Страница 19, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Как изменится разность, если уменьшаемое увеличить, уменьшить? А если увеличить или уменьшить вычитаемое?

Не вычисляя, расставь разности в порядке возрастания:

$42 - 32$, $74 - 32$, $87 - 15$, $74 - 15$, $82 - 15$, $67 - 32$.

Как изменится разность, если изменить уменьшаемое

Разность напрямую зависит от уменьшаемого. Если уменьшаемое увеличить на некоторое число, то и разность увеличится на то же самое число. Если уменьшаемое уменьшить, то и разность уменьшится на столько же.
Математически это можно записать так: пусть есть разность $a - b = c$.
При увеличении уменьшаемого $a$ на $k$: $(a+k) - b = (a-b) + k = c+k$. Разность увеличилась на $k$.
При уменьшении уменьшаемого $a$ на $k$: $(a-k) - b = (a-b) - k = c-k$. Разность уменьшилась на $k$.

Ответ: При увеличении уменьшаемого разность увеличивается, при уменьшении — уменьшается на ту же величину.

Как изменится разность, если изменить вычитаемое

Разность обратно зависит от вычитаемого. Если вычитаемое увеличить на некоторое число, то разность, наоборот, уменьшится на то же самое число. Если вычитаемое уменьшить, то разность увеличится на столько же.
Математически это можно записать так: пусть есть разность $a - b = c$.
При увеличении вычитаемого $b$ на $k$: $a - (b+k) = a - b - k = c-k$. Разность уменьшилась на $k$.
При уменьшении вычитаемого $b$ на $k$: $a - (b-k) = a - b + k = c+k$. Разность увеличилась на $k$.

Ответ: При увеличении вычитаемого разность уменьшается, при уменьшении — увеличивается на ту же величину.

Расстановка разностей в порядке возрастания

Чтобы расставить разности в порядке возрастания, не выполняя вычислений, будем использовать следующие правила:
1. При одинаковом вычитаемом, чем больше уменьшаемое, тем больше разность.
2. При одинаковом уменьшаемом, чем больше вычитаемое, тем меньше разность.

Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми вычитаемыми.
Первая группа (вычитаемое 32): $42 - 32$, $74 - 32$, $67 - 32$.
Так как уменьшаемые $42 < 67 < 74$, то и разности расположены в том же порядке: $42 - 32 < 67 - 32 < 74 - 32$.

Вторая группа (вычитаемое 15): $87 - 15$, $74 - 15$, $82 - 15$.
Так как уменьшаемые $74 < 82 < 87$, то и разности расположены в том же порядке: $74 - 15 < 82 - 15 < 87 - 15$.

Теперь сравним эти две группы. Возьмем самую большую разность из первой группы ($74 - 32$) и самую маленькую из второй ($74 - 15$). У них одинаковые уменьшаемые (74). Поскольку вычитаемое в первом выражении больше, чем во втором ($32 > 15$), то его разность будет меньше: $74 - 32 < 74 - 15$.
Это значит, что все разности из первой группы меньше, чем все разности из второй.

Объединив упорядоченные группы, получим итоговую последовательность.

Ответ: $42 - 32, 67 - 32, 74 - 32, 74 - 15, 82 - 15, 87 - 15$.

2 Найди границы, в которых заключены разности:

а) $ \Box - \Box < 94 - 27 < \Box - \Box $

$ \Box - \Box < 94 - 27 < \Box - \Box $

б) $ \Box - \Box < 975 - 639 < \Box - \Box $

$ \Box - \Box < 975 - 639 < \Box - \Box $

а)

Для нахождения границ разности $94 - 27$ выполним оценку, округляя числа до десятков.

1. Чтобы найти нижнюю границу, нужно уменьшить уменьшаемое и увеличить вычитаемое. Округлим 94 в меньшую сторону до 90, а 27 — в большую до 30.
Нижняя граница: $90 - 30 = 60$.

2. Чтобы найти верхнюю границу, нужно увеличить уменьшаемое и уменьшить вычитаемое. Округлим 94 в большую сторону до 100, а 27 — в меньшую до 20.
Верхняя граница: $100 - 20 = 80$.

Таким образом, мы получаем следующие неравенства:
$90 - 30 < 94 - 27 < 100 - 20$
$60 < 94 - 27 < 80$
Проверим: точное значение разности $94 - 27 = 67$. Неравенство $60 < 67 < 80$ является верным.

Ответ: $90 - 30 < 94 - 27 < 100 - 20$; $60 < 94 - 27 < 80$.

