Страница 20, часть 3 - гдз по математике 4 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Расшифруй записи. Допиши в «окошках» пропущенные стрелки:

$a\uparrow + b = c$ $a + b\uparrow = c$ $a\uparrow - b = c$ $a - b\uparrow = c$

$a\downarrow + b = c$ $a + b\downarrow = c$ $a\downarrow - b = c$ $a - b\downarrow = c$

Для решения этой задачи необходимо понять, что означают стрелки. Стрелка вверх (↑) означает увеличение числа, а стрелка вниз (↓) — его уменьшение. Нам нужно определить, как изменится результат ($c$), если изменится один из компонентов выражения ($a$ или $b$).

a↑ + b = c
В этом выражении $a$ и $b$ — слагаемые, а $c$ — сумма. Если первое слагаемое $a$ увеличивается, а второе слагаемое $b$ остается неизменным, то их сумма $c$ также увеличивается.
Ответ: $c\uparrow$

a + b↑ = c
Аналогично первому случаю, если второе слагаемое $b$ увеличивается, а первое слагаемое $a$ не меняется, то сумма $c$ увеличивается.
Ответ: $c\uparrow$

a↑ - b = c
Здесь $a$ — уменьшаемое, $b$ — вычитаемое, а $c$ — разность. Если уменьшаемое $a$ увеличивается, а вычитаемое $b$ остается прежним, то разность $c$ увеличивается.
Ответ: $c\uparrow$

a - b↑ = c
Если вычитаемое $b$ увеличивается, а уменьшаемое $a$ не изменяется, это значит, что мы отнимаем большее число. Следовательно, разность $c$ уменьшается.
Ответ: $c\downarrow$

a↓ + b = c
Если первое слагаемое $a$ уменьшается, а второе слагаемое $b$ не изменяется, то их сумма $c$ также уменьшается.
Ответ: $c\downarrow$

a + b↓ = c
Если второе слагаемое $b$ уменьшается, а первое слагаемое $a$ остается неизменным, то сумма $c$ уменьшается.
Ответ: $c\downarrow$

a↓ - b = c
Если уменьшаемое $a$ уменьшается, а вычитаемое $b$ остается прежним, то разность $c$ уменьшается.
Ответ: $c\downarrow$

a - b↓ = c
Если вычитаемое $b$ уменьшается, а уменьшаемое $a$ не изменяется, это значит, что мы отнимаем меньшее число. Следовательно, разность $c$ увеличивается.
Ответ: $c\uparrow$

4 Сравни выражения с помощью знаков >, <, = :

$m + 8$ $m + 6$

$12 - a$ $15 - a$

$c - 4$ $c - 7$

$3 + n$ $5 + n$

$40 - b$ $26 - b$

$d - 9$ $d - 2$

m + 8 ... m + 6

В обоих выражениях к одному и тому же числу $m$ прибавляются разные числа: 8 и 6. Так как $8 > 6$, то прибавление большего числа даст в результате большую сумму. Следовательно, $m + 8$ больше, чем $m + 6$.
Ответ: $m + 8 > m + 6$

12 - a ... 15 - a

В этих выражениях из разных чисел (12 и 15) вычитается одно и то же число $a$. Уменьшаемое в первом выражении (12) меньше, чем уменьшаемое во втором (15). При вычитании одинакового числа из меньшего уменьшаемого получится меньшая разность. Следовательно, $12 - a$ меньше, чем $15 - a$.
Ответ: $12 - a < 15 - a$

c - 4 ... c - 7

В этих выражениях из одного и того же числа $c$ вычитаются разные числа: 4 и 7. Чем больше число мы вычитаем (вычитаемое), тем меньше получается результат (разность). Так как $4 < 7$, то при вычитании 4 из $c$ результат будет больше, чем при вычитании 7. Следовательно, $c - 4$ больше, чем $c - 7$.
Ответ: $c - 4 > c - 7$

3 + n ... 5 + n

В обоих выражениях к одному и тому же числу $n$ прибавляются разные числа: 3 и 5. Так как $3 < 5$, то прибавление меньшего числа даст в результате меньшую сумму. Следовательно, $3 + n$ меньше, чем $5 + n$.
Ответ: $3 + n < 5 + n$

