Страница 4, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Найди в тексте, выделенном рамкой, вводную часть, главную мысль, примеры. Обозначь эти части текста знаками соответственно $|$, $\omega$ и $\S$. Придумай свои примеры неравенств, множество решений которых является:

а) конечным;

б) бесконечным;

в) пустым.

Сделай конспект.

Поскольку текст, выделенный рамкой, в задании не приведён, проанализируем гипотетический текст на тему "Множества решений неравенств" и разметим его в соответствии с требованием.

| Рассмотрим, какими могут быть множества решений неравенств. w В зависимости от вида неравенства и множества, на котором оно рассматривается, множество его решений может быть конечным, бесконечным или пустым. § Например, неравенство $x > 5$ имеет бесконечное множество решений. Неравенство $x^2 < 0$ не имеет решений, то есть множество его решений пустое. А если мы ищем целые решения неравенства $1 < x < 4$, то получим конечное множество $\{2, 3\}$.

Придумаем свои примеры неравенств с различными множествами решений.

а) конечным;
Чтобы множество решений было конечным, можно рассмотреть неравенство на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ или натуральных чисел $\mathbb{N}$ в определенном диапазоне.
Пример: Найти целые решения неравенства $-2 \le x < 3$.
Решениями являются все целые числа, которые больше или равны -2 и строго меньше 3. Это числа: -2, -1, 0, 1, 2.
Множество решений: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Это множество содержит 5 элементов, то есть является конечным.
Ответ: неравенство $-2 \le x < 3$ на множестве целых чисел ($x \in \mathbb{Z}$).

б) бесконечным;
Большинство стандартных линейных или квадратных неравенств на множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ имеют бесконечное множество решений (интервал, луч, объединение промежутков).
Пример: $2x - 1 > 5$.
Решим его:
$2x > 5 + 1$
$2x > 6$
$x > 3$
Решением является числовой луч $(3; +\infty)$, который содержит бесконечное множество действительных чисел.
Ответ: $2x - 1 > 5$.

в) пустым.
Неравенство имеет пустое множество решений, если оно представляет собой неверное утверждение при любом значении переменной.
Пример: $x^2 + 4 \le 0$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, сумма $x^2 + 4$ всегда будет больше или равна 4 ($x^2 + 4 \ge 4$).
Условие $x^2 + 4 \le 0$ никогда не выполняется. Множество решений пустое ($\emptyset$).
Ответ: $x^2 + 4 \le 0$.

Конспект

1. Структура учебного текста. Текст обычно имеет следующую структуру:

• Вводная часть (введение в тему, постановка проблемы).
• Основная часть (изложение главной мысли, определения, правила).
• Примеры (иллюстрация теоретического материала).

2. Классификация неравенств по множеству решений.

• Конечное множество решений: достигается, когда решения ищутся на дискретном множестве (например, целые числа) в ограниченном интервале. Пример: $1 < x < 5, x \in \mathbb{N}$. Решения: $\{2, 3, 4\}$.
• Бесконечное множество решений: самый распространенный случай для неравенств на множестве действительных чисел. Решение представляет собой числовой промежуток (интервал, луч). Пример: $x \ge 1$.
• Пустое множество решений: неравенство не имеет решений, так как является ложным при любом значении переменной. Пример: $|x| < -1$.

2 Запиши множество решений неравенства и отметь его на числовом луче. Существует ли в этом множестве наименьший элемент?

а) $n < 3$ {}

Числовой луч с отметками: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

б) $m > 3$ {}

Числовой луч с отметками: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

а) Неравенство $n < 3$ означает, что мы ищем все целые неотрицательные числа (поскольку числовой луч начинается с 0), которые строго меньше 3. Этому условию удовлетворяют числа 0, 1 и 2. Следовательно, множество решений — это $\{0, 1, 2\}$.

На числовом луче нужно отметить точки, соответствующие числам 0, 1 и 2.

