Страница 48, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

8 Требуется изготовить 1500 одинаковых деталей. Первый станок может выполнить эту работу за 15 ч, а второй — за 10 ч. За сколько времени изготовят все детали оба станка, работая одновременно?

Для решения задачи необходимо определить производительность каждого станка, а затем их общую производительность при совместной работе.

1. Найдем производительность первого станка.
Производительность — это количество работы, выполняемое за единицу времени. Первый станок изготавливает 1500 деталей за 15 часов. Его производительность ($P_1$) составляет:
$P_1 = \frac{1500 \text{ деталей}}{15 \text{ часов}} = 100 \text{ деталей/час}$

2. Найдем производительность второго станка.
Второй станок изготавливает 1500 деталей за 10 часов. Его производительность ($P_2$) составляет:
$P_2 = \frac{1500 \text{ деталей}}{10 \text{ часов}} = 150 \text{ деталей/час}$

3. Найдем общую производительность.
При одновременной работе производительности станков складываются. Общая производительность ($P_{общ}$) будет равна сумме производительностей первого и второго станков:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = 100 \text{ деталей/час} + 150 \text{ деталей/час} = 250 \text{ деталей/час}$

4. Найдем время выполнения всей работы.
Чтобы найти время ($t$), необходимое для изготовления 1500 деталей при совместной работе, нужно общее количество деталей разделить на общую производительность:
$t = \frac{1500 \text{ деталей}}{250 \text{ деталей/час}} = 6 \text{ часов}$

Ответ: 6 часов.

9 Туристу надо было пройти $27 \text{ км}$. Ранним утром он шёл $2 \text{ ч}$ со скоростью $5 \text{ км/ч}$, затем следующие $2 \text{ ч}$ со скоростью $4 \text{ км/ч}$, а остальной путь он прошёл за $3 \text{ ч}$. Чему была равна его скорость на последнем участке пути, если скорость его на этом участке не менялась?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем расстояние, которое турист прошел за первые 2 часа.

Для этого умножим его скорость на время в пути. Формула расстояния: $S = v \cdot t$.

$5 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 10 \text{ км}$

2. Найдем расстояние, которое турист прошел за следующие 2 часа.

Аналогично, умножим скорость на втором участке на время:

$4 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 8 \text{ км}$

3. Вычислим общее расстояние, пройденное за первые 4 часа.

Сложим расстояния, пройденные на первом и втором участках:

$10 \text{ км} + 8 \text{ км} = 18 \text{ км}$

4. Найдем оставшийся путь.

Для этого вычтем из общего расстояния, которое нужно было пройти, уже пройденный путь:

$27 \text{ км} - 18 \text{ км} = 9 \text{ км}$

5. Определим скорость туриста на последнем участке пути.

Известно, что оставшиеся 9 км он прошел за 3 часа. Чтобы найти скорость, нужно разделить расстояние на время. Формула скорости: $v = \frac{S}{t}$.

$9 \text{ км} \div 3 \text{ ч} = 3 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость туриста на последнем участке пути была равна 3 км/ч.

10 a) $(529 + 179) \cdot (55545 : 69) - (128 \cdot 430 - 6912) : 16;$

б) $27312 : 48 + (900 - 669) \cdot (8 \cdot 125) - 306 \cdot 580.$

а) $(529 + 179) \cdot (55545 : 69) - (128 \cdot 430 - 6912) : 16$

Решим задачу по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Вычислим сумму в первых скобках: $529 + 179 = 708$.

2. Выполним деление во вторых скобках: $55545 : 69 = 805$.

3. Выполним действия в третьих скобках. Сначала умножение: $128 \cdot 430 = 55040$.

4. Затем вычитание в третьих скобках: $55040 - 6912 = 48128$.

5. Теперь выражение выглядит так: $708 \cdot 805 - 48128 : 16$. Выполним умножение: $708 \cdot 805 = 569940$.

6. Выполним деление: $48128 : 16 = 3008$.

7. Выполним последнее действие, вычитание: $569940 - 3008 = 566932$.

Ответ: 566932

б) $27312 : 48 + (900 - 669) \cdot (8 \cdot 125) - 306 \cdot 580$

Решим задачу по действиям в соответствии с их приоритетом (сначала действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение и вычитание слева направо).

1. Вычислим разность в первых скобках: $900 - 669 = 231$.

2. Вычислим произведение во вторых скобках: $8 \cdot 125 = 1000$.

3. Теперь выражение выглядит так: $27312 : 48 + 231 \cdot 1000 - 306 \cdot 580$. Выполним деление и умножение слева направо.

4. Выполним деление: $27312 : 48 = 569$.

5. Выполним первое умножение: $231 \cdot 1000 = 231000$.

6. Выполним второе умножение: $306 \cdot 580 = 177480$.

7. Подставим полученные значения: $569 + 231000 - 177480$.

8. Выполним сложение: $569 + 231000 = 231569$.

9. Выполним вычитание: $231569 - 177480 = 54089$.

