Страница 54, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 На фигуры наложены палетки. Вычисли приближённо площади фигур, если площадь одной клетки равна 1 кв. ед.

а) $a = $

$b = $

$S \approx $

б) $a = $

$b = $

$S \approx $

в) $a = $

$b = $

$S \approx $

г) $a = $

$b = $

$S \approx $

Для вычисления приближённой площади фигуры с помощью палетки используется формула $S \approx a + \frac{b}{2}$, где $a$ – количество целых клеток внутри фигуры, а $b$ – количество клеток, которые пересекает граница фигуры.

а)

1. Посчитаем количество целых клеток внутри фигуры. Внимательно посмотрев на рисунок, можно насчитать 6 таких клеток. Таким образом, $a = 6$.

2. Посчитаем количество клеток, через которые проходит граница фигуры. Таких клеток 16. Таким образом, $b = 16$.

3. Вычислим приближённую площадь:

$S \approx 6 + \frac{16}{2} = 6 + 8 = 14$ кв. ед.

Ответ: $a = 6$, $b = 16$, $S \approx 14$ кв. ед.

б)

1. Посчитаем количество целых клеток внутри круга. Это 6 клеток в центральной части фигуры (по 2 клетки во второй, третьей и четвертой строках). Таким образом, $a = 6$.

2. Посчитаем количество клеток, которые пересекает окружность. Таких клеток 10 (по 2 в каждой из пяти строк). Таким образом, $b = 10$.

3. Вычислим приближённую площадь:

$S \approx 6 + \frac{10}{2} = 6 + 5 = 11$ кв. ед.

Ответ: $a = 6$, $b = 10$, $S \approx 11$ кв. ед.

в)

1. Посчитаем количество целых клеток внутри треугольника. Их 3. Таким образом, $a = 3$.

2. Посчитаем количество клеток, которые пересекает граница треугольника. Две стороны лежат на линиях сетки, поэтому считаем только клетки, которые пересекает гипотенуза. Таких клеток 6. Таким образом, $b = 6$.

3. Вычислим приближённую площадь:

$S \approx 3 + \frac{6}{2} = 3 + 3 = 6$ кв. ед.

(Для проверки можно вычислить точную площадь прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3: $S_{точно} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ кв. ед.)

Ответ: $a = 3$, $b = 6$, $S \approx 6$ кв. ед.

г)

1. Посчитаем количество целых клеток внутри трапеции. Это центральный прямоугольник размером 2x3 клетки. Всего 6 целых клеток. Таким образом, $a = 6$.

2. Посчитаем количество клеток, которые пересекает граница трапеции. Верхнее и нижнее основания лежат на линиях сетки, поэтому считаем только клетки, которые пересекают боковые стороны. Левая сторона пересекает 3 клетки, и правая сторона пересекает 3 клетки. Всего 6 клеток. Таким образом, $b = 6$.

3. Вычислим приближённую площадь:

$S \approx 6 + \frac{6}{2} = 6 + 3 = 9$ кв. ед.

(Для проверки можно вычислить точную площадь трапеции с основаниями 4 и 2 и высотой 3: $S_{точно} = \frac{4+2}{2} \cdot 3 = 9$ кв. ед.)

Ответ: $a = 6$, $b = 6$, $S \approx 9$ кв. ед.

2 Наложи кальку на клетчатую бумагу и сделай палетку ($e = 1\text{ см}^2$). Нарисуй на листе бумаги какую-нибудь замкнутую линию и найди приближённо с помощью палетки площадь фигуры, ограниченной этой линией.

Это практическое задание, для выполнения которого нужно следовать определенному алгоритму. Цель — научиться находить площадь фигур произвольной формы с помощью палетки.

1. Изготовление палетки. Возьмите лист кальки (или любой другой прозрачной бумаги/пленки) и наложите его на лист клетчатой бумаги. Перенесите на кальку сетку из квадратов со стороной 1 см. Таким образом, площадь каждой клетки палетки ($e$) будет равна $1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 1 \text{ см}^2$, как указано в условии.

2. Создание фигуры. На обычном листе бумаги нарисуйте любую фигуру, ограниченную замкнутой линией. Форма фигуры может быть произвольной, например, похожей на кленовый лист или облако.

3. Использование палетки для измерения. Наложите изготовленную палетку на нарисованную фигуру. Аккуратно подсчитайте:

   • количество полных квадратов сетки, которые целиком находятся внутри контура фигуры. Обозначим это число буквой $k$.

