Страница 17, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 а) Попробуй записать указанные неравенства. Для каждого из них запиши и отметь на числовом луче множество его решений.

x меньше или равно 4 $x \le 4$

0 — 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7

x больше или равно 4 $x \ge 4$

0 — 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Узнай по учебнику, с. 9, как называют и как записывают неравенства со словом «или». Сравни со своим вариантом. Если нужно, исправь ошибки.

а)

Выражение «x меньше или равно 4» записывается в виде неравенства $x \le 4$.
На числовом луче множество решений этого неравенства — это все числа от 0 до 4 включительно. Нужно отметить точку 4 закрашенным кружком (поскольку неравенство нестрогое) и заштриховать луч от этой точки влево до начала луча. Целочисленные решения на данном луче: 0, 1, 2, 3, 4.

Выражение «x больше или равно 4» записывается в виде неравенства $x \ge 4$.
На числовом луче множество решений — это число 4 и все числа, которые больше 4. Нужно отметить точку 4 закрашенным кружком и заштриховать луч от этой точки вправо. Целочисленные решения, показанные на луче: 4, 5, 6, 7, ...

Ответ: $x \le 4$ и $x \ge 4$. Для первого неравенства на числовом луче отмечается промежуток, включающий числа от 0 до 4. Для второго — промежуток от 4 и далее вправо.

б)

Неравенства, соединенные союзом «или», называют совокупностью неравенств. Решением такой совокупности является любое число, которое удовлетворяет хотя бы одному из входящих в нее неравенств. Множество решений совокупности — это объединение множеств решений каждого отдельного неравенства.

Записывают совокупность неравенств с помощью квадратной скобки. Например, условие «переменная $a$ меньше 5 или $a$ больше 10» запишется так: $ \left[ \begin{array}{c} a < 5 \\ a > 10 \end{array} \right. $

Ответ: Неравенства со словом «или» называют совокупностью неравенств и для их записи используют квадратную скобку.

2 Прочитай неравенство. Из каких двух высказываний оно состоит? Запиши их и подчеркни верные высказывания. Определи, верно ли исходное неравенство?

а) $0 \le 7$ или да, нет

б) $36 \le 34$ или да, нет

в) $10 \ge 8$ или да, нет

г) $5 \ge 23$ или да, нет

Нестрогое неравенство (со знаками $ \le $ или $ \ge $) является верным, если верно хотя бы одно из двух высказываний, из которых оно состоит.

а) Неравенство $0 \le 7$ читается как "ноль меньше или равно семи". Оно состоит из двух высказываний: $0 < 7$ или $0 = 7$.
Высказывание $0 < 7$ (ноль меньше семи) является верным.
Высказывание $0 = 7$ (ноль равен семи) является неверным.
Поскольку одно из высказываний верно, то исходное неравенство $0 \le 7$ является верным.
Ответ: да

б) Неравенство $36 \le 34$ читается как "тридцать шесть меньше или равно тридцати четырем". Оно состоит из двух высказываний: $36 < 34$ или $36 = 34$.
Высказывание $36 < 34$ (тридцать шесть меньше тридцати четырех) является неверным.
Высказывание $36 = 34$ (тридцать шесть равно тридцати четырем) является неверным.
Поскольку оба высказывания неверны, то исходное неравенство $36 \le 34$ является неверным.
Ответ: нет

в) Неравенство $10 \ge 8$ читается как "десять больше или равно восьми". Оно состоит из двух высказываний: $10 > 8$ или $10 = 8$.
Высказывание $10 > 8$ (десять больше восьми) является верным.
Высказывание $10 = 8$ (десять равно восьми) является неверным.
Поскольку одно из высказываний верно, то исходное неравенство $10 \ge 8$ является верным.
Ответ: да

г) Неравенство $5 \ge 23$ читается как "пять больше или равно двадцати трем". Оно состоит из двух высказываний: $5 > 23$ или $5 = 23$.
Высказывание $5 > 23$ (пять больше двадцати трех) является неверным.
Высказывание $5 = 23$ (пять равно двадцати трем) является неверным.
Поскольку оба высказывания неверны, то исходное неравенство $5 \ge 23$ является неверным.
Ответ: нет

3 Запиши неравенства. Объясни, почему они верны.