В этом множестве $\{0, 1, 2\}$ наименьший элемент существует, и это число 0.

Ответ: множество решений $\{0, 1, 2\}$. Наименьший элемент существует, это 0.

б) Неравенство $m > 3$ означает, что мы ищем все целые неотрицательные числа, которые строго больше 3. Этому условию удовлетворяют числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. Следовательно, множество решений — это $\{4, 5, 6, ...\}$.

На числовом луче нужно отметить точки, соответствующие числам 4, 5, 6, 7 и так далее (все целые числа правее 3).

В этом множестве $\{4, 5, 6, ...\}$ наименьший элемент существует, и это число 4.

Ответ: множество решений $\{4, 5, 6, ...\}$. Наименьший элемент существует, это 4.

1 Сделай чертёж и реши задачу двумя способами:

a) Около дома 8 машин, 3 из них белые. Какую часть всех машин составляют белые?

б) От доски длиной 9 м отпилили 4 м. Какую часть доски отпилили?

Чертёж:

Изобразим 8 машин в виде прямоугольников. 3 из них, обозначающие белые машины, закрасим светлым цветом, а остальные 5 — тёмным.

Способ 1:

Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе. В данном случае, нам нужно найти, какую часть составляют 3 белые машины от 8 всех машин.

Для этого составим дробь:

• В знаменатель (под чертой) поставим общее количество машин — 8.
• В числитель (над чертой) поставим количество белых машин — 3.

Получаем дробь: $\frac{3}{8}$.

Способ 2:

Примем все 8 машин за одно целое. Тогда каждая машина представляет собой одну из восьми равных частей, то есть $\frac{1}{8}$ от общего количества.

Поскольку белых машин три, они составляют три такие части. Чтобы найти, какую часть они составляют, нужно долю одной машины умножить на их количество:

$3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$.

Ответ: Белые машины составляют $\frac{3}{8}$ всех машин.

Чертёж:

Начертим отрезок, символизирующий доску, и разделим его на 9 равных частей, каждая из которых равна 1 метру. Закрасим 4 части, которые соответствуют отпиленному куску.

Способ 1:

Общая длина доски — 9 м. Это целое. Длина отпиленной части — 4 м. Это часть целого.

Чтобы найти, какую часть составляет отпиленный кусок, составим дробь:

• В знаменатель ставим общую длину доски — 9.
• В числитель ставим длину отпиленной части — 4.

Получаем дробь: $\frac{4}{9}$.

Способ 2:

Представим всю длину доски (9 м) как одно целое. Разделим это целое на 9 равных частей, тогда каждая часть будет равна 1 метру и составлять $\frac{1}{9}$ от всей длины.

Так как отпилили 4 метра, то отпилили 4 такие части. Следовательно, отпиленная часть составляет:

$4 \times \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.

Ответ: От доски отпилили $\frac{4}{9}$ её части.

13 Найди закономерность и заполни таблицу. Запиши формулу зависимости между переменными $x$ и $y$:

a) $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6

$y$ | 9 | 18 | 27 | | |

$y = $

В) $x$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7

$y$ | 30 | 45 | 60 | | |

$y = $

б) $x$ | 5 | 8 | 9 | 13 | 26 | 37

$y$ | 12 | 15 | 16 | | |

$y = $

г) $x$ | 24 | 32 | 48 | 56 | 64 | 72

$y$ | 3 | 4 | 6 | | |

$y = $

а)

Чтобы найти закономерность, посмотрим на соотношение между значениями x и y в известных столбцах таблицы.

• При x = 1, y = 9.
• При x = 2, y = 18.
• При x = 3, y = 27.

В каждом случае значение y получается умножением соответствующего значения x на 9.

$1 \cdot 9 = 9$

$2 \cdot 9 = 18$

$3 \cdot 9 = 27$

Таким образом, формула зависимости: $y = 9x$.