   • количество неполных квадратов, то есть тех, которые граница фигуры пересекает. Обозначим это число буквой $n$.

4. Расчет приближенной площади. Площадь фигуры ($S$) можно найти приближенно, сложив площадь всех полных квадратов и половину площади всех неполных квадратов. Принято считать, что в среднем каждая неполная клетка заполнена наполовину. Формула для вычисления выглядит так:

   $S \approx k \cdot e + \frac{n}{2} \cdot e$

   Поскольку в нашем случае $e = 1 \text{ см}^2$, формула упрощается:

   $S \approx k + \frac{n}{2} \text{ (см}^2\text{)}$

Пример расчета:

Предположим, мы нарисовали фигуру и после наложения палетки подсчитали, что:

• число полных квадратов внутри фигуры $k = 18$;

• число неполных квадратов, пересеченных границей, $n = 10$.

Теперь вычислим приближенную площадь этой фигуры по нашей формуле:

$S \approx 18 + \frac{10}{2} = 18 + 5 = 23 \text{ (см}^2\text{)}$

Следовательно, приближенная площадь нарисованной фигуры равна 23 см².

Ответ: Для нахождения площади фигуры нужно изготовить палетку с сеткой квадратов 1x1 см, наложить ее на фигуру, подсчитать количество полных ($k$) и неполных ($n$) квадратов, находящихся внутри контура, и вычислить площадь по формуле $S \approx k + \frac{n}{2}$ см².

3 Начерти окружность радиусом 4 см и найди с помощью палетки приближённую площадь получившегося круга.

Для нахождения приближенной площади круга с помощью палетки необходимо выполнить следующие действия. Сначала нужно начертить окружность с заданным радиусом $r = 4$ см. Затем на этот чертеж накладывается палетка — прозрачная пленка с нанесенной сеткой квадратов. Для удобства расчетов используются квадраты со стороной 1 см, тогда площадь одного такого квадрата составляет $1 \text{ см}^2$. Мысленно разместим центр круга в узле сетки палетки.

После наложения палетки на чертеж круга необходимо подсчитать:

• $N_{полн}$ — количество полных квадратов, которые целиком оказались внутри круга.
• $N_{неполн}$ — количество неполных квадратов, которые линия окружности пересекает.

При внимательном подсчете для круга радиусом 4 см получаются следующие значения (результат может незначительно отличаться в зависимости от расположения сетки):

• Количество полных клеток: $N_{полн} = 40$.
• Количество неполных клеток: $N_{неполн} = 20$.

Приближенная площадь круга вычисляется по формуле, где вклад от каждой неполной клетки в среднем принимается за половину ее площади:

$S_{прибл} \approx N_{полн} + \frac{N_{неполн}}{2}$

Подставим подсчитанные значения в формулу:

$S_{прибл} \approx 40 + \frac{20}{2} = 40 + 10 = 50 \text{ (см}^2\text{)}$

Этот результат является приближенным. Для сравнения, точная площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. При $r=4$ см, точная площадь равна $S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50.27 \text{ см}^2$. Как видно, метод палетки позволяет получить достаточно близкое к точному значение.

Ответ: Приближенная площадь круга равна 50 см².

2 Определи цену деления шкалы на числовом отрезке:

a) 0 100 200 300 400 500

б) 0 15 30 45 60 75 90 105

в) 0 10 20 30 40

Чтобы определить цену деления шкалы, необходимо найти разность двух соседних числовых отметок и разделить её на количество делений (промежутков) между ними.

а)
Возьмём на шкале отметки 0 и 100. Разность между ними равна $100 - 0 = 100$.
Между этими отметками 2 деления.
Найдём цену деления: $100 \div 2 = 50$.
Ответ: 50

б)
Возьмём на шкале отметки 0 и 15. Разность между ними равна $15 - 0 = 15$.
Между этими отметками 3 деления.
Найдём цену деления: $15 \div 3 = 5$.
Ответ: 5

в)
Возьмём на шкале отметки 0 и 10. Разность между ними равна $10 - 0 = 10$.
Между этими отметками 4 деления.
Найдём цену деления: $10 \div 4 = 2.5$.
Ответ: 2,5

3 a) На рисунке изображена шкала спидометра автомобиля. Чему равна скорость машины, когда стрелка спидометра показывает на точки $A, B, C, D, E$?

б) На рисунке показана шкала спидометра мотоцикла. Запиши все числа около больших штрихов этой шкалы. Чему равна её цена деления?

