Страница 62, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Изобрази на координатном луче точки A(1) и B(7), если:

а) $e = 2 \text{ см}$;

б) $e = 5 \text{ мм}$.

Найди расстояние между A и B в единичных отрезках, в сантиметрах, в миллиметрах.

Чтобы найти расстояние между точками A(1) и B(7) на координатном луче, сначала определим, сколько единичных отрезков находится между ними. Для этого вычтем из большей координаты меньшую:

$7 - 1 = 6$

Таким образом, расстояние между точками A и B составляет 6 единичных отрезков. Теперь рассчитаем это расстояние в сантиметрах и миллиметрах для каждого случая.

Отметь на координатном луче точки:

а) A(13), B(4), C(7), $D(\frac{1}{2})$, $E(8\frac{1}{2})$, если $e=1 \text{ см}$;

б) $A(\frac{2}{5})$, B(1), $C(2\frac{4}{5})$, $D(3\frac{3}{5})$, $E(4\frac{1}{5})$, если $e=5 \text{ клеток}$;

в) A(4), B(16), C(12), D(20), $E(\frac{1}{2})$, если $e=5 \text{ мм}$;

г) A(10), B(20), C(40), D(120), E(65), если $e=1 \text{ мм}$.

а)Начертим координатный луч с началом в точке 0. Единичный отрезок $e = 1$ см. Чтобы найти положение каждой точки, умножаем её координату на длину единичного отрезка. Точку $A(13)$ отметим на расстоянии $13 \times 1 = 13$ см от начала. Точку $B(4)$ — на расстоянии $4 \times 1 = 4$ см. Точку $C(7)$ — на расстоянии $7 \times 1 = 7$ см. Точку $D(\frac{1}{2})$ — на расстоянии $0.5 \times 1 = 0.5$ см. Точку $E(8\frac{1}{2})$ — на расстоянии $8.5 \times 1 = 8.5$ см. Ответ: Точки A, B, C, D, E располагаются на расстояниях 13 см, 4 см, 7 см, 0.5 см и 8.5 см от начала луча соответственно.

б)Начертим координатный луч с началом в точке 0. Единичный отрезок $e = 5$ клеток. Это означает, что $\frac{1}{5}$ единичного отрезка равна одной клетке. Чтобы найти положение точки, умножаем её координату на 5 клеток. Точку $A(\frac{2}{5})$ отметим на расстоянии $\frac{2}{5} \times 5 = 2$ клетки от начала. Точку $B(1)$ — на расстоянии $1 \times 5 = 5$ клеток. Точку $C(2\frac{4}{5})$, или $C(\frac{14}{5})$, — на расстоянии $\frac{14}{5} \times 5 = 14$ клеток. Точку $D(3\frac{3}{5})$, или $D(\frac{18}{5})$, — на расстоянии $\frac{18}{5} \times 5 = 18$ клеток. Точку $E(4\frac{1}{5})$, или $E(\frac{21}{5})$, — на расстоянии $\frac{21}{5} \times 5 = 21$ клетку. Ответ: Точки A, B, C, D, E располагаются на расстояниях 2, 5, 14, 18 и 21 клетка от начала луча соответственно.

в)Начертим координатный луч с началом в точке 0. Единичный отрезок $e = 5$ мм. Положение каждой точки находим, умножая её координату на 5 мм. Точку $A(4)$ отметим на расстоянии $4 \times 5 = 20$ мм (2 см) от начала. Точку $B(16)$ — на расстоянии $16 \times 5 = 80$ мм (8 см). Точку $C(12)$ — на расстоянии $12 \times 5 = 60$ мм (6 см). Точку $D(20)$ — на расстоянии $20 \times 5 = 100$ мм (10 см). Точку $E(\frac{1}{2})$ — на расстоянии $0.5 \times 5 = 2.5$ мм. Ответ: Точки A, B, C, D, E располагаются на расстояниях 20 мм, 80 мм, 60 мм, 100 мм и 2.5 мм от начала луча соответственно.

