Страница 68, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1. Практическая работа.

Вырежи из бумаги прямоугольник со сторонами 4 см и 16 см и согни его пополам. Затем раздели его с помощью перегибания на 4 равные части, на 8 равных частей. Как изменяется каждая часть, когда их число увеличивается?

Для выполнения этого задания представим прямоугольник со сторонами 4 см и 16 см. Его начальная площадь составляет $S_{общ} = 4 \text{ см} \times 16 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$.

Деление на 2 равные части (согнуть пополам)
Когда мы сгибаем прямоугольник пополам, мы делаем это вдоль длинной стороны (16 см). В результате сторона длиной 16 см делится на 2, а сторона 4 см остается неизменной. Мы получаем два одинаковых прямоугольника со сторонами 4 см и $16 \div 2 = 8$ см. Площадь каждой из этих двух частей равна $S_2 = 4 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 32 \text{ см}^2$. Это половина от общей площади: $64 \text{ см}^2 \div 2 = 32 \text{ см}^2$.
Ответ: Каждая из двух частей является прямоугольником со сторонами 4 см и 8 см, ее площадь 32 см².

Деление на 4 равные части
Теперь мы берем уже сложенный прямоугольник (4 см на 8 см) и снова сгибаем его пополам вдоль его длинной стороны (8 см). Сторона 8 см делится на 2, и мы получаем прямоугольник со сторонами 4 см и $8 \div 2 = 4$ см. То есть, получается квадрат. В развернутом виде мы имеем 4 одинаковые части, каждая из которых является квадратом со сторонами 4 см на 4 см. Площадь каждой из этих четырех частей равна $S_4 = 4 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 16 \text{ см}^2$. Это четверть от общей площади: $64 \text{ см}^2 \div 4 = 16 \text{ см}^2$.
Ответ: Каждая из четырех частей является квадратом со сторонами 4 см на 4 см, ее площадь 16 см².

Деление на 8 равных частей
Продолжаем процесс и сгибаем полученный квадрат (4 см на 4 см) еще раз пополам. Одна из сторон длиной 4 см делится на 2, а другая остается неизменной. Мы получаем прямоугольник со сторонами 4 см и $4 \div 2 = 2$ см. В развернутом виде мы имеем 8 одинаковых частей, каждая из которых является прямоугольником со сторонами 2 см на 4 см. Площадь каждой из этих восьми частей равна $S_8 = 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$. Это одна восьмая от общей площади: $64 \text{ см}^2 \div 8 = 8 \text{ см}^2$.
Ответ: Каждая из восьми частей является прямоугольником со сторонами 2 см на 4 см, ее площадь 8 см².

Как изменяется каждая часть, когда их число увеличивается?
При увеличении количества равных частей, на которые делится исходный прямоугольник, площадь каждой отдельной части уменьшается.

• При 2 частях, площадь каждой - 32 см².
• При 4 частях, площадь каждой - 16 см².
• При 8 частях, площадь каждой - 8 см².

Зависимость обратно пропорциональная: во сколько раз увеличивается количество частей, во столько же раз уменьшается площадь каждой части. Если количество частей равно $n$, то площадь одной части равна $S_{части} = S_{общ} \div n$.
Ответ: С увеличением числа частей, размер (площадь) каждой отдельной части пропорционально уменьшается.

2 Сравни доли:

$\frac{1}{6} \quad \frac{1}{5}$; $\frac{1}{15} \quad \frac{1}{20}$; $\frac{1}{480} \quad \frac{1}{408}$; $\frac{1}{601} \quad \frac{1}{610}$.

$\frac{1}{6} \square \frac{1}{5}$
Для сравнения двух дробей с одинаковыми числителями (в данном случае 1) необходимо сравнить их знаменатели. Та дробь будет больше, у которой знаменатель меньше, и наоборот, та дробь будет меньше, у которой знаменатель больше.
Сравним знаменатели данных дробей: 6 и 5.
$6 > 5$
Поскольку знаменатель 6 больше знаменателя 5, то дробь $\frac{1}{6}$ меньше дроби $\frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{6} < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{15} \square \frac{1}{20}$
Применяем правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: чем меньше знаменатель, тем больше дробь.
Сравниваем знаменатели: 15 и 20.
$15 < 20$
Так как знаменатель 15 меньше знаменателя 20, то дробь $\frac{1}{15}$ больше дроби $\frac{1}{20}$.
Ответ: $\frac{1}{15} > \frac{1}{20}$

$\frac{1}{480} \square \frac{1}{408}$
Обе дроби имеют числитель, равный 1. Сравниваем их знаменатели, чтобы определить, какая дробь больше.
Сравниваем знаменатели: 480 и 408.
$480 > 408$
Поскольку знаменатель 480 больше знаменателя 408, то дробь $\frac{1}{480}$ меньше дроби $\frac{1}{408}$.
Ответ: $\frac{1}{480} < \frac{1}{408}$

$\frac{1}{601} \square \frac{1}{610}$
Используем правило: из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше.
Сравниваем знаменатели: 601 и 610.
$601 < 610$
Так как знаменатель 601 меньше знаменателя 610, то дробь $\frac{1}{601}$ больше дроби $\frac{1}{610}$.
Ответ: $\frac{1}{601} > \frac{1}{610}$

3 Для каких значений переменной $x$ верно неравенство:

a) $\frac{1}{x} \le \frac{1}{7}$;

б) $\frac{1}{6} \le \frac{1}{x} < \frac{1}{3}$?