0

160 км/ч

0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 км/ч

$A, B, C, D, E$

а)

Чтобы определить скорость, которую показывает спидометр в указанных точках, сначала найдем цену деления его шкалы. Цена деления — это значение, соответствующее самому маленькому интервалу на шкале.

Возьмем два соседних оцифрованных штриха, например, 20 и 40. Разность значений скорости между ними составляет $40 \text{ км/ч} - 20 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$. Между этими штрихами находится один малый штрих, который делит интервал на 2 равные части. Значит, цена одного такого деления равна:

$20 \text{ км/ч} / 2 = 10 \text{ км/ч}$.

Теперь определим скорость для каждой точки:

• Точка A: стрелка указывает на штрих, следующий за отметкой 20 км/ч. Скорость равна $20 + 10 = 30 \text{ км/ч}$.
• Точка B: стрелка указывает на оцифрованный штрих 60 км/ч.
• Точка C: стрелка указывает на штрих между отметками 100 и 120 км/ч. Скорость равна $100 + 10 = 110 \text{ км/ч}$.
• Точка D: стрелка указывает на штрих между отметками 120 и 140 км/ч. Скорость равна $120 + 10 = 130 \text{ км/ч}$.
• Точка E: стрелка указывает на оцифрованный штрих 160 км/ч.

Ответ: A: 30 км/ч, B: 60 км/ч, C: 110 км/ч, D: 130 км/ч, E: 160 км/ч.

б)

На шкале спидометра мотоцикла указаны начальное (0) и конечное (160 км/ч) значения. Между ними расположено 8 больших интервалов. Чтобы найти, каким числам соответствуют большие штрихи, разделим общий диапазон скорости на количество этих интервалов:

$(160 - 0) \text{ км/ч} / 8 = 20 \text{ км/ч}$.

Это значит, что каждый следующий большой штрих соответствует увеличению скорости на 20 км/ч. Таким образом, числа около больших штрихов будут: 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160.

Далее найдем цену деления шкалы. Между каждыми двумя соседними большими штрихами (например, между 0 и 20) есть один малый штрих. Он делит большой интервал, равный 20 км/ч, на две равные части. Следовательно, цена наименьшего деления шкалы равна:

$20 \text{ км/ч} / 2 = 10 \text{ км/ч}$.

Ответ: Числа около больших штрихов: 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160. Цена деления шкалы равна 10 км/ч.

4 Дорога изображена в виде числового луча. Запиши недостающие числа, продолжая закономерность, и определи цену деления шкалы на луче.

а) $0 \quad 2 \quad 4 \quad 6 \quad \dots \quad (\text{КМ})$

б) $0 \quad 60 \quad 120 \quad 180 \quad \dots \quad (\text{КМ})$

в) $0 \quad 24 \quad 48 \quad 72 \quad \dots \quad (\text{КМ})$

а) На данном числовом луче отмечены числа 0, 2, 4, 6. Мы видим, что каждое следующее число, отмеченное на шкале, увеличивается на 2. Это арифметическая прогрессия с шагом 2. Продолжая эту закономерность, находим недостающие числа: $6 + 2 = 8$ $8 + 2 = 10$ $10 + 2 = 12$ $12 + 2 = 14$
Чтобы определить цену деления, посмотрим на отрезок между двумя известными значениями, например, от 0 до 2. Длина этого отрезка составляет $2 - 0 = 2$ км. Этот отрезок разделен на 2 равных деления. Следовательно, цена одного деления равна: $2 \text{ км} \div 2 \text{ деления} = 1$ км.
Ответ: недостающие числа – 8, 10, 12, 14; цена деления – 1 км.

б) На этом числовом луче отмечены числа 0, 60, 120, 180. Каждое следующее число увеличивается на 60. Продолжая эту закономерность, находим недостающие числа: $180 + 60 = 240$ $240 + 60 = 300$ $300 + 60 = 360$
Для определения цены деления рассмотрим отрезок от 0 до 60. Его длина составляет $60 - 0 = 60$ км. Этот отрезок разделен на 3 равных деления. Следовательно, цена одного деления равна: $60 \text{ км} \div 3 \text{ деления} = 20$ км.
Ответ: недостающие числа – 240, 300, 360; цена деления – 20 км.

в) На числовом луче отмечены числа 0, 24, 48, 72. Каждое следующее число увеличивается на 24. Продолжая эту закономерность, находим недостающие числа: $72 + 24 = 96$ $96 + 24 = 120$ $120 + 24 = 144$
Чтобы определить цену деления, рассмотрим отрезок от 0 до 24. Его длина составляет $24 - 0 = 24$ км. Этот отрезок разделен на 2 равных деления. Следовательно, цена одного деления равна: $24 \text{ км} \div 2 \text{ деления} = 12$ км.
Ответ: недостающие числа – 96, 120, 144; цена деления – 12 км.