Ответ: 54089

11 С одного поля собрали $a$ мешков картошки, со второго — на $b$ мешков больше, чем с первого, а с третьего поля — на $c$ мешков меньше, чем с первого. Сколько мешков картошки собрали со всех трёх полей? Составь выражение и найди его значение при $a = 685$, $b = 2$, $c = 56$.

Составление выражения

Чтобы найти, сколько всего мешков картошки собрали с трёх полей, нужно сложить количество мешков с каждого поля.

1. Количество мешков с первого поля: $a$.

2. Количество мешков со второго поля: на $b$ больше, чем с первого, то есть $a + b$.

3. Количество мешков с третьего поля: на $c$ меньше, чем с первого, то есть $a - c$.

Суммарное количество мешков со всех трёх полей равно сумме этих трёх величин:

$S = a + (a + b) + (a - c)$

Упростим это выражение, раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены:

$S = a + a + b + a - c = 3a + b - c$

Ответ: Выражение для общего количества мешков картошки: $3a + b - c$.

Нахождение значения выражения

Теперь подставим данные значения $a = 685$, $b = 2$ и $c = 56$ в полученное выражение:

$S = 3 \cdot 685 + 2 - 56$

Выполним действия по порядку:

1. Выполняем умножение: $3 \cdot 685 = 2055$.

2. Выполняем сложение: $2055 + 2 = 2057$.

3. Выполняем вычитание: $2057 - 56 = 2001$.

Ответ: Со всех трёх полей собрали 2001 мешок картошки.

12 Придумай задачу, решение которой можно описать следующим выражением:

$a - b : 3$ $(a - b) : 3$ $a + b \cdot 3$ $(a + b) \cdot 3$

$a - b : 3$

Условие задачи: В вазе лежало $a$ яблок. Мама взяла из вазы несколько яблок, чтобы угостить трёх друзей своего сына, дав каждому поровну из $b$ яблок, которые она принесла из магазина. Сколько яблок осталось в вазе?

Решение: Сначала необходимо определить, сколько яблок мама взяла из вазы. В условии сказано, что она разделила $b$ яблок на троих, значит, каждому досталось по $b : 3$ яблок. Так как она угощала друзей, то из вазы было взято именно это количество. Чтобы найти, сколько яблок осталось в вазе, нужно из первоначального количества $a$ вычесть количество взятых яблок. Согласно порядку действий, сначала выполняется деление, а затем вычитание, что полностью соответствует выражению.

Ответ: $a - b : 3$.

$(a - b) : 3$

Условие задачи: В мотке было $a$ метров верёвки. От него отрезали $b$ метров. Оставшуюся часть разделили на 3 равных куска. Какова длина каждого куска?

Решение: Первым действием мы находим, сколько метров верёвки осталось в мотке после того, как от него отрезали кусок. Для этого из начальной длины $a$ вычитаем отрезанную длину $b$. Получаем $a - b$ метров. Затем этот остаток разделили на 3 равные части. Чтобы найти длину одной части, нужно полученную разность разделить на 3. Скобки в выражении $(a - b)$ указывают, что вычитание нужно выполнить в первую очередь.

Ответ: $(a - b) : 3$.

$a + b \cdot 3$

Условие задачи: У Оли было $a$ рублей. Папа дал ей ещё 3 монеты по $b$ рублей каждая. Сколько денег стало у Оли?

Решение: Сначала нужно посчитать, сколько денег дал Оле папа. Он дал 3 монеты, и каждая монета номиналом $b$ рублей. Значит, всего он дал $b \cdot 3$ рублей. Чтобы найти общую сумму денег у Оли, нужно к её первоначальной сумме $a$ прибавить сумму, которую дал папа. По правилам порядка действий, умножение выполняется раньше сложения, поэтому выражение точно описывает решение.

Ответ: $a + b \cdot 3$.

$(a + b) \cdot 3$

Условие задачи: В школьную столовую привезли $a$ килограммов яблок и $b$ килограммов груш. На следующий день привезли столько же фруктов, и ещё через день — снова столько же. Сколько всего килограммов фруктов привезли в столовую за три дня?

Решение: Сперва найдём, сколько всего килограммов фруктов привезли в первый день. Для этого сложим массу яблок и груш: $a + b$. Так как в каждый из трёх дней привозили одинаковое количество фруктов, то, чтобы найти общую массу за три дня, нужно массу фруктов за один день умножить на 3. Скобки в выражении $(a + b)$ показывают, что сначала нужно найти общую массу за один день, а затем умножить её на количество дней.

Ответ: $(a + b) \cdot 3$.

13 Практическая работа.

а) Вырежи из листа клетчатой бумаги прямоугольник со сторонами 9 см и 15 см, а также квадраты со стороной 3 см. Измерь этими квадратами площадь прямоугольника, как показано на рисунке.

б) Вычисли, чему равна площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах, в клеточках. Как изменяется значение площади, если мерка уменьшается, увеличивается?

