Страница 10, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Отметь на числовом луче множество чисел, которые одновременно больше 3 и меньше 7. Предложи свой вариант записи этого множества с помощью знаков неравенства.

$3 < x < 7$

Отметка множества на числовом луче

Задача состоит в том, чтобы найти и отметить все числа, которые одновременно больше 3 и меньше 7. Это означает, что искомые числа находятся в промежутке между 3 и 7.
На числовом луче такой промежуток называется открытым интервалом. Границы этого интервала, числа 3 и 7, в него не входят. При изображении на числовом луче такие точки-границы отмечаются пустыми ("выколотыми") кружочками, а сам промежуток между ними заштриховывается.

Ответ: На числовом луче отмечен интервал между числами 3 и 7. Сами числа 3 и 7 обозначены пустыми кружками, так как они не входят в искомое множество.

Запись множества с помощью знаков неравенства

Чтобы записать это множество чисел, можно использовать переменную, например $x$, которая будет обозначать любое число из этого множества.
Условие "число больше 3" записывается в виде неравенства: $x > 3$.
Условие "число меньше 7" записывается в виде неравенства: $x < 7$.
Поскольку оба эти условия должны выполняться одновременно, их можно объединить в одно двойное неравенство, которое читается: "$x$ больше 3 и меньше 7".

Ответ: $3 < x < 7$.

2 Прочитай неравенства:

$7 < a < 12$; $18 \le c < 75$; $21 \le d \le 49$.

$7 < a < 12$

Это двойное строгое неравенство. Оно означает, что переменная $a$ принимает значения, которые одновременно больше 7 и меньше 12. Прочитать это неравенство можно несколькими способами:
- «а» больше семи и меньше двенадцати.
- Семь меньше «а», «а» меньше двенадцати.
Самый распространенный способ прочтения — первый, так как он описывает диапазон значений для переменной $a$.

Ответ: «а» больше семи и меньше двенадцати.

$18 \le c < 75$

Это двойное смешанное неравенство: нестрогое слева и строгое справа. Знак $\le$ читается как «меньше или равно». Неравенство означает, что переменная $c$ принимает значения, которые больше или равны 18 и одновременно строго меньше 75. Прочитать его можно так:
- «c» больше или равно восемнадцати и меньше семидесяти пяти.
- Восемнадцать меньше или равно «с», «с» меньше семидесяти пяти.
Чаще всего используется первый вариант.

Ответ: «c» больше или равно восемнадцати и меньше семидесяти пяти.

$21 \le d \le 49$

Это двойное нестрогое неравенство. Знак $\le$ читается как «меньше или равно». Оно означает, что переменная $d$ принимает значения, которые больше или равны 21 и одновременно меньше или равны 49. Способы прочтения:
- «d» больше или равно двадцати одному и меньше или равно сорока девяти.
- Двадцать один меньше или равно «d», «d» меньше или равно сорока девяти.
Оба варианта равнозначны, но первый более интуитивен при чтении слева направо, так как описывает свойства переменной $d$.

Ответ: «d» больше или равно двадцати одному и меньше или равно сорока девяти.

1 Практическая работа.

а) Вырежь из бумаги полоску длиной 8 см и раздели ее на 8 равных частей.

Как с помощью этой полоски проиллюстрировать пример на вычитание: $\frac{5}{8} - \frac{3}{8}$? Какой ответ получится? Запиши:

$\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \Box$

б) Проанализируй решение примера и выведи правило вычитания дробей.

Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, можно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и оставить тот же знаменатель.

$\frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n}$

а) Полоска бумаги длиной 8 см, разделенная на 8 равных частей, является наглядной моделью. Вся полоска представляет собой единицу (целое), а каждая из восьми частей — это доля, равная $\frac{1}{8}$.

Чтобы с помощью этой полоски проиллюстрировать пример $\frac{5}{8} - \frac{3}{8}$, необходимо сначала закрасить 5 из 8 частей полоски. Это будет соответствовать дроби $\frac{5}{8}$. Затем, чтобы выполнить вычитание, нужно убрать (например, зачеркнуть) 3 из 5 закрашенных частей. В результате на полоске останется 2 закрашенные части. Эти 2 части из 8 и представляют собой ответ — дробь $\frac{2}{8}$.

