Страница 18, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

10 Найди среди чисел 31, 32, 101, 102 решения неравенства $30 \le x - 2 < 100$. Найди ещё какое-нибудь решение этого неравенства. Сколько всего натуральных чисел являются его решениями?

Найди среди чисел 31, 32, 101, 102 решения неравенства $30 \le x - 2 < 100$.

Сначала решим данное двойное неравенство относительно переменной $x$. Для этого прибавим 2 ко всем трём частям неравенства:

$30 + 2 \le x - 2 + 2 < 100 + 2$

$32 \le x < 102$

Таким образом, решением неравенства являются все числа, которые больше или равны 32 и строго меньше 102. Теперь проверим предложенные числа:

– Число 31: неравенство $32 \le 31$ ложно. Следовательно, 31 не является решением.
– Число 32: неравенство $32 \le 32 < 102$ истинно. Следовательно, 32 является решением.
– Число 101: неравенство $32 \le 101 < 102$ истинно. Следовательно, 101 является решением.
– Число 102: неравенство $102 < 102$ ложно. Следовательно, 102 не является решением.

Ответ: 32 и 101.

Найди ещё какое-нибудь решение этого неравенства.

Мы установили, что решением неравенства является любое число $x$, удовлетворяющее условию $32 \le x < 102$. Мы можем выбрать любое натуральное число из этого промежутка. Например, выберем число 50.

Подставим его в исходное неравенство для проверки:

$30 \le 50 - 2 < 100$

$30 \le 48 < 100$

Неравенство верно, значит, 50 является решением. В качестве ответа можно было выбрать любое другое целое число от 32 до 101 включительно.

Ответ: 50.

Сколько всего натуральных чисел являются его решениями?

Нам нужно найти количество всех натуральных чисел $x$, для которых выполняется условие $32 \le x < 102$. Это все целые числа начиная с 32 и до 101 включительно.

Для того чтобы подсчитать их количество, можно из наибольшего целого решения вычесть наименьшее и прибавить единицу. Наибольшее целое решение — 101, а наименьшее — 32.

Количество решений = $(101 - 32) + 1 = 69 + 1 = 70$.

Также можно из верхней границы промежутка (102) вычесть нижнюю (32), так как неравенство строгое для верхней границы и нестрогое для нижней:

Количество решений = $102 - 32 = 70$.

Ответ: 70.

11 Какое из множеств ${0, 1, 2, 3}$, ${1, 2, 3, 4}$, ${0, 1, 3, 4}$, ${0, 1, 2, 3, 4}$, ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ является множеством решений неравенства $n < 5$?

Задача состоит в том, чтобы найти множество решений неравенства $n < 5$. Поскольку в предложенных вариантах ответов содержатся только целые неотрицательные числа, мы будем искать решения именно в этом множестве (натуральные числа и ноль).

Неравенство $n < 5$ является строгим. Это означает, что нам нужно найти все целые неотрицательные числа, которые строго меньше 5. Давайте последовательно проверим числа, начиная с нуля:

• Число 0: $0 < 5$. Неравенство верно.
• Число 1: $1 < 5$. Неравенство верно.
• Число 2: $2 < 5$. Неравенство верно.
• Число 3: $3 < 5$. Неравенство верно.
• Число 4: $4 < 5$. Неравенство верно.
• Число 5: $5 < 5$. Неравенство неверно, так как $5 = 5$.

Все последующие целые числа (6, 7, 8 и так далее) будут больше 5, следовательно, они не являются решениями неравенства. Таким образом, множество решений неравенства $n < 5$ в целых неотрицательных числах — это $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Теперь необходимо сравнить полученное множество с предложенными вариантами:

• $\{0, 1, 2, 3\}$ — неверно, так как число 4 также является решением, но отсутствует в этом множестве.
• $\{1, 2, 3, 4\}$ — неверно, так как число 0 также является решением, но отсутствует в этом множестве.
• $\{0, 1, 3, 4\}$ — неверно, так как число 2 также является решением, но отсутствует в этом множестве.
• $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ — верно, так как это множество содержит все целые неотрицательные числа, которые меньше 5, и не содержит никаких других чисел.
• $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ — неверно, так как число 5 не является решением строгого неравенства $n < 5$.

Следовательно, искомое множество решений — это $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Ответ: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

12 Реши уравнения. Что ты замечаешь?

