Страница 1, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Найди в тексте, выделенном рамкой: а) вводную часть; б) главную мысль; в) пример, иллюстрирующий главную мысль. Какими символами обозначены эти части текста?

Придумай свои собственные примеры неравенств и их решений. Сделай конспект.

Как ты думаешь, что понимается в тексте под термином «решение неравенства» — действие или число?

Поскольку текст, выделенный рамкой, не предоставлен, ответ основан на типичной структуре учебных материалов по данной теме.

а) вводную часть;
Вводная часть, скорее всего, представляет собой первое предложение или абзац, где дается общее представление о неравенствах и ставится задача научиться их решать. Например: «Мы уже знакомы с числовыми неравенствами. Теперь рассмотрим неравенства, содержащие переменную». Эта часть обычно не помечается специальным символом.
б) главную мысль;
Главная мысль — это определение или ключевое правило. В данном случае, это определение того, что является решением неравенства. Например: «Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство». В учебниках такие определения часто выделяются в рамку или помечаются специальным символом (например, ключ 🔑 или восклицательный знак !).
в) пример, иллюстрирующий главную мысль.
Это конкретная задача, которая показывает применение правила на практике. Например: «Рассмотрим неравенство $x + 2 > 5$. Число 4 является решением этого неравенства, так как $4 + 2 > 5$ — это верное неравенство (6 > 5). А число 1 не является решением, так как $1 + 2 > 5$ — неверно». Примеры часто обозначаются специальными значками (например, галочка ✓ или просто курсивом).

В учебниках эти части могут быть обозначены разными символами: вводная часть — никак, главная мысль (правило) — специальным значком для правил, пример — значком для примеров.

Ответ: Вводная часть — первый абзац без символа. Главная мысль — определение, выделенное в рамку или специальным символом. Пример — задача, помеченная символом примера.

Примеры неравенств и их решений:

Пример 1: Простое линейное неравенство.
$x - 7 < 3$
Решение: Перенесем -7 в правую часть, изменив знак:
$x < 3 + 7$
$x < 10$
Решением является любое число, которое меньше 10. Это можно записать в виде числового промежутка.
Ответ: $x \in (-\infty; 10)$.

Пример 2: Неравенство с делением на отрицательное число.
$20 \geq -5y$
Решение: Чтобы найти $y$, разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный ($\geq$ на $\leq$):
$\frac{20}{-5} \leq y$
$-4 \leq y$, что то же самое, что и $y \geq -4$.
Решением является любое число, которое больше или равно -4.
Ответ: $y \in [-4; +\infty)$.

Конспект:
• Неравенство — это математическое выражение, использующее знаки сравнения ($<, >, \leq, \geq$).
• Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых оно обращается в верное числовое неравенство, или доказать, что таких значений нет.
• Основные правила решения:
1. Любой член неравенства можно переносить из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя знака неравенства.
3. При умножении или делении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число, знак неравенства нужно изменить на противоположный.
• Решение неравенства — это, как правило, не одно число, а множество чисел (числовой промежуток).

Под термином «решение неравенства» понимается не действие (процесс нахождения ответа) и не одно-единственное число. Решение — это результат, которым является множество всех чисел, удовлетворяющих данному неравенству.
Например, для неравенства $x > 5$ число 6 является решением, число 100 является решением, число 5.01 тоже является решением. Но когда говорят о «решении неравенства» в целом, имеют в виду совокупность всех таких чисел, то есть числовой промежуток $(5; +\infty)$. Отдельное число из этого множества называют частным решением.

Ответ: Под «решением неравенства» понимается не действие и, как правило, не одно число, а множество всех чисел, которые удовлетворяют данному неравенству.

2 Какие из чисел 24, 91, 318, 56, 7 удовлетворяют неравенству $t > 56$, а какие ему не удовлетворяют? Почему?

Для того чтобы определить, какие из данных чисел удовлетворяют неравенству $t > 56$, а какие нет, необходимо подставить каждое число вместо переменной $t$ и проверить, является ли полученное утверждение истинным. Неравенство $t > 56$ будет истинным только для тех чисел, которые строго больше 56.

Какие из чисел удовлетворяют неравенству $t > 56$

Проверим числа, которые могут быть больше 56.
- Для числа 91: подставляем в неравенство и получаем $91 > 56$. Это верное утверждение, так как 91 действительно больше 56.
- Для числа 318: подставляем в неравенство и получаем $318 > 56$. Это также верное утверждение, так как 318 больше 56.
Следовательно, этим двум числам неравенство удовлетворяет.

Ответ: 91, 318.