Выполним вычисление и запишем ответ:

$\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8}$

Ответ: $\frac{2}{8}$

б) Проанализируем решение примера. Мы видим, что у дробей $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{8}$ одинаковый знаменатель — 8. Чтобы найти их разность, мы вычли числитель второй дроби (3) из числителя первой дроби (5), а знаменатель (8) оставили без изменений. Результатом стало новое число в числителе (2) и прежний знаменатель (8).

Из этого наблюдения можно вывести общее правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Правило: Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же.

В общем виде это правило записывается формулой: $\frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n}$.

Ответ: Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, можно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и оставить тот же знаменатель.

2 Составь по рисунку пример на вычитание и реши его:

a) $ \frac{5}{6} $

$ ? \quad \frac{3}{6} $

б) $ \frac{7}{10} $

$ ? \quad \frac{4}{10} $

а)

На рисунке изображен отрезок, разделенный на 6 равных частей. Общая длина, отмеченная большой дугой, составляет 5 из этих 6 частей, что соответствует дроби $\frac{5}{6}$. Эта общая длина состоит из двух частей. Одна часть, известная, равна $\frac{3}{6}$. Другая часть, которую нужно найти, обозначена знаком вопроса. Чтобы найти неизвестную часть, нужно из общей длины вычесть известную часть.

Составим пример на вычитание:

$\frac{5}{6} - \frac{3}{6}$

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, вычитаются их числители, а знаменатель остается прежним:

$\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5 - 3}{6} = \frac{2}{6}$

Ответ: $\frac{2}{6}$

б)

На этом рисунке отрезок разделен на 10 равных частей. Общая длина, отмеченная большой дугой, составляет 7 из 10 частей, то есть $\frac{7}{10}$. Эта длина также состоит из двух отрезков. Длина одного из них равна $\frac{4}{10}$. Чтобы найти длину второго отрезка, обозначенного знаком вопроса, необходимо из общей длины вычесть длину известного отрезка.

Составим пример на вычитание:

$\frac{7}{10} - \frac{4}{10}$

Выполняем вычитание числителей, оставляя знаменатель без изменений:

$\frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{7 - 4}{10} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

Выполни вычитание с помощью числового луча:

а) $\frac{6}{11}$

0 — — — • — 1

$\frac{8}{11}$

$\frac{8}{11} - \frac{6}{11} = \square$

б) 0 — — — — — • — 1

$\frac{6}{7}$

$\frac{6}{7} - \frac{2}{7} = \square$

а) На числовом луче показана операция вычитания дробей. Единичный отрезок от 0 до 1 разделен на 11 равных частей. Каждая часть (деление) равна $\frac{1}{11}$. Чтобы вычесть $\frac{6}{11}$ из $\frac{8}{11}$, нужно найти на луче точку $\frac{8}{11}$ (восьмое деление от нуля) и отступить от неё влево на 6 делений. Переместившись на 6 делений влево от точки $\frac{8}{11}$, мы попадаем в точку $\frac{2}{11}$. Проверим вычислением. Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же: $\frac{8}{11} - \frac{6}{11} = \frac{8-6}{11} = \frac{2}{11}$.
Ответ: $\frac{2}{11}$

б) Чтобы выполнить вычитание $\frac{6}{7} - \frac{2}{7}$ с помощью числового луча, нужно сначала изобразить его. Единичный отрезок от 0 до 1 разделим на 7 равных частей. Каждое деление будет равно $\frac{1}{7}$. Находим на луче точку, соответствующую уменьшаемому, то есть $\frac{6}{7}$. Это шестое деление от нуля. Далее, чтобы вычесть $\frac{2}{7}$, нужно от точки $\frac{6}{7}$ переместиться влево на 2 деления. Переместившись на 2 деления влево, мы окажемся в точке, соответствующей дроби $\frac{4}{7}$. Выполним проверку вычислением: $\frac{6}{7} - \frac{2}{7} = \frac{6-2}{7} = \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{7}$

4 Нарисуй на кальке и вырежь мерки $e_1$, $e_2$, $e_3$. Измерь с их помощью угол $MNK$. Сделай записи.