г)Начертим координатный луч с началом в точке 0. Единичный отрезок $e = 1$ мм. Расстояние до точки в миллиметрах будет численно равно её координате. Точку $A(10)$ отметим на расстоянии $10 \times 1 = 10$ мм (1 см) от начала. Точку $B(20)$ — на расстоянии $20 \times 1 = 20$ мм (2 см). Точку $C(40)$ — на расстоянии $40 \times 1 = 40$ мм (4 см). Точку $D(120)$ — на расстоянии $120 \times 1 = 120$ мм (12 см). Точку $E(65)$ — на расстоянии $65 \times 1 = 65$ мм (6.5 см). Ответ: Точки A, B, C, D, E располагаются на расстояниях 10 мм, 20 мм, 40 мм, 120 мм и 65 мм от начала луча соответственно.

5 Назови три числа, изображения которых на координатном луче находятся:

а) правее точки $A (25)$;

б) левее точки $B (118)$;

в) правее точки $C (2)$, но левее точки $D (15)$;

г) правее точки $E (7)$, но левее точки $F (8)$.

а) На координатном луче числа увеличиваются слева направо. Точки, расположенные правее точки А(25), соответствуют числам, которые больше 25. Это условие можно записать в виде неравенства: $x > 25$. В качестве примера можно взять любые три числа, удовлетворяющие этому условию, например: 26, 50 и 100.
Ответ: 26, 50, 100.

б) Точки, расположенные левее точки B(118) на координатном луче, соответствуют числам, которые меньше 118. Так как координатный луч начинается с 0, искомые числа должны быть неотрицательными. Таким образом, нам нужно найти три числа $x$, удовлетворяющих двойному неравенству: $0 \le x < 118$. В качестве примера можно взять числа 0, 15 и 117.
Ответ: 0, 15, 117.

в) Найти числа, которые находятся правее точки C(2), но левее точки D(15), означает найти числа, которые лежат между 2 и 15. То есть искомые числа должны быть больше 2, но меньше 15. Это условие записывается в виде двойного неравенства: $2 < x < 15$. Этому условию удовлетворяют, например, целые числа 3, 7 и 14.
Ответ: 3, 7, 14.

г) Найти числа, которые расположены правее точки E(7), но левее точки F(8), означает найти числа, лежащие в интервале между 7 и 8. То есть искомые числа должны быть больше 7, но меньше 8. Это условие записывается в виде двойного неравенства: $7 < x < 8$. В этом промежутке нет целых чисел, поэтому нужно использовать дробные числа. Например, можно взять десятичные дроби 7,1; 7,5 и 7,9.
Ответ: 7,1; 7,5; 7,9.

6 a) Муравей прополз по координатному лучу из точки $A(9)$ три единицы вправо. В какой точке он оказался? Затем он прополз 5 единиц влево. Где он находится теперь? На сколько единиц и в каком направлении надо было ползти муравью, чтобы сразу попасть в эту точку?

б) Муравей вышел из точки $B(4)$ координатного луча, сделал два перемещения по лучу и оказался в точке $C(7)$. Какие это могли быть перемещения?

а)

1. Муравей начинает движение из точки A с координатой 9. Он прополз три единицы вправо. Движение вправо по координатному лучу соответствует увеличению координаты (сложению).

$9 + 3 = 12$

После первого перемещения муравей оказался в точке с координатой 12.

2. Затем из точки 12 он прополз 5 единиц влево. Движение влево соответствует уменьшению координаты (вычитанию).

$12 - 5 = 7$

Теперь муравей находится в точке с координатой 7.

3. Чтобы найти, как муравью попасть из начальной точки A(9) в конечную точку с координатой 7 за один раз, нужно определить расстояние и направление.

Расстояние: $|7 - 9| = |-2| = 2$ единицы.

Направление: так как конечная координата 7 меньше начальной 9, движение должно быть направлено влево.

Ответ: После первого перемещения муравей оказался в точке 12. Теперь он находится в точке 7. Чтобы сразу попасть в эту точку из начальной, ему надо было ползти 2 единицы влево.