Какие из чисел не удовлетворяют неравенству $t > 56$

Проверим остальные числа.
- Для числа 24: подставляем и получаем $24 > 56$. Это неверное утверждение, так как 24 меньше 56 ($24 < 56$).
- Для числа 56: подставляем и получаем $56 > 56$. Это неверное утверждение. Неравенство строгое, а 56 равно 56 ($56 = 56$), но не больше.
- Для числа 7: подставляем и получаем $7 > 56$. Это неверное утверждение, так как 7 меньше 56 ($7 < 56$).
Следовательно, эти три числа не удовлетворяют неравенству, так как они либо меньше, либо равны 56.

Ответ: 24, 56, 7.

3 Какие из чисел 75, 71, 70, 65, 9, 0 являются решениями неравенства $75 - x > 4$? Докажи.

$75 - \Box > 4$

Для того чтобы определить, какие из чисел 75, 71, 70, 65, 9, 0 являются решениями неравенства $75 - x > 4$, необходимо подставить каждое из этих чисел вместо $x$ и проверить, будет ли полученное утверждение верным. Это и будет доказательством.

75

Подставляем $x = 75$ в неравенство: $75 - 75 > 4$.

Вычисляем левую часть: $0 > 4$.

Полученное утверждение неверно, так как 0 меньше 4.

Ответ: число 75 не является решением.

71

Подставляем $x = 71$ в неравенство: $75 - 71 > 4$.

Вычисляем левую часть: $4 > 4$.

Полученное утверждение неверно, так как 4 равно 4, а не строго больше 4.

Ответ: число 71 не является решением.

70

Подставляем $x = 70$ в неравенство: $75 - 70 > 4$.

Вычисляем левую часть: $5 > 4$.

Полученное утверждение верно.

Ответ: число 70 является решением.

65

Подставляем $x = 65$ в неравенство: $75 - 65 > 4$.

Вычисляем левую часть: $10 > 4$.

Полученное утверждение верно.

Ответ: число 65 является решением.

9

Подставляем $x = 9$ в неравенство: $75 - 9 > 4$.

Вычисляем левую часть: $66 > 4$.

Полученное утверждение верно.

Ответ: число 9 является решением.

0

Подставляем $x = 0$ в неравенство: $75 - 0 > 4$.

Вычисляем левую часть: $75 > 4$.

Полученное утверждение верно.

Ответ: число 0 является решением.

Итак, из предложенного списка чисел решениями неравенства $75 - x > 4$ являются: 70, 65, 9, 0.

4 Будет ли число 6 решением неравенства:

а) $15 + x > 40$;

б) $2 + y < 96$;

в) $54 : t > 1$;

г) $48 - n < 39$;

д) $a + a < 20$;

е) $0 : b > 5?$

Чтобы проверить, является ли число 6 решением неравенства, необходимо подставить значение 6 вместо переменной в каждое неравенство и проверить истинность получившегося утверждения.

а) $15 + x > 40$
Подставляем $x = 6$:
$15 + 6 > 40$
$21 > 40$
Данное утверждение ложно, так как 21 меньше 40. Следовательно, число 6 не является решением этого неравенства.
Ответ: нет

б) $2 + y < 96$
Подставляем $y = 6$:
$2 + 6 < 96$
$8 < 96$
Данное утверждение истинно, так как 8 действительно меньше 96. Следовательно, число 6 является решением этого неравенства.
Ответ: да

в) $54 : t > 1$
Подставляем $t = 6$:
$54 : 6 > 1$
$9 > 1$
Данное утверждение истинно, так как 9 больше 1. Следовательно, число 6 является решением этого неравенства.
Ответ: да

г) $48 - n < 39$
Подставляем $n = 6$:
$48 - 6 < 39$
$42 < 39$
Данное утверждение ложно, так как 42 больше 39. Следовательно, число 6 не является решением этого неравенства.
Ответ: нет

д) $a + a < 20$
Подставляем $a = 6$:
$6 + 6 < 20$
$12 < 20$
Данное утверждение истинно, так как 12 меньше 20. Следовательно, число 6 является решением этого неравенства.
Ответ: да

е) $0 : b > 5$
Подставляем $b = 6$:
$0 : 6 > 5$
$0 > 5$
Данное утверждение ложно, так как 0 меньше 5. Следовательно, число 6 не является решением этого неравенства.
Ответ: нет

1 Четверо весёлых медвежат нашли 3 шоколадки и решили их разделить поровну. Как это можно сделать?

Раскрась части шоколадок, которые получит каждый медвежонок, соответственно в красный, синий, жёлтый и зелёный цвета. Какую часть целой шоколадки получит каждый медвежонок?

При делении 3 шоколадок на четверых каждый получает 3 кусочка, равных четверти шоколадки, или $ \frac{3}{4} $ шоколадки.

Значит, $3 : 4 = \frac{3}{4} $.