б)

Для нахождения границ разности $975 - 639$ выполним оценку, округляя числа до сотен.

1. Чтобы найти нижнюю границу, округлим уменьшаемое (975) в меньшую сторону до 900, а вычитаемое (639) — в большую сторону до 700.
Нижняя граница: $900 - 700 = 200$.

2. Чтобы найти верхнюю границу, округлим уменьшаемое (975) в большую сторону до 1000, а вычитаемое (639) — в меньшую сторону до 600.
Верхняя граница: $1000 - 600 = 400$.

Таким образом, мы получаем следующие неравенства:
$900 - 700 < 975 - 639 < 1000 - 600$
$200 < 975 - 639 < 400$
Проверим: точное значение разности $975 - 639 = 336$. Неравенство $200 < 336 < 400$ является верным.

Ответ: $900 - 700 < 975 - 639 < 1000 - 600$; $200 < 975 - 639 < 400$.

1 Начерти отрезки AB = 4 см и KM = $\frac{3}{2}$ AB, измерь длину KM. Объясни, почему KM > AB. Как найти длину KM с помощью вычислений?

Задачи с неправильными частями решаются по тем же правилам, что и задачи с правильными частями. Вспомним эти правила. Для удобства введём следующие обозначения.

Пусть a — целое (принимаем за единицу), а b — часть a, соответствующая дроби $\frac{m}{n}$. Вид задачи определяется тем, какая из величин (a, b или $\frac{m}{n}$) в таблице неизвестна.

1 - a

$\frac{m}{n}$ - b

I. Нахождение части от числа.

Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, можно это число разделить на знаменатель дроби и умножить на числитель.

Часть = Число : Знаменатель · Числитель

1 - a

$\frac{m}{n}$ - ?

$b = a : n \cdot m$

II. Нахождение числа по его части.

Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, можно эту часть разделить на числитель дроби и умножить на знаменатель.

Число = Часть : Числитель · Знаменатель

1 - ?

$\frac{m}{n}$ - b

$a = b : m \cdot n$

III. Какую часть одно число составляет от другого (b от a)?

Чтобы выразить дробью часть, которую первое число составляет от второго, можно первое число разделить на второе.

Часть = I Число : II Число

1 - a

? - b

$\frac{m}{n} = b : a$

Начерти отрезки AB = 4 см и KM = 3/2 AB, измерь длину KM.

1. С помощью линейки начертим отрезок AB, длина которого равна 4 см.

2. Чтобы начертить отрезок KM, необходимо сначала вычислить его длину. Длина KM составляет $ \frac{3}{2} $ от длины AB. Длина AB равна 4 см. Вычислим длину KM: $ 4 \times \frac{3}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 $ см.

3. Теперь начертим отрезок KM длиной 6 см с помощью линейки.

4. Если измерить начерченный отрезок KM линейкой, то его длина будет равна 6 см.

Ответ: Длина отрезка KM равна 6 см.

Объясни, почему KM > AB.

Длина отрезка AB равна 4 см, а вычисленная длина отрезка KM равна 6 см. Сравнивая эти значения, видим, что $ 6\ см > 4\ см $, следовательно, отрезок $ KM > AB $.

Это происходит потому, что длина KM составляет $ \frac{3}{2} $ от длины AB. Дробь $ \frac{3}{2} $ является неправильной, так как её числитель (3) больше знаменателя (2). Неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, всегда больше единицы ($ \frac{3}{2} = 1.5 $, а $ 1.5 > 1 $). Умножение положительного числа (длины AB) на число, которое больше 1, всегда приводит к результату, который больше исходного числа. Таким образом, длина KM заведомо будет больше длины AB.

Ответ: Отрезок KM длиннее отрезка AB, потому что его длина составляет $ \frac{3}{2} $ от длины AB, а дробь $ \frac{3}{2} $ больше 1.

Как найти длину KM с помощью вычислений?

Чтобы найти длину KM, нужно найти часть от числа. В данном случае "число" — это длина отрезка AB, равная 4 см, а "часть" выражена дробью $ \frac{3}{2} $.

Согласно правилу нахождения части от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на числитель.

1. Сначала разделим длину отрезка AB на знаменатель дроби: $ 4 \div 2 = 2 $ см. Это значение соответствует длине $ \frac{1}{2} $ отрезка AB.

2. Затем умножим полученный результат на числитель дроби: $ 2 \times 3 = 6 $ см.

Таким образом, мы нашли, что длина отрезка KM составляет 6 см.

Вычисление можно записать и одним действием: $ 4 \times \frac{3}{2} = 6 $ см.