а) Для измерения площади прямоугольника со сторонами 9 см и 15 см с помощью квадратов со стороной 3 см, необходимо определить, сколько таких квадратов полностью покроют поверхность прямоугольника.
Сначала определим, сколько квадратов можно уложить вдоль каждой из сторон прямоугольника.
Вдоль стороны длиной 9 см поместится: $9 \text{ см} \div 3 \text{ см} = 3$ квадрата.
Вдоль стороны длиной 15 см поместится: $15 \text{ см} \div 3 \text{ см} = 5$ квадратов.
Чтобы найти общее количество квадратов, нужно перемножить количество квадратов, уложенных по длине и ширине прямоугольника:
$3 \times 5 = 15$ квадратов.
Таким образом, площадь прямоугольника, измеренная в квадратах со стороной 3 см, составляет 15 единиц.
Ответ: Площадь прямоугольника равна 15 квадратам со стороной 3 см.

б) Вычислим площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах. Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению длин его сторон ($a$ и $b$):
$S = a \times b = 9 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 135 \text{ см}^2$.
Вычислим площадь прямоугольника в клеточках. Стандартная клетка в тетради имеет размер 0,5 см × 0,5 см. Это означает, что на 1 см длины приходится 2 клетки.
Сторона в 9 см будет равна $9 \times 2 = 18$ клеточкам.
Сторона в 15 см будет равна $15 \times 2 = 30$ клеточкам.
Площадь в клеточках будет равна: $18 \times 30 = 540$ клеточек.
Проанализируем, как изменяется значение площади в зависимости от единицы измерения (мерки).
Мерка — это эталонная площадь, с помощью которой производится измерение. Мы использовали три разные мерки:
1. Квадрат со стороной 3 см (площадь $9 \text{ см}^2$). Значение площади: 15.
2. Квадратный сантиметр (площадь $1 \text{ см}^2$). Значение площади: 135.
3. Клеточка (площадь $0.25 \text{ см}^2$). Значение площади: 540.
Сравнивая эти результаты, можно сделать вывод: чем меньше размер мерки, тем большее числовое значение мы получаем при измерении площади, и наоборот, чем больше размер мерки, тем меньшее числовое значение имеет площадь.
Ответ: Площадь прямоугольника равна $135 \text{ см}^2$ или 540 клеточкам. Если мерка уменьшается, значение площади увеличивается. Если мерка увеличивается, значение площади уменьшается.

14 Математическое исследование.

Запиши число 10 всеми способами в виде суммы двух чисел и для каждого способа найди произведение слагаемых. Какое из произведений самое большое? Проделай то же самое с числом 12.

Сформулируй гипотезу и проверь её для какого-нибудь другого числа.

Запиши число 10 всеми способами в виде суммы двух чисел и для каждого способа найди произведение слагаемых. Какое из произведений самое большое?
Представим число 10 в виде суммы двух натуральных чисел и для каждой суммы найдем произведение слагаемых:
$10 = 1 + 9$; произведение: $1 \times 9 = 9$
$10 = 2 + 8$; произведение: $2 \times 8 = 16$
$10 = 3 + 7$; произведение: $3 \times 7 = 21$
$10 = 4 + 6$; произведение: $4 \times 6 = 24$
$10 = 5 + 5$; произведение: $5 \times 5 = 25$
Сравнивая полученные произведения (9, 16, 21, 24, 25), мы видим, что самое большое из них — 25. Оно получается, когда слагаемые равны.
Ответ: самое большое произведение равно 25.

Проделай то же самое с числом 12.
Представим число 12 в виде суммы двух натуральных чисел и найдем произведение слагаемых:
$12 = 1 + 11$; произведение: $1 \times 11 = 11$
$12 = 2 + 10$; произведение: $2 \times 10 = 20$
$12 = 3 + 9$; произведение: $3 \times 9 = 27$
$12 = 4 + 8$; произведение: $4 \times 8 = 32$
$12 = 5 + 7$; произведение: $5 \times 7 = 35$
$12 = 6 + 6$; произведение: $6 \times 6 = 36$
Самое большое произведение для числа 12 — это 36. Оно также получается, когда слагаемые равны.
Ответ: самое большое произведение равно 36.

Сформулируй гипотезу.
На основе двух предыдущих примеров можно сделать предположение (сформулировать гипотезу): чтобы произведение двух чисел, дающих в сумме одно и то же число, было наибольшим, эти числа (слагаемые) должны быть как можно ближе друг к другу. Если число можно представить в виде суммы двух одинаковых слагаемых, то их произведение будет максимальным.
Ответ: произведение двух слагаемых, сумма которых постоянна, является наибольшим, когда слагаемые равны или максимально близки друг к другу.

