Страница 5, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Запиши множество решений неравенства и отметь его на числовом луче. Существует ли в этом множестве наибольший элемент?

а) $k < 6$ { }

б) $t > 6$ { }

Множество решений неравенства $k < 6$ для целых неотрицательных чисел (как показано на числовом луче) — это {0, 1, 2, 3, 4, 5}. На числовом луче необходимо отметить точки, соответствующие этим числам. В данном множестве существует наибольший элемент, так как множество конечно и ограничено сверху. Наибольшим элементом является число 5, поскольку это самое большое целое число, которое меньше 6.
Ответ: {0, 1, 2, 3, 4, 5}, наибольший элемент существует — это 5.

Множество решений неравенства $t > 6$ для целых чисел — это {7, 8, 9, 10, 11, ...}. На числовом луче необходимо отметить точки 7, 8, 9, 10 и показать, что множество решений продолжается бесконечно вправо. В этом множестве не существует наибольшего элемента. Для любого, даже самого большого, числа из этого множества всегда можно найти число, которое будет еще больше (например, прибавив к нему единицу). Таким образом, множество не ограничено сверху.
Ответ: {7, 8, 9, 10, ...}, наибольшего элемента не существует.

4 Реши неравенства. Что в них интересного?

$y < 2$

$a < 2$

$2 > c$

$y < 2$
Решением данного неравенства является множество всех чисел $y$, которые строго меньше 2. Это можно представить как открытый числовой луч, идущий от 2 влево до минус бесконечности. В виде интервала решение записывается как $y \in (-\infty; 2)$.
Ответ: $y \in (-\infty; 2)$.

$a < 2$
Это неравенство аналогично предыдущему. Решением является множество всех чисел $a$, которые строго меньше 2. Замена переменной с $y$ на $a$ не меняет сути неравенства и его решения. В виде интервала решение записывается как $a \in (-\infty; 2)$.
Ответ: $a \in (-\infty; 2)$.

$2 > c$
Данное неравенство можно прочитать как "2 больше, чем c", что равносильно утверждению "c меньше, чем 2". Таким образом, это неравенство эквивалентно неравенству $c < 2$. Его решением является множество всех чисел $c$, которые строго меньше 2. В виде интервала решение записывается как $c \in (-\infty; 2)$.
Ответ: $c \in (-\infty; 2)$.

Что в них интересного?
Интересно то, что все три неравенства, несмотря на разную запись, являются эквивалентными и имеют одно и то же множество решений: $(-\infty; 2)$.
Это иллюстрирует несколько важных моментов:
1. Выбор символа для переменной (в данном случае $y$, $a$ или $c$) не влияет на решение задачи.
2. Запись неравенства может быть разной, но выражать одну и ту же математическую связь. Неравенства $a < 2$ и $2 > a$ означают одно и то же.

5 Какое из множеств ${0, 1, 2, 3}$, ${4, 5, 6, 7 \dots}$, ${0, 1, 2}$, ${1, 2, 3}$, ${3, 4, 5 \dots}$, $\emptyset$ служит множеством решений неравенства $x < 3$?

Для того чтобы определить, какое из предложенных множеств является множеством решений неравенства $x < 3$, необходимо найти все числа, которые удовлетворяют этому условию. Так как все предложенные множества состоят из целых неотрицательных чисел, будем искать решения именно в этой области (т.е. $x \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$).

Проверим последовательно целые неотрицательные числа:
- при $x = 0$, неравенство $0 < 3$ является верным;
- при $x = 1$, неравенство $1 < 3$ является верным;
- при $x = 2$, неравенство $2 < 3$ является верным;
- при $x = 3$, неравенство $3 < 3$ является неверным, так как $3$ равно $3$, а не меньше;
- любое целое число, большее 3, также не удовлетворяет данному неравенству.

Следовательно, множество решений неравенства $x < 3$ в целых неотрицательных числах — это $\{0, 1, 2\}$.

Сравнив полученное множество с предложенными вариантами, мы видим, что оно полностью совпадает с одним из них.

Ответ: $\{0, 1, 2\}$

6 При решении неравенства получили ответ:

а) ${5, 6, 7 \ldots}$;

б) ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$;

в) ${2, 3, 4 \ldots}$;

г) ${0, 1, 2, 3, 4}$.

Какое неравенство решали?

Для каждого из представленных множеств решений можно составить соответствующее неравенство. Предположим, что переменная, для которой решалось неравенство, — это $x$, и решения ищутся среди целых чисел.