Ответ: Длину KM можно найти, разделив длину AB на знаменатель 2 и умножив на числитель 3: $ 4 \div 2 \times 3 = 6 $ см.

4 а) Может ли острый угол быть равен 126°? Какую меру имеют острые углы, прямые углы, тупые углы?

б) Олег измерил угол MON по алгоритму и получил, что $\angle MON = 50^\circ$. Прав ли он? Если нет, в чем его ошибка?

Алгоритм измерения углов

1. Совместить центр транспортира с вершиной угла.

2. Сторону угла направить в начало шкалы транспортира.

3. Найти точку пересечения второй стороны угла с той же шкалой.

4. Назвать меру угла (число, соответствующее найденному штриху), сопоставить её с видом угла.

а) Нет, острый угол не может быть равен $126^\circ$. Углы классифицируются по их градусной мере следующим образом: острые углы имеют меру больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$; прямые углы имеют меру ровно $90^\circ$; тупые углы имеют меру больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Поскольку $126^\circ > 90^\circ$, этот угол является тупым, а не острым.

Ответ: Нет, не может. Острые углы — меньше $90^\circ$, прямые — ровно $90^\circ$, тупые — больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

б) Олег неправ. Его ошибка заключается в том, что он использовал разные шкалы транспортира для измерения угла. Согласно алгоритму, он правильно совместил центр транспортира с вершиной O и направил сторону OM на $0^\circ$. Однако сторона OM совпала с нулем на внутренней шкале. Пункт 3 алгоритма требует найти пересечение второй стороны (ON) с той же самой шкалой. По внутренней шкале сторона ON указывает на $130^\circ$. Олег же взял значение $50^\circ$ с внешней шкалы, нарушив алгоритм. Кроме того, визуально угол MON является тупым (больше $90^\circ$), поэтому его мера не может быть $50^\circ$, так как это острый угол.

Ответ: Олег неправ. Правильная мера угла $\angle MON = 130^\circ$. Его ошибка в том, что он начал измерение по одной шкале (внутренней), а считал результат по другой (внешней).

5 По рисунку найди величины углов:

$\angle AOB =$
$\angle BOE =$
$\angle AOF =$
$\angle AOD =$
$\angle COF =$
$\angle EOC =$

Какие из этих углов являются острыми, прямыми, тупыми, развёрнутыми? Назови все пары смежных углов.

∠AOB =

Для нахождения величин углов проанализируем рисунок. Прямая AF образует развёрнутый угол ∠AOF, равный $180^\circ$. Луч OD перпендикулярен прямой AF, поэтому ∠AOD — прямой угол, равный $90^\circ$. Угол ∠AOB является частью прямого угла ∠AOD. Визуально оценивая рисунок, можно принять его величину равной $40^\circ$.

Ответ: ∠AOB = $40^\circ$.

∠BOE =

Чтобы найти величину угла ∠BOE, можно найти разность углов ∠AOE и ∠AOB. Визуально угол ∠AOE составляет примерно $150^\circ$. Используя ранее найденное значение ∠AOB = $40^\circ$, получаем: ∠BOE = ∠AOE - ∠AOB = $150^\circ - 40^\circ = 110^\circ$.

Ответ: ∠BOE = $110^\circ$.

∠AOF =

Угол ∠AOF образован лучами OA и OF, которые лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Такой угол называется развёрнутым, и его величина всегда равна $180^\circ$.

Ответ: ∠AOF = $180^\circ$.

∠AOD =

Из рисунка видно, что луч OD перпендикулярен прямой AF. Угол, образованный перпендикулярными лучами, является прямым, и его величина составляет $90^\circ$.

Ответ: ∠AOD = $90^\circ$.

∠COF =

Углы ∠AOC и ∠COF являются смежными, так как их сумма составляет развёрнутый угол ∠AOF ($180^\circ$). Оценим величину угла ∠AOC примерно в $70^\circ$. Тогда ∠COF = $180^\circ - \text{∠AOC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Ответ: ∠COF = $110^\circ$.

∠EOC =

Угол ∠EOC можно вычислить как разность углов ∠AOE и ∠AOC. Используя оценённые ранее значения ∠AOE ≈ $150^\circ$ и ∠AOC ≈ $70^\circ$, получаем: ∠EOC = ∠AOE - ∠AOC = $150^\circ - 70^\circ = 80^\circ$.

Ответ: ∠EOC = $80^\circ$.

Какие из этих углов являются острыми, прямыми, тупыми, развёрнутыми? Назови все пары смежных углов.