Проверь её для какого-нибудь другого числа.
Проверим гипотезу для нечетного числа, например, для 15. Согласно нашей гипотезе, наибольшее произведение будет у самых близких друг к другу слагаемых. Для числа 15 это 7 и 8.
$15 = 1 + 14$; произведение: $1 \times 14 = 14$
$15 = 2 + 13$; произведение: $2 \times 13 = 26$
$15 = 3 + 12$; произведение: $3 \times 12 = 36$
$15 = 4 + 11$; произведение: $4 \times 11 = 44$
$15 = 5 + 10$; произведение: $5 \times 10 = 50$
$15 = 6 + 9$; произведение: $6 \times 9 = 54$
$15 = 7 + 8$; произведение: $7 \times 8 = 56$
Действительно, самое большое произведение (56) получилось для слагаемых 7 и 8, которые являются наиболее близкими целыми числами, дающими в сумме 15. Гипотеза подтвердилась.
Ответ: гипотеза верна.

11 Выполни действия по алгоритму:

1. Переведи в неправильные дроби числа: $1\frac{36}{93}$, $2\frac{27}{46}$, $3\frac{9}{32}$, $4\frac{18}{28}$, $5\frac{14}{19}$, $7\frac{6}{17}$.

2. Найди наибольший и наименьший из числителей полученных дробей.

3. Вычисли их разность.

4. Вычисли их произведение.

5. Узнай, во сколько раз произведение больше разности.

Кто из героев мультфильмов получил правильный ответ?

1. Переведи в неправильные дроби числа

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо его целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

• $1\frac{36}{93} = \frac{1 \cdot 93 + 36}{93} = \frac{93 + 36}{93} = \frac{129}{93}$
• $2\frac{27}{46} = \frac{2 \cdot 46 + 27}{46} = \frac{92 + 27}{46} = \frac{119}{46}$
• $3\frac{9}{32} = \frac{3 \cdot 32 + 9}{32} = \frac{96 + 9}{32} = \frac{105}{32}$
• $4\frac{18}{28} = \frac{4 \cdot 28 + 18}{28} = \frac{112 + 18}{28} = \frac{130}{28}$
• $5\frac{14}{19} = \frac{5 \cdot 19 + 14}{19} = \frac{95 + 14}{19} = \frac{109}{19}$
• $7\frac{6}{17} = \frac{7 \cdot 17 + 6}{17} = \frac{119 + 6}{17} = \frac{125}{17}$

Ответ: Полученные неправильные дроби: $\frac{129}{93}$, $\frac{119}{46}$, $\frac{105}{32}$, $\frac{130}{28}$, $\frac{109}{19}$, $\frac{125}{17}$.

2. Найди наибольший и наименьший из числителей полученных дробей

Числители полученных дробей: 129, 119, 105, 130, 109, 125.

Сравнив эти числа, находим:

• Наибольший числитель: 130.
• Наименьший числитель: 105.

Ответ: Наибольший числитель — 130, наименьший числитель — 105.

3. Вычисли их разность

Найдём разность между наибольшим и наименьшим числителями:

$130 - 105 = 25$

Ответ: Разность равна 25.

4. Вычисли их произведение

Найдём произведение наибольшего и наименьшего числителей:

$130 \cdot 105 = 13650$

Ответ: Произведение равно 13650.

5. Узнай, во сколько раз произведение больше разности

Чтобы узнать, во сколько раз произведение больше разности, разделим произведение на разность:

$\frac{13650}{25} = 546$

Ответ: Произведение больше разности в 546 раз.

Кто из героев мультфильмов получил правильный ответ?

Итоговый ответ по результатам выполнения всех шагов алгоритма — 546. На рисунке персонаж Царевна-лягушка держит табличку с числом 546.

Ответ: Правильный ответ получила Царевна-лягушка.

12 На рисунке показана диаграмма Эйлера-Венна множеств A, B, C и D.

Запиши около линий их обозначения, если известно, что:

A — множество правильных дробей;

B — множество правильных дробей со знаменателем 8;

C — множество дробей с числителем 5;

D — множество всех дробей.

Отметь на диаграмме числа: $\frac{2}{9}$, $\frac{15}{7}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{5}{16}$, $\frac{5}{4}$.

Данная задача состоит из двух частей: сначала нужно определить, какая линия на диаграмме Эйлера-Венна соответствует какому множеству, а затем расположить на этой диаграмме заданные числа.

Для начала проанализируем определения множеств и их взаимосвязи:

• $A$ — множество правильных дробей (у которых числитель меньше знаменателя).
• $B$ — множество правильных дробей со знаменателем 8.
• $C$ — множество дробей с числителем 5.
• $D$ — множество всех дробей.

1. Множество $D$ (все дроби) является универсальным, то есть оно включает в себя все остальные множества ($A, B$ и $C$). На диаграмме ему соответствует самый большой овал, который охватывает все другие фигуры.

2. Любая правильная дробь со знаменателем 8 (множество $B$) является также и просто правильной дробью (множество $A$). Это означает, что множество $B$ является подмножеством множества $A$ ($B \subset A$). Следовательно, на диаграмме фигура, обозначающая $B$, должна полностью находиться внутри фигуры, обозначающей $A$. Этому соответствуют два вложенных овала.