а) Множество решений {5, 6, 7, ...} включает в себя все целые числа, начиная с 5 и до бесконечности. Это означает, что переменная $x$ должна быть больше или равна 5. Такое условие можно записать в виде нестрогого неравенства $x \ge 5$. Также это множество можно описать с помощью строгого неравенства: $x > 4$. Оба неравенства имеют одинаковое множество решений в целых числах.
Ответ: $x \ge 5$.

б) Множество решений {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} является конечным и состоит из всех неотрицательных целых чисел, не превышающих 6. Это условие можно представить в виде двойного неравенства, которое ограничивает переменную $x$ с обеих сторон: $0 \le x \le 6$. Если изначально было известно, что решения являются неотрицательными числами, то можно было решать и более простое неравенство $x \le 6$ (или эквивалентное ему $x < 7$). Двойное неравенство является наиболее точным и полным описанием данного множества решений.
Ответ: $0 \le x \le 6$.

в) Множество решений {2, 3, 4, ...} включает все целые числа, которые больше или равны 2. Если обозначить переменную через $x$, то это условие можно записать в виде нестрогого неравенства $x \ge 2$. Альтернативной формой записи является строгое неравенство $x > 1$. В контексте целых чисел оба неравенства приводят к одному и тому же множеству решений.
Ответ: $x \ge 2$.

г) Множество решений {0, 1, 2, 3, 4} — это конечное множество, содержащее все неотрицательные целые числа от 0 до 4 включительно. Для переменной $x$ это условие можно записать в виде двойного неравенства $0 \le x \le 4$. Это означает, что $x$ должен быть не меньше 0 и не больше 4. Если искать решения только среди неотрицательных чисел, то условие можно записать и как $x \le 4$, или как строгое неравенство $x < 5$.
Ответ: $0 \le x \le 4$.

7 Найди ошибки в записи и решении примеров. Запиши и реши их правильно.

a) $ \begin{array}{r} \times 1790 \\ 204 \\ \hline 716 \\ \phantom{0}358 \\ \hline 4296 \end{array} $

б) $ \begin{array}{r@{\quad}l} \begin{array}{r} - 45540 \\ \underline{\quad 45} \\ \phantom{0}54 \\ \underline{\quad 54} \\ \phantom{00}0 \end{array} & \begin{array}{|l} 9 \\ \hline 560 \end{array} \end{array} $

а)

В примере на умножение допущены ошибки. Во-первых, при умножении $1790$ на $4$ не учли ноль в конце, поэтому первое неполное произведение должно быть $7160$, а не $716$. Во-вторых, пропущено умножение на ноль в разряде десятков у множителя $204$. В-третьих, при умножении на $2$ в разряде сотен, результат записан без правильного сдвига на два разряда влево.

Правильное решение:

 1790 × 204 ------ 7160 0000 3580 ------ 365160

Ответ: $1790 \times 204 = 365160$.

б)

В примере на деление допущена ошибка. После первого шага (деление $45$ на $9$), остаток равен $0$. Затем сносится следующая цифра делимого — $5$. Так как число $5$ меньше делителя $9$, в частное необходимо записать $0$. В приведённом решении этот ноль пропущен, что привело к неверному ответу.

Правильное решение:

 45540 | 9-45 |---- 05 | 5060 - 0 54 -54 00 - 0 0

Ответ: $45540 \div 9 = 5060$.

8 Выполни действия:

$372 \cdot 814;$ $7050 \cdot 608;$ $63280 : 7;$ $802000 : 5.$

372 · 814
Для того чтобы найти произведение чисел 372 и 814, выполним умножение в столбик.
372
× 814
1488
+372
2976
302808

1. Умножаем 372 на 4 (разряд единиц): $372 \cdot 4 = 1488$. Это первое неполное произведение.
2. Умножаем 372 на 1 (разряд десятков): $372 \cdot 1 = 372$. Записываем второе неполное произведение под первым, сдвинув на один разряд влево.
3. Умножаем 372 на 8 (разряд сотен): $372 \cdot 8 = 2976$. Записываем третье неполное произведение под вторым, сдвинув еще на один разряд влево.
4. Складываем полученные неполные произведения: $1488 + 3720 + 297600 = 302808$.
Ответ: 302808

7050 · 608
Выполним умножение в столбик. Обратим внимание, что во втором множителе в разряде десятков стоит ноль.
7050
× 608
56400
+42300
4286400