$x + 6 = 84; \quad x - 7 = 63; \quad 54 - x = 27;$

$x \cdot 6 = 84; \quad x : 7 = 63; \quad 54 : x = 27.$

$x + 6 = 84$
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 84 - 6$
$x = 78$
Проверка: $78 + 6 = 84$. Верно.
Ответ: 78

$x \cdot 6 = 84$
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
$x = 84 : 6$
$x = 14$
Проверка: $14 \cdot 6 = 84$. Верно.
Ответ: 14

$x - 7 = 63$
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = 63 + 7$
$x = 70$
Проверка: $70 - 7 = 63$. Верно.
Ответ: 70

$x : 7 = 63$
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
$x = 63 \cdot 7$
$x = 441$
Проверка: $441 : 7 = 63$. Верно.
Ответ: 441

$54 - x = 27$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 54 - 27$
$x = 27$
Проверка: $54 - 27 = 27$. Верно.
Ответ: 27

$54 : x = 27$
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
$x = 54 : 27$
$x = 2$
Проверка: $54 : 2 = 27$. Верно.
Ответ: 2

Что ты замечаешь?
Уравнения сгруппированы по парам. В каждой паре используются одинаковые числа, но разные арифметические действия: в первой паре — сложение и умножение, во второй и третьей — вычитание и деление. Правила нахождения неизвестной переменной ($x$) в этих парах схожи и основаны на взаимосвязи арифметических операций. Например, для нахождения неизвестного слагаемого используется вычитание ($x = 84 - 6$), а для нахождения неизвестного множителя — деление ($x = 84 : 6$). Это демонстрирует, как для решения уравнений используются обратные операции.

13 Найди множество значений выражения $983 \cdot b$ для всех значений переменной $b$ из множества $\{37, 504, 80200\}$.

Чтобы найти множество значений выражения $983 \cdot b$, необходимо последовательно подставить каждое значение переменной $b$ из заданного множества $\{37, 504, 80 200\}$ в это выражение и вычислить результат.

1. Вычисление для $b = 37$

Подставляем первое значение $b$ в выражение:

$983 \cdot 37 = 36\;371$

2. Вычисление для $b = 504$

Подставляем второе значение $b$ в выражение:

$983 \cdot 504 = 495\;432$

3. Вычисление для $b = 80\;200$

Подставляем третье значение $b$ в выражение:

$983 \cdot 80\;200 = 78\;836\;600$

Собрав все полученные результаты, мы формируем искомое множество значений выражения.

Ответ: $\{36\;371, 495\;432, 78\;836\;600\}$

$84 \cdot 703 - 312 + 72640 : (40 : 5) + 3009 \cdot 240;$

$2980 \cdot (423 + 168) - (57 \cdot 17 - 209) \cdot 6 : 3 + 533700 : 9.$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций: сначала действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в конце сложение и вычитание (слева направо).

1. Выполняем действие в скобках: $40 : 5 = 8$.

2. Теперь выражение выглядит так: $84 \cdot 703 - 312 + 72640 : 8 + 3009 \cdot 240$.

3. Выполняем операции умножения и деления по порядку:

а) $84 \cdot 703 = 59052$

б) $72640 : 8 = 9080$

в) $3009 \cdot 240 = 722160$

4. Подставляем полученные значения в выражение: $59052 - 312 + 9080 + 722160$.

5. Выполняем операции сложения и вычитания по порядку:

а) $59052 - 312 = 58740$

б) $58740 + 9080 = 67820$

в) $67820 + 722160 = 789980$

Ответ: 789980.

Решаем по порядку действий: сначала вычисляем значения в скобках, затем выполняем умножение и деление слева направо, а после — сложение и вычитание слева направо.

1. Выполняем действия в первой скобке: $423 + 168 = 591$.

2. Выполняем действия во второй скобке (сначала умножение, затем вычитание):

а) $57 \cdot 17 = 969$

б) $969 - 209 = 760$

3. Теперь выражение выглядит так: $2980 \cdot 591 - 760 \cdot 6 : 3 + 533700 : 9$.

4. Выполняем операции умножения и деления по порядку:

а) $2980 \cdot 591 = 1761180$

б) $760 \cdot 6 = 4560$

в) $4560 : 3 = 1520$

г) $533700 : 9 = 59300$

5. Подставляем полученные значения в выражение: $1761180 - 1520 + 59300$.