а) 9 больше или равно 2 $9 \ge 2$

б) 4 меньше или равно 6 $4 \le 6$

в) 8 меньше или равно 8 $8 \le 8$

г) 3 больше или равно 3 $3 \ge 3$

а) $9 \ge 2$.
Это нестрогое неравенство, которое читается как "9 больше или равно 2". Неравенство считается верным, если выполняется хотя бы одно из двух условий: $9 > 2$ (девять больше двух) или $9 = 2$ (девять равно двум). Поскольку первое условие, $9 > 2$, является истинным, то и всё неравенство $9 \ge 2$ является верным.
Ответ: $9 \ge 2$.

б) $4 \le 6$.
Это нестрогое неравенство, которое означает "4 меньше или равно 6". Оно будет верным, если истинно утверждение $4 < 6$ или утверждение $4 = 6$. Утверждение $4 < 6$ (четыре меньше шести) является верным, поэтому и неравенство $4 \le 6$ является верным.
Ответ: $4 \le 6$.

в) $8 \le 8$.
Это нестрогое неравенство, которое означает "8 меньше или равно 8". Для того чтобы оно было верным, должно выполняться одно из условий: $8 < 8$ или $8 = 8$. Условие $8 < 8$ ложно, но условие $8 = 8$ (восемь равно восьми) является истинным. Так как одно из условий выполняется, всё неравенство $8 \le 8$ считается верным.
Ответ: $8 \le 8$.

г) $3 \ge 3$.
Это нестрогое неравенство, которое читается как "3 больше или равно 3". Оно верно, если истинно утверждение $3 > 3$ или утверждение $3 = 3$. Утверждение $3 > 3$ ложно, однако утверждение $3 = 3$ (три равно трем) является верным. Следовательно, и всё неравенство $3 \ge 3$ является верным.
Ответ: $3 \ge 3$.

Отметь на числовом луче и запиши множество решений неравенства:

a) $x \ge 3$

б) $x \le 3$

а) $x \ge 3$

Это неравенство читается как "икс больше или равен трем". Это значит, что решением являются все числа, которые равны 3 или находятся правее числа 3 на числовом луче.

Для того чтобы отметить это на числовом луче, мы ставим закрашенную точку на цифре 3 (закрашенная, потому что знак неравенства $\ge$ нестрогий и включает само число 3) и проводим штриховку вправо от этой точки, показывая, что все числа больше 3 также являются решениями.

Множество решений в виде числового промежутка записывается с использованием квадратной скобки, так как число 3 включено в решение. Знак бесконечности всегда пишется с круглой скобкой.
Ответ: $[3; +\infty)$

б) $x \le 3$

Это неравенство читается как "икс меньше или равен трем". Решением являются все числа, которые равны 3 или находятся левее числа 3 на числовом луче.

На числовом луче мы также ставим закрашенную точку на цифре 3. Однако штриховку проводим влево от этой точки, до начала луча (точки 0), так как решением являются все числа, которые меньше или равны 3.

Так как в условии дан числовой луч, который начинается с 0, то множество решений ограничено этим числом. Множество целых чисел, удовлетворяющих неравенству на этом луче, это $\{0, 1, 2, 3\}$. В виде числового промежутка это записывается так:
Ответ: $[0; 3]$

5 Запиши множество решений неравенства $y < 8$:

Какое нестрогое неравенство имеет то же самое множество решений? Запиши его.

