Страница 49, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1. a) Сравни площади фигур, изображённых на рисунках. Всегда ли это можно сделать с помощью наложения?

б) Как измеряют площадь фигур?

Какие единицы измерения площади ты знаешь?

Проведем сравнение площадей фигур, изображенных на рисунках:
На первом рисунке фигура B полностью находится внутри фигуры A. Это значит, что площадь фигуры A больше площади фигуры B. Математически это записывается как $S_A > S_B$.
На втором рисунке фигура N (прямоугольник) полностью находится внутри фигуры M. Следовательно, площадь фигуры M больше площади фигуры N: $S_M > S_N$.
На третьем рисунке фигуры E и F пересекаются, и ни одна из них не помещается целиком в другую. В этом случае простого наложения недостаточно, чтобы сравнить их площади. Визуально определить, какая из них больше, затруднительно.

Таким образом, сравнить площади фигур с помощью наложения можно не всегда. Этот метод хорошо работает, когда одна фигура является частью другой. Если же фигуры пересекаются или расположены отдельно, для сравнения их площадей требуется измерение.

Ответ: $S_A > S_B$; $S_M > S_N$; сравнить площади фигур E и F методом простого наложения невозможно. Сравнить площади с помощью наложения удается не всегда.

Площадь фигуры измеряют, чтобы дать ей количественную характеристику, показывающую размер части плоскости, которую эта фигура занимает. Основной способ измерения — это выбор единицы измерения (эталона) и определение, сколько раз эта единица укладывается в измеряемой фигуре. В качестве единицы измерения площади обычно используют квадрат, сторона которого равна единице длины (например, квадратный сантиметр — это квадрат со стороной 1 см).
Для фигур правильной формы (прямоугольник, треугольник, круг) существуют специальные формулы, позволяющие вычислить их площадь по известным линейным размерам (длине, ширине, радиусу). Для фигур сложной, неправильной формы площадь можно найти приближенно с помощью палетки — прозрачной пленки, разделенной на сетку из единичных квадратов. Подсчитав количество квадратов, покрывающих фигуру, можно оценить ее площадь.

Существуют различные единицы измерения площади. Наиболее распространенные из них:
- Квадратный миллиметр ($мм^2$)
- Квадратный сантиметр ($см^2$)
- Квадратный дециметр ($дм^2$)
- Квадратный метр ($м^2$)
- Квадратный километр ($км^2$)
Для измерения площадей земельных участков часто используют такие единицы, как:
- Ар (а), также известный как сотка ($1\ а = 100\ м^2$)
- Гектар (га) ($1\ га = 100\ а = 10\ 000\ м^2$)

Ответ: Площадь фигур измеряют путем подсчета количества единичных квадратов, которые в ней помещаются, либо вычисляют по специальным формулам. Известные единицы измерения площади: квадратный миллиметр ($мм^2$), квадратный сантиметр ($см^2$), квадратный метр ($м^2$), квадратный километр ($км^2$), ар (а), гектар (га).

2 Практическая работа.

а) Вырежи из клетчатой бумаги прямоугольник со сторонами $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. Чему равна его площадь в квадратных сантиметрах? В клеточках?

б) Нарисуй на вырезанном прямоугольнике замкнутую кривую линию A. Можешь ли ты точно указать площадь фигуры A, выраженную в клеточках? Между какими числами заключена эта площадь?

а)

Чтобы найти площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах, нужно умножить длину его сторон.
Длина $a = 3$ см, ширина $b = 4$ см.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = a \cdot b = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Чтобы найти площадь в клеточках, нужно знать размер одной клеточки. В стандартной тетради сторона одной клетки равна 0,5 см.
Тогда на стороне длиной 3 см поместится $3 \text{ см} / 0,5 \text{ см} = 6$ клеточек.
На стороне длиной 4 см поместится $4 \text{ см} / 0,5 \text{ см} = 8$ клеточек.
Площадь в клеточках будет равна произведению количества клеточек по сторонам:
$S_{\text{клеточках}} = 6 \text{ клеточек} \cdot 8 \text{ клеточек} = 48 \text{ клеточек}$.

Ответ: Площадь прямоугольника равна 12 см², что составляет 48 клеточек (если сторона одной клетки 0,5 см).

б)

Точно указать площадь фигуры А, ограниченной кривой линией, в клеточках, как правило, невозможно. Это связано с тем, что кривая линия пересекает клетки, и мы не можем посчитать их как целые.

Однако мы можем оценить эту площадь, то есть найти два числа, между которыми она заключена. Для этого используется следующий метод:
1. Сначала посчитаем количество целых клеточек, которые полностью находятся внутри фигуры А. Назовем это число $N_{1}$. Это будет нижняя граница площади.
2. Затем посчитаем все клеточки, которые хотя бы частично находятся внутри фигуры А (то есть и полностью внутренние, и те, которые пересекает граница). Назовем это число $N_{2}$. Это будет верхняя граница площади.