3. Множество $C$ (дроби с числителем 5) пересекается с другими множествами. Например, дробь $\frac{5}{8}$ принадлежит всем трем множествам: $A$ (правильная), $B$ (знаменатель 8) и $C$ (числитель 5). Однако, в $C$ есть дроби, не входящие в $A$ (например, неправильная дробь $\frac{5}{4}$), и дроби, не входящие в $B$ (например, $\frac{5}{16}$). Поэтому фигура для $C$ должна пересекаться с фигурами для $A$ и $B$, но не быть их подмножеством и не содержать их целиком.

На основе этого анализа мы можем однозначно сопоставить множества и фигуры на диаграмме.

• Самый большой внешний овал — D (множество всех дробей).
• Больший из двух вложенных овалов — A (множество правильных дробей).
• Меньший внутренний овал, находящийся внутри A — B (множество правильных дробей со знаменателем 8).
• Овал, пересекающий A и B, — C (множество дробей с числителем 5).

Теперь определим, в какой области диаграммы должно находиться каждое число, исходя из его принадлежности к множествам A, B, C и D.

• $ \frac{2}{9} $: Правильная дробь ($2 < 9$), значит, принадлежит $A$. Знаменатель не 8, числитель не 5, значит, не принадлежит $B$ и $C$. Располагается в области $A$, но вне $B$ и $C$.
• $ \frac{15}{7} $: Неправильная дробь ($15 > 7$), значит, не принадлежит $A$ (и, следовательно, $B$). Числитель не 5, значит, не принадлежит $C$. Эта дробь принадлежит только самому большому множеству $D$. Располагается в области $D$, но вне $A$ и $C$.
• $ \frac{3}{8} $: Правильная дробь ($3 < 8$) со знаменателем 8. Принадлежит множеству $B$ (а значит, и $A$). Числитель не 5, значит, не принадлежит $C$. Располагается в области $B$, но вне пересечения с $C$.
• $ \frac{5}{8} $: Правильная дробь ($5 < 8$) со знаменателем 8 и числителем 5. Принадлежит всем трем множествам: $A$, $B$ и $C$. Располагается в области пересечения $B$ и $C$ (которая также является пересечением всех трех множеств $A, B, C$).
• $ \frac{5}{16} $: Правильная дробь ($5 < 16$) с числителем 5. Принадлежит $A$ и $C$. Знаменатель не 8, значит, не принадлежит $B$. Располагается в области пересечения $A$ и $C$, но вне $B$.
• $ \frac{5}{4} $: Неправильная дробь ($5 > 4$) с числителем 5. Принадлежит $C$, но не принадлежит $A$ (и, следовательно, $B$). Располагается в области $C$, но вне $A$.

Итоговая диаграмма с обозначениями множеств и расположенными на ней числами выглядит следующим образом:

13 Составь программу действий и вычисли:

a) $21488 \div 316 \div 68 + (3600 \cdot 409 - 3805 \cdot 0) \div 818 \div 100 \cdot 1$;

б) $(325 \cdot 70 - 91 \cdot 250) \div 56938 + (7259 - 0) \cdot (896 \div 1) \div 8 \div 14$.

а) $21488 : 316 : 68 + (3600 \cdot 409 - 3805 \cdot 0) : 818 : 100 \cdot 1$

Составим программу действий, определив порядок вычислений:

1. Выполним умножение в скобках: $3600 \cdot 409$.
2. Выполним второе умножение в скобках: $3805 \cdot 0$.
3. Выполним вычитание в скобках: результат действия 1 минус результат действия 2.
4. Выполним первое деление слева направо: $21488 : 316$.
5. Выполним следующее деление: результат действия 4 разделить на $68$.
6. Выполним деление результата из скобок: результат действия 3 разделить на $818$.
7. Выполним следующее деление: результат действия 6 разделить на $100$.
8. Выполним умножение: результат действия 7 умножить на $1$.
9. Выполним сложение: результат действия 5 плюс результат действия 8.

Выполним вычисления по действиям:

1. $3600 \cdot 409 = 1472400$
2. $3805 \cdot 0 = 0$
3. $1472400 - 0 = 1472400$
4. $21488 : 316 = 68$
5. $68 : 68 = 1$
6. $1472400 : 818 = 1800$
7. $1800 : 100 = 18$
8. $18 \cdot 1 = 18$
9. $1 + 18 = 19$

Ответ: $19$.

б) $(325 \cdot 70 - 91 \cdot 250) : 56938 + (7259 - 0) \cdot (896 : 1) : 8 : 14$

Составим программу действий, определив порядок вычислений:

1. Выполним умножение в первых скобках: $325 \cdot 70$.
2. Выполним второе умножение в первых скобках: $91 \cdot 250$.
3. Выполним вычитание в первых скобках: результат действия 1 минус результат действия 2.
4. Выполним вычитание во вторых скобках: $7259 - 0$.
5. Выполним деление в третьих скобках: $896 : 1$.
6. Выполним деление результата первых скобок: результат действия 3 разделить на $56938$.
7. Выполним умножение результатов вторых и третьих скобок: результат действия 4 умножить на результат действия 5.
8. Выполним деление: результат действия 7 разделить на $8$.
9. Выполним следующее деление: результат действия 8 разделить на $14$.
10. Выполним сложение: результат действия 6 плюс результат действия 9.