5 Каким числам соответствуют отмеченные на шкале точки?

a) $A$ $B$ $C$ $D$

14 20 26 32 38 44

б) $A$ $B$ $C$ $D$ $E$

15 21 27 33 39 45

а) Для того чтобы определить, каким числам соответствуют отмеченные точки, необходимо сначала найти цену одного деления шкалы. На шкале отмечены числа 14, 20, 26, 32, 38, 44. Расстояние между двумя соседними числовыми отметками, например 14 и 20, равно $20 - 14 = 6$. Этот отрезок разделен на 2 равные части. Следовательно, цена одного малого деления равна $6 \div 2 = 3$.

Теперь определим координаты каждой точки:
Точка A расположена на одно деление правее отметки 14. Её координата: $14 + 3 = 17$.
Точка B совпадает с отметкой 20. Её координата: 20.
Точка C совпадает с отметкой 32. Её координата: 32.
Точка D расположена на одно деление правее отметки 38. Её координата: $38 + 3 = 41$.

Ответ: A(17), B(20), C(32), D(41).

б) Аналогично найдем цену одного деления для второй шкалы. На шкале отмечены числа 15, 21, 27, 33, 39, 45. Расстояние между двумя соседними числовыми отметками, например 15 и 21, равно $21 - 15 = 6$. Этот отрезок разделен двумя штрихами на 3 равные части. Следовательно, цена одного малого деления равна $6 \div 3 = 2$.

Теперь определим координаты каждой точки:
Точка A расположена на два деления правее отметки 15. Её координата: $15 + 2 \cdot 2 = 19$.
Точка B расположена на одно деление правее отметки 21. Её координата: $21 + 2 = 23$.
Точка C совпадает с отметкой 27. Её координата: 27.
Точка D совпадает с отметкой 39. Её координата: 39.
Точка E расположена на два деления правее отметки 39. Её координата: $39 + 2 \cdot 2 = 43$.

Ответ: A(19), B(23), C(27), D(39), E(43).

6 Начерти в тетради отрезок, равный 12 см, и раздели его на 8 равных частей. Напиши около концов отрезка числа 0 и 32. Какие числа надо поставить около каждого штриха шкалы? Чему равна цена деления этой шкалы?

Для выполнения этого задания сначала нужно начертить отрезок длиной 12 см и разделить его на 8 равных частей. Длина каждой части составит $12 \text{ см} \div 8 = 1.5 \text{ см}$. На одном конце отрезка ставится число 0, на другом — 32. Таким образом, мы получаем числовую шкалу.

Чему равна цена деления этой шкалы?

Цена деления — это значение, которое соответствует одному делению на шкале. Чтобы найти цену деления, нужно разность между наибольшим и наименьшим значениями на шкале разделить на количество делений.

1. Находим диапазон значений на шкале: $32 - 0 = 32$.

2. Делим полученный диапазон на количество частей (делений): $32 \div 8 = 4$.

Следовательно, цена одного деления шкалы равна 4.

Ответ: цена деления этой шкалы равна 4.

Какие числа надо поставить около каждого штриха шкалы?

Чтобы определить числа для каждого штриха, нужно, начиная от 0, последовательно прибавлять цену деления, равную 4.

Расставим числа по порядку от начала отрезка:

• 1-й штрих (начало): 0
• 2-й штрих: $0 + 4 = 4$
• 3-й штрих: $4 + 4 = 8$
• 4-й штрих: $8 + 4 = 12$
• 5-й штрих: $12 + 4 = 16$
• 6-й штрих: $16 + 4 = 20$
• 7-й штрих: $20 + 4 = 24$
• 8-й штрих: $24 + 4 = 28$
• 9-й штрих (конец): $28 + 4 = 32$

Таким образом, необходимо расставить числа в следующем порядке.

Ответ: около штрихов шкалы нужно поставить числа 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32.

2 Найди верные записи и прочитай их разными способами. Неверные записи зачеркни и исправь ошибки.

$y$

$x$

$A (3;2)$ $A (2;3)$

$B (5;6)$

$C (8;4)$

$D (1;5)$

$E (1;4)$ $E (4;1)$

$F (6;2)$

Чтобы определить координаты точки на плоскости, нужно сначала найти значение на горизонтальной оси (ось $x$, или ось абсцисс), а затем на вертикальной оси (ось $y$, или ось ординат).