6. Выполняем операции вычитания и сложения по порядку:

а) $1761180 - 1520 = 1759660$

б) $1759660 + 59300 = 1818960$

Ответ: 1818960.

15 Какие фигуры на чертеже? Запиши их обозначения.

Точки: A, B, C, D, K, M, N, O, S, T

Прямые: $l$, $\overleftrightarrow{TS}$

Отрезки: $\overline{OB}$, $\overline{CM}$

Лучи: $\overrightarrow{KD}$

Есть ли среди этих фигур пересекающиеся фигуры?

Точки:

Точка — это основная геометрическая фигура, у которой нет измерений. На чертеже точки обозначены заглавными латинскими буквами. Мы видим следующие точки: A, B, C, D, K, M, N, O, S, T.
Ответ: A, B, C, D, K, M, N, O, S, T.

Прямые:

Прямая — это линия, не имеющая ни начала, ни конца. На чертеже изображены две прямые: прямая, обозначенная строчной буквой $l$, и прямая, проходящая через точки S и T, которую можно обозначить как $ST$ (или $TS$).
Ответ: $l$, $ST$.

Отрезки:

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками (концами отрезка). На чертеже мы видим три отрезка, концы которых отмечены точками или короткими перпендикулярными штрихами: $KD$, $CM$, $OB$.
Ответ: $KD$, $CM$, $OB$.

Лучи:

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку, но не имеет конца. На прямой $ST$ можно выделить два луча: луч с началом в точке S, проходящий через точку T (луч $ST$), и луч с началом в точке T, проходящий через точку S (луч $TS$).
Ответ: $ST$, $TS$.

Есть ли среди этих фигур пересекающиеся фигуры?

Да, среди этих фигур есть пересекающиеся. Пересекающимися называются фигуры, имеющие хотя бы одну общую точку. На чертеже можно найти несколько примеров пересечений:
1. Отрезок $KD$ пересекается с отрезком $OB$.
2. Отрезок $KD$ пересекается с прямой $l$.
3. Отрезок $OB$ пересекается с прямой $ST$.
Ответ: Да, есть. Например, отрезок $KD$ и отрезок $OB$.

16 Вот задача не для робких!

Вычитай, дели и множь,

Плюсы ставь, а также скобки!

Верим, к финишу придёшь!

$5\ 5\ 5\ 5\ 5 = 3;$

$5\ 5\ 5\ 5\ 5 = 7;$

$5\ 5\ 5\ 5\ 5 = 4;$

$5\ 5\ 5\ 5\ 5 = 30;$

$5\ 5\ 5\ 5\ 5 = 5;$

$5\ 5\ 5\ 5\ 5 = 50;$

$5\ 5\ 5\ 5\ 5 = 6;$

$5\ 5\ 5\ 5\ 5 = 120.$

5 5 5 = 3

Данное равенство невозможно получить, используя только три цифры 5 и стандартные арифметические операции (+, -, *, /). Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и для решения требуется четыре цифры 5. При таком допущении решение выглядит так:
$(5 + 5 + 5) / 5 = 15 / 5 = 3$

Ответ: $(5 + 5 + 5) / 5 = 3$

5 5 5 = 7

Как и в первом случае, это равенство невозможно получить с помощью трех пятерок и базовых операций. Решение становится возможным, если использовать четыре пятерки:
$5 + (5 + 5) / 5 = 5 + 10 / 5 = 5 + 2 = 7$

Ответ: $5 + (5 + 5) / 5 = 7$

5 5 5 = 4

Для получения 4 нужно из 5 вычесть 1. Единицу можно получить, разделив 5 на 5.
$5 - 5 / 5 = 5 - 1 = 4$

Ответ: $5 - 5 / 5 = 4$

5 5 5 = 30

Для получения 30 нужно к произведению двух пятерок прибавить третью.
$5 \cdot 5 + 5 = 25 + 5 = 30$

Ответ: $5 \cdot 5 + 5 = 30$

5 5 5 = 5

Самый простой вариант решения — сложить две пятерки и вычесть третью.
$5 + 5 - 5 = 5$

Ответ: $5 + 5 - 5 = 5$

5 5 5 = 50

Сначала необходимо сложить две пятерки, а затем результат умножить на третью. Для этого используются скобки.
$(5 + 5) \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50$

Ответ: $(5 + 5) \cdot 5 = 50$

5 5 5 = 6

Чтобы получить 6, нужно к 5 прибавить 1. Единицу получаем делением 5 на 5.
$5 + 5 / 5 = 5 + 1 = 6$

Ответ: $5 + 5 / 5 = 6$

5 5 5 = 120

Эта часть "задачи не для робких" требует нестандартного подхода. Число 120 — это факториал числа 5 (обозначается как $5!$), то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до 5.
$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$
Используя операцию факториала, можно составить следующее выражение:
$5! + 5 - 5 = 120 + 0 = 120$

Ответ: $5! + 5 - 5 = 120$

Ваня прочитал 200 страниц, что составляет $\frac{4}{9}$ всей книги.