Используя эту формулу, заполним оставшиеся ячейки таблицы:

• Для x = 4: $y = 9 \cdot 4 = 36$
• Для x = 5: $y = 9 \cdot 5 = 45$
• Для x = 6: $y = 9 \cdot 6 = 54$

Заполненная таблица:

Ответ: $y = 9x$

б)

Проанализируем зависимость между x и y в таблице:

• При x = 5, y = 12.
• При x = 8, y = 15.
• При x = 9, y = 16.

В каждом случае значение y на 7 больше, чем значение x.

$12 - 5 = 7$

$15 - 8 = 7$

$16 - 9 = 7$

Таким образом, формула зависимости: $y = x + 7$.

Используя эту формулу, заполним оставшиеся ячейки таблицы:

• Для x = 13: $y = 13 + 7 = 20$
• Для x = 26: $y = 26 + 7 = 33$
• Для x = 37: $y = 37 + 7 = 44$

Заполненная таблица:

Ответ: $y = x + 7$

в)

Проанализируем зависимость между x и y в таблице:

• При x = 2, y = 30.
• При x = 3, y = 45.
• При x = 4, y = 60.

В каждом случае значение y получается умножением соответствующего значения x на 15.

$30 \div 2 = 15$

$45 \div 3 = 15$

$60 \div 4 = 15$

Таким образом, формула зависимости: $y = 15x$.

Используя эту формулу, заполним оставшиеся ячейки таблицы:

• Для x = 5: $y = 15 \cdot 5 = 75$
• Для x = 6: $y = 15 \cdot 6 = 90$
• Для x = 7: $y = 15 \cdot 7 = 105$

Заполненная таблица:

Ответ: $y = 15x$

г)

Проанализируем зависимость между x и y в таблице:

• При x = 24, y = 3.
• При x = 32, y = 4.
• При x = 48, y = 6.

В каждом случае значение y получается делением соответствующего значения x на 8.

$24 \div 3 = 8 \Rightarrow y = 24 \div 8$

$32 \div 4 = 8 \Rightarrow y = 32 \div 8$

$48 \div 6 = 8 \Rightarrow y = 48 \div 8$

Таким образом, формула зависимости: $y = x \div 8$.

Используя эту формулу, заполним оставшиеся ячейки таблицы:

• Для x = 56: $y = 56 \div 8 = 7$
• Для x = 64: $y = 64 \div 8 = 8$
• Для x = 72: $y = 72 \div 8 = 9$

Заполненная таблица:

Ответ: $y = x \div 8$

14 Выполни действия:

а) $82 \text{ а } 6 \text{ м}^2 + 47 \text{ а } 98 \text{ м}^2 + 3 \text{ га};$

б) $2 \text{ т } 5 \text{ ц } 4 \text{ кг} - 18 \text{ ц } 37 \text{ кг};$

в) $3 \text{ м } 6 \text{ см } 9 \text{ мм} \cdot 9;$

г) $10 \text{ ч } 44 \text{ мин } 48 \text{ с} : 48.$

а) Чтобы выполнить сложение, необходимо привести все величины к одной единице измерения, например, к квадратным метрам ($м^2$), а затем выполнить сложение. Вспомним соотношения единиц площади: $1 \text{ га} = 100 \text{ а} = 10 000 \text{ м}^2$; $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
1. Переведем все слагаемые в квадратные метры:
$82 \text{ а } 6 \text{ м}^2 = 82 \cdot 100 \text{ м}^2 + 6 \text{ м}^2 = 8200 \text{ м}^2 + 6 \text{ м}^2 = 8206 \text{ м}^2$
$47 \text{ а } 98 \text{ м}^2 = 47 \cdot 100 \text{ м}^2 + 98 \text{ м}^2 = 4700 \text{ м}^2 + 98 \text{ м}^2 = 4798 \text{ м}^2$
$3 \text{ га} = 3 \cdot 10000 \text{ м}^2 = 30000 \text{ м}^2$
2. Сложим полученные значения:
$8206 \text{ м}^2 + 4798 \text{ м}^2 + 30000 \text{ м}^2 = 43004 \text{ м}^2$
3. Переведем результат обратно в гектары, ары и квадратные метры:
$43004 \text{ м}^2 = 40000 \text{ м}^2 + 3000 \text{ м}^2 + 4 \text{ м}^2 = 4 \text{ га } 30 \text{ а } 4 \text{ м}^2$
Ответ: 4 га 30 а 4 м².