Выполним вычисления по действиям:

1. $325 \cdot 70 = 22750$
2. $91 \cdot 250 = 22750$
3. $22750 - 22750 = 0$
4. $7259 - 0 = 7259$
5. $896 : 1 = 896$
6. $0 : 56938 = 0$
7. $7259 \cdot 896 = 6504064$
8. $6504064 : 8 = 813008$
9. $813008 : 14 = 58072$
10. $0 + 58072 = 58072$

Ответ: $58072$.

14 На прямой отмечено 10 точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 5 см. Каково расстояние между крайними точками?

Чтобы найти расстояние между крайними точками, сначала нужно определить количество промежутков (отрезков) между всеми точками. Если на прямой отмечено $n$ точек, то между ними будет $n-1$ промежутков.

В данной задаче на прямой отмечено 10 точек. Найдем количество промежутков между ними:
$10 - 1 = 9$ (промежутков)

Согласно условию, расстояние между любыми соседними точками, то есть длина каждого промежутка, равно 5 см.

Расстояние между крайними точками равно сумме длин всех промежутков. Чтобы найти его, нужно умножить количество промежутков на длину одного промежутка:
$9 \times 5 \text{ см} = 45 \text{ см}$

Ответ: 45 см.

10 Составь и реши уравнения:

a) При делении числа 21 425 получилось частное 258 и остаток 11. Найди делитель.
Формула: $21425 = 258 \cdot x + 11$

б) Число уменьшили на 37 единиц, затем разделили на 92 и получили частное 59 и остаток 35. Найди это число.
Формула: $(y - 37) = 92 \cdot 59 + 35$

а)

Обозначим неизвестный делитель как $x$.

Для решения задачи воспользуемся формулой деления с остатком: Делимое = Делитель · Частное + Остаток.

В данном случае:

• Делимое = 21 425
• Делитель = $x$
• Частное = 258
• Остаток = 11

Составим уравнение на основе этой формулы:

$21425 = x \cdot 258 + 11$

Чтобы найти неизвестный множитель ($x \cdot 258$), вычтем остаток из делимого:

$x \cdot 258 = 21425 - 11$

$x \cdot 258 = 21414$

Теперь найдем $x$, разделив произведение на известный множитель:

$x = 21414 : 258$

$x = 83$

Таким образом, делитель равен 83.

Ответ: 83

б)

Обозначим искомое число как $y$.

Согласно условию, число сначала уменьшили на 37, получив $(y - 37)$. Затем это новое число разделили на 92 и получили частное 59 и остаток 35.

Запишем это в виде уравнения, используя формулу деления с остатком, где $(y-37)$ является делимым:

$(y - 37) : 92 = 59 \text{ (ост. 35)}$

Или, что то же самое:

$y - 37 = 92 \cdot 59 + 35$

Сначала выполним умножение и сложение в правой части уравнения:

$92 \cdot 59 = 5428$

$5428 + 35 = 5463$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$y - 37 = 5463$

Чтобы найти уменьшаемое ($y$), нужно к разности прибавить вычитаемое:

$y = 5463 + 37$

$y = 5500$

Таким образом, искомое число равно 5500.

Ответ: 5500

11 Запиши формулы, выражающие данные числа $M$ и $\text{б}$ через их сумму $с$ и разность $р$.

$M = $

$\text{б} = $

По условию задачи нам даны два числа, `м` и `б`. Известно, что их сумма равна `c`, а их разность равна `p`. Это можно записать в виде системы двух уравнений:

1) $м + б = c$

2) $б - м = p$ (исходя из рисунка, `б` больше `м`)

Нам нужно найти формулы, которые выражают `м` и `б` через `c` и `p`. Для этого решим данную систему уравнений.

м

Чтобы найти `м`, вычтем второе уравнение из первого:

$(м + б) - (б - м) = c - p$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$м + б - б + м = c - p$

Приведем подобные слагаемые:

$2м = c - p$

Теперь разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить `м`:

$м = \frac{c - p}{2}$

Таким образом, чтобы найти меньшее число, нужно из суммы вычесть разность и результат разделить на два.

Ответ: $м = \frac{c - p}{2}$

б

Чтобы найти `б`, сложим первое и второе уравнения:

$(м + б) + (б - м) = c + p$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части:

$м + б + б - м = c + p$

$2б = c + p$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить `б`:

$б = \frac{c + p}{2}$

Таким образом, чтобы найти большее число, нужно к сумме прибавить разность и результат разделить на два.

