Страница 13, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Какое из множеств ${0, 1, 2, 3, 4}$, ${4, 5, 6 \ldots}$, ${5, 6, 7 \ldots}$, $\emptyset$ является множеством решений неравенства $x > 4$? Какое неравенство со знаком $\ge$ имеет такое же множество решений?

Какое из множеств {0, 1, 2, 3, 4}, {4, 5, 6 ...}, {5, 6, 7 ...}, Ø является множеством решений неравенства x > 4?
Неравенство $x > 4$ означает, что мы ищем все числа, которые строго больше 4. Предполагая, что речь идет о целых числах (судя по предложенным вариантам), мы должны найти множество целых чисел, каждое из которых больше 4.
Проанализируем предложенные множества: 1. Множество $\{0, 1, 2, 3, 4\}$: ни один из элементов этого множества не является строго большим 4. Значит, оно не подходит. 2. Множество $\{4, 5, 6, ...\}$: это множество содержит число 4. Однако неравенство $4 > 4$ неверно, поэтому это множество не является решением. 3. Множество $\{5, 6, 7, ...\}$: наименьший элемент этого множества — 5. Так как $5 > 4$, $6 > 4$, $7 > 4$ и так далее, все элементы этого множества удовлетворяют данному неравенству. Это правильный ответ. 4. $\emptyset$ (пустое множество): это множество не содержит элементов, но решения у неравенства есть (например, $x=5$). Значит, оно не подходит.
Ответ: $\{5, 6, 7, ...\}$.

Какое неравенство со знаком ≥ имеет такое же множество решений?
Множество решений $\{5, 6, 7, ...\}$ состоит из всех целых чисел, начиная с 5. Нам нужно найти неравенство вида $x \ge a$, которое описывает это же множество. Знак $\ge$ означает "больше или равно". Поскольку наименьшее число в множестве решений — это 5, то искомое неравенство должно включать число 5 и все целые числа, которые больше него. Этому условию полностью удовлетворяет неравенство $x \ge 5$. Оно означает, что $x$ может быть равен 5 или быть больше 5, что в точности соответствует множеству $\{5, 6, 7, ...\}$.
Ответ: $x \ge 5$.

2. Какие из чисел 60, 50, 40, 12, 8, 7 и 3 являются решениями неравенства $7 < y < 50$? Обоснуй свой ответ.

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются решениями неравенства $7 < y < 50$, необходимо проверить, удовлетворяет ли каждое число двум условиям одновременно: оно должно быть строго больше 7 и строго меньше 50.

Проверим каждое число:

• Число 60: Неравенство $7 < 60 < 50$ является ложным, так как $60$ не меньше $50$. Следовательно, 60 не является решением.
• Число 50: Неравенство $7 < 50 < 50$ является ложным, так как неравенство строгое, а $50$ не меньше $50$. Следовательно, 50 не является решением.
• Число 40: Неравенство $7 < 40 < 50$ является истинным, так как $40$ больше $7$ и $40$ меньше $50$. Следовательно, 40 является решением.
• Число 12: Неравенство $7 < 12 < 50$ является истинным, так как $12$ больше $7$ и $12$ меньше $50$. Следовательно, 12 является решением.
• Число 8: Неравенство $7 < 8 < 50$ является истинным, так как $8$ больше $7$ и $8$ меньше $50$. Следовательно, 8 является решением.
• Число 7: Неравенство $7 < 7 < 50$ является ложным, так как неравенство строгое, а $7$ не больше $7$. Следовательно, 7 не является решением.
• Число 3: Неравенство $7 < 3 < 50$ является ложным, так как $3$ не больше $7$. Следовательно, 3 не является решением.

Таким образом, решениями неравенства являются только те числа из списка, которые находятся в интервале от 7 до 50, не включая границы.

Ответ: 40, 12, 8.

3 Запиши все двойные неравенства, имеющие множество решений ${8, 9, 10}$:

Чтобы найти все двойные неравенства, решением которых является множество целых чисел {8, 9, 10}, нужно определить левую и правую границы для переменной, которую мы обозначим как $x$.