б) Для выполнения вычитания представим величины в виде составных чисел и, при необходимости, будем "занимать" из старших разрядов. Вспомним соотношения единиц массы: $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$; $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
1. Представим $2 \text{ т } 5 \text{ ц }$ в центнерах: $2 \text{ т } 5 \text{ ц } = 20 \text{ ц } + 5 \text{ ц } = 25 \text{ ц}$. Исходное выражение: $25 \text{ ц } 4 \text{ кг } – 18 \text{ ц } 37 \text{ кг}$.
2. Так как из $4 \text{ кг}$ нельзя вычесть $37 \text{ кг}$, "займем" 1 центнер из 25 центнеров. $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
$25 \text{ ц } 4 \text{ кг } = 24 \text{ ц } (100+4) \text{ кг } = 24 \text{ ц } 104 \text{ кг}$.
3. Выполним вычитание:
$(24 \text{ ц } - 18 \text{ ц }) + (104 \text{ кг } - 37 \text{ кг }) = 6 \text{ ц } 67 \text{ кг}$.
Ответ: 6 ц 67 кг.

в) Для выполнения умножения можно умножить каждую единицу измерения на число, а затем преобразовать результат к стандартному виду.
1. Умножим миллиметры: $9 \text{ мм} \cdot 9 = 81 \text{ мм}$. Так как $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то $81 \text{ мм} = 8 \text{ см } 1 \text{ мм}$.
2. Умножим сантиметры: $6 \text{ см} \cdot 9 = 54 \text{ см}$.
3. Умножим метры: $3 \text{ м} \cdot 9 = 27 \text{ м}$.
4. Сложим полученные результаты: $27 \text{ м} + 54 \text{ см} + 8 \text{ см } 1 \text{ мм} = 27 \text{ м} + 62 \text{ см} + 1 \text{ мм}$. Так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $62 \text{ см}$ не превышают $1 \text{ м}$.
Результат: $27 \text{ м } 62 \text{ см } 1 \text{ мм}$.
Ответ: 27 м 62 см 1 мм.

г) Для выполнения деления будем делить последовательно, начиная с самой крупной единицы (часы), и переносить остаток в более мелкие единицы (минуты и секунды).
1. Делим часы: $10 \text{ ч } : 48 = 0 \text{ ч}$ с остатком $10 \text{ ч}$.
2. Переводим остаток в минуты и добавляем к имеющимся минутам: $10 \text{ ч} = 10 \cdot 60 \text{ мин} = 600 \text{ мин}$. Общее количество минут: $600 + 44 = 644 \text{ мин}$.
3. Делим минуты: $644 \text{ мин} : 48 = 13 \text{ мин}$ с остатком $20 \text{ мин}$ ($644 = 48 \cdot 13 + 20$).
4. Переводим остаток в секунды и добавляем к имеющимся секундам: $20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$. Общее количество секунд: $1200 + 48 = 1248 \text{ с}$.
5. Делим секунды: $1248 \text{ с} : 48 = 26 \text{ с}$ ($1248 = 48 \cdot 26$).
6. Собираем результат: $13 \text{ мин } 26 \text{ с}$.
Ответ: 13 мин 26 с.

15 Запиши с помощью фигурных скобок множества А и В натуральных решений неравенств $3 < x \le 7$ и $5 \le x \le 9$.Найди объединение и пересечение множеств А и В.