40 - b ... 26 - b

В этих выражениях из разных чисел (40 и 26) вычитается одно и то же число $b$. Уменьшаемое в первом выражении (40) больше, чем уменьшаемое во втором (26). При вычитании одинакового числа из большего уменьшаемого получится большая разность. Следовательно, $40 - b$ больше, чем $26 - b$.
Ответ: $40 - b > 26 - b$

d - 9 ... d - 2

В этих выражениях из одного и того же числа $d$ вычитаются разные числа: 9 и 2. Чем больше вычитаемое, тем меньше разность. Так как $9 > 2$, то при вычитании 9 из $d$ результат будет меньше, чем при вычитании 2. Следовательно, $d - 9$ меньше, чем $d - 2$.
Ответ: $d - 9 < d - 2$

5 Найди ошибки и исправь их. Сделай проверку, используя формулу деления с остатком $a = b \cdot c + r$, $r < b$.

а) $42 : 8 = 4$ (ост. 2)

в) $68 : 7 = 8$ (ост. 12)

б) $84 : 9 = 9$ (ост. 4)

г) $30 : 32 = 0$ (ост. 2)

а) $42 : 8 = 4$ (ост. 2)

В данном примере допущена ошибка в вычислении неполного частного. Проверим решение по формуле $a = b \cdot c + r$:
$8 \cdot 4 + 2 = 32 + 2 = 34$.
Результат проверки $34$ не равен делимому $42$, значит, решение неверное.
Найдем правильное решение. Ближайшее к $42$ число, которое делится на $8$ без остатка, — это $40$.
$40 : 8 = 5$ (неполное частное).
$42 - 40 = 2$ (остаток).
Правильное решение: $42 : 8 = 5$ (ост. 2).
Проверка: $8 \cdot 5 + 2 = 40 + 2 = 42$. Условие $r < b$ выполняется: $2 < 8$.
Ответ: $42 : 8 = 5$ (ост. 2).

б) $84 : 9 = 9$ (ост. 4)

В данном примере допущена ошибка в вычислении остатка. Проверим решение по формуле $a = b \cdot c + r$:
$9 \cdot 9 + 4 = 81 + 4 = 85$.
Результат проверки $85$ не равен делимому $84$, значит, решение неверное.
Найдем правильное решение. Ближайшее к $84$ число, которое делится на $9$ без остатка, — это $81$.
$81 : 9 = 9$ (неполное частное).
$84 - 81 = 3$ (остаток).
Правильное решение: $84 : 9 = 9$ (ост. 3).
Проверка: $9 \cdot 9 + 3 = 81 + 3 = 84$. Условие $r < b$ выполняется: $3 < 9$.
Ответ: $84 : 9 = 9$ (ост. 3).

в) $68 : 7 = 8$ (ост. 12)

В данном примере допущена ошибка, так как остаток не может быть больше делителя. По правилу деления с остатком, должно выполняться условие $r < b$. Здесь $r = 12$, а $b = 7$. Условие $12 < 7$ неверно.
Найдем правильное решение. Ближайшее к $68$ число, которое делится на $7$ без остатка, — это $63$.
$63 : 7 = 9$ (неполное частное).
$68 - 63 = 5$ (остаток).
Правильное решение: $68 : 7 = 9$ (ост. 5).
Проверка: $7 \cdot 9 + 5 = 63 + 5 = 68$. Условие $r < b$ выполняется: $5 < 7$.
Ответ: $68 : 7 = 9$ (ост. 5).

г) $30 : 32 = 0$ (ост. 2)

В данном примере допущена ошибка в вычислении остатка. Проверим решение по формуле $a = b \cdot c + r$:
$32 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2$.
Результат проверки $2$ не равен делимому $30$, значит, решение неверное.
Найдем правильное решение. Когда делимое меньше делителя ($30 < 32$), неполное частное равно $0$, а остаток равен самому делимому.
Правильное решение: $30 : 32 = 0$ (ост. 30).
Проверка: $32 \cdot 0 + 30 = 0 + 30 = 30$. Условие $r < b$ выполняется: $30 < 32$.
Ответ: $30 : 32 = 0$ (ост. 30).