$\angle MNK = \Box e_1$ $\angle MNK = \Box e_2$ $\angle MNK = \Box e_3$

Для решения этой задачи необходимо измерить угол $∠MNK$ с помощью трех предложенных мерок-углов: $e_1$, $e_2$ и $e_3$. Измерение заключается в определении того, сколько раз каждая мерка-угол может быть отложена внутри измеряемого угла $∠MNK$ без наложений и пробелов.

Поскольку мы не можем вырезать мерки из бумаги, мы проведем измерение путем визуального анализа и сравнения углов, изображенных на рисунке.

$∠MNK = \Box \ e_1$

Сначала измерим угол $∠MNK$ с помощью самой маленькой мерки, $e_1$. Мысленно будем прикладывать угол $e_1$ к углу $∠MNK$ так, чтобы одна из его сторон совпадала с лучом $NK$, а вершина — с точкой $N$. Затем будем откладывать этот угол последовательно, один за другим. Визуальная оценка показывает, что мерка $e_1$ укладывается в угол $∠MNK$ ровно 6 раз. Следовательно, величина угла $∠MNK$ в мерках $e_1$ равна 6.

$∠MNK = 6 \ e_1$

Ответ: $∠MNK = 6 \ e_1$

$∠MNK = \Box \ e_2$

Теперь проведем измерение угла $∠MNK$ с помощью мерки $e_2$. Заметим, что угол $e_2$ заметно больше угла $e_1$. При визуальном сравнении можно установить, что мерка $e_2$ в два раза больше мерки $e_1$, то есть $e_2 = 2 \ e_1$. Используя эту мерку для измерения угла $∠MNK$, мы обнаружим, что она укладывается в него 3 раза. Этот результат согласуется с предыдущим измерением: $6 \ e_1 = 3 \times (2 \ e_1) = 3 \ e_2$.

$∠MNK = 3 \ e_2$

Ответ: $∠MNK = 3 \ e_2$

$∠MNK = \Box \ e_3$

Наконец, измерим угол $∠MNK$, используя самую большую из предложенных мерок, $e_3$. Сравнивая $e_3$ с $e_1$, можно увидеть, что мерка $e_3$ в три раза больше мерки $e_1$, то есть $e_3 = 3 \ e_1$. Прикладывая эту мерку к углу $∠MNK$, мы видим, что она укладывается в нем ровно 2 раза. Это также подтверждается нашими предыдущими выводами: $6 \ e_1 = 2 \times (3 \ e_1) = 2 \ e_3$.

$∠MNK = 2 \ e_3$

Ответ: $∠MNK = 2 \ e_3$

5 Нарисуй на кальке и вырежь углы $A$, $B$ и $C$. Измерь углы $B$ и $C$ меркой $A$. Измерь углы $A$ и $C$ меркой $B$. Измерь углы $A$ и $B$ меркой $C$.

Удобно ли измерять углы большой меркой?

Для решения этой задачи необходимо мысленно или физически (с помощью кальки и ножниц) сравнить углы A, B и C. Визуально можно определить, что угол A — самый маленький (острый), угол C — больше угла A (близок к прямому), а угол B — самый большой (тупой). Таким образом, $A < C < B$.

Измерь углы B и C меркой A.

Чтобы измерить углы меркой A, нужно последовательно укладывать вырезанный угол A внутрь измеряемых углов B и C, совмещая вершины и одну из сторон.

• При измерении угла C мерка A уложится в нем примерно 2 раза. Таким образом, величина угла C примерно равна двум меркам A. $C \approx 2A$.
• При измерении угла B мерка A уложится в нем примерно 3 или 4 раза. Более точная оценка — около 3.5 раз. $B \approx 3.5A$.

Ответ: Угол C примерно в 2 раза больше угла A, а угол B примерно в 3.5 раза больше угла A.

Измерь углы A и C меркой B.

Мерка B (самый большой, тупой угол) используется для измерения углов A и C.