Запиши множество решений неравенства y < 8:
Неравенство $y < 8$ является строгим. Это означает, что переменная $y$ может принимать любое значение, которое строго меньше 8. В контексте задач для начальной или средней школы обычно рассматриваются целые неотрицательные числа (натуральные числа и 0). Для этого множества чисел решениями будут все числа, начиная с 0 и заканчивая последним целым числом перед 8, то есть 7. Таким образом, множество решений можно записать в виде перечисления этих чисел.
Ответ: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Какое нестрогое неравенство имеет то же самое множество решений? Запиши его.
Нестрогое неравенство отличается от строгого тем, что допускает равенство. Оно обозначается знаками $≤$ (меньше или равно) или $≥$ (больше или равно). Нам нужно найти такое нестрогое неравенство, решением которого будет то же самое множество: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Это множество включает все целые неотрицательные числа, которые не больше 7. Наибольшее число в этом множестве — 7. Следовательно, мы можем сказать, что $y$ должен быть меньше или равен 7. Такое условие записывается в виде нестрогого неравенства.
Ответ: $y \le 7$.

6 Запиши множество натуральных решений неравенства:

а) $111 \cdot x \le 555$

б) $347 \cdot y \le 1388$

в) $201 \cdot z < 603$

а) Дано неравенство $111 \cdot x \leq 555$. Чтобы найти неизвестное $x$, нужно разделить обе части неравенства на 111. Так как 111 — положительное число, знак неравенства ($\leq$) сохраняется.
$x \leq \frac{555}{111}$
Выполним деление:
$x \leq 5$
Нам нужно найти множество натуральных решений. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Решениями неравенства $x \leq 5$ являются все натуральные числа, которые меньше или равны 5.
Это числа: 1, 2, 3, 4, 5.
Запишем их в виде множества: {1, 2, 3, 4, 5}.
Ответ: {1, 2, 3, 4, 5}

б) Дано неравенство $347 \cdot y \leq 1388$. Чтобы найти $y$, разделим обе части неравенства на 347. Знак неравенства ($\leq$) не меняется.
$y \leq \frac{1388}{347}$
Вычислим частное: $1388 \div 347 = 4$.
$y \leq 4$
Натуральными решениями неравенства являются все натуральные числа, которые меньше или равны 4.
Это числа: 1, 2, 3, 4.
Множество натуральных решений: {1, 2, 3, 4}.
Ответ: {1, 2, 3, 4}

в) Дано строгое неравенство $201 \cdot z < 603$. Чтобы найти $z$, разделим обе части неравенства на 201. Знак неравенства ($<$) сохраняется.
$z < \frac{603}{201}$
Вычислим частное: $603 \div 201 = 3$.
$z < 3$
Натуральными решениями неравенства являются все натуральные числа, которые строго меньше 3.
Это числа: 1, 2.
Множество натуральных решений: {1, 2}.
Ответ: {1, 2}

1. Отметь на числовом луче число $\frac{14}{4}$. Запиши его в виде смешанного числа.

0 1 2 3 4

$\frac{14}{4} = \boxed{}$

2. Выдели целую часть из дроби:

$\frac{28}{8} = \boxed{}$ $\frac{41}{9} = \boxed{}$ $\frac{75}{12} = \boxed{}$ $\frac{86}{35} = \boxed{}$

3. В классе 25 учащихся. На уроках труда они сделали 200 игрушек. Из них 5% всех игрушек они приготовили для школьной ярмарки, $\frac{2}{5}$ всех игрушек подарили детскому саду, а остальные разделили поровну между собой. Сколько игрушек получил каждый ученик?

для ярмарки для детского сада разделили

4*. Сколько треугольников на рисунке?

1. Отметь на числовом луче число $\frac{14}{4}$. Запиши его в виде смешанного числа.

Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{14}{4}$ в смешанное число, нужно разделить числитель (14) на знаменатель (4) с остатком.
$14 \div 4 = 3$ (остаток $2$).
Целая часть смешанного числа равна частному, то есть 3. Остаток (2) становится числителем дробной части, а знаменатель (4) остается прежним.
Получаем $3\frac{2}{4}$.
Дробную часть $\frac{2}{4}$ можно сократить на 2, получив $\frac{1}{2}$.
Таким образом, $\frac{14}{4} = 3\frac{1}{2}$.
На числовом луче это число находится ровно посередине между отметками 3 и 4.