Таким образом, площадь фигуры А ($S_A$) будет заключена между числами $N_{1}$ и $N_{2}$:
$N_{1} < S_A < N_{2}$.

Конкретные значения $N_{1}$ и $N_{2}$ будут зависеть от того, как именно вы нарисуете кривую линию.

Ответ: Нет, точно указать площадь фигуры А в клеточках нельзя, так как кривая линия не совпадает с границами клеток. Эта площадь заключена между числом клеток, полностью лежащих внутри фигуры, и общим числом клеток, которые фигура хотя бы частично затрагивает.

3 Площадь закрашенного прямоугольника заключена между числами 12 и 15:

$12 < S < 15$

Определи, между какими числами заключены площади данных фигур:

a) $12 < S < 15$

б) $10 < S < 12.5$

в) $10 < S < 12.5$

В условии задачи сказано, что площадь $S$ закрашенного прямоугольника заключена между числами 12 и 15. Этот прямоугольник состоит из 10 одинаковых маленьких квадратов. Обозначим площадь одного такого квадрата как $e$.

Таким образом, мы имеем неравенство для площади $S$ всего прямоугольника: $12 < S < 15$.

Поскольку прямоугольник состоит из 10 квадратов, его площадь равна $S = 10 \times e$. Подставив это в неравенство, получаем: $12 < 10e < 15$.

Чтобы найти, в каких пределах находится площадь одного маленького квадрата $e$, разделим все части неравенства на 10:

$\frac{12}{10} < \frac{10e}{10} < \frac{15}{10}$

$1.2 < e < 1.5$

Теперь, зная диапазон площади одного квадрата, мы можем найти диапазон площадей для каждой из предложенных фигур, посчитав количество квадратов в них.

а)

Фигура а) представляет собой прямоугольник, состоящий из $2 \times 5 = 10$ маленьких квадратов. Её площадь $S$ равна $10e$.

Используем найденный диапазон для $e$: $1.2 < e < 1.5$.

Умножим все части неравенства на 10:

$10 \times 1.2 < 10e < 10 \times 1.5$

$12 < S < 15$

Ответ: $12 < S < 15$

б)

Фигура б) состоит из 12 маленьких квадратов. Её площадь $S$ равна $12e$.

Используем найденный диапазон для $e$: $1.2 < e < 1.5$.

Умножим все части неравенства на 12:

$12 \times 1.2 < 12e < 12 \times 1.5$

$14.4 < S < 18$

Ответ: $14.4 < S < 18$

в)

Фигура в) состоит из 10 маленьких квадратов. Её площадь $S$ равна $10e$.

Используем найденный диапазон для $e$: $1.2 < e < 1.5$.

Умножим все части неравенства на 10:

$10 \times 1.2 < 10e < 10 \times 1.5$

$12 < S < 15$

Ответ: $12 < S < 15$

15 Игра «Древнерусский календарь».

Расшифруй названия некоторых месяцев, которыми пользовались в Древней Руси.

К $14 \cdot 5 - 3$

Л $40 - 3 \cdot 7$

А $58 : 2 - 9$

Р $33 - 4 \cdot 4$

Ц $96 : (10 - 4)$

Й $(8 + 7) \cdot 5$

Ю $(54 + 27) : 9$

Г $5 \cdot 3 + 9 \cdot 5$

С $68 : 17 \cdot 6$

О $210 : 35 + 8$

Н $60 \cdot 4 : 80$

Ь $(84 - 78) \cdot 8$

Ч $(250 - 90) : 2$

В $45 \cdot 8 + 40$

У $200 - 3 \cdot 9$

З $1400 : (42 : 6)$

П $490 : 70 \cdot 5$

И $80 \cdot 7 - 260$

Ы $(940 - 310) : 7$

Т $150 - 640 : 80$

Б $209 \cdot 6 - 1100$

Е $4 \cdot 30 + 9 \cdot 8$

Д $36 : 1 - 0 : 32$

24 192 80 192 3 48

24 192 17 35 192 3 48

154 192 17 192 200 14

200 14 19

19 9 142 90 75

16 400 192 142 192 3 48

142 17 20 400 192 3 48

60 17 173 36 192 3 48

19 300 24 142 14 35 20 36

Для расшифровки названий месяцев сперва необходимо решить все примеры и сопоставить полученные числа с буквами.