Ответ: $б = \frac{c + p}{2}$

12 a) Одно число больше другого на $ \frac{7}{9} $, а их сумма равна $ 16\frac{7}{9} $. Найди эти числа.

б) Сумма двух чисел равна $ 3\frac{5}{6} $, а их разность равна $ \frac{1}{6} $. Чему равны эти числа?

а)

Пусть меньшее число — это $x$, а большее — $y$.

Согласно условию, одно число больше другого на $\frac{7}{9}$, это можно записать как:

$y = x + \frac{7}{9}$

Также известно, что их сумма равна $16\frac{7}{9}$:

$x + y = 16\frac{7}{9}$

Теперь у нас есть система уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x + (x + \frac{7}{9}) = 16\frac{7}{9}$

Упростим уравнение:

$2x + \frac{7}{9} = 16\frac{7}{9}$

Вычтем $\frac{7}{9}$ из обеих частей уравнения:

$2x = 16\frac{7}{9} - \frac{7}{9}$

$2x = 16$

Найдем $x$:

$x = 16 \div 2 = 8$

Мы нашли меньшее число, оно равно 8. Теперь найдем большее число, используя первое уравнение:

$y = 8 + \frac{7}{9} = 8\frac{7}{9}$

Таким образом, искомые числа — это 8 и $8\frac{7}{9}$.

Ответ: $8$ и $8\frac{7}{9}$.

б)

Пусть первое число — это $a$, а второе — $b$.

По условию, их сумма равна $3\frac{5}{6}$, а их разность равна $\frac{1}{6}$. Запишем это в виде системы уравнений:

1) $a + b = 3\frac{5}{6}$

2) $a - b = \frac{1}{6}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(a + b) + (a - b) = 3\frac{5}{6} + \frac{1}{6}$

$2a = 3\frac{6}{6}$

Поскольку $\frac{6}{6} = 1$, то $3\frac{6}{6} = 3 + 1 = 4$.

$2a = 4$

Найдем $a$:

$a = 4 \div 2 = 2$

Теперь, когда мы нашли одно число (2), подставим его в первое уравнение, чтобы найти второе число $b$:

$2 + b = 3\frac{5}{6}$

$b = 3\frac{5}{6} - 2$

$b = 1\frac{5}{6}$

Таким образом, искомые числа — это 2 и $1\frac{5}{6}$.

Ответ: $2$ и $1\frac{5}{6}$.

13 Найди наибольшее решение неравенства

$k < 560 + 612 \div 6 \cdot 5 - (1700 \div 10 - 100)$

Является ли число $999 \frac{99}{99}$ решением этого неравенства?

Сначала упростим правую часть неравенства, выполнив все действия в правильном порядке:

$k < 560 + 612 : 6 \cdot 5 - (1700 : 10 - 100)$

1. Действие в скобках (сначала деление, потом вычитание):
   $1700 : 10 = 170$
   $170 - 100 = 70$
2. Деление и умножение слева направо:
   $612 : 6 = 102$
   $102 \cdot 5 = 510$
3. Сложение и вычитание слева направо:
   $560 + 510 = 1070$
   $1070 - 70 = 1000$

Таким образом, неравенство принимает вид: $k < 1000$.

Найди наибольшее решение неравенства

Нужно найти наибольшее целое число $k$, которое удовлетворяет условию $k < 1000$. Наибольшим целым числом, которое строго меньше 1000, является 999.

Ответ: 999

Является ли число $999 \frac{99}{99}$ решением этого неравенства?

Сначала преобразуем число $999 \frac{99}{99}$. Дробная часть $\frac{99}{99}$ равна 1.Следовательно, $999 \frac{99}{99} = 999 + \frac{99}{99} = 999 + 1 = 1000$.Теперь подставим это значение в упрощенное неравенство $k < 1000$:$1000 < 1000$.Это неравенство является ложным, так как 1000 не меньше 1000. Значит, число $999 \frac{99}{99}$ не является решением данного неравенства.

Ответ: нет

14 Несколько калуш встретились на опушке. Каждая с каждой поздоровались за лапу. Сколько всего калуш, если было 10 лапо-пожатий?

Пусть $n$ — это искомое количество калуш.

Эта задача является классическим примером задачи о рукопожатиях. Каждая из $n$ калуш здоровается с $(n-1)$ остальными. Если мы перемножим $n$ и $(n-1)$, то каждое лапопожатие будет учтено дважды (например, лапопожатие между первой и второй калушей будет посчитано и для первой, и для второй). Чтобы получить истинное число лапопожатий, результат нужно разделить на 2.

Формула для вычисления общего количества лапопожатий ($K$) при $n$ участниках выглядит следующим образом:

$K = \frac{n(n-1)}{2}$

Согласно условию, общее количество лапопожатий равно 10. Подставим это значение в формулу:

$10 = \frac{n(n-1)}{2}$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Для начала умножим обе части уравнения на 2:

$20 = n(n-1)$

Нам необходимо найти такое натуральное число $n$, чтобы произведение этого числа на предыдущее ему число $(n-1)$ равнялось 20. Можно решить это уравнение подбором:

• Если $n=3$, то $3 \times 2 = 6$ (не подходит).
• Если $n=4$, то $4 \times 3 = 12$ (не подходит).
• Если $n=5$, то $5 \times 4 = 20$ (подходит!).