Ответ: $\frac{14}{4} = 3\frac{1}{2}$.

2. Выдели целую часть из дроби:

$\frac{28}{8}$: $28 \div 8 = 3$ (остаток 4). Получаем $3\frac{4}{8}$, что равно $3\frac{1}{2}$.

$\frac{41}{9}$: $41 \div 9 = 4$ (остаток 5). Получаем $4\frac{5}{9}$.

$\frac{75}{12}$: $75 \div 12 = 6$ (остаток 3). Получаем $6\frac{3}{12}$, что равно $6\frac{1}{4}$.

$\frac{86}{35}$: $86 \div 35 = 2$ (остаток 16). Получаем $2\frac{16}{35}$.

Ответ: $\frac{28}{8} = 3\frac{1}{2}$; $\frac{41}{9} = 4\frac{5}{9}$; $\frac{75}{12} = 6\frac{1}{4}$; $\frac{86}{35} = 2\frac{16}{35}$.

3. В классе 25 учащихся. На уроках труда они сделали 200 игрушек. Из них 5% всех игрушек они приготовили для школьной ярмарки, $\frac{2}{5}$ всех игрушек подарили детскому саду, а остальные разделили поровну между собой. Сколько игрушек получил каждый ученик?

1. Найдем количество игрушек для школьной ярмарки. 5% от 200:
$200 \cdot \frac{5}{100} = 10$ (игрушек).
2. Найдем количество игрушек для детского сада. $\frac{2}{5}$ от 200:
$200 \cdot \frac{2}{5} = \frac{400}{5} = 80$ (игрушек).
3. Найдем, сколько всего игрушек отдали:
$10 + 80 = 90$ (игрушек).
4. Найдем, сколько игрушек осталось, чтобы разделить между учениками:
$200 - 90 = 110$ (игрушек).
5. Разделим оставшиеся игрушки поровну на 25 учеников:
$110 \div 25 = 4$ (остаток 10).
Каждый ученик получил по 4 игрушки, и 10 игрушек осталось.

Ответ: Каждый ученик получил 4 игрушки.

4*. Сколько треугольников на рисунке?

Чтобы посчитать все треугольники, разобьем их на группы по размеру и расположению. Рисунок состоит из двух квадратов, соединенных стороной, в каждом из которых проведены диагонали.
1. Самые маленькие треугольники: В каждом квадрате по 4 таких треугольника. Всего $4 + 4 = 8$ треугольников.
2. Средние треугольники, состоящие из двух маленьких: В каждом квадрате по 4 таких треугольника (каждый образуется стороной квадрата и двумя половинами диагоналей). Всего $4 + 4 = 8$ треугольников.
3. Большие треугольники, состоящие из четырех маленьких и охватывающие оба квадрата:
- Один треугольник с основанием на верхней стороне всего прямоугольника и вершиной в центре нижней стороны.
- Один треугольник с основанием на нижней стороне всего прямоугольника и вершиной в центре верхней стороны.
Всего 2 таких треугольника.
4. Сложим количество треугольников из всех групп:
$8 + 8 + 2 = 18$.

Ответ: На рисунке 18 треугольников.

2. 1. Отметь на числовом луче число $ \frac{15}{6} $. Запиши его в виде смешанного числа.

0 1 2 3

$ \frac{15}{6} = $

2. Выдели целую часть из дроби:

$ \frac{13}{5} = $

$ \frac{36}{7} = $

$ \frac{55}{8} = $

$ \frac{91}{43} = $

3. У Тимура было 300 р. На 40 % этих денег он купил тетради, $ \frac{2}{10} $ всех денег потратил на обед, а на остальные деньги купил 8 одинаковых кустов рассады. Чему равна цена каждого куста рассады?

тетради обед рассада

1. Отметь на числовом луче число $\frac{15}{6}$. Запиши его в виде смешанного числа.

Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{15}{6}$ в смешанное число, необходимо разделить числитель (15) на знаменатель (6) с остатком.