Левая (нижняя) граница: Наименьшее число в множестве — 8. Чтобы число 7 не входило в решение, а 8 входило, левая часть неравенства должна быть такой:

• $x$ больше или равен 8, что записывается как $x \ge 8$ или $8 \le x$.
• $x$ строго больше 7, что записывается как $x > 7$ или $7 < x$.

Для целых чисел оба этих условия равносильны.

Правая (верхняя) граница: Наибольшее число в множестве — 10. Чтобы число 11 не входило в решение, а 10 входило, правая часть неравенства должна быть такой:

• $x$ меньше или равен 10, что записывается как $x \le 10$.
• $x$ строго меньше 11, что записывается как $x < 11$.

Для целых чисел эти условия также равносильны.

Теперь скомбинируем все возможные варианты для левой и правой границ, чтобы получить все двойные неравенства:

1. Используем $8 \le x$ и $x \le 10$. Получаем: $8 \le x \le 10$.

2. Используем $8 \le x$ и $x < 11$. Получаем: $8 \le x < 11$.

3. Используем $7 < x$ и $x \le 10$. Получаем: $7 < x \le 10$.

4. Используем $7 < x$ и $x < 11$. Получаем: $7 < x < 11$.

Все четыре неравенства имеют одно и то же множество целочисленных решений: {8, 9, 10}.

Ответ: $8 \le x \le 10$; $8 \le x < 11$; $7 < x \le 10$; $7 < x < 11$.

4 Прочитай и реши неравенства:

а) $6 \le a < 9;$

б) $315 \le t \le 317;$

в) $16 < x < 20;$

г) $108 < n \le 112.$

а) В двойном неравенстве $6 \le a < 9$ переменная $a$ должна быть больше или равна 6, но строго меньше 9. Мы ищем все целые числа, которые удовлетворяют этим двум условиям. Число 6 является решением, так как неравенство $6 \le a$ нестрогое. Число 9 не является решением, так как неравенство $a < 9$ строгое. Таким образом, целочисленными решениями являются все целые числа от 6 включительно до 9 не включительно.
Ответ: 6, 7, 8.

б) Неравенство $315 \le t \le 317$ означает, что переменная $t$ должна быть больше или равна 315 и одновременно меньше или равна 317. Так как оба знака неравенства ($ \le $) нестрогие, то граничные значения 315 и 317 включаются в решение. Целочисленными решениями являются числа 315, 316 и 317.
Ответ: 315, 316, 317.

в) В неравенстве $16 < x < 20$ переменная $x$ должна быть строго больше 16 и строго меньше 20. Так как оба знака неравенства ($ < $) строгие, то граничные значения 16 и 20 не входят в множество решений. Мы ищем все целые числа, которые находятся между 16 и 20.
Ответ: 17, 18, 19.

г) Неравенство $108 < n \le 112$ означает, что переменная $n$ строго больше 108 и меньше или равна 112. Знак $ < $ (строго больше) означает, что число 108 не является решением. Знак $ \le $ (меньше или равно) означает, что число 112 является решением. Таким образом, мы ищем все целые числа от 108 не включительно до 112 включительно.
Ответ: 109, 110, 111, 112.

5 Поставь букву В в клетки таблицы, где неравенство верно, и букву Н — в те клетки, где оно неверно.

15

x

$10 < x \leq 100$

$100 < x < 260$

$260 \leq x \leq 1000$

10

100

215

260

1000

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждой строки подставить значение $x$ в каждое из неравенств в заголовках столбцов и определить, является ли полученное утверждение верным (В) или неверным (Н).

Ответ:

6 Реши уравнения. Что ты замечаешь?

$504 \, 560 : x = 8;$

$x : 8 = 63070;$

$8 \cdot x = 504 \, 560.$

504 560 : x = 8;

В данном уравнении неизвестное $x$ — это делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

$x = 504 560 : 8$

Выполним деление:

$504 560 : 8 = 63 070$

$x = 63 070$

Проверка: подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение.

$504 560 : 63 070 = 8$

$8 = 8$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 63 070$.

x : 8 = 63 070;

В данном уравнении неизвестное $x$ — это делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель.