Таким образом, на опушке было 5 калуш.

Ответ: 5 калуш.

15 Что больше: $\frac{38357}{80357}$ или $\frac{3837937}{6037397}$?

Чтобы сравнить дроби $ \frac{38357}{80357} $ и $ \frac{3837937}{6037397} $, не выполняя сложных вычислений, можно сравнить каждую из них с числом $ \frac{1}{2} $.

1. Сравним первую дробь $ \frac{38357}{80357} $ с $ \frac{1}{2} $.
Для этого достаточно сравнить удвоенный числитель ($ 2 \times 38357 $) со знаменателем ($ 80357 $).
$ 2 \times 38357 = 76714 $.
Так как $ 76714 < 80357 $, то и дробь $ \frac{38357}{80357} < \frac{1}{2} $.

2. Сравним вторую дробь $ \frac{3837937}{6037397} $ с $ \frac{1}{2} $.
Аналогично, сравним удвоенный числитель ($ 2 \times 3837937 $) со знаменателем ($ 6037397 $).
$ 2 \times 3837937 = 7675874 $.
Так как $ 7675874 > 6037397 $, то и дробь $ \frac{3837937}{6037397} > \frac{1}{2} $.

Таким образом, мы получили, что первая дробь меньше $ \frac{1}{2} $, а вторая дробь больше $ \frac{1}{2} $. Из этого следует, что вторая дробь больше первой:$ \frac{38357}{80357} < \frac{1}{2} < \frac{3837937}{6037397} $

Ответ: $ \frac{3837937}{6037397} $.

16 Волшебная страна состоит из Голубой, Фиолетовой, Розовой, Жёлтой стран и Изумрудного города. Известно, что Голубая, Фиолетовая и Розовая страны имеют общую границу с остальными четырьмя частями. Жёлтая страна и Изумрудный город не имеют между собой общей границы, причем Жёлтая страна окружена Великой пустыней, отделяющей Волшебную страну от остального мира. Нарисуй схему этой Волшебной страны, если каждая из стран является целым куском.

Для построения схемы Волшебной страны проанализируем все условия задачи:

• Всего 5 частей: Голубая (Г), Фиолетовая (Ф), Розовая (Р), Жёлтая (Ж) страны и Изумрудный город (И).
• Голубая, Фиолетовая и Розовая страны имеют общую границу с остальными четырьмя частями. Это означает, что каждая из этих трёх стран граничит со всеми остальными. Например, Голубая страна граничит с Фиолетовой, Розовой, Жёлтой и Изумрудным городом.
• Жёлтая страна и Изумрудный город не имеют общей границы. Между ними должна находиться какая-то другая территория.
• Жёлтая страна окружена Великой пустыней, отделяющей Волшебную страну от остального мира. Это делает Жёлтую страну внешней границей всей Волшебной страны.
• Каждая из стран является целым куском.

Исходя из этих условий, можно составить следующую топологическую схему:

1. Поскольку Жёлтая страна и Изумрудный город не граничат, а страны Г, Ф, Р граничат с ними обеими, логично предположить, что именно страны Г, Ф, Р разделяют Жёлтую страну и Изумрудный город.
2. Так как страны Г, Ф, Р должны граничить друг с другом, они должны сходиться в одной точке или по общим линиям.
3. Самая логичная структура, удовлетворяющая всем условиям, — это когда Изумрудный город находится в центре.
4. Вокруг Изумрудного города, как три сектора круга, располагаются Голубая, Фиолетовая и Розовая страны. В таком расположении они все граничат с Изумрудным городом (по внутреннему радиусу) и друг с другом (по боковым сторонам секторов).
5. Вся эта центральная конструкция (Изумрудный город + Г, Ф, Р страны) окружена Жёлтой страной. Таким образом, Жёлтая страна граничит с Голубой, Фиолетовой и Розовой странами (по их внешней границе), но не касается Изумрудного города.
6. Снаружи всё это окружено Великой пустыней.

Схема этой Волшебной страны:

На данной схеме видно, что:

• Голубая, Фиолетовая и Розовая страны граничат с Изумрудным городом, Жёлтой страной и друг с другом.
• Жёлтая страна и Изумрудный город разделены Голубой, Фиолетовой и Розовой странами и не имеют общей границы.
• Жёлтая страна является внешним контуром Волшебной страны и окружена Великой пустыней.

Ответ: Схема представляет собой центральный Изумрудный город, окруженный тремя странами-секторами (Голубой, Фиолетовой, Розовой), которые, в свою очередь, окружены кольцом Жёлтой страны. Вся территория окружена Великой пустыней.