Сколько страниц ему осталось прочитать?

прочитал осталось

Для решения этой задачи существует два основных способа.

Способ 1: Нахождение общего количества страниц

1. Сначала найдем общее количество страниц в книге. Из условия мы знаем, что 200 страниц — это $ \frac{4}{9} $ всей книги. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части (200) разделить на дробь ($ \frac{4}{9} $).

$ 200 \div \frac{4}{9} = 200 \times \frac{9}{4} = \frac{1800}{4} = 450 $ страниц.

Итак, всего в книге 450 страниц.

2. Теперь, чтобы узнать, сколько страниц осталось прочитать, вычтем из общего количества страниц количество уже прочитанных:

$ 450 - 200 = 250 $ страниц.

Ответ: Ване осталось прочитать 250 страниц.

Способ 2: Работа с частями

1. Определим, какую часть книги осталось прочитать. Всю книгу принимаем за 1 (или $ \frac{9}{9} $). Ваня прочитал $ \frac{4}{9} $ книги. Значит, осталось прочитать:

$ 1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $ всей книги.

2. Теперь найдем, сколько страниц соответствует оставшейся части. Сначала узнаем, сколько страниц составляет $ \frac{1}{9} $ книги. Если $ \frac{4}{9} $ — это 200 страниц, то одна девятая часть равна:

$ 200 \div 4 = 50 $ страниц.

3. Зная, что $ \frac{1}{9} $ книги — это 50 страниц, а осталось прочитать $ \frac{5}{9} $, найдем количество оставшихся страниц:

$ 50 \times 5 = 250 $ страниц.

Ответ: Ване осталось прочитать 250 страниц.

10 Из 100 кг винограда получают 25 кг изюма. Какую часть винограда составляет испарившаяся вода? Вырази эту часть в процентах.

ИЗЮМ вода

Чтобы решить задачу, сначала найдем массу воды, которая испарилась при превращении винограда в изюм. Это разница между начальной массой винограда и конечной массой изюма.

$100 \text{ кг} - 25 \text{ кг} = 75 \text{ кг}$

Итак, испарилось 75 кг воды. Теперь ответим на вопросы задачи.

Какую часть винограда составляет испарившаяся вода?
Чтобы найти, какую часть масса воды (75 кг) составляет от общей массы винограда (100 кг), нужно массу воды разделить на массу винограда.

$\frac{75}{100}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 25.

$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$

Ответ: Испарившаяся вода составляет $\frac{3}{4}$ часть винограда.

Вырази эту часть в процентах.
Чтобы выразить часть (дробь) в процентах, ее необходимо умножить на 100%.

$\frac{3}{4} \cdot 100\% = \frac{3 \cdot 100}{4}\% = \frac{300}{4}\% = 75\%$

Также можно было использовать первоначальную дробь:

$\frac{75}{100} \cdot 100\% = 75\%$

Ответ: 75%.

11 Реши уравнение с комментированием и сделай проверку:

а) $(180 : a - 54) : 6 = 6;$

б) $45 + (71 - b \cdot 9) = 80.$

$(180 : a - 54) : 6 = 6$

В этом уравнении выражение в скобках $(180 : a - 54)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное $6$ умножить на делитель $6$.

$180 : a - 54 = 6 \cdot 6$

$180 : a - 54 = 36$

Теперь в уравнении выражение $180 : a$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности $36$ прибавить вычитаемое $54$.

$180 : a = 36 + 54$

$180 : a = 90$

В получившемся простом уравнении переменная $a$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое $180$ разделить на частное $90$.

$a = 180 : 90$

$a = 2$

Проверка:

Подставим найденное значение $a = 2$ в исходное уравнение:

$(180 : 2 - 54) : 6 = 6$

$(90 - 54) : 6 = 6$

$36 : 6 = 6$

$6 = 6$

Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $a = 2$.