$x = 63 070 \cdot 8$

Выполним умножение:

$63 070 \cdot 8 = 504 560$

$x = 504 560$

Проверка: подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение.

$504 560 : 8 = 63 070$

$63 070 = 63 070$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 504 560$.

8 · x = 504 560.

В данном уравнении неизвестное $x$ — это множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.

$x = 504 560 : 8$

Это же вычисление мы уже выполняли в первом уравнении.

$504 560 : 8 = 63 070$

$x = 63 070$

Проверка: подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение.

$8 \cdot 63 070 = 504 560$

$504 560 = 504 560$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $x = 63 070$.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что все три уравнения используют одни и те же три числа: $504 560$, $8$ и $63 070$. Эти уравнения демонстрируют взаимосвязь между компонентами действий умножения и деления. Зная, что $8 \cdot 63 070 = 504 560$, мы можем составить два связанных примера на деление: $504 560 : 8 = 63 070$ и $504 560 : 63 070 = 8$. Таким образом, все три уравнения являются разными формами записи одной и той же математической зависимости.

1 Практическая работа.

а) Возьми два одинаковых круга и раздели каждый из них на 4 равные части. Сколько четвёртых долей круга содержит 1 круг, 2 круга? Запиши: $1 = \frac{\Box}{4}$, $2 = \frac{\Box}{4}$.

Что необычного в полученных дробях?

Можно ли и в этом случае понимать черту дроби как знак деления?

б) Закрась на рисунке 5 четвёртых долей круга цветным карандашом. Какой дробью можно выразить закрашенную часть? Запиши эту дробь в пустом окошке:

а) Один целый круг, разделенный на 4 равные части, содержит 4 "четвёртых доли". Два таких круга будут содержать в два раза больше долей, то есть $4 \times 2 = 8$ четвёртых долей. Таким образом, мы можем записать равенства:

$1 = \frac{4}{4}$

$2 = \frac{8}{4}$

Необычное в полученных дробях то, что их числитель (число над чертой) равен ($\frac{4}{4}$) или больше ($\frac{8}{4}$) их знаменателя (числа под чертой). Такие дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю, называются неправильными дробями.

Да, и в этом случае черту дроби можно понимать как знак деления. Проверим:

$\frac{4}{4} = 4 : 4 = 1$

$\frac{8}{4} = 8 : 4 = 2$

Равенства верны.

Ответ: 1 круг содержит 4 четвёртых доли, 2 круга — 8 четвёртых долей. Запись: $1 = \frac{4}{4}$, $2 = \frac{8}{4}$.

б) Чтобы закрасить 5 четвёртых долей круга, нужно закрасить все 4 части в первом круге и 1 часть во втором. Знаменатель дроби показывает, на сколько частей разделено целое (на 4), а числитель — сколько таких частей взято (5). Следовательно, закрашенную часть можно выразить дробью, где в числителе стоит 5, а в знаменателе 4.

Ответ: $\frac{5}{4}$

2 Запиши дроби, выражающие количество шестых долей круга на каждом из рисунков а—д. Что ты замечаешь?

а) $3/6$

б) $6/6$

в) $8/6$

г) $12/6$

д) $16/6$

а) На рисунке круг разделен на 6 равных частей. Три из них закрашены. Это можно выразить дробью, где в знаменателе общее количество долей (6), а в числителе — количество закрашенных долей (3).
Ответ: $ \frac{3}{6} $

б) На рисунке закрашен целый круг, который состоит из 6 шестых долей. Значит, закрашено 6 долей из 6.
Ответ: $ \frac{6}{6} $

в) На рисунке изображен один целый закрашенный круг (это 6 шестых долей) и еще 2 закрашенные доли от второго круга. Всего закрашено $6 + 2 = 8$ шестых долей.
Ответ: $ \frac{8}{6} $

г) На рисунке изображены два целых закрашенных круга. Каждый круг состоит из 6 шестых долей, поэтому всего закрашено $6 + 6 = 12$ шестых долей.
Ответ: $ \frac{12}{6} $

д) На рисунке изображены два целых закрашенных круга (это $2 \times 6 = 12$ долей) и еще 4 закрашенные доли от третьего круга. Всего закрашено $12 + 4 = 16$ шестых долей.
Ответ: $ \frac{16}{6} $

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что знаменатель всех дробей одинаковый и равен 6, так как мы считаем количество шестых долей. Числитель дроби показывает, сколько таких долей взято. Если числитель меньше знаменателя (как в пункте а), то дробь меньше единицы (правильная дробь). Если числитель равен знаменателю (пункт б), то дробь равна единице. Если числитель больше знаменателя (пункты в, г, д), то дробь больше единицы (неправильная дробь).