1. Умножаем 7050 на 8 (разряд единиц): $7050 \cdot 8 = 56400$.
2. Умножение на 0 в разряде десятков даст 0, поэтому этот шаг пропускаем и при записи следующего неполного произведения сдвигаем его на два разряда влево.
3. Умножаем 7050 на 6 (разряд сотен): $7050 \cdot 6 = 42300$. Результат записываем со сдвигом на два разряда влево.
4. Складываем полученные произведения: $56400 + 4230000 = 4286400$.
Ответ: 4286400

63 280 : 7
Выполним деление в столбик (уголком).
_63280 | 7
63 | 9040
_2
0
28
28
00
0
0

1. Первое неполное делимое — 63. Делим 63 на 7, получаем 9. Записываем 9 в частное. Остаток 0.
2. Сносим следующую цифру 2. Число 2 меньше 7, поэтому в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру 8, получаем неполное делимое 28. Делим 28 на 7, получаем 4. Записываем 4 в частное. Остаток 0.
4. Сносим 0. Делим 0 на 7, получаем 0. Записываем 0 в частное.
Ответ: 9040

802 000 : 5
Выполним деление в столбик (уголком).
_802000 | 5
5 | 160400
30
30
_2
0
20
20
0

1. Первое неполное делимое — 8. Делим 8 на 5, получаем 1. Записываем 1 в частное. Остаток $8 - 5 = 3$.
2. Сносим 0. Получаем неполное делимое 30. Делим 30 на 5, получаем 6. Записываем 6 в частное. Остаток 0.
3. Сносим 2. Число 2 меньше 5, поэтому в частное записываем 0.
4. Сносим 0. Получаем неполное делимое 20. Делим 20 на 5, получаем 4. Записываем 4 в частное. Остаток 0.
5. Оставшиеся два нуля из делимого переносим в частное.
Ответ: 160400

2 а) Испекли каравай, масса которого 3 кг. От него отрезали 375 г. Какую часть каравая отрезали?

1 – 3000 г

отрезали

? – 375 г

б) Продолжительность урока 45 мин. На решение задачи ушло 7 мин. Какая часть урока ушла на решение задачи?

на задачу

а) Чтобы найти, какую часть каравая отрезали, необходимо сначала привести все величины к одной единице измерения. Переведем массу каравая из килограммов в граммы.
В 1 килограмме содержится 1000 граммов, следовательно, масса всего каравая:
$3 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ г} = 3000 \text{ г}$.
Теперь составим дробь, где в числителе будет масса отрезанной части, а в знаменателе — общая масса каравая:
$\frac{375}{3000}$
Далее необходимо сократить полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель для числителя и знаменателя или будем сокращать поэтапно. Разделим числитель и знаменатель на 125 (так как $375 = 3 \times 125$ и $3000 = 24 \times 125$):
$\frac{375 \div 125}{3000 \div 125} = \frac{3}{24}$
Теперь сократим полученную дробь на 3:
$\frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8}$
Таким образом, от каравая отрезали $\frac{1}{8}$ часть.
Ответ: $\frac{1}{8}$

б) В данном случае общая продолжительность урока является целым (знаменателем дроби), а время, потраченное на решение задачи — его частью (числителем).
Общая продолжительность урока: 45 минут.
Время на решение задачи: 7 минут.
Составим дробь, чтобы узнать, какая часть урока ушла на решение задачи:
$\frac{7}{45}$
Проверим, можно ли сократить эту дробь. Число 7 является простым, оно делится только на 1 и на само себя. Знаменатель 45 не делится на 7 без остатка ($45 = 6 \times 7 + 3$). Следовательно, у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1, и дробь $\frac{7}{45}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{7}{45}$

3 Какую часть составляют:

а) 4 см от 5 см;

б) 7 л от 25 л;

в) 6 $\text{м}^2$ от 10 $\text{м}^2$;

г) 18 р. от 100 р.?

Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе. Результат записывается в виде дроби.

а) Чтобы найти, какую часть 4 см составляют от 5 см, необходимо составить отношение 4 к 5. В виде дроби это записывается как $\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

б) Чтобы найти, какую часть 7 л составляют от 25 л, необходимо составить отношение 7 к 25. В виде дроби это записывается как $\frac{7}{25}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$.

в) Чтобы найти, какую часть 6 м² составляют от 10 м², необходимо составить отношение 6 к 10. Получаем дробь $\frac{6}{10}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$\frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) Чтобы найти, какую часть 18 р. составляют от 100 р., необходимо составить отношение 18 к 100. Получаем дробь $\frac{18}{100}$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$\frac{18}{100} = \frac{18 \div 2}{100 \div 2} = \frac{9}{50}$

Ответ: $\frac{9}{50}$.