Если $m$ одинаковых предметов разделить на $n$ равных частей, то каждая часть будет равна $ \frac{m}{n} $ целого предмета.

$m : n = \frac{m}{n} $

Таким образом, с помощью дробей можно записать результат деления двух натуральных чисел:

$2 : 5 = \frac{2}{5} $ $4 : 6 = \frac{4}{6} $ $3 : 8 = \frac{3}{8} $

Делимое равно числителю дроби, делитель — знаменателю. Значит, черту дроби можно понимать как знак деления.

Как это можно сделать?

Чтобы разделить 3 шоколадки поровну между 4 медвежатами, необходимо каждую шоколадку разделить на 4 равные части (четверти). В результате получится $3 \times 4 = 12$ одинаковых кусочков. Затем эти 12 кусочков делятся поровну между 4 медвежатами. Таким образом, каждый медвежонок получит по $12 \div 4 = 3$ кусочка. Это равносильно тому, что каждый медвежонок возьмёт по одному кусочку от каждой из трёх шоколадок.

Ответ: Каждую из трёх шоколадок нужно разделить на 4 равные части, и каждому медвежонку дать по одной части от каждой шоколадки.

Раскрась части шоколадок, которые получит каждый медвежонок, соответственно в красный, синий, жёлтый и зелёный цвета.

Пусть первому медвежонку соответствуют красные части, второму — синие, третьему — жёлтые, а четвёртому — зелёные. Поскольку каждый медвежонок получает по одному кусочку от каждой из трёх шоколадок, то в каждой шоколадке будет по одной части каждого цвета. Раскраска будет выглядеть следующим образом (каждая строка — это одна шоколадка):

Из таблицы видно, что медвежонок каждого цвета получил 3 кусочка.

Ответ: В каждой из трёх шоколадок нужно раскрасить одну дольку в красный цвет, одну в синий, одну в жёлтый и одну в зелёный.

Какую часть целой шоколадки получит каждый медвежонок?

Каждый медвежонок получает 3 кусочка. Каждый такой кусочек представляет собой одну четвертую ($ \frac{1}{4} $) часть целой шоколадки. Следовательно, общее количество шоколада, которое достаётся одному медвежонку, равно сумме долей этих трёх кусочков:

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

Также можно рассуждать, что для разделения 3 предметов на 4 равные части нужно выполнить деление $3 \div 4$. Результат этого действия записывается в виде дроби, где делимое (3) является числителем, а делитель (4) — знаменателем.

$3 \div 4 = \frac{3}{4}$

Ответ: Каждый медвежонок получит $ \frac{3}{4} $ целой шоколадки.

2 а) 3 одинаковые груши разделили поровну между 6 детьми. Какую часть груши получил каждый? Как провести раздел, сделав лишь 3 разреза?

б) 2 одинаковые дыни разделили поровну на 7 туристов. Какую часть дыни получил каждый турист?

в) 5 одинаковых пирожных разделили поровну между 8 детьми. Сколько получил каждый?

а)

Чтобы узнать, какую часть груши получил каждый из 6 детей, нужно общее количество груш (3) разделить на количество детей (6). В виде дроби это записывается как $3 \div 6 = \frac{3}{6}$. Сократив эту дробь, получаем $\frac{1}{2}$. Таким образом, каждый ребенок получил половину груши.

Чтобы разделить 3 груши на 6 равных частей (по половине груши), нужно каждую из трех груш разрезать пополам. Один разрез делит одну грушу на две половины. Следовательно, чтобы разрезать три груши, потребуется три разреза. В результате получится 6 половинок, по одной для каждого ребенка.

Ответ: Каждый ребенок получил $\frac{1}{2}$ груши. Чтобы это сделать, нужно каждую из трех груш разрезать пополам, что потребует 3 разреза.

б)

Чтобы найти, какую часть дыни получил каждый турист, необходимо общее количество дынь (2) разделить на количество туристов (7). Это можно представить в виде дроби. Делим количество дынь на количество туристов: $2 \div 7 = \frac{2}{7}$.

Ответ: Каждый турист получил $\frac{2}{7}$ дыни.

в)

Чтобы определить, сколько пирожных получил каждый ребенок, нужно общее количество пирожных (5) разделить на количество детей (8). Запишем это деление в виде дроби: $5 \div 8 = \frac{5}{8}$.

Ответ: Каждый ребенок получил $\frac{5}{8}$ пирожного.

1 Определи по рисункам время на часах. Обозначь дугами углы, образованные стрелками часов. Что общего и что различного у этих углов? Какой из них самый маленький, а какой — самый большой?