3 Как разделить 5 яблок поровну между 2 детьми? Сколько половинок достанется каждому? Раскрась их соответственно желтым и зелёным цветом и запиши ответ.

$5 : 2 = $

Как разделить 5 яблок поровну между 2 детьми?
Чтобы разделить 5 яблок поровну между двумя детьми, сначала нужно дать каждому по 2 целых яблока. Так мы раздадим $2 \times 2 = 4$ яблока. Оставшееся пятое яблоко нужно разрезать на две равные части (пополам) и дать каждому ребенку по одной половинке. Таким образом, каждый ребенок получит 2 целых яблока и 1 половинку яблока.
Ответ: Каждому ребенку нужно дать 2 целых яблока и еще одну половинку.

Сколько половинок достанется каждому?
В одном целом яблоке — 2 половинки. Так как каждый ребенок получает 2 целых яблока, то это $2 \times 2 = 4$ половинки. Плюс еще одна половинка от пятого яблока. Всего получается: $4 + 1 = 5$ половинок.
Другой способ: во всех 5 яблоках всего $5 \times 2 = 10$ половинок. Разделим их поровну на двоих детей: $10 \div 2 = 5$ половинок.
Ответ: Каждому достанется 5 половинок.

Раскрась их соответственно желтым и зелёным цветом и запиши ответ.
На рисунке нужно раскрасить долю одного ребенка (например, девочки) желтым цветом. Это 2 целых яблока и одна половинка пятого яблока. Долю другого ребенка (мальчика) нужно раскрасить зеленым цветом — это оставшиеся 2 целых яблока и вторая половинка пятого яблока.
Результат деления 5 яблок на 2 детей записывается так:
$5 : 2 = 2.5$
Это означает, что каждый ребенок получит по два с половиной яблока. Результат также можно записать в виде смешанного числа: $2\frac{1}{2}$.
Ответ: $5 : 2 = 2.5$

4 На сколько частей разделён единичный отрезок числового луча? Запиши числа около каждого деления шкалы:

0 $ \frac{1}{5} $ $ \frac{2}{5} $ $ \frac{3}{5} $ $ \frac{4}{5} $ $ \frac{5}{5} $ $ \frac{6}{5} $

1 2 3

Назови дроби: а) меньшие 1; б) бóльшие 1; в) равные 1.

Числитель дроби может быть или меньше знаменателя, или больше его, или равен ему.

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью. Например, $ \frac{2}{9} $, $ \frac{7}{16} $, $ \frac{28}{57} $.

Правильная дробь меньше 1.

Дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю, называют неправильной дробью. Например, $ \frac{8}{8} $, $ \frac{5}{2} $, $ \frac{40}{4} $.

Неправильная дробь больше или равна 1.

В неправильных дробях так же, как и в правильных, черту дроби можно понимать как знак деления. Например:

$ \frac{8}{8} = 8 : 8 = 1 $, $ \frac{5}{2} = 5 : 2 $, $ \frac{40}{4} = 40 : 4 = 10 $.

Чтобы определить, на сколько частей разделён единичный отрезок, нужно посмотреть на промежуток от 0 до 1 на числовом луче. Между 0 и 1 находится 5 равных промежутков. Это также следует из знаменателя дробей, указанных на шкале (например, $\frac{1}{5}$), который равен 5. Следовательно, единичный отрезок разделён на 5 равных частей.