4. В неделе 5 рабочих дней. Какую часть недели составляют:

рабочие дни

выходные

Чтобы ответить на этот вопрос, сначала нужно определить общее количество дней в неделе. В неделе 7 дней. Это число будет знаменателем (нижней частью) дроби в обоих случаях.

рабочие дни

В условии сказано, что в неделе 5 рабочих дней. Чтобы найти, какую часть недели они составляют, нужно количество рабочих дней (5) поставить в числитель (верхнюю часть) дроби, а общее количество дней в неделе (7) — в знаменатель.

Таким образом, рабочие дни составляют $ \frac{5}{7} $ от всей недели.

Ответ: $ \frac{5}{7} $.

выходные дни

Сначала определим количество выходных дней. Для этого из общего количества дней в неделе (7) вычтем количество рабочих дней (5):

$7 - 5 = 2$ (дня)

Теперь, чтобы найти, какую часть недели составляют выходные дни, нужно количество выходных дней (2) поставить в числитель, а общее количество дней в неделе (7) — в знаменатель.

Таким образом, выходные дни составляют $ \frac{2}{7} $ от всей недели.

Ответ: $ \frac{2}{7} $.

5 Человек спит примерно 8 часов в сутки. Какую часть суток он спит? Какую часть суток он бодрствует?

спит

бодрствует

СУТКИ

Какую часть суток он спит?

В сутках 24 часа. По условию, человек спит 8 часов. Чтобы найти, какую часть суток составляет время сна, необходимо составить отношение времени сна ко всему времени в сутках. Это отношение будет выражено дробью, где в числителе — время сна, а в знаменателе — общее количество часов в сутках.

Получаем дробь: $\frac{8}{24}$.

Эту дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя (8) и знаменателя (24) — это 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{8 \div 8}{24 \div 8} = \frac{1}{3}$

Таким образом, человек спит $\frac{1}{3}$ часть суток.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

Какую часть суток он бодрствует?

Сначала определим, сколько часов в сутках человек бодрствует. Для этого из общего количества часов в сутках (24) вычтем количество часов сна (8).

$24 - 8 = 16$ часов — время бодрствования.

Теперь, чтобы найти, какую часть суток человек бодрствует, составим дробь, где в числителе — время бодрствования, а в знаменателе — общее количество часов в сутках.

Получаем дробь: $\frac{16}{24}$.

Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 16 и 24 — это 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3}$

Следовательно, человек бодрствует $\frac{2}{3}$ части суток.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

6 В кинотеатре 2000 мест, причём $85\%$ всех мест находится в партере, а остальные — на балконе. Сколько мест в этом кинотеатре находится на балконе?

партер

балкон

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

1. Сначала определим, какой процент мест приходится на балкон. Все места в кинотеатре составляют 100%. Если 85% мест находятся в партере, то на балкон приходится оставшаяся часть:

$100\% - 85\% = 15\%$

2. Теперь найдём количество мест, которое составляют 15% от общего числа мест (2000). Для этого умножим общее количество мест на долю, соответствующую этому проценту:

$2000 \cdot \frac{15}{100} = 20 \cdot 15 = 300$ (мест)

Ответ: 300 мест.

1. Сначала найдём, сколько мест находится в партере. Для этого вычислим 85% от 2000 мест:

$2000 \cdot \frac{85}{100} = 20 \cdot 85 = 1700$ (мест)

2. Теперь, чтобы найти количество мест на балконе, вычтем количество мест в партере из общего количества мест в кинотеатре:

$2000 - 1700 = 300$ (мест)

Ответ: 300 мест.

7 Реши уравнение:

а) $(72 - x) : 6 + 25 = 34;$

б) $28 : (20 \cdot y - 76) = 7.$

а) $(72 - x) : 6 + 25 = 34$

Для начала, рассмотрим выражение $(72 - x) : 6$ как одно неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, вычтем из суммы 34 известное слагаемое 25.

$(72 - x) : 6 = 34 - 25$

$(72 - x) : 6 = 9$

Теперь выражение в скобках $(72 - x)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное 9 умножить на делитель 6.

$72 - x = 9 \cdot 6$

$72 - x = 54$

Наконец, найдем неизвестное вычитаемое $x$. Для этого из уменьшаемого 72 вычтем разность 54.

$x = 72 - 54$

$x = 18$

Проверка: $(72 - 18) : 6 + 25 = 54 : 6 + 25 = 9 + 25 = 34$. Все верно.

Ответ: $18$.

б) $28 : (20 \cdot y - 76) = 7$

В этом уравнении выражение в скобках $(20 \cdot y - 76)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое 28 разделить на частное 7.