$45 + (71 - b \cdot 9) = 80$

В этом уравнении выражение в скобках $(71 - b \cdot 9)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы $80$ вычесть известное слагаемое $45$.

$71 - b \cdot 9 = 80 - 45$

$71 - b \cdot 9 = 35$

Теперь в уравнении выражение $b \cdot 9$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого $71$ вычесть разность $35$.

$b \cdot 9 = 71 - 35$

$b \cdot 9 = 36$

В получившемся простом уравнении переменная $b$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение $36$ разделить на известный множитель $9$.

$b = 36 : 9$

$b = 4$

Проверка:

Подставим найденное значение $b = 4$ в исходное уравнение:

$45 + (71 - 4 \cdot 9) = 80$

$45 + (71 - 36) = 80$

$45 + 35 = 80$

$80 = 80$

Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $b = 4$.

12 Игра «Эстафета». Выполни действия. Какая из полученных дробей меньше? Почему?

Начальная дробь: $\frac{8}{19}$

Операции: $+\frac{12}{19}$, $-\frac{5}{19}$, $+\frac{17}{19}$, $-\frac{6}{19}$, $-\frac{8}{19}$

Начальная дробь: $\frac{14}{27}$

Операции: $-\frac{6}{27}$, $+\frac{5}{27}$, $+\frac{27}{27}$, $-\frac{19}{27}$, $-\frac{3}{27}$

Выполни действия.

Для того чтобы найти конечные дроби, нужно последовательно выполнить все математические операции в каждой цепочке.

Первая эстафета (верхняя):

1. Первое действие: $ \frac{8}{19} + \frac{12}{19} = \frac{8+12}{19} = \frac{20}{19} $.
2. Второе действие: $ \frac{20}{19} - \frac{5}{19} = \frac{20-5}{19} = \frac{15}{19} $.
3. Третье действие: $ \frac{15}{19} + \frac{17}{19} = \frac{15+17}{19} = \frac{32}{19} $.
4. Четвертое действие: $ \frac{32}{19} - \frac{6}{19} = \frac{32-6}{19} = \frac{26}{19} $.
5. Пятое действие: $ \frac{26}{19} - \frac{8}{19} = \frac{26-8}{19} = \frac{18}{19} $.

В результате первой эстафеты получилась дробь $ \frac{18}{19} $.

Вторая эстафета (нижняя):

1. Первое действие: $ \frac{14}{27} - \frac{6}{27} = \frac{14-6}{27} = \frac{8}{27} $.
2. Второе действие: $ \frac{8}{27} + \frac{5}{27} = \frac{8+5}{27} = \frac{13}{27} $.
3. Третье действие: $ \frac{13}{27} + \frac{27}{27} = \frac{13+27}{27} = \frac{40}{27} $.
4. Четвертое действие: $ \frac{40}{27} - \frac{19}{27} = \frac{40-19}{27} = \frac{21}{27} $.
5. Пятое действие: $ \frac{21}{27} - \frac{3}{27} = \frac{21-3}{27} = \frac{18}{27} $.

В результате второй эстафеты получилась дробь $ \frac{18}{27} $.

Ответ: в результате первой эстафеты получена дробь $ \frac{18}{19} $, в результате второй — $ \frac{18}{27} $.

Какая из полученных дробей меньше?

Необходимо сравнить две дроби: $ \frac{18}{19} $ и $ \frac{18}{27} $. Меньшей из этих двух дробей является $ \frac{18}{27} $.

Ответ: $ \frac{18}{27} $.

Почему?

Существует правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Числители наших дробей одинаковы и равны 18. Сравним их знаменатели: 19 и 27. Поскольку $ 27 > 19 $, дробь со знаменателем 27 будет меньше дроби со знаменателем 19. Таким образом, $ \frac{18}{27} < \frac{18}{19} $.

Ответ: потому что из двух дробей с одинаковыми числителями ($18$) меньше та, у которой знаменатель больше ($ 27 > 19 $).

13. Сколько отрезков ты видишь на чертеже? Назови их.

A B C D

Найди пересечение отрезков $AB$ и $CD$, $AC$ и $BD$, $AC$ и $CD$.

