}{11} - 1\frac{9}{11}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{11}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{9}{11}$), поэтому нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого. Представим $3\frac{5}{11}$ как $2\frac{16}{11}$.
$3\frac{5}{11} = 2 + 1 + \frac{5}{11} = 2 + \frac{11}{11} + \frac{5}{11} = 2\frac{16}{11}$
Теперь выполним вычитание:
$x = 2\frac{16}{11} - 1\frac{9}{11} = (2 - 1) + (\frac{16}{11} - \frac{9}{11}) = 1 + \frac{16 - 9}{11} = 1\frac{7}{11}$
Проверка: $3\frac{5}{11} - 1\frac{7}{11} = 2\frac{16}{11} - 1\frac{7}{11} = 1\frac{9}{11}$.
Ответ: $1\frac{7}{11}$.

$y - 5\frac{4}{6} = 3\frac{2}{6}$
В этом уравнении $y$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$y = 3\frac{2}{6} + 5\frac{4}{6}$
Сложим целые и дробные части отдельно:
$y = (3 + 5) + (\frac{2}{6} + \frac{4}{6}) = 8 + \frac{2 + 4}{6} = 8 + \frac{6}{6}$
Так как $\frac{6}{6} = 1$, получаем:
$y = 8 + 1 = 9$
Проверка: $9 - 5\frac{4}{6} = 8\frac{6}{6} - 5\frac{4}{6} = 3\frac{2}{6}$.
Ответ: $9$.

$n + \frac{7}{8} = 5\frac{1}{8}$
В этом уравнении $n$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$n = 5\frac{1}{8} - \frac{7}{8}$
Дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{8}$) меньше вычитаемого ($\frac{7}{8}$), поэтому нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого. Представим $5\frac{1}{8}$ как $4\frac{9}{8}$.
$5\frac{1}{8} = 4 + 1 + \frac{1}{8} = 4 + \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = 4\frac{9}{8}$
Теперь выполним вычитание:
$n = 4\frac{9}{8} - \frac{7}{8} = 4 + (\frac{9}{8} - \frac{7}{8}) = 4 + \frac{9 - 7}{8} = 4\frac{2}{8}$
Сократим дробную часть: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$n = 4\frac{1}{4}$
Проверка: $4\frac{1}{4} + \frac{7}{8} = 4\frac{2}{8} + \frac{7}{8} = 4\frac{9}{8} = 4 + 1\frac{1}{8} = 5\frac{1}{8}$.
Ответ: $4\frac{1}{4}$.

8 Сколько острых, тупых, прямых, смежных углов на рисунке?

Острых углов __

Прямых углов __

Тупых углов __

Смежных углов __

Для решения задачи проанализируем все углы, представленные на рисунке, и классифицируем их.

Острых углов

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. На рисунке можно найти следующие острые углы:

• Углы при вершинах четырехугольника, разделенные диагоналями: $\angle BAC$, $\angle CAD$, $\angle ABD$, $\angle CBD$, $\angle BCA$, $\angle ACD$, $\angle BDA$, $\angle CDB$. Всего 8 таких углов.
• Углы самого четырехугольника: $\angle ABC$ и $\angle ADC$. Всего 2 угла.
• Вертикальные углы, образованные пересечением диагоналей: $\angle BOC$ и $\angle DOA$. Всего 2 угла.

Суммируем количество острых углов: $8 + 2 + 2 = 12$.

Ответ: 12

Тупых углов

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. На рисунке можно найти следующие тупые углы:

• Углы самого четырехугольника: $\angle DAB$ и $\angle BCD$. Всего 2 угла.
• Вертикальные углы, образованные пересечением диагоналей: $\angle AOB$ и $\angle COD$. Всего 2 угла.

Суммируем количество тупых углов: $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

Прямых углов

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. Визуальный анализ показывает, что на рисунке нет углов, которые выглядели бы как прямые. Ни стороны четырехугольника, ни его диагонали не перпендикулярны друг другу.

Ответ: 0

Смежных углов

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (образуют прямую линию). Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Такие углы образуются при пересечении диагоналей. На рисунке можно выделить 4 пары смежных углов:

• $\angle AOB$ и $\angle BOC$
• $\angle BOC$ и $\angle COD$
• $\angle COD$ и $\angle DOA$
• $\angle DOA$ и $\angle AOB$

Вопрос "Сколько смежных углов" обычно подразумевает количество пар.

Ответ: 4