A (3; 2) Запись неверна. На графике точка A соответствует значению $2$ по оси $x$ и значению $3$ по оси $y$. Правильные координаты точки A - $(2; 3)$.
Ответ: A $(2; 3)$.

B (5; 6) Запись верна. Точка B на графике соответствует значению $5$ по оси $x$ и значению $6$ по оси $y$.
Эту запись можно прочитать разными способами:
1. Точка Бэ с координатами пять, шесть.
2. Абсцисса точки Бэ равна пяти, а ордината равна шести.
Ответ: Запись верна, B $(5; 6)$.

C (8; 4) Запись верна. Точка C на графике соответствует значению $8$ по оси $x$ и значению $4$ по оси $y$.
Эту запись можно прочитать разными способами:
1. Точка Цэ с координатами восемь, четыре.
2. Координата точки Цэ по оси икс равна восьми, а по оси игрек – четырем.
Ответ: Запись верна, C $(8; 4)$.

D (1; 5) Запись верна. Точка D на графике соответствует значению $1$ по оси $x$ и значению $5$ по оси $y$.
Эту запись можно прочитать разными способами:
1. Точка Дэ с координатами один, пять.
2. Абсцисса точки Дэ равна единице, а ордината равна пяти.
Ответ: Запись верна, D $(1; 5)$.

E (1; 4) Запись неверна. На графике точка E соответствует значению $4$ по оси $x$ и значению $1$ по оси $y$. Правильные координаты точки E - $(4; 1)$.
Ответ: E $(4; 1)$.

F (6; 2) Запись верна. Точка F на графике соответствует значению $6$ по оси $x$ и значению $2$ по оси $y$.
Эту запись можно прочитать разными способами:
1. Точка Эф с координатами шесть, два.
2. Координата точки Эф по оси икс равна шести, а по оси игрек – двум.
Ответ: Запись верна, F $(6; 2)$.

3 Запиши координаты точек, обозначенных на рисунке:

а) $A(6; 4)$

$B(2; 6)$

$C(8; 2)$

$D(4; 3)$

$E(7; 1)$

$F(1; 2)$

б) $A(4; 2)$

$B(9; 3)$

$C(2; 1)$

$D(3; 5)$

$E(7; 6)$

$F(5; 4)$

а)

Для того чтобы определить координаты точки на плоскости, необходимо найти её проекции на оси координат. Первое число в скобках (абсцисса) соответствует значению на горизонтальной оси $x$, а второе число (ордината) — значению на вертикальной оси $y$. Координаты записываются в виде $(x; y)$.

Определим координаты для каждой точки на первом рисунке:

• Для точки A: опускаем перпендикуляр на ось $x$ и получаем значение 6. Опускаем перпендикуляр на ось $y$ и получаем значение 4. Таким образом, координаты точки $A$ — $(6; 4)$.
• Для точки B: значение по оси $x$ равно 3, по оси $y$ — 6. Координаты: $B(3; 6)$.
• Для точки C: значение по оси $x$ равно 8, по оси $y$ — 2. Координаты: $C(8; 2)$.
• Для точки D: значение по оси $x$ равно 4, по оси $y$ — 3. Координаты: $D(4; 3)$.
• Для точки E: значение по оси $x$ равно 7, по оси $y$ — 1. Координаты: $E(7; 1)$.
• Для точки F: значение по оси $x$ равно 1, по оси $y$ — 2. Координаты: $F(1; 2)$.

Ответ: $A(6; 4)$, $B(3; 6)$, $C(8; 2)$, $D(4; 3)$, $E(7; 1)$, $F(1; 2)$.

б)

Аналогично определим координаты точек для второго рисунка:

• Для точки A: значение по оси $x$ равно 4, по оси $y$ — 2. Координаты: $A(4; 2)$.
• Для точки B: значение по оси $x$ равно 9, по оси $y$ — 3. Координаты: $B(9; 3)$.
• Для точки C: значение по оси $x$ равно 2, по оси $y$ — 1. Координаты: $C(2; 1)$.
• Для точки D: значение по оси $x$ равно 3, по оси $y$ — 5. Координаты: $D(3; 5)$.
• Для точки E: значение по оси $x$ равно 7, по оси $y$ — 6. Координаты: $E(7; 6)$.
• Для точки F: значение по оси $x$ равно 5, по оси $y$ — 4. Координаты: $F(5; 4)$.