6 Масса кошки и её 4 котят равна 4 кг. При этом масса кошки равна общей массе всех её котят. Чему равна масса кошки и каждого котёнка, если масса всех котят одинаковая?

Для решения задачи воспользуемся данными из условия. Общая масса кошки и её 4 котят составляет 4 кг. Масса кошки равна общей массе всех котят.

1. Найдем массу кошки

Поскольку масса кошки равна общей массе всех котят, то общий вес в 4 кг можно разделить на две равные части: вес кошки и общий вес котят. Следовательно, чтобы найти массу кошки, нужно общую массу разделить на 2.

$4 \text{ кг} \div 2 = 2 \text{ кг}$

Ответ: масса кошки равна 2 кг.

2. Найдем массу каждого котёнка

Мы выяснили, что общая масса всех четырёх котят также равна 2 кг. В условии сказано, что масса всех котят одинаковая. Чтобы найти массу одного котёнка, нужно общую массу котят разделить на их количество.

$2 \text{ кг} \div 4 = 0,5 \text{ кг}$

Для удобства можно перевести массу в граммы. Так как $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$, то:

$0,5 \text{ кг} = 0,5 \times 1000 \text{ г} = 500 \text{ г}$

Ответ: масса каждого котёнка равна 0,5 кг или 500 г.

1. Отметь на числовом луче число $3\frac{4}{5}$. Запиши его в виде неправильной дроби.

$3\frac{4}{5} = $

2. Запиши в виде неправильной дроби числа:

$5\frac{2}{3} = $

$4\frac{1}{6} = $

$2\frac{8}{9} = $

$3\frac{5}{17} = $

3. Составь выражения:

a) В саду $n$ деревьев. Число яблонь составляет $40\%$ всех деревьев. Сколько яблонь в саду?

б) Дочери $d$ лет. Возраст дочери составляет $\frac{3}{14}$ возраста матери. Сколько лет матери?

в) В слове 8 букв. Из них $a$ букв - согласные. Какую часть всех букв этого слова составляют согласные буквы?

1. Чтобы отметить число $3\frac{4}{5}$ на числовом луче, нужно найти отметку "3", затем разделить следующий единичный отрезок (между 3 и 4) на 5 равных частей и отсчитать от тройки 4 таких части вправо. Точка будет находиться немного левее числа 4.

Для преобразования смешанного числа $3\frac{4}{5}$ в неправильную дробь, необходимо его целую часть (3) умножить на знаменатель дробной части (5) и к полученному произведению прибавить числитель дробной части (4). Результат записать в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

$3\frac{4}{5} = \frac{3 \times 5 + 4}{5} = \frac{15 + 4}{5} = \frac{19}{5}$

Ответ: $\frac{19}{5}$

2. Запишем каждое смешанное число в виде неправильной дроби, используя правило: целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и результат записать в числитель, а знаменатель оставить тем же.

$5\frac{2}{3} = \frac{5 \times 3 + 2}{3} = \frac{15 + 2}{3} = \frac{17}{3}$
Ответ: $\frac{17}{3}$

$4\frac{1}{6} = \frac{4 \times 6 + 1}{6} = \frac{24 + 1}{6} = \frac{25}{6}$
Ответ: $\frac{25}{6}$

$2\frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8}{9} = \frac{18 + 8}{9} = \frac{26}{9}$
Ответ: $\frac{26}{9}$

$3\frac{5}{17} = \frac{3 \times 17 + 5}{17} = \frac{51 + 5}{17} = \frac{56}{17}$
Ответ: $\frac{56}{17}$

3.