Запись множеств A и B

Сначала найдем элементы множества A. Множество A — это множество натуральных решений неравенства $3 < x \le 7$. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Неравенство является строгим для левой границы ($x$ должен быть строго больше 3) и нестрогим для правой ($x$ может быть равен 7). Таким образом, в множество A входят натуральные числа, которые больше 3, но не больше 7. Это числа: 4, 5, 6, 7. Запишем множество A с помощью фигурных скобок: $A = \{4, 5, 6, 7\}$.

Теперь найдем элементы множества B. Множество B — это множество натуральных решений неравенства $5 \le x \le 9$. Неравенство является нестрогим для обеих границ. Таким образом, в множество B входят натуральные числа от 5 до 9 включительно. Это числа: 5, 6, 7, 8, 9. Запишем множество B с помощью фигурных скобок: $B = \{5, 6, 7, 8, 9\}$.

Ответ: $A = \{4, 5, 6, 7\}$; $B = \{5, 6, 7, 8, 9\}$.

Объединение множеств A и B

Объединение множеств ($A \cup B$) — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Чтобы найти объединение $A$ и $B$, мы должны перечислить все уникальные элементы из обоих множеств.

$A = \{4, 5, 6, 7\}$

$B = \{5, 6, 7, 8, 9\}$

Объединив все элементы, получаем: $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Ответ: $A \cup B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Пересечение множеств A и B

Пересечение множеств ($A \cap B$) — это множество, содержащее только те элементы, которые принадлежат одновременно обоим исходным множествам. Чтобы найти пересечение $A$ и $B$, мы должны найти общие для них элементы.

$A = \{4, 5, 6, 7\}$

$B = \{5, 6, 7, 8, 9\}$

Сравнивая элементы множеств, видим, что общими являются числа: 5, 6, 7.

Ответ: $A \cap B = \{5, 6, 7\}$.

Является ли число 103 решением неравенства:

$\frac{1500 \cdot 50 + 740 \cdot 409}{(38 685 + 199 405) : 58} \le x < \frac{6 863 680 : 89 - (490 000 : 7 + 13)}{54 648 : 792}$?

Сколько натуральных решений имеет это неравенство?

Приведи пример решения, которое не является натуральным числом.

Является ли число 103 решением неравенства?

Рассмотрим неравенство: $\frac{1500 \cdot 50 + 740 \cdot 409}{(38685 + 199405) : 58} \le x < \frac{6863680 : 89 - (490000 : 7 + 13)}{54648 : 792}$

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сначала упростить данное двойное неравенство, вычислив значения его левой и правой частей.

Вычисление левой части: $\frac{1500 \cdot 50 + 740 \cdot 409}{(38685 + 199405) : 58}$

1. Вычислим числитель:
   • $1500 \cdot 50 = 75000$
   • $740 \cdot 409 = 302660$
   • $75000 + 302660 = 377660$
2. Вычислим знаменатель:
   • $38685 + 199405 = 238090$
   • $238090 : 58 = 4105$
3. Найдем значение дроби (левой части неравенства):
   • $\frac{377660}{4105} = 92$

Вычисление правой части: $\frac{6863680 : 89 - (490000 : 7 + 13)}{54648 : 792}$

1. Вычислим числитель:
   • $490000 : 7 = 70000$
   • $70000 + 13 = 70013$
   • $6863680 : 89 = 77120$
   • $77120 - 70013 = 7107$
2. Вычислим знаменатель:
   • $54648 : 792 = 69$
3. Найдем значение дроби (правой части неравенства):
   • $\frac{7107}{69} = 103$

Таким образом, исходное неравенство принимает вид: $92 \le x < 103$.

Теперь проверим, является ли число 103 решением этого неравенства. Подставим $x = 103$:

$92 \le 103 < 103$

Это двойное неравенство состоит из двух условий: $92 \le 103$ (верно) и $103 < 103$ (неверно). Так как второе условие (строгое неравенство) ложно, то и всё утверждение является ложным.