Ответ: $A(4; 2)$, $B(9; 3)$, $C(2; 1)$, $D(3; 5)$, $E(7; 6)$, $F(5; 4)$.

Найди координаты вершин многоугольника:

а) $A(3, 11)$
$B(8, 11)$
$C(8, 9)$
$D(7, 9)$
$E(7, 3)$
$F(9, 3)$
$K(9, 1)$
$M(2, 1)$
$N(2, 3)$
$R(3, 3)$
$S(4, 9)$
$T(3, 9)$

б) $A_1(6, 11)$
$A_2(9, 8)$
$A_3(6, 8)$
$A_4(9, 5)$
$A_5(6, 5)$
$A_6(9, 2)$
$A_7(6, 2)$
$A_8(6, 1)$
$A_9(4, 1)$
$A_{10}(4, 2)$
$A_{11}(2, 2)$
$A_{12}(4, 5)$
$A_{13}(2, 5)$
$A_{14}(4, 8)$
$A_{15}(2, 8)$

а)

Чтобы найти координаты вершины, необходимо определить ее положение относительно горизонтальной оси $x$ (ось абсцисс) и вертикальной оси $y$ (ось ординат). Координаты точки записываются в виде $(x; y)$. Для каждой точки на графике находим соответствующее значение по оси $x$ и по оси $y$.

Координаты вершин многоугольника:
Вершина A: $x=3$, $y=11 \implies A(3; 11)$
Вершина B: $x=8$, $y=11 \implies B(8; 11)$
Вершина C: $x=8$, $y=9 \implies C(8; 9)$
Вершина D: $x=7$, $y=9 \implies D(7; 9)$
Вершина E: $x=8$, $y=3 \implies E(8; 3)$
Вершина F: $x=9$, $y=3 \implies F(9; 3)$
Вершина K: $x=9$, $y=1 \implies K(9; 1)$
Вершина M: $x=2$, $y=1 \implies M(2; 1)$
Вершина N: $x=2$, $y=3 \implies N(2; 3)$
Вершина R: $x=4$, $y=3 \implies R(4; 3)$
Вершина S: $x=5$, $y=9 \implies S(5; 9)$
Вершина T: $x=4$, $y=9 \implies T(4; 9)$

Ответ: $A(3; 11)$, $B(8; 11)$, $C(8; 9)$, $D(7; 9)$, $E(8; 3)$, $F(9; 3)$, $K(9; 1)$, $M(2; 1)$, $N(2; 3)$, $R(4; 3)$, $S(5; 9)$, $T(4; 9)$.

б)

Аналогично находим координаты вершин для второго многоугольника:
Вершина $A_1$: $x=6$, $y=11 \implies A_1(6; 11)$
Вершина $A_2$: $x=8$, $y=8 \implies A_2(8; 8)$
Вершина $A_3$: $x=7$, $y=8 \implies A_3(7; 8)$
Вершина $A_4$: $x=9$, $y=5 \implies A_4(9; 5)$
Вершина $A_5$: $x=8$, $y=5 \implies A_5(8; 5)$
Вершина $A_6$: $x=9$, $y=3 \implies A_6(9; 3)$
Вершина $A_7$: $x=6$, $y=2 \implies A_7(6; 2)$
Вершина $A_8$: $x=6$, $y=1 \implies A_8(6; 1)$
Вершина $A_9$: $x=4$, $y=1 \implies A_9(4; 1)$
Вершина $A_{10}$: $x=4$, $y=2 \implies A_{10}(4; 2)$
Вершина $A_{11}$: $x=1$, $y=2 \implies A_{11}(1; 2)$
Вершина $A_{12}$: $x=4$, $y=5 \implies A_{12}(4; 5)$
Вершина $A_{13}$: $x=3$, $y=5 \implies A_{13}(3; 5)$
Вершина $A_{14}$: $x=5$, $y=8 \implies A_{14}(5; 8)$
Вершина $A_{15}$: $x=4$, $y=8 \implies A_{15}(4; 8)$

Ответ: $A_1(6; 11)$, $A_2(8; 8)$, $A_3(7; 8)$, $A_4(9; 5)$, $A_5(8; 5)$, $A_6(9; 3)$, $A_7(6; 2)$, $A_8(6; 1)$, $A_9(4; 1)$, $A_{10}(4; 2)$, $A_{11}(1; 2)$, $A_{12}(4; 5)$, $A_{13}(3; 5)$, $A_{14}(5; 8)$, $A_{15}(4; 8)$.