Чтобы записать числа около каждого деления шкалы, нужно последовательно прибавлять шаг, равный $\frac{1}{5}$. Начиная с 0, получим следующую последовательность чисел для всех делений от 0 до 3:

$0, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{5}{5} \text{ (или 1)}, \frac{6}{5}, \frac{7}{5}, \frac{8}{5}, \frac{9}{5}, \frac{10}{5} \text{ (или 2)}, \frac{11}{5}, \frac{12}{5}, \frac{13}{5}, \frac{14}{5}, \frac{15}{5} \text{ (или 3)}$.

Ответ: Единичный отрезок разделён на 5 частей.

Рассмотрим дроби, указанные на шкале на рисунке: $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{5}{5}, \frac{6}{5}$.

а) меньшие 1

Дробь меньше единицы, если её числитель меньше знаменателя (такая дробь называется правильной). В нашем случае знаменатель равен 5. Выберем дроби, у которых числитель меньше 5.

Это дроби: $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$.

б) большие 1

Дробь больше единицы, если её числитель больше знаменателя (это неправильная дробь). Выберем дроби, у которых числитель больше 5.

Это дробь: $\frac{6}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$.

в) равные 1

Дробь равна единице, если её числитель равен знаменателю (это также неправильная дробь). Выберем дробь, у которой числитель равен 5.

Это дробь: $\frac{5}{5}$, так как $5 : 5 = 1$.

Ответ: $\frac{5}{5}$.

1 Найди верные высказывания. Из соответствующих букв составь название столицы африканского государства.

P Угол в $56^{\circ}$ острый.

Д Угол в $110^{\circ}$ развёрнутый.

О Угол в $94^{\circ}$ прямой.

А Угол в $90^{\circ}$ прямой.

К Угол в $138^{\circ}$ тупой.

И Угол в $3^{\circ}$ острый.

Для решения задачи необходимо определить, какие из предложенных высказываний являются верными, основываясь на классификации углов по их градусной мере.

Р
Высказывание: Угол в $56^\circ$ острый.
Острым называется угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Поскольку $0^\circ < 56^\circ < 90^\circ$, данное высказывание является верным.
Ответ: верно.

О
Высказывание: Угол в $94^\circ$ прямой.
Прямой угол имеет градусную меру ровно $90^\circ$. Так как $94^\circ \neq 90^\circ$, высказывание неверно. Угол в $94^\circ$ является тупым.
Ответ: неверно.

К
Высказывание: Угол в $138^\circ$ тупой.
Тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Так как $90^\circ < 138^\circ < 180^\circ$, данное высказывание является верным.
Ответ: верно.

Д
Высказывание: Угол в $110^\circ$ развёрнутый.
Развёрнутый угол имеет градусную меру ровно $180^\circ$. Так как $110^\circ \neq 180^\circ$, высказывание неверно. Угол в $110^\circ$ является тупым.
Ответ: неверно.

А
Высказывание: Угол в $90^\circ$ прямой.
По определению, угол, равный $90^\circ$, является прямым. Данное высказывание является верным.
Ответ: верно.

И
Высказывание: Угол в $3^\circ$ острый.
Острый угол имеет градусную меру больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Поскольку $0^\circ < 3^\circ < 90^\circ$, данное высказывание является верным.
Ответ: верно.

Верными являются высказывания под буквами Р, К, А, И. Составим из этих букв название столицы африканского государства. Путём перестановки букв получаем слово КАИР.

Ответ: КАИР.

2 Нарисуй угол:

а) равный $90^\circ$;

б) больший $90^\circ$;

в) меньший $90^\circ$;

г) равный $180^\circ$.

Как называются эти углы?

а) Угол, величина которого составляет $90°$, образуется двумя перпендикулярными лучами. Этот угол называется прямым углом.
Ответ: Прямой угол.

б) Угол, величина которого больше $90°$, но меньше $180°$ ($90° < \alpha < 180°$), называется тупым углом.
Ответ: Тупой угол.

в) Угол, величина которого меньше $90°$ ($0° < \alpha < 90°$), называется острым углом.
Ответ: Острый угол.

г) Угол, величина которого составляет $180°$, представляет собой прямую линию. Его стороны являются лучами, направленными в противоположные стороны. Этот угол называется развёрнутым углом.
Ответ: Развёрнутый угол.