На чертеже изображены 4 точки (A, B, C, D), которые лежат на одной прямой. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Чтобы посчитать все отрезки, нужно найти все возможные пары точек. Перечислим их:

• Отрезки, одним из концов которых является точка A: AB, AC, AD (3 отрезка).
• Отрезки, одним из концов которых является точка B (не считая уже названный AB): BC, BD (2 отрезка).
• Отрезок, одним из концов которых является точка C (не считая уже названные AC и BC): CD (1 отрезок).

Таким образом, общее количество отрезков равно $3 + 2 + 1 = 6$. Ответ: На чертеже 6 отрезков: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Пересечение отрезков — это их общая часть, то есть множество точек, которые принадлежат обоим отрезкам.

AB и CD. Отрезки AB и CD не имеют общих точек, так как точка B расположена левее точки C. Их пересечение является пустым множеством. Математически это записывается как $AB \cap CD = \emptyset$. Ответ: Пересечение отрезков AB и CD – пустое множество (они не пересекаются).

AC и BD. Отрезок AC включает все точки от A до C. Отрезок BD включает все точки от B до D. Их общая часть (пересечение) — это все точки, расположенные между точками B и C, включая сами точки B и C. Таким образом, их пересечение — это отрезок BC. Математически это записывается как $AC \cap BD = BC$. Ответ: Пересечение отрезков AC и BD – отрезок BC.

AC и CD. Отрезок AC заканчивается в точке C, а отрезок CD начинается в этой же точке. У этих двух отрезков есть только одна общая точка — точка C. Математически это записывается как $AC \cap CD = \{C\}$. Ответ: Пересечение отрезков AC и CD – точка C.

14 a) $83685 + (20216 - 537999 \div 1507) \cdot 80 - 502 \cdot 968;$

б) $(2908 \cdot 537 - 1243074) \div 6 - 7840 \cdot 400 \div 490 + 953313.$

а) $83 \ 685 + (20 \ 216 - 537 \ 999 : 1507) \cdot 80 - 502 \cdot 968$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий: сначала действия в скобках (деление, затем вычитание), затем умножение и деление вне скобок, и в последнюю очередь сложение и вычитание слева направо.

1. Первым действием выполним деление внутри скобок:
$537 \ 999 : 1507 = 357$

2. Вторым действием выполним вычитание внутри скобок:
$20 \ 216 - 357 = 19 \ 859$

3. Теперь исходное выражение можно переписать как: $83 \ 685 + 19 \ 859 \cdot 80 - 502 \cdot 968$. Следующими по порядку идут операции умножения.
$19 \ 859 \cdot 80 = 1 \ 588 \ 720$

4. Выполним второе умножение:
$502 \cdot 968 = 485 \ 936$

5. Выражение принимает вид: $83 \ 685 + 1 \ 588 \ 720 - 485 \ 936$. Теперь выполним сложение.
$83 \ 685 + 1 \ 588 \ 720 = 1 \ 672 \ 405$

6. Последнее действие — вычитание:
$1 \ 672 \ 405 - 485 \ 936 = 1 \ 186 \ 469$

Ответ: $1 \ 186 \ 469$.

б) $(2 \ 908 \cdot 537 - 1 \ 243 \ 074) : 6 - 7840 \cdot 400 : 490 + 953 \ 313$

Решим пример по действиям, соблюдая правильный порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление по порядку слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо.

1. Выполним умножение в скобках:
$2 \ 908 \cdot 537 = 1 \ 561 \ 596$

2. Выполним вычитание в скобках:
$1 \ 561 \ 596 - 1 \ 243 \ 074 = 318 \ 522$

3. Выражение теперь выглядит так: $318 \ 522 : 6 - 7840 \cdot 400 : 490 + 953 \ 313$. Выполним действия деления и умножения слева направо. Первое деление:
$318 \ 522 : 6 = 53 \ 087$

4. Следующее действие — умножение:
$7840 \cdot 400 = 3 \ 136 \ 000$

5. Следующее действие — деление:
$3 \ 136 \ 000 : 490 = 6 \ 400$

6. Теперь выражение имеет вид: $53 \ 087 - 6 \ 400 + 953 \ 313$. Выполняем действия слева направо. Сначала вычитание:
$53 \ 087 - 6 \ 400 = 46 \ 687$

7. Последнее действие — сложение:
$46 \ 687 + 953 \ 313 = 1 \ 000 \ 000$

Ответ: $1 \ 000 \ 000$.