а) Дано общее количество деревьев – $n$. Яблони составляют 40% от этого количества. Чтобы найти количество яблонь, нужно общее число деревьев умножить на долю яблонь. Сначала переведем проценты в десятичную дробь: $40\% = \frac{40}{100} = 0.4$. Выражение для нахождения количества яблонь: $n \times 0.4$.
Ответ: $0.4n$

б) Возраст дочери равен $d$ лет, что составляет $\frac{3}{14}$ от возраста матери. Обозначим возраст матери за $M$. Тогда можно составить уравнение: $d = \frac{3}{14} \times M$. Чтобы найти возраст матери $M$, нужно возраст дочери $d$ разделить на дробь $\frac{3}{14}$. Деление на дробь – это то же самое, что и умножение на обратную ей дробь ($\frac{14}{3}$).
$M = d : \frac{3}{14} = d \times \frac{14}{3} = \frac{14d}{3}$.
Ответ: $\frac{14d}{3}$

в) Всего в слове 8 букв. Из них $a$ букв – согласные. Чтобы определить, какую часть от всех букв составляют согласные, нужно количество согласных букв ($a$) разделить на общее количество букв в слове (8).
Ответ: $\frac{a}{8}$

2 1. Отметь на числовом луче число $5\frac{1}{3}$. Запиши его в виде неправильной дроби.

$5\frac{1}{3} = \square$

2. Запиши в виде неправильной дроби числа:

$3\frac{1}{8} = \text{__________}$

$4\frac{2}{7} = \text{__________}$

$6\frac{3}{9} = \text{__________}$

$2\frac{8}{35} = \text{__________}$

3. Составь выражения:

a) Посадили a цветов. Из них 95% цветов взошли. Сколько цветов дали всходы?

$\square$

б) Отремонтировали x км дороги, что составило $\frac{5}{9}$ всей её длины. Чему равна длина всей дороги?

$\square$

в) В аквариум, вмещающий m л воды, налили 10 л. Какая часть аквариума заполнена?

$\square$

1. Чтобы отметить число $5\frac{1}{3}$ на числовом луче, нужно отрезок между числами 5 и 6 разделить на три равные части. Число $5\frac{1}{3}$ будет находиться на первой отметке после числа 5.
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части и записать полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.
$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{15 + 1}{3} = \frac{16}{3}$
Ответ: $\frac{16}{3}$

2. Для преобразования смешанных чисел в неправильные дроби используем правило: $A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.
$3\frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{24 + 1}{8} = \frac{25}{8}$
$4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{28 + 2}{7} = \frac{30}{7}$
$6\frac{3}{9} = \frac{6 \cdot 9 + 3}{9} = \frac{54 + 3}{9} = \frac{57}{9}$
$2\frac{8}{35} = \frac{2 \cdot 35 + 8}{35} = \frac{70 + 8}{35} = \frac{78}{35}$
Ответ: $\frac{25}{8}$; $\frac{30}{7}$; $\frac{57}{9}$; $\frac{78}{35}$

а) Чтобы найти, сколько цветов взошло, нужно общее количество посаженных цветов (a) умножить на долю взошедших. Проценты нужно перевести в десятичную дробь: 95% = 0,95.
Выражение: $a \cdot 0,95$.
Ответ: $0,95a$

б) Известно, что отремонтированная часть дороги (x км) составляет $\frac{5}{9}$ от всей длины. Чтобы найти всю длину дороги (целое) по ее части, нужно эту часть (x) разделить на дробь, которую она составляет.
Выражение: $x \div \frac{5}{9}$.
Ответ: $x \div \frac{5}{9}$

в) Чтобы найти, какая часть аквариума заполнена, нужно объем налитой воды (10 л) разделить на общий объем аквариума (m л).
Выражение: $\frac{10}{m}$.
Ответ: $\frac{10}{m}$

1 а) Рассмотри рисунки. Попробуй определить, какой из этих углов называют центральным. Отметь знаком ✓ и запиши его существенный признак.

A ☐

B ☐

C ☐

D ☐

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Узнай по учебнику, с. 30, какой угол называют центральным, и допиши предложение:

«Центральным углом называется угол, вершина которого совпадает _______________».

Проверь, верно ли выполнено задание (а). Если нужно, исправь ошибки.

Чтобы определить, какой из углов является центральным, необходимо проанализировать положение вершины каждого угла относительно фигуры, в которой он находится.

• Угол A: Вершина угла лежит на стороне квадрата.
• Угол B: Вершина угла находится внутри круга, но не совпадает с его центром.
• Угол C: Вершина угла лежит на стороне треугольника.
• Угол D: Вершина угла находится в центре окружности, а его стороны являются радиусами.