б)

Муравей начал движение из точки B(4) и закончил в точке C(7). Общее изменение его положения составляет:

$7 - 4 = 3$

Это означает, что в результате двух перемещений муравей сдвинулся на 3 единицы вправо. Существует бесконечное множество вариантов, как это могло произойти. Вот несколько примеров:

• Оба перемещения вправо: например, 1 единица вправо, а затем 2 единицы вправо.
  Проверка: $4 + 1 = 5$, затем $5 + 2 = 7$.
• Первое перемещение вправо, второе влево: например, 5 единиц вправо, а затем 2 единицы влево.
  Проверка: $4 + 5 = 9$, затем $9 - 2 = 7$.
• Первое перемещение влево, второе вправо: например, 2 единицы влево, а затем 5 единиц вправо.
  Проверка: $4 - 2 = 2$, затем $2 + 5 = 7$.

Ответ: Это могли быть, например, такие перемещения: 1 единица вправо и 2 единицы вправо; или 5 единиц вправо и 2 единицы влево; или 2 единицы влево и 5 единиц вправо.

7 Автомобиль проехал из некоторой точки $D$ координатного луча 6 единиц вправо и оказался в точке $E(17)$. Из какой точки он выехал? Как он должен был перемещаться, чтобы попасть из точки $D$ в точку $F(8)$?

Из какой точки он выехал?

Пусть D — начальная точка с неизвестной координатой $d$. Автомобиль проехал 6 единиц вправо, что на координатном луче соответствует прибавлению 6. Конечной точкой стала E с координатой 17.

Мы можем составить уравнение:

$d + 6 = 17$

Чтобы найти начальную координату $d$, нужно из конечной координаты вычесть пройденное расстояние:

$d = 17 - 6$

$d = 11$

Таким образом, автомобиль выехал из точки D с координатой 11.

Ответ: автомобиль выехал из точки D(11).

Как он должен был перемещаться, чтобы попасть из точки D в точку F(8)?

Нам известно, что начальная точка — это D(11), а конечная — F(8).

Сначала найдем расстояние между точками, для этого найдем модуль разности их координат:

$|11 - 8| = 3$

Расстояние составляет 3 единицы.

Теперь определим направление. Так как координата конечной точки F(8) меньше координаты начальной точки D(11) ($8 < 11$), то движение должно было быть направлено влево по координатному лучу.

Ответ: чтобы попасть из точки D в точку F, автомобиль должен был переместиться на 3 единицы влево.

8 На сколько единиц и в какую сторону надо сместиться, чтобы из точки $M(16)$ попасть в точку с координатой:

а) 14;

б) 22;

в) 12;

г) 6;

д) 21;

е) 0;

ж) 16?

Чтобы определить, на сколько единиц и в какую сторону нужно сместиться из точки $M(16)$, необходимо из координаты конечной точки вычесть координату начальной точки, которая равна 16. Правила смещения следующие:

• Если результат вычитания — положительное число, то смещение происходит вправо (в сторону увеличения координат).
• Если результат вычитания — отрицательное число, то смещение происходит влево (в сторону уменьшения координат).
• Величина смещения равна модулю (абсолютному значению) полученной разности.

а) Чтобы попасть в точку с координатой 14:

Находим разность: $14 - 16 = -2$.
Результат отрицательный, значит, смещаемся влево на 2 единицы.
Ответ: на 2 единицы влево.

б) Чтобы попасть в точку с координатой 22:

Находим разность: $22 - 16 = 6$.
Результат положительный, значит, смещаемся вправо на 6 единиц.
Ответ: на 6 единиц вправо.

в) Чтобы попасть в точку с координатой 12:

Находим разность: $12 - 16 = -4$.
Результат отрицательный, значит, смещаемся влево на 4 единицы.
Ответ: на 4 единицы влево.

г) Чтобы попасть в точку с координатой 6:

Находим разность: $6 - 16 = -10$.
Результат отрицательный, значит, смещаемся влево на 10 единиц.
Ответ: на 10 единиц влево.

д) Чтобы попасть в точку с координатой 21:

Находим разность: $21 - 16 = 5$.
Результат положительный, значит, смещаемся вправо на 5 единиц.
Ответ: на 5 единиц вправо.