15 Вставь пропущенные числа, сохраняя закономерность:

$ \frac{2}{3} \quad \frac{4}{7} \quad \frac{?}{?} \quad \frac{11}{21} \quad \frac{16}{31} $

Для решения этой задачи необходимо найти закономерности для верхнего и нижнего рядов чисел по отдельности.

1. Анализ верхнего ряда (числители)

Рассмотрим последовательность чисел в верхнем ряду: 2, 4, ?, 11, 16.

Найдем разницу между известными соседними числами:

• Разница между вторым и первым числом: $4 - 2 = 2$.
• Разница между пятым и четвертым числом: $16 - 11 = 5$.

Можно предположить, что разница между каждым следующим числом увеличивается на 1. То есть, мы последовательно прибавляем 2, 3, 4, 5 и так далее. Проверим эту гипотезу:

• Первое число: 2
• Второе число: $2 + 2 = 4$ (совпадает)
• Третье (пропущенное) число: $4 + 3 = 7$
• Четвертое число: $7 + 4 = 11$ (совпадает)
• Пятое число: $11 + 5 = 16$ (совпадает)

Закономерность подтвердилась. Пропущенное число в верхнем ряду — 7.

2. Анализ нижнего ряда (знаменатели)

Рассмотрим последовательность чисел в нижнем ряду: 3, 7, ?, 21, 31.

Найдем разницу между известными соседними числами:

• Разница между вторым и первым числом: $7 - 3 = 4$.
• Разница между пятым и четвертым числом: $31 - 21 = 10$.

Можно предположить, что разница между числами — это последовательные четные числа, начиная с 4. То есть, мы последовательно прибавляем 4, 6, 8, 10. Проверим эту гипотезу:

• Первое число: 3
• Второе число: $3 + 4 = 7$ (совпадает)
• Третье (пропущенное) число: $7 + 6 = 13$
• Четвертое число: $13 + 8 = 21$ (совпадает)
• Пятое число: $21 + 10 = 31$ (совпадает)

Закономерность подтвердилась. Пропущенное число в нижнем ряду — 13.

Таким образом, в пустые ячейки нужно вставить числа 7 (сверху) и 13 (снизу).

Ответ: Верхнее число – 7, нижнее число – 13.

16 Книга дороже ручки в 5 раз, а альбом – в 3 раза. Альбом дороже ручки на 28 р. Сколько стоит книга?

Для решения задачи введем переменную. Пусть стоимость ручки составляет $x$ рублей.

Согласно условию, книга дороже ручки в 5 раз, значит, ее стоимость составляет $5x$ рублей. Альбом дороже ручки в 3 раза, следовательно, его стоимость — $3x$ рублей.

Также в условии сказано, что альбом дороже ручки на 28 рублей. Мы можем составить уравнение, приравняв разницу в стоимости альбома и ручки к 28:

$3x - x = 28$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти стоимость ручки ($x$):

$2x = 28$

$x = 28 / 2$

$x = 14$

Итак, стоимость ручки составляет 14 рублей.

Вопрос задачи — найти стоимость книги. Мы знаем, что она в 5 раз дороже ручки:

$5 \times 14 = 70$ рублей.

Ответ: 70 рублей.

2 По каким рисункам можно определить величину угла, а по каким нет? Почему? Там, где это возможно, вычисли, пользуясь обеими шкалами транспортира.

a) Величину угла нельзя определить однозначно, так как показания двух шкал не совпадают для одного и того же угла. По внутренней шкале угол равен $60^\circ - 0^\circ = 60^\circ$. По внешней шкале угол равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Поскольку $60^\circ \ne 45^\circ$, определить величину угла, пользуясь обеими шкалами, невозможно.

б) Величину угла можно определить. По внутренней шкале: $150^\circ - 40^\circ = 110^\circ$. По внешней шкале: $140^\circ - 30^\circ = 110^\circ$. Показания шкал совпадают. Угол равен $110^\circ$.

в) Величину угла можно определить. По внутренней шкале: $140^\circ - 0^\circ = 140^\circ$. По внешней шкале: $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. Показания шкал совпадают. Угол равен $140^\circ$.

г) Величину угла можно определить. По внутренней шкале: $140^\circ - 0^\circ = 140^\circ$. По внешней шкале: $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$. Показания шкал совпадают. Угол равен $140^\circ$.

Объясни, как надо наложить транспортир, чтобы удобно было находить меру угла.