$15 \div 6 = 2$ (остаток $3$)

Результат деления (частное) 2 становится целой частью смешанного числа. Остаток от деления 3 становится числителем дробной части, а знаменатель 6 остается без изменений. Таким образом, мы получаем смешанное число $2\frac{3}{6}$.

Дробную часть $2\frac{3}{6}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3. Получится $2\frac{1}{2}$.

Это число, $2\frac{1}{2}$ или 2.5, находится на числовом луче ровно посередине между числами 2 и 3.

Ответ: $2\frac{3}{6}$

2. Выдели целую часть из дроби:

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет целой частью, остаток — новым числителем, а знаменатель останется прежним.

$\frac{13}{5}$: $13 \div 5 = 2$ (ост. 3). Следовательно, $\frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$.
Ответ: $2\frac{3}{5}$

$\frac{36}{7}$: $36 \div 7 = 5$ (ост. 1). Следовательно, $\frac{36}{7} = 5\frac{1}{7}$.
Ответ: $5\frac{1}{7}$

$\frac{55}{8}$: $55 \div 8 = 6$ (ост. 7). Следовательно, $\frac{55}{8} = 6\frac{7}{8}$.
Ответ: $6\frac{7}{8}$

$\frac{91}{43}$: $91 \div 43 = 2$ (ост. 5). Следовательно, $\frac{91}{43} = 2\frac{5}{43}$.
Ответ: $2\frac{5}{43}$

3. У Тимура было 300 р. На 40 % этих денег он купил тетради, $\frac{2}{10}$ всех денег потратил на обед, а на остальные деньги купил 8 одинаковых кустов рассады. Чему равна цена каждого куста рассады?

Решим задачу по действиям:

1. Найдем, сколько денег Тимур потратил на тетради. 40% от 300 рублей — это:
$300 \cdot \frac{40}{100} = 120$ рублей.

2. Найдем, сколько денег было потрачено на обед. $\frac{2}{10}$ от 300 рублей — это:
$300 \cdot \frac{2}{10} = 60$ рублей.

3. Узнаем, сколько всего денег было потрачено на тетради и обед вместе:
$120 + 60 = 180$ рублей.

4. Вычислим, какая сумма денег осталась у Тимура после этих покупок:
$300 - 180 = 120$ рублей.

5. На оставшиеся 120 рублей Тимур купил 8 одинаковых кустов рассады. Чтобы найти цену одного куста, разделим оставшуюся сумму на количество кустов:
$120 \div 8 = 15$ рублей.

Ответ: 15 рублей.

3 Начерти луч OK. Отложи с помощью транспортира по одну и ту же сторону от этого луча углы:

$ \angle AOK = 45^\circ $

$ \angle BOK = 75^\circ $

$ \angle COK = 90^\circ $

$ \angle DOK = 135^\circ $

$ \angle EOK = 162^\circ $

$ \angle FOK = 180^\circ $

Для выполнения этого задания необходимо последовательно построить все углы от одного луча OK, используя транспортир. Все углы откладываются в одну и ту же сторону от луча.

Порядок действий:

1. Чертим луч OK с началом в точке O.
2. Совмещаем центр транспортира с точкой O, а его нулевую отметку ($0^\circ$) — с лучом OK.
3. Находим на шкале транспортира нужную величину угла, ставим соответствующую точку (A, B, C, D, E, F) и соединяем ее с точкой O, получая новый луч.

Выполним построение для каждого угла:

$\angle AOK = 45^\circ$

Находим на шкале транспортира отметку $45^\circ$. Ставим в этом месте точку A и проводим луч OA. Полученный угол $\angle AOK$ равен $45^\circ$.

Ответ: Построен луч OA, образующий с лучом OK угол $45^\circ$.

$\angle BOK = 75^\circ$

От луча OK откладываем угол в $75^\circ$. Ставим точку B и проводим луч OB. Угол $\angle BOK$ равен $75^\circ$.

Ответ: Построен луч OB, образующий с лучом OK угол $75^\circ$.