е) Чтобы попасть в точку с координатой 0:

Находим разность: $0 - 16 = -16$.
Результат отрицательный, значит, смещаемся влево на 16 единиц.
Ответ: на 16 единиц влево.

ж) Чтобы попасть в точку с координатой 16:

Находим разность: $16 - 16 = 0$.
Результат равен нулю, значит, смещаться не нужно.
Ответ: на 0 единиц (остаться на месте).

3 Какие координаты имеет вершина O координатного угла?

Запиши: $O ( \underline{\quad} ; \underline{\quad} ).$

Координатный угол образуется двумя перпендикулярными осями координат: осью абсцисс (горизонтальная ось $Ox$) и осью ординат (вертикальная ось $Oy$).

Вершина $O$ координатного угла — это точка, в которой эти оси пересекаются. Эта точка называется началом координат.

Положение любой точки на координатной плоскости определяется парой чисел $(x; y)$, которые называются её координатами. Первое число, $x$, — это абсцисса, а второе, $y$, — ордината.

Начало координат является точкой отсчета для обеих осей. Это означает, что для точки $O$ значение на оси абсцисс равно $0$, и значение на оси ординат также равно $0$.

Таким образом, координаты вершины $O$ координатного угла — это $(0; 0)$. Заполняя пропуски в предложенной записи, получаем: O(0; 0).

Ответ: O(0; 0).

4 a) Определи и запиши координаты точек, принадлежащих оси абсцисс.

б) Определи и запиши координаты точек, принадлежащих оси ординат.

$y$ $x$ $O$ $M$ $B$ $F$ $E$ $A$ $D$ $K$ $C$

а) Определи и запиши координаты точек, принадлежащих оси абсцисс.

Ось абсцисс — это горизонтальная ось координат, обозначаемая как $Ox$. У всех точек, которые принадлежат этой оси, вторая координата (ордината) всегда равна нулю.
На представленном графике на оси абсцисс расположены точки A, D, K и C.
Определим их координаты, которые записываются в формате $(x; y)$:
- Точка A находится на оси $Ox$ в значении 3. Её координаты: $A(3; 0)$.
- Точка D находится на оси $Ox$ в значении 6. Её координаты: $D(6; 0)$.
- Точка K находится на оси $Ox$ в значении 7. Её координаты: $K(7; 0)$.
- Точка C находится на оси $Ox$ в значении 9. Её координаты: $C(9; 0)$.
Ответ: $A(3; 0)$, $D(6; 0)$, $K(7; 0)$, $C(9; 0)$.

б) Определи и запиши координаты точек, принадлежащих оси ординат.

Ось ординат — это вертикальная ось координат, обозначаемая как $Oy$. У всех точек, которые принадлежат этой оси, первая координата (абсцисса) всегда равна нулю.
На представленном графике на оси ординат расположены точки E, F, B и M.
Определим их координаты:
- Точка E находится на оси $Oy$ в значении 1. Её координаты: $E(0; 1)$.
- Точка F находится на оси $Oy$ в значении 3. Её координаты: $F(0; 3)$.
- Точка B находится на оси $Oy$ в значении 6. Её координаты: $B(0; 6)$.
- Точка M находится на оси $Oy$ в значении 7. Её координаты: $M(0; 7)$.
Ответ: $E(0; 1)$, $F(0; 3)$, $B(0; 6)$, $M(0; 7)$.

5 Каким координатным осям принадлежат точки $C(1; 0)$, $T(0; 5)$, $K(0; 2)$, $M(4; 0)$, $D(7; 0)$, $F(0; 8)$? Построй эти точки.

Используя координаты на плоскости, можно воспроизводить изображение фигур.

Так, по координатам точек $A_1(2; 0)$, $A_2(2; 5)$, $A_3(5; 5)$, $A_4(4; 4)$, $A_5(5; 3)$, $A_6(2; 3)$ можно восстановить изображение флажка. Для этого достаточно построить эти точки в координатном угле и соединить ломаной $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: определить, на каких координатных осях лежат указанные точки, и построить их на координатной плоскости.