Величину угла проще найти, если одна из его сторон проходит через 0 на шкале транспортира. Тогда меру угла покажет штрих на той же шкале.

a) Одна из сторон угла КМ проходит через $0^\circ$ по внутренней шкале. Вторая сторона КТ указывает на $32^\circ$ по внутренней шкале. Проверка по внешней шкале: $180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$. Угол равен $32^\circ$.

б) Одна из сторон угла КТ проходит через $0^\circ$ по внешней шкале. Вторая сторона КМ указывает на $32^\circ$ по внешней шкале. Проверка по внутренней шкале: $180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$. Угол равен $32^\circ$.

Определить величину угла можно только на рисунках а) и г), так как только на них вершина измеряемого угла совпадает с центром транспортира. Это основное правило при измерении углов с помощью транспортира.

На рисунках б) и в) это условие не выполнено, поэтому измерить углы ∠CDE и ∠FKM невозможно.

a)

Вершина угла O совпадает с центром транспортира, а одна из его сторон (OB) проходит через нулевую отметку. Это позволяет измерить угол ∠AOB.

• По внутренней шкале: сторона OB соответствует 0°, а сторона OA — 60°. Величина угла равна $60° - 0° = 60°$.
• По внешней шкале: сторона OB соответствует 180°, а сторона OA — 120°. Величина угла равна $180° - 120° = 60°$.

Ответ: 60°.

б)

Определить величину угла ∠CDE невозможно, так как его вершина (точка D) не совмещена с центром транспортира.

Ответ: невозможно определить.

в)

Определить величину угла ∠FKM невозможно, так как его вершина (точка K) не совмещена с центром транспортира.

Ответ: невозможно определить.

г)

Вершина угла S совпадает с центром транспортира. Хотя ни одна из сторон не проходит через нулевую отметку по одной из шкал, мы можем найти величину угла как разность показаний для его сторон.

• По внутренней шкале: сторона SN проходит через отметку 180°, а сторона SP — через отметку 40°. Величина угла ∠NSP равна $180° - 40° = 140°$.
• По внешней шкале: сторона SN проходит через отметку 0°, а сторона SP — через отметку 140°. Величина угла ∠NSP равна $140° - 0° = 140°$.

Ответ: 140°.

3. Практическая работа.

Нарисуй произвольный угол и измерь его транспортиром. Проанализируй свои действия и составь алгоритм нахождения меры угла с помощью транспортира.

Нарисуй произвольный угол и измерь его транспортиром.

Для выполнения этого задания необходимо произвести следующие действия:

1. С помощью линейки и карандаша начертить луч с началом в точке $O$. Отметить на этом луче произвольную точку $A$. Получится луч $OA$.
2. Из той же точки $O$ начертить второй луч, не совпадающий с первым. Отметить на нем произвольную точку $B$. Получится луч $OB$.
3. Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом. В нашем случае это угол $\angle AOB$.
4. Для измерения величины угла воспользуемся транспортиром. Совместим центр транспортира с вершиной угла — точкой $O$.
5. Расположим транспортир так, чтобы одна из сторон угла, например луч $OA$, прошла через отметку $0^{\circ}$ на шкале транспортира.
6. Посмотрим, через какую отметку на той же шкале проходит вторая сторона угла — луч $OB$. Предположим, что она проходит через отметку $45^{\circ}$.

Таким образом, градусная мера нарисованного угла составляет 45 градусов.

Ответ: Начерченный произвольный угол $\angle AOB$ имеет меру $45^{\circ}$.

Проанализируй свои действия и составь алгоритм нахождения меры угла с помощью транспортира.

На основе выполненных действий можно составить следующий алгоритм для измерения любого угла с помощью транспортира:

1. Шаг 1: Совместить вершину измеряемого угла с центром транспортира (обычно это специальная отметка или отверстие на его прямом крае).
2. Шаг 2: Расположить транспортир так, чтобы одна из сторон угла проходила через нулевую отметку ($0^{\circ}$) на его шкале.
3. Шаг 3: Найти штрих на шкале, через который проходит вторая сторона угла. Число у этого штриха показывает величину угла в градусах. Если на транспортире две шкалы (внутренняя и внешняя), необходимо использовать ту, от нуля которой производился отсчет по первой стороне угла.

Ответ: Алгоритм нахождения меры угла с помощью транспортира: 1. Совместить центр транспортира с вершиной угла. 2. Одну сторону угла совместить с отметкой $0^{\circ}$ на шкале. 3. По второй стороне угла определить его градусную меру на той же шкале.