Вычисление значений для каждой буквы:

• К: $14 \cdot 5 - 3 = 70 - 3 = 67$
• Л: $40 - 3 \cdot 7 = 40 - 21 = 19$
• А: $58 : 2 - 9 = 29 - 9 = 20$
• Р: $33 - 4 \cdot 4 = 33 - 16 = 17$
• Ц: $96 : (10 - 4) = 96 : 6 = 16$
• Й: $(8 + 7) \cdot 5 = 15 \cdot 5 = 75$
• Ю: $(54 + 27) : 9 = 81 : 9 = 9$
• Г: $5 \cdot 3 + 9 \cdot 5 = 15 + 45 = 60$
• С: $68 : 17 \cdot 6 = 4 \cdot 6 = 24$
• О: $210 : 35 + 8 = 6 + 8 = 14$
• Н: $60 \cdot 4 : 80 = 240 : 80 = 3$
• Ь: $(84 - 78) \cdot 8 = 6 \cdot 8 = 48$
• Ч: $(250 - 90) : 2 = 160 : 2 = 80$
• В: $45 \cdot 8 + 40 = 360 + 40 = 400$
• У: $200 - 3 \cdot 9 = 200 - 27 = 173$
• З: $1400 : (42 : 6) = 1400 : 7 = 200$
• П: $490 : 70 \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35$
• И: $80 \cdot 7 - 260 = 560 - 260 = 300$
• Ы: $(940 - 310) : 7 = 630 : 7 = 90$
• Т: $150 - 640 : 80 = 150 - 8 = 142$
• Б: $209 \cdot 6 - 1100 = 1254 - 1100 = 154$
• Е: $4 \cdot 30 + 9 \cdot 8 = 120 + 72 = 192$
• Д: $36 : 1 - 0 : 32 = 36 - 0 = 36$

Расшифровка слов:

СЕЧЕНЬ

Расшифровываем последовательность чисел 24, 192, 80, 192, 3, 48: 24(С), 192(Е), 80(Ч), 192(Е), 3(Н), 48(Ь).

Ответ: СЕЧЕНЬ.

СЕРПЕНЬ

Расшифровываем последовательность чисел 24, 192, 17, 35, 192, 3, 48: 24(С), 192(Е), 17(Р), 35(П), 192(Е), 3(Н), 48(Ь).

Ответ: СЕРПЕНЬ.

БЕРЕЗОЗОЛ

Расшифровываем последовательность чисел 154, 192, 17, 192, 200, 14, 200, 14, 19: 154(Б), 192(Е), 17(Р), 192(Е), 200(З), 14(О), 200(З), 14(О), 19(Л).

Ответ: БЕРЕЗОЗОЛ.

ЛЮТЫЙ

Расшифровываем последовательность чисел 19, 9, 142, 90, 75: 19(Л), 9(Ю), 142(Т), 90(Ы), 75(Й).

Ответ: ЛЮТЫЙ.

ЦВЕТЕНЬ

Расшифровываем последовательность чисел 16, 400, 192, 142, 192, 3, 48: 16(Ц), 400(В), 192(Е), 142(Т), 192(Е), 3(Н), 48(Ь).

Ответ: ЦВЕТЕНЬ.

ТРАВЕНЬ

Расшифровываем последовательность чисел 142, 17, 20, 400, 192, 3, 48: 142(Т), 17(Р), 20(А), 400(В), 192(Е), 3(Н), 48(Ь).

Ответ: ТРАВЕНЬ.

ГРУДЕНЬ

Расшифровываем последовательность чисел 60, 17, 173, 36, 192, 3, 48: 60(Г), 17(Р), 173(У), 36(Д), 192(Е), 3(Н), 48(Ь).

Ответ: ГРУДЕНЬ.

ЛИСТОПАД

Расшифровываем последовательность чисел 19, 300, 24, 142, 14, 35, 20, 36: 19(Л), 300(И), 24(С), 142(Т), 14(О), 35(П), 20(А), 36(Д).

Ответ: ЛИСТОПАД.

16* Какое самое маленькое число делится на все натуральные числа от 1 до 10?

Чтобы найти самое маленькое число, которое делится на все натуральные числа от 1 до 10, необходимо найти их Наименьшее Общее Кратное (НОК). То есть, мы ищем НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).

Для этого сначала разложим каждое число из этого диапазона на простые множители:

$1 = 1$ (не влияет на результат, так как любое целое число делится на 1)
$2 = 2$
$3 = 3$
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
$5 = 5$
$6 = 2 \cdot 3$
$7 = 7$
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$

Теперь, чтобы вычислить НОК, нужно взять каждый простой множитель в его наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях чисел от 1 до 10.

Простые множители, которые мы нашли: 2, 3, 5, 7.
1. Наибольшая степень для множителя 2 встречается в разложении числа 8, это $2^3$.
2. Наибольшая степень для множителя 3 встречается в разложении числа 9, это $3^2$.
3. Наибольшая степень для множителя 5 встречается в разложении чисел 5 и 10, это $5^1$.
4. Наибольшая степень для множителя 7 встречается в разложении числа 7, это $7^1$.