• При попытке измерить угол A меркой B мы видим, что угол A значительно меньше угла B. Мерка B не помещается в угле A. $A < B$.
• При попытке измерить угол C меркой B мы также видим, что угол C меньше угла B. Мерка B не помещается в угле C. $C < B$.

Ответ: Углы A и C меньше мерки B, поэтому измерить их с помощью этой мерки точно не получится. Результат измерения для обоих углов будет "меньше 1".

Измерь углы A и B меркой C.

Мерка C (угол, близкий к прямому) используется для измерения углов A и B.

• Угол A меньше угла C. Визуально угол A составляет примерно половину угла C. $A < C$, можно записать как $A \approx 0.5C$.
• Угол B больше угла C. Мерка C поместится внутри угла B один полный раз, и еще останется место, примерно на половину мерки C. $B > C$, можно записать как $B \approx 1.5C$.

Ответ: Угол A составляет примерно половину угла C. Угол B примерно в 1.5 раза больше угла C.

Удобно ли измерять углы большой меркой?

Измерять углы большой меркой неудобно. Если измеряемый угол оказывается меньше, чем сама мерка (как в случае измерения углов A и C меркой B), то невозможно получить точный результат в виде целого числа. Можно лишь сказать, что измеряемый угол составляет какую-то долю (часть) мерки, что усложняет измерение и делает его неточным. Для удобного и точного измерения мерка должна быть меньше измеряемой величины.

Ответ: Нет, неудобно, потому что если измеряемый угол меньше мерки, результат измерения получается неточным и малоинформативным.

6 Выполни действия по программе:

1. Запиши, сколько ты видишь на рисунке:

— острых углов

— прямых углов

— тупых углов

— развёрнутых углов

— пар смежных углов

2. Составь из полученных цифр наименьшее и наибольшее возможные числа.

3. Вычти из наибольшего числа наименьшее.

- острых углов
На рисунке изображены две пересекающиеся прямые (AB и CD), которые образуют в точке пересечения O четыре угла. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Визуально, углы $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $ являются острыми. Они также являются вертикальными, а значит, равны друг другу. Таким образом, на рисунке 2 острых угла.
Ответ: 2

- прямых углов
Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$. Прямые углы образуются при пересечении перпендикулярных прямых. На данном рисунке прямые не перпендикулярны, поэтому прямых углов нет.
Ответ: 0

- тупых углов
Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ являются тупыми. Они также являются вертикальными и равны друг другу. Таким образом, на рисунке 2 тупых угла.
Ответ: 2

- развёрнутых углов
Развёрнутый угол — это угол, равный $180^\circ$, стороны которого лежат на одной прямой. Каждая из прямых, AB и CD, образует развёрнутый угол. Это углы $ \angle AOB $ и $ \angle COD $. Всего 2 развёрнутых угла.
Ответ: 2

- пар смежных углов
Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. На рисунке можно выделить следующие пары смежных углов: ($ \angle AOD $, $ \angle DOB $), ($ \angle DOB $, $ \angle BOC $), ($ \angle BOC $, $ \angle COA $) и ($ \angle COA $, $ \angle AOD $). Всего 4 пары.
Ответ: 4

2. Составь из полученных цифр наименьшее и наибольшее возможные числа.
В результате выполнения первого задания мы получили набор цифр: 2, 0, 2, 2, 4.
Чтобы составить наибольшее возможное число, нужно расположить эти цифры в порядке убывания: 42220.
Чтобы составить наименьшее возможное число, нужно расположить цифры в порядке возрастания. Однако многозначное число не может начинаться с нуля. Поэтому мы ставим на первое место наименьшую цифру, отличную от нуля (это 2), а затем располагаем оставшиеся цифры (0, 2, 2, 4) в порядке возрастания: 20224.
Ответ: Наименьшее число — 20224, наибольшее число — 42220.