Ответ: Нет, число 103 не является решением неравенства.

Сколько натуральных решений имеет это неравенство?

Мы имеем упрощенное неравенство: $92 \le x < 103$.

Натуральные числа — это целые положительные числа. Нам нужно найти все натуральные числа $x$, которые больше или равны 92 и строго меньше 103.

Это означает, что мы ищем целые числа в полуинтервале $[92, 103)$.

Первое натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это 92 (так как $92 \le 92$).

Последнее натуральное число, удовлетворяющее этому условию, — это 102 (так как $102 < 103$, а следующее целое число 103 уже не подходит).

Перечислим все такие натуральные числа: 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102.

Для подсчета их количества можно из последнего числа вычесть первое и прибавить 1: $102 - 92 + 1 = 10 + 1 = 11$.

Ответ: Неравенство имеет 11 натуральных решений.

Приведи пример решения, которое не является натуральным числом.

Решением неравенства $92 \le x < 103$ является любое число из числового промежутка $[92, 103)$.

Натуральными числами являются только целые числа из этого промежутка. Любое дробное число (десятичное или обыкновенное), попадающее в этот промежуток, будет являться решением, но не натуральным числом.

Примеры таких чисел:

• Десятичная дробь: 92,5. Проверка: $92 \le 92,5 < 103$ (верно).
• Обыкновенная дробь: $101\frac{3}{4}$. Проверка: $92 \le 101\frac{3}{4} < 103$ (верно).
• Иррациональное число: $30\pi$ (приблизительно $30 \cdot 3,14159 = 94,2477$). Проверка: $92 \le 30\pi < 103$ (верно).

Любое из этих чисел является корректным примером.

Ответ: Примером такого решения может быть число 92,5.

17 Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. Один прыжок кошки равен 10 шагам мышки. За один прыжок кошки мышка делает 3 шага. Догонит ли кошка мышку?

Чтобы решить задачу, необходимо сравнить, сколько времени потребуется мышке, чтобы добежать до норки, и сколько времени потребуется кошке, чтобы догнать мышку. Для этого приведем все расстояния к одной единице измерения — мышиным шагам.

1. Определим начальное расстояние между кошкой и мышкой в мышиных шагах.
Кошке до мышки 5 прыжков. Один прыжок кошки равен 10 шагам мышки. Значит, расстояние между ними составляет: $5 \text{ прыжков} \times 10 \text{ шагов/прыжок} = 50 \text{ шагов}$.

2. Определим скорость сближения кошки и мышки.
За один и тот же промежуток времени (пока кошка делает один прыжок) кошка преодолевает 10 шагов, а мышка — 3 шага. Таким образом, за один прыжок кошки расстояние между ней и мышкой сокращается на: $10 \text{ шагов} - 3 \text{ шага} = 7 \text{ шагов}$.

3. Рассчитаем, сколько прыжков потребуется кошке, чтобы догнать мышку.
Кошке нужно сократить расстояние в 50 шагов. Так как за один прыжок она сокращает его на 7 шагов, ей потребуется: $50 \div 7 \approx 7.14$ прыжков.

4. Рассчитаем, сколько прыжков потребуется мышке, чтобы добежать до норки.
Мышке до норки 20 шагов. За время одного прыжка кошки она пробегает 3 шага. Следовательно, чтобы добраться до норки, ей потребуется: $20 \div 3 \approx 6.67$ прыжков.

5. Сделаем вывод.
Мышке нужно примерно $6.67$ условных единиц времени (прыжков кошки), чтобы достичь норки, а кошке нужно примерно $7.14$ таких же единиц времени, чтобы ее догнать. Поскольку $6.67 < 7.14$, мышка успеет добежать до норки раньше, чем кошка ее поймает.

Ответ: Нет, кошка не догонит мышку.