Перемножим эти множители в их наибольших степенях, чтобы найти НОК:

НОК = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7$

Выполним вычисление:

$8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$

Таким образом, 2520 — это самое маленькое число, которое делится на все натуральные числа от 1 до 10.

Ответ: 2520

1 Рядом с рисунком записаны координаты составляющих его клеток, но в одном случае сделана ошибка. Найди её.

$ (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3), $
$ (3; 4), (4; 2), (5; 3), (6; 1), $
$ (6; 2), (6; 3) $

Координаты широко используются в жизни. Например, места в кинотеатре обозначают номером ряда и места в ряду. Координаты задают положение города на карте, корабля в плавании, звезды на небосклоне.

С помощью координат на плоскости можно кодировать изображения, чтобы хранить и передавать их. Так, чтобы закодировать изображение цветка (рис. 1), достаточно записать координаты клеток, из которых состоит рисунок:

$ (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (1; 5), (2; 4), (4; 2), (5; 1) $

Такую запись мы будем называть кодом изображения. Построив клетки по их координатам, мы получим точно такое же изображение цветка.

Рис. 1

Чтобы найти ошибку в списке координат, нужно проверить, соответствует ли каждая пара чисел из списка закрашенной клетке на рисунке. Координаты клетки определяются парой чисел $(x; y)$, где $x$ — номер столбца (горизонтальная ось), а $y$ — номер строки (вертикальная ось).

Проверим каждую координату из предложенного списка:

• $(2; 3)$: клетка на пересечении 2-го столбца и 3-й строки закрашена. Верно.
• $(3; 1)$: клетка на пересечении 3-го столбца и 1-й строки закрашена. Верно.
• $(3; 2)$: клетка на пересечении 3-го столбца и 2-й строки закрашена. Верно.
• $(3; 3)$: клетка на пересечении 3-го столбца и 3-й строки закрашена. Верно.
• $(3; 4)$: клетка на пересечении 3-го столбца и 4-й строки закрашена. Верно.
• $(4; 2)$: клетка на пересечении 4-го столбца и 2-й строки закрашена. Верно.
• $(5; 3)$: клетка на пересечении 5-го столбца и 3-й строки не закрашена. Это ошибка. На рисунке в 5-м столбце закрашена клетка с координатами $(5; 2)$.
• $(6; 1)$: клетка на пересечении 6-го столбца и 1-й строки закрашена. Верно.
• $(6; 2)$: клетка на пересечении 6-го столбца и 2-й строки закрашена. Верно.
• $(6; 3)$: клетка на пересечении 6-го столбца и 3-й строки закрашена. Верно.

Таким образом, ошибка допущена в координате $(5; 3)$.

Ответ: Ошибочная координата — $(5; 3)$. Правильная координата закрашенной клетки в пятом столбце — $(5; 2)$.

2 Верна ли кодировка? Если есть ошибки, то исправь их.

а) $(2; 3)$, $(2; 4)$,

$(1; 3)$, $(3; 2)$,

$(5; 3)$, $(4; 3)$,

$(4; 1)$.

б) $(1; 2)$, $(2; 2)$,

$(2; 5)$, $(3; 3)$,

$(4; 1)$, $(4; 2)$,

$(5; 4)$.

а) Кодировка неверна. Проанализируем предложенный список координат и сравним его с рисунком.
Координаты $(2; 3), (2; 4), (3; 2), (4; 3)$ указаны верно.
Координаты $(1; 3), (5; 3), (4; 1)$ указаны неверно, так как в клетках с этими координатами на рисунке нет крестиков.
Кроме того, в списке отсутствуют координаты для крестиков, расположенных в клетках $(3; 1), (3; 5)$ и $(4; 4)$.
Полный и правильный набор координат для всех крестиков на рисунке а): $(2; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (3; 5), (4; 3), (4; 4)$.
Ответ: кодировка неверна. Правильная кодировка: $(2; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (3; 5), (4; 3), (4; 4)$.

б) Кодировка неверна. Проанализируем предложенный список координат и сравним его с рисунком.
Координаты $(2; 2), (2; 5), (3; 3), (4; 2)$ указаны верно.
Координаты $(1; 2), (4; 1), (5; 4)$ указаны неверно, так как в клетках с этими координатами на рисунке нет крестиков.
Кроме того, в списке отсутствует координата для крестика, расположенного в клетке $(4; 5)$.
Полный и правильный набор координат для всех крестиков на рисунке б): $(2; 2), (2; 5), (3; 3), (4; 2), (4; 5)$.
Ответ: кодировка неверна. Правильная кодировка: $(2; 2), (2; 5), (3; 3), (4; 2), (4; 5)$.