Определение принадлежности точек координатным осям

В прямоугольной системе координат точка с координатами $(x; y)$ принадлежит:

• оси абсцисс (оси $Ox$), если её ордината $y = 0$;
• оси ординат (оси $Oy$), если её абсцисса $x = 0$.

Проанализируем координаты каждой точки:

• Точки $C(1; 0)$, $M(4; 0)$ и $D(7; 0)$ имеют ординату, равную нулю ($y=0$). Следовательно, эти точки принадлежат оси абсцисс ($Ox$).
• Точки $T(0; 5)$, $K(0; 2)$ и $F(0; 8)$ имеют абсциссу, равную нулю ($x=0$). Следовательно, эти точки принадлежат оси ординат ($Oy$).

Построение точек на координатной плоскости

Для построения точек начертим координатную плоскость, состоящую из двух перпендикулярных осей: горизонтальной оси $Ox$ и вертикальной оси $Oy$. Затем отметим на осях заданные точки в соответствии с их координатами.

Ответ: Точки $C(1; 0)$, $M(4; 0)$ и $D(7; 0)$ принадлежат оси абсцисс ($Ox$). Точки $T(0; 5)$, $K(0; 2)$ и $F(0; 8)$ принадлежат оси ординат ($Oy$). Построение точек показано на графике выше.

Верно ли закодировано изображение парусника:

1) $A_1 (1; 2)$, $A_2 (9; 2)$, $A_3 (8; 1)$, $A_4 (3; 1)$, $A_1$;

2) $B_1 (4; 2)$, $B_2 (4; 8)$, $B_3 (8; 3)$, $B_4 (7; 2)$?

1) $A_1(1; 2)$, $A_2(9; 2)$, $A_3(8; 1)$, $A_4(3; 1)$, $A_1$;

Для проверки правильности кодировки корпуса парусника необходимо сопоставить координаты точек из задания с их реальным положением на координатной плоскости. Корпус является замкнутой фигурой (четырехугольником), образованной последовательным соединением точек $A_1, A_2, A_3, A_4$ и возвратом к точке $A_1$.

Проверим координаты каждой вершины:

- Точка $A_1$ на графике имеет координаты $(1; 2)$, что соответствует заданию ($A_1(1; 2)$).

- Точка $A_2$ на графике имеет координаты $(9; 2)$, что соответствует заданию ($A_2(9; 2)$).

- Точка $A_3$ на графике имеет координаты $(8; 1)$, что соответствует заданию ($A_3(8; 1)$).

- Точка $A_4$ на графике имеет координаты $(3; 1)$, что соответствует заданию ($A_4(3; 1)$).

Все координаты вершин указаны верно, и их последовательность правильно описывает замкнутый контур корпуса парусника. Следовательно, данная часть изображения закодирована верно.

Ответ: Да, верно.

2) $B_1(4; 2)$, $B_2(4; 8)$, $B_3(8; 3)$, $B_4(7; 2)$?

Проверим кодировку мачты и паруса. Для этого также сравним заданные координаты с их положением на графике.

Проверим координаты каждой точки:

- Точка $B_1$ (основание мачты) на графике имеет координаты $(4; 2)$, что соответствует заданию ($B_1(4; 2)$).

- Точка $B_2$ (вершина мачты) на графике имеет координаты $(4; 8)$, что соответствует заданию ($B_2(4; 8)$).

- Точка $B_3$ (вершина паруса) на графике имеет координаты $(8; 3)$, что соответствует заданию ($B_3(8; 3)$).

- Точка $B_4$ (вершина паруса) на графике имеет координаты $(7; 2)$, что соответствует заданию ($B_4(7; 2)$).

Хотя координаты всех указанных точек верны, способ кодирования является некорректным. На изображении мачта и парус — это два разных геометрических объекта: отрезок $B_1B_2$ и треугольник $B_2B_3B_4$. Простой список точек $B_1, B_2, B_3, B_4$ не содержит информации о том, как их следует соединять. Если соединять их последовательно, получится ломаная линия $B_1B_2B_3B_4$, которая не совпадает с изображением (например, отсутствует сторона паруса $B_2B_4$). Таким образом, кодировка неполна и неоднозначна, а значит, неверна.

Ответ: Нет, неверно.