Классификация найденных углов по их величине:

• Острые углы (величина больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$): ∠AOB ($40^\circ$), ∠EOC ($80^\circ$).
• Прямые углы (величина равна $90^\circ$): ∠AOD.
• Тупые углы (величина больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$): ∠BOE ($110^\circ$), ∠COF ($110^\circ$).
• Развёрнутые углы (величина равна $180^\circ$): ∠AOF.

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и одной общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Пары смежных углов на рисунке:

• ∠AOB и ∠FOB
• ∠AOC и ∠FOC
• ∠AOD и ∠FOD
• ∠AOE и ∠FOE

Ответ: Острые: ∠AOB, ∠EOC. Прямые: ∠AOD. Тупые: ∠BOE, ∠COF. Развёрнутые: ∠AOF. Пары смежных углов: (∠AOB, ∠FOB), (∠AOC, ∠FOC), (∠AOD, ∠FOD), (∠AOE, ∠FOE).

6. Сколько на рисунке острых, прямых и тупых углов? Найди развёрнутый угол. Определи величины этих углов.

$\angle DMK = $

$\angle CMK = $

$\angle CMD = $

$\angle BMD = $

$\angle BMC = 30$

$\angle BMK = $

Для решения задачи воспользуемся данными с транспортира, изображенного на рисунке. Точки B, M, K лежат на одной прямой, следовательно, угол $∠BMK$ — развёрнутый, и его величина равна $180°$. По шкале транспортира можно определить величины двух углов с вершиной в точке М: $∠DMK = 45°$ и $∠CMK = 140°$. Остальные углы можно вычислить на основе этих данных.

∠DMK =
Величину этого угла определяем по транспортиру. Она составляет $45°$. Так как $45° < 90°$, это острый угол.
Ответ: $45°$.

∠CMK =
Величину этого угла также определяем по транспортиру. Она составляет $140°$. Так как $90° < 140° < 180°$, это тупой угол.
Ответ: $140°$.

∠CMD =
Этот угол является разностью углов $∠CMK$ и $∠DMK$. Вычисляем: $∠CMD = ∠CMK - ∠DMK = 140° - 45° = 95°$. Так как $90° < 95° < 180°$, это тупой угол.
Ответ: $95°$.

∠BMD =
Углы $∠BMD$ и $∠DMK$ являются смежными, их сумма равна $180°$. Вычисляем: $∠BMD = 180° - ∠DMK = 180° - 45° = 135°$. Так как $90° < 135° < 180°$, это тупой угол.
Ответ: $135°$.

∠BMC =
Углы $∠BMC$ и $∠CMK$ являются смежными, их сумма равна $180°$. Вычисляем: $∠BMC = 180° - ∠CMK = 180° - 140° = 40°$. Так как $40° < 90°$, это острый угол.
Ответ: $40°$.

∠BMK =
Этот угол образован сторонами, лежащими на одной прямой. Это развёрнутый угол, его величина равна $180°$.
Ответ: $180°$.

Подведем итог по количеству углов каждого вида:
Острые углы: 2 ($∠DMK$ и $∠BMC$).
Прямые углы: 0.
Тупые углы: 3 ($∠CMK$, $∠CMD$ и $∠BMD$).
Развёрнутый угол: 1 ($∠BMK$).

7 Измерь транспортиром и запиши градусную меру углов:

$\angle A = \underline{\hspace{2cm}}$

$\angle B = \underline{\hspace{2cm}}$

$\angle D = \underline{\hspace{2cm}}$

Для того чтобы найти градусную меру углов, изображенных на рисунке, необходимо воспользоваться измерительным инструментом — транспортиром.

∠A

Чтобы измерить угол A, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, а его прямое основание — с горизонтальной стороной угла так, чтобы она указывала на отметку 0°. Вторая сторона угла пересечет шкалу транспортира на делении, которое и будет градусной мерой угла. В результате измерения получаем, что угол A — острый.

Его градусная мера равна 60°.

Ответ: $\angle A = 60°$

∠B

Для измерения угла B нужно проделать аналогичную процедуру: совместить центр транспортира с вершиной B, а одну из сторон угла — с отметкой 0°. Другая сторона покажет величину угла. Угол B — острый.

Его градусная мера равна 20°.

Ответ: $\angle B = 20°$

∠D

Для измерения угла D совмещаем центр транспортира с вершиной D, а горизонтальную сторону — с отметкой 0°. Так как угол D является тупым, его значение будет больше 90°. Вторая сторона угла пересечет шкалу транспортира на соответствующей отметке.

Его градусная мера равна 135°.

Ответ: $\angle D = 135°$