а) Время: 1:00
Угол: $30^\circ$

б) Время: 2:00
Угол: $60^\circ$

в) Время: 3:00
Угол: $90^\circ$

г) Время: 4:00
Угол: $120^\circ$

д) Время: 5:00
Угол: $150^\circ$

Для решения задачи сначала определим время, которое показывают каждые часы, а затем вычислим угол между стрелками. Весь циферблат представляет собой окружность в $360^{\circ}$. На циферблате 12 часовых делений, поэтому угол между двумя соседними делениями составляет $360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}$. Во всех случаях минутная стрелка указывает на 12.

а) Часы показывают 1:00. Часовая стрелка указывает на 1, а минутная на 12. Между ними 1 часовое деление.
Величина угла: $1 \times 30^{\circ} = 30^{\circ}$.
Ответ: Время 1:00, угол $30^{\circ}$.

б) Часы показывают 2:00. Часовая стрелка указывает на 2, а минутная на 12. Между ними 2 часовых деления.
Величина угла: $2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Ответ: Время 2:00, угол $60^{\circ}$.

в) Часы показывают 3:00. Часовая стрелка указывает на 3, а минутная на 12. Между ними 3 часовых деления. Этот угол является прямым.
Величина угла: $3 \times 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
Ответ: Время 3:00, угол $90^{\circ}$.

г) Часы показывают 4:00. Часовая стрелка указывает на 4, а минутная на 12. Между ними 4 часовых деления.
Величина угла: $4 \times 30^{\circ} = 120^{\circ}$.
Ответ: Время 4:00, угол $120^{\circ}$.

д) Часы показывают 5:00. Часовая стрелка указывает на 5, а минутная на 12. Между ними 5 часовых делений.
Величина угла: $5 \times 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
Ответ: Время 5:00, угол $150^{\circ}$.

Что общего и что различного у этих углов?
Общее: У всех углов, образованных стрелками, вершина находится в центре циферблата. Одна из сторон угла (минутная стрелка) всегда направлена на цифру 12.
Различное: Положение второй стороны угла (часовой стрелки) в каждом случае разное. Как следствие, углы имеют разную величину (градусную меру) и относятся к разным видам: углы а) и б) — острые, в) — прямой, г) и д) — тупые.
Ответ: Общее — положение вершины угла и минутной стрелки. Различное — положение часовой стрелки, величина и вид угла.

Какой из них самый маленький, а какой — самый большой?
Сравним величины полученных углов: $30^{\circ}$, $60^{\circ}$, $90^{\circ}$, $120^{\circ}$, $150^{\circ}$.
Наименьшее значение — $30^{\circ}$, что соответствует углу на рисунке а).
Наибольшее значение — $150^{\circ}$, что соответствует углу на рисунке д).
Ответ: Самый маленький угол — на рисунке а) ($30^{\circ}$), самый большой — на рисунке д) ($150^{\circ}$).

2 а) Сложи из бумаги веер. Разверни его так, чтобы получился самый большой из возможных углов.

б) Таня и Оля спорят, чей веер образует больший угол. Они наложили один веер на другой разными способами.

1) 2) 3)

Как ты думаешь, какой из этих способов сравнения углов правильный? Почему?

Чтобы сравнить два угла, их можно наложить так, чтобы сторона первого угла совпала со стороной второго угла.

Если и две другие стороны совпадут, то углы равны: $ \angle 1 = \angle 2 $

Если же две другие стороны не совпадут, то меньше угол, сторона которого оказалась внутри другого угла, и наоборот.

$ \angle 2 < \angle 1 $

$ \angle 1 > \angle 2 $

а) Чтобы из бумажного веера получить самый большой из возможных углов, его нужно полностью развернуть. В этом случае его крайние стороны образуют прямую линию. Угол, стороны которого лежат на одной прямой, называется развёрнутым. Величина развёрнутого угла составляет $180^\circ$.

Ответ: Самый большой из возможных углов, который можно получить из веера, — это развёрнутый угол, равный $180^\circ$.

б) Правильный способ сравнения углов показан на рисунке 1.

Чтобы сравнить два угла, их необходимо наложить один на другой так, чтобы их вершины совпали, а одна из сторон одного угла совпала с одной из сторон другого. Именно это условие выполнено на рисунке 1. Такое наложение позволяет однозначно увидеть, что вторая сторона серого веера находится внутри угла, образованного сторонами розового веера. Это означает, что угол серого веера меньше угла розового веера.

Способы, показанные на рисунках 2 и 3, являются неправильными. На рисунке 2 не совмещены вершины углов, а на рисунке 3 при совмещенных вершинах не совмещена ни одна из сторон. В обоих этих случаях невозможно сделать достоверный вывод о том, какой из углов больше.

Ответ: Правильный способ сравнения углов показан на рисунке 1. Потому что для сравнения углов необходимо совместить их вершины и одну из сторон. Угол, вторая сторона которого окажется внутри другого угла, будет меньше.