$\angle COK = 90^\circ$

От луча OK откладываем угол в $90^\circ$. Ставим точку C и проводим луч OC. Угол $\angle COK$ является прямым.

Ответ: Построен луч OC, образующий с лучом OK прямой угол $90^\circ$.

$\angle DOK = 135^\circ$

От луча OK откладываем угол в $135^\circ$. Ставим точку D и проводим луч OD. Угол $\angle DOK$ равен $135^\circ$.

Ответ: Построен луч OD, образующий с лучом OK угол $135^\circ$.

$\angle EOK = 162^\circ$

От луча OK откладываем угол в $162^\circ$. Ставим точку E и проводим луч OE. Угол $\angle EOK$ равен $162^\circ$.

Ответ: Построен луч OE, образующий с лучом OK угол $162^\circ$.

$\angle FOK = 180^\circ$

От луча OK откладываем угол в $180^\circ$. Ставим точку F и проводим луч OF. Угол $\angle FOK$ является развёрнутым. Луч OF является дополнением к лучу OK, вместе они образуют прямую.

Ответ: Построен луч OF, образующий с лучом OK развёрнутый угол $180^\circ$.

В результате всех построений получится следующее изображение:

4. Построй указанные углы: а) $\angle AOB = 60^\circ$; б) $\angle MHN$ больше $\angle AOB$ на $50^\circ$; в) $\angle FDS$ меньше $\angle AOB$ на $20^\circ$. Определи вид углов.

а) __________

б) __________

в) __________

а) Величина угла $\angle AOB$ задана и равна $60^\circ$.

Так как величина угла меньше $90^\circ$ ($60^\circ < 90^\circ$), то этот угол является острым.

Для построения угла с помощью транспортира необходимо:

1. Провести луч с началом в точке O, например, луч OA.
2. Приложить транспортир к лучу OA так, чтобы центр транспортира совпал с точкой O, а сам луч прошел через отметку $0^\circ$.
3. Найти на шкале транспортира отметку $60^\circ$ и поставить точку B.
4. Соединить точку O с точкой B. Полученный угол $\angle AOB$ будет искомым.

Ответ: $\angle AOB = 60^\circ$, острый угол.

б) По условию, угол $\angle MHN$ больше угла $\angle AOB$ на $50^\circ$. Найдем его величину:

$\angle MHN = \angle AOB + 50^\circ = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ$.

Так как величина угла больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$ ($90^\circ < 110^\circ < 180^\circ$), то этот угол является тупым.

Построение угла $\angle MHN = 110^\circ$ выполняется аналогично пункту а) с помощью транспортира.

Ответ: $\angle MHN = 110^\circ$, тупой угол.

в) По условию, угол $\angle FDS$ меньше угла $\angle AOB$ на $20^\circ$. Найдем его величину:

$\angle FDS = \angle AOB - 20^\circ = 60^\circ - 20^\circ = 40^\circ$.

Так как величина угла меньше $90^\circ$ ($40^\circ < 90^\circ$), то этот угол является острым.

Построение угла $\angle FDS = 40^\circ$ выполняется аналогично пункту а) с помощью транспортира.

Ответ: $\angle FDS = 40^\circ$, острый угол.

5 Составь и реши задачи по схемам:

а) 4 км/ч

6 км/ч

50 км

$t_{\text{встр.}} = ?$

б) 5 км/ч

3 км/ч

? км

40 км

$t = 2\text{ч}$

а)

Формулировка задачи: Из двух пунктов, расстояние между которыми 50 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 4 км/ч, а скорость второго – 6 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

1. Найдем скорость сближения велосипедистов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 6 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$

2. Чтобы найти время до встречи, нужно разделить начальное расстояние на скорость сближения.

$t_{встречи} = S / v_{сближения} = 50 \text{ км} / 10 \text{ км/ч} = 5 \text{ ч}$

Ответ: велосипедисты встретятся через 5 часов.

б)

Формулировка задачи: Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого пешехода 5 км/ч, а скорость второго – 3 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

1. Найдем скорость сближения пешеходов, сложив их скорости.