3. Вычти из наибольшего числа наименьшее.
Найдём разность между наибольшим (42220) и наименьшим (20224) числами.
$42220 - 20224 = 21996$
Выполним вычитание в столбик:
- В разряде единиц: $10 - 4 = 6$ (занимаем из разряда десятков).
- В разряде десятков: $1 - 2$. Занимаем из разряда сотен. $11 - 2 = 9$.
- В разряде сотен: $1 - 2$. Занимаем из разряда тысяч. $11 - 2 = 9$.
- В разряде тысяч: $1 - 0 = 1$.
- В разряде десятков тысяч: $4 - 2 = 2$.
Результат: 21996.
Ответ: 21996

7 Выполни предыдущее задание для рисунков:

a) $C$, $A$, $O$, $B$, $D$

б) $C$, $A$, $O$, $D$, $B$

в) $C$, $A$, $O$, $K$, $D$, $M$, $B$

Поскольку "предыдущее задание" не указано, будем выполнять стандартное для таких рисунков задание: назвать все пары вертикальных и смежных углов.

а)

На рисунке а) изображены две прямые AB и CD, которые пересекаются в точке O. При пересечении двух прямых образуются пары вертикальных и смежных углов.

Вертикальные углы — это пары углов, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. Такие углы всегда равны. В данном случае это следующие пары:

$ \angle AOC $ и $ \angle BOD $

$ \angle AOD $ и $ \angle BOC $

Смежные углы — это пары углов, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Здесь это следующие пары:

$ \angle AOC $ и $ \angle COB $

$ \angle COB $ и $ \angle BOD $

$ \angle BOD $ и $ \angle DOA $

$ \angle DOA $ и $ \angle AOC $

Ответ: Пары вертикальных углов: $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $; $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $. Пары смежных углов: $ \angle AOC $ и $ \angle COB $; $ \angle COB $ и $ \angle BOD $; $ \angle BOD $ и $ \angle DOA $; $ \angle DOA $ и $ \angle AOC $.

б)

Рисунок б) по своей геометрической сути аналогичен рисунку а). Прямые AB и CD пересекаются в точке O. Поэтому и пары вертикальных и смежных углов будут такими же.

Вертикальные углы:

$ \angle AOC $ и $ \angle BOD $

$ \angle AOD $ и $ \angle BOC $

Смежные углы:

$ \angle AOC $ и $ \angle COB $

$ \angle COB $ и $ \angle BOD $

$ \angle BOD $ и $ \angle DOA $

$ \angle DOA $ и $ \angle AOC $

Ответ: Пары вертикальных углов: $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $; $ \angle AOD $ и $ \angle BOC $. Пары смежных углов: $ \angle AOC $ и $ \angle COB $; $ \angle COB $ и $ \angle BOD $; $ \angle BOD $ и $ \angle DOA $; $ \angle DOA $ и $ \angle AOC $.

в)

На рисунке в) показаны две разные ситуации: пересечение прямых в точке O и луч, выходящий из точки K на прямой. Рассмотрим их по отдельности.

В точке O:

Прямые AB и CD пересекаются. По виду, они перпендикулярны, а значит, все углы $ \angle AOC, \angle COB, \angle BOD, \angle DOA $ равны $90^\circ$.

Пары вертикальных углов:

$ \angle AOC $ и $ \angle BOD $

$ \angle AOD $ и $ \angle COB $

Пары смежных углов:

$ \angle AOC $ и $ \angle COB $

$ \angle COB $ и $ \angle BOD $

$ \angle BOD $ и $ \angle DOA $

$ \angle DOA $ и $ \angle AOC $

В точке K:

Из точки K, лежащей на прямой AB, выходит луч KM. Он делит развернутый угол AB на два смежных угла.

Пара смежных углов: $ \angle AKM $ и $ \angle BKM $. Их сумма равна $180^\circ$.

Вертикальных углов в точке K нет, так как для их образования необходимо пересечение двух прямых, а здесь только одна прямая и луч.

Ответ: В точке O: пары вертикальных углов — $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $, $ \angle AOD $ и $ \angle COB $; пары смежных углов — $ \angle AOC $ и $ \angle COB $, $ \angle COB $ и $ \angle BOD $, $ \angle BOD $ и $ \angle DOA $, $ \angle DOA $ и $ \angle AOC $. В точке K: пара смежных углов — $ \angle AKM $ и $ \angle BKM $; вертикальных углов нет.