$20 \cdot y - 76 = 28 : 7$

$20 \cdot y - 76 = 4$

Теперь рассмотрим выражение $20 \cdot y$ как неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, к разности 4 прибавим вычитаемое 76.

$20 \cdot y = 4 + 76$

$20 \cdot y = 80$

Осталось найти неизвестный множитель $y$. Для этого произведение 80 разделим на известный множитель 20.

$y = 80 : 20$

$y = 4$

Проверка: $28 : (20 \cdot 4 - 76) = 28 : (80 - 76) = 28 : 4 = 7$. Все верно.

Ответ: $4$.

1 Отметь угол, на который раскрылся веер, и определи вид угла. Что ты замечаешь? Сделай вывод.

Острые углы

Развёрнутым углом называют угол, стороны которого образуют прямую.

$\angle AOB$ — развёрнутый

(стороны $OA$ и $OB$ образуют прямую)

Рассмотрим каждый веер и определим вид угла, который образуют его крайние спицы:

• Первый веер: Раскрыт на небольшой угол, который меньше $90^{\circ}$. Это острый угол.
• Второй веер: Угол раскрытия стал больше, но всё ещё меньше $90^{\circ}$. Это также острый угол.
• Третий веер: Крайние спицы образуют угол, равный ровно $90^{\circ}$. Это прямой угол.
• Четвертый веер: Веер раскрыт полностью, и его стороны образуют прямую линию. Угол равен $180^{\circ}$. Это развёрнутый угол.

Что ты замечаешь?

Я замечаю, что по мере раскрытия веера угол между его крайними спицами увеличивается. Из-за этого меняется классификация (вид) угла.

Сделай вывод.

Вид угла определяется его градусной мерой. Если угол меньше $90^{\circ}$ — он острый. Если угол равен $90^{\circ}$ — он прямой. Если угол равен $180^{\circ}$ (его стороны образуют прямую линию) — он развёрнутый.

Ответ: На рисунках показано, как при раскрытии веера острый угол ($<90^{\circ}$) увеличивается, становится прямым ($=90^{\circ}$), а затем развёрнутым ($=180^{\circ}$).

2 a) Начерти на листе бумаги прямую MN и отметь на ней точку O. Сколько получилось развёрнутых углов?

б) Разрежь лист по прямой MN. В одном из развёрнутых углов проведи луч OK. Прочитай получившиеся углы и назови их признаки.

в) Построй перегибанием биссектрису второго развёрнутого угла. Что интересного в её расположении?

Смежными углами называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую.

$\angle AOC$ и $\angle COB$ — смежные

(OC — общая, OA и OB образуют прямую)

Если один из смежных углов острый, то второй — тупой, и наоборот. Прямой угол равен половине развёрнутого угла.

а) Начертим на листе бумаги прямую и обозначим на ней точки M и N. Между ними отметим точку O. Точка O является вершиной угла, а лучи OM и ON, исходящие из неё в противоположные стороны, — его сторонами. Такой угол называется развёрнутым, и его градусная мера равна $180°$. Прямая MN с точкой O на ней образует два развёрнутых угла, по одному с каждой стороны прямой. Вместе они составляют полный угол в $360°$.

Ответ: Получилось два развёрнутых угла.

б) После разрезания листа по прямой MN, в одной из его частей, которая представляет собой плоскость с границей в виде прямой MN, проведем из точки O луч OK. Этот луч разделит развёрнутый угол $\angle MON$ на два угла: $\angle MOK$ и $\angle KON$. Эти углы являются смежными. Признаки смежных углов, согласно определению в задаче: у них одна сторона общая (луч OK), а две другие стороны (лучи OM и ON) образуют прямую MN. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма равна $180°$: $\angle MOK + \angle KON = 180°$.

Ответ: Получились углы $\angle MOK$ и $\angle KON$. Они являются смежными, так как у них общая сторона OK, а стороны OM и ON образуют прямую.

в) Для построения биссектрисы второго развёрнутого угла перегибанием, нужно совместить лучи OM и ON, перегнув лист по точке O. Линия сгиба и будет искомой биссектрисой. Биссектриса делит угол на два равных угла. Так как развёрнутый угол равен $180°$, то его биссектриса разделит его на два угла по $180° \div 2 = 90°$. Угол величиной $90°$ является прямым углом. Интересная особенность расположения этой биссектрисы заключается в том, что она перпендикулярна прямой MN.

Ответ: Интересно то, что биссектриса развёрнутого угла перпендикулярна прямой, которая образует этот угол.