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = 5 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$

2. Найдем, на какое расстояние пешеходы сблизятся за 2 часа.

$S_{сближения} = v_{сближения} \cdot t = 8 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 16 \text{ км}$

3. Вычтем из начального расстояния то расстояние, на которое они сблизились, чтобы найти, какое расстояние будет между ними через 2 часа.

$S_{оставшееся} = S_{начальное} - S_{сближения} = 40 \text{ км} - 16 \text{ км} = 24 \text{ км}$

Ответ: через 2 часа между пешеходами будет 24 км.

6 Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ отмечены на прямой в некотором порядке. Известны расстояния: от $A$ до $B$ – 13 см, от $B$ до $C$ – 11 см, от $C$ до $D$ – 14 см и от $D$ до $A$ – 12 см. Чему равно расстояние между наиболее удалёнными точками? Подчеркни правильный ответ.

A) 14 см

B) 25 см

C) 27 см

D) 38 см

E) 50 см

Для решения задачи определим порядок расположения точек A, B, C и D на прямой. Удобнее всего это сделать, используя метод координат, который позволяет наглядно представить положение точек.

1. Поместим точку A в начало отсчета. Её координата будет $x_A = 0$.

2. По условию, расстояние от A до B равно 13 см. Это значит, что точка B может иметь координату $x_B = 13$ или $x_B = -13$. Для определенности выберем $x_B = 13$.

3. Расстояние от B до C равно 11 см. Это означает, что для точки C есть два возможных положения:
- $x_C = x_B + 11 = 13 + 11 = 24$. В этом случае точки расположены в порядке A-B-C.
- $x_C = x_B - 11 = 13 - 11 = 2$. В этом случае точки расположены в порядке A-C-B.

4. Теперь проверим оба варианта, используя оставшиеся данные: расстояние от C до D равно 14 см, и расстояние от D до A равно 12 см.

Вариант 1: Порядок A-B-C. Координаты: $A(0)$, $B(13)$, $C(24)$.
Исходя из того, что расстояние $CD = 14$ см, координата точки D может быть $x_D = 24 + 14 = 38$ или $x_D = 24 - 14 = 10$.
Проверим условие, что расстояние $DA = 12$ см:
- Если $x_D = 38$, то $d(D, A) = |38 - 0| = 38$ см, что не соответствует условию.
- Если $x_D = 10$, то $d(D, A) = |10 - 0| = 10$ см, что также не соответствует условию.
Следовательно, этот вариант расположения точек невозможен.

Вариант 2: Порядок A-C-B. Координаты: $A(0)$, $C(2)$, $B(13)$.
Исходя из того, что расстояние $CD = 14$ см, координата точки D может быть $x_D = 2 + 14 = 16$ или $x_D = 2 - 14 = -12$.
Проверим условие, что расстояние $DA = 12$ см:
- Если $x_D = 16$, то $d(D, A) = |16 - 0| = 16$ см, что не соответствует условию.
- Если $x_D = -12$, то $d(D, A) = |-12 - 0| = 12$ см, что соответствует условию.
Этот вариант является правильным.

Мы нашли верное расположение точек на прямой. Их координаты: $D(-12)$, $A(0)$, $C(2)$, $B(13)$.
Порядок точек на прямой следующий: D-A-C-B.
Убедимся, что все исходные расстояния соблюдены:
$d(A, B) = |13 - 0| = 13$ см (верно).
$d(B, C) = |2 - 13| = |-11| = 11$ см (верно).
$d(C, D) = |-12 - 2| = |-14| = 14$ см (верно).
$d(D, A) = |0 - (-12)| = 12$ см (верно).

Наиболее удаленные точки — это крайние точки D и B. Расстояние между ними равно модулю разности их координат:
$d(D, B) = |x_B - x_D| = |13 - (-12)| = |13 + 12| = 25$ см.

Таким образом, правильный ответ — 25 см. Сравним с предложенными вариантами:

A) 14 см
B) 25 см
C) 27 см
D) 38 см
E) 50 см

Ответ: 25 см.