Само название «центральный» указывает на связь с центром. Из всех представленных вариантов только вершина угла D совпадает с центром окружности. Поэтому угол D является центральным.

Существенный признак центрального угла: его вершина совпадает с центром окружности, а стороны угла являются радиусами этой окружности.

Ответ: Центральным является угол D. Его существенный признак: вершина угла совпадает с центром окружности.

Основываясь на определении центрального угла, необходимо дополнить предложенную фразу.

«Центральным углом называется угол, вершина которого совпадает с центром окружности».

Это определение полностью подтверждает, что в пункте (а) выбор был сделан правильно.

Ответ: Центральным углом называется угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

2 Измерь центральные углы и обведи дуги, на которые они опираются:

а) $\angle O = $

б) $\angle M = $

в) $\angle E = $

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а его стороны являются радиусами. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. В данном задании необходимо определить, какие из представленных углов являются центральными, измерить их и указать соответствующие дуги.

а)

Вершина угла $ \angle O $ находится в точке O, которая является центром окружности. Следовательно, $ \angle O $ — центральный угол. С помощью транспортира измерим его величину. Она составляет примерно 115 градусов. Дуга, на которую опирается этот угол, это часть окружности, заключенная между сторонами угла.
Ответ: $ \angle O \approx 115^\circ $.

б)

Вершина угла $ \angle M $ находится в точке M. Эта точка лежит внутри окружности, но не совпадает с ее центром. Угол, вершина которого находится внутри окружности, но не в ее центре, не является центральным.
Ответ: Угол $ \angle M $ не является центральным.

в)

Вершина угла $ \angle E $ находится в точке E, которая расположена вне окружности. Такой угол не является центральным.
Ответ: Угол $ \angle E $ не является центральным.

3 Построй центральные углы данных окружностей:

а) $\angle A = 84^\circ$

б) $\angle B = 140^\circ$

в) $\angle C = 180^\circ$

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются двумя радиусами. Для построения центрального угла заданной величины необходимо использовать линейку и транспортир.

а) $∠A = 84°$

1. В окружности с центром в точке $A$ проведем произвольный радиус. Для этого соединим центр $A$ с любой точкой на окружности, назовем ее $P$. Получим отрезок $AP$.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с центром окружности (точкой $A$), а нулевая отметка на шкале прошла по радиусу $AP$.
3. Найдем на шкале транспортира отметку $84°$ и поставим в этом месте вспомогательную точку.
4. Проведем луч из центра $A$ через вспомогательную точку до пересечения с окружностью. Обозначим точку пересечения буквой $Q$. Отрезок $AQ$ — это второй радиус.
5. Угол $∠PAQ$ является искомым центральным углом, и его величина равна $84°$.

Ответ: Центральный угол величиной $84°$ построен.

б) $∠B = 140°$

1. В окружности с центром в точке $B$ проведем произвольный радиус $BR$.
2. Приложим центр транспортира к точке $B$ и совместим его нулевую отметку с радиусом $BR$.
3. Отмерим по шкале транспортира угол $140°$ и поставим вспомогательную точку.
4. Соединим центр $B$ с этой точкой и продлим отрезок до пересечения с окружностью в точке $S$. Получим второй радиус $BS$.
5. Угол $∠RBS$ — искомый центральный угол, равный $140°$.

Ответ: Центральный угол величиной $140°$ построен.

в) $∠C = 180°$

Угол в $180°$ является развернутым. Его стороны образуют прямую линию. В контексте окружности такой угол образуется двумя радиусами, которые вместе составляют диаметр.
1. В окружности с центром в точке $C$ проведем произвольный радиус $CT$.
2. Чтобы построить угол $180°$, нужно провести второй радиус так, чтобы он лежал на той же прямой, что и $CT$, но был направлен в противоположную сторону от центра $C$.
3. Для этого с помощью линейки продлим отрезок $TC$ через центр $C$ до пересечения с окружностью с другой стороны. Назовем точку пересечения $U$.
4. Отрезок $TU$ является диаметром окружности, а радиусы $CT$ и $CU$ образуют развернутый угол $∠TCU$.
5. Величина угла $∠TCU$ равна $180°$.

Ответ: Центральный угол величиной $180°$ построен; он образован диаметром окружности.