а)

Дано неравенство: $\frac{1}{x} \le \frac{1}{7}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \ne 0$.

Для решения неравенства перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{7} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{7 - x}{7x} \le 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $7 - x = 0 \implies x = 7$.

Нуль знаменателя: $7x = 0 \implies x = 0$.

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 7)$ и $(7, +\infty)$. Определим знак дроби $\frac{7-x}{7x}$ на каждом из них, выбрав пробную точку.

1. При $x < 0$ (например, $x = -1$): $\frac{7 - (-1)}{7(-1)} = \frac{8}{-7} < 0$. Неравенство выполняется.

2. При $0 < x < 7$ (например, $x = 1$): $\frac{7 - 1}{7(1)} = \frac{6}{7} > 0$. Неравенство не выполняется.

3. При $x > 7$ (например, $x = 10$): $\frac{7 - 10}{7(10)} = \frac{-3}{70} < 0$. Неравенство выполняется.

Также необходимо учесть граничные точки. Точка $x=0$ не входит в решение, так как знаменатель обращается в ноль. Точка $x=7$ входит в решение, так как неравенство нестрогое ($\le$) и при $x=7$ выражение равно нулю ($\frac{0}{49} = 0$), что удовлетворяет условию $0 \le 0$.

Объединяя результаты, получаем, что неравенство верно при $x < 0$ и при $x \ge 7$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [7, +\infty)$.

б)

Дано двойное неравенство: $\frac{1}{6} \le \frac{1}{x} < \frac{1}{3}$.

Заметим, что все части этого неравенства являются положительными числами. Из левой части $\frac{1}{6} \le \frac{1}{x}$ следует, что $\frac{1}{x}$ должно быть положительным, так как оно больше или равно положительному числу $\frac{1}{6}$.

Если $\frac{1}{x} > 0$, то и сама переменная $x$ должна быть положительной, то есть $x > 0$.

Для положительных чисел $a$ и $b$ верно, что если $a \le b$, то $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}$. Используя это свойство для положительных $x$, мы можем "перевернуть" все дроби в двойном неравенстве, изменив знаки неравенства на противоположные:

$6 \ge x > 3$

Это равносильно стандартной записи $3 < x \le 6$.

Таким образом, решением является интервал от 3 (не включая) до 6 (включая).

Ответ: $x \in (3, 6]$.

4. a) Расположи по возрастанию числа: $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{15}$.

б) Расположи по убыванию числа: $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{25}$, $\frac{1}{3}$.

а) Для того чтобы расположить дроби с одинаковыми числителями по возрастанию (от наименьшего к наибольшему), нужно сравнить их знаменатели. Правило сравнения гласит: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Таким образом, чтобы упорядочить дроби по возрастанию, их знаменатели следует расположить в порядке убывания.

Исходные числа: $\frac{1}{7}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \frac{1}{15}$.

Знаменатели этих дробей: 7, 5, 3, 12, 10, 15.

Расположим знаменатели в порядке убывания (от большего к меньшему): 15, 12, 10, 7, 5, 3.

Соответственно, дроби в порядке возрастания будут расположены так:

$\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \frac{1}{7}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \frac{1}{7}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3}$.

б) Для того чтобы расположить дроби с одинаковыми числителями по убыванию (от наибольшего к наименьшему), нужно применить то же правило. Дробь будет тем больше, чем меньше её знаменатель. Следовательно, чтобы упорядочить дроби по убыванию, их знаменатели следует расположить в порядке возрастания.

Исходные числа: $\frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{2}, \frac{1}{25}, \frac{1}{3}$.

Знаменатели этих дробей: 9, 16, 4, 8, 2, 25, 3.

Расположим знаменатели в порядке возрастания (от меньшего к большему): 2, 3, 4, 8, 9, 16, 25.

Соответственно, дроби в порядке убывания будут расположены так:

$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}$.

5) a) Единичный отрезок разделен на 10 равных частей. Сколько таких частей содержат доли $1/10$, $1/5$, $1/2$? Отметь указанные доли на числовом луче.

б) Отметь на числовом луче доли $1/6$, $1/3$, $1/2$.

По условию, единичный отрезок (от 0 до 1) разделен на 10 равных частей. Это значит, что каждая такая часть составляет $\frac{1}{10}$ отрезка. Найдем, сколько таких частей содержится в указанных долях.

• Доля $\frac{1}{10}$ по определению содержит 1 такую часть.

• Чтобы найти, сколько десятых долей в дроби $\frac{1}{5}$, приведем ее к знаменателю 10: $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 2}{5 \times 2} = \frac{2}{10}$. Следовательно, доля $\frac{1}{5}$ содержит 2 части по $\frac{1}{10}$.

• Аналогично для дроби $\frac{1}{2}$: приведем ее к знаменателю 10: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$. Следовательно, доля $\frac{1}{2}$ содержит 5 частей по $\frac{1}{10}$.

Отметим эти доли на числовом луче. $\frac{1}{10}$ — это первая отметка после нуля, $\frac{1}{5}$ — вторая, а $\frac{1}{2}$ — пятая.

Ответ: Доли $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{2}$ содержат 1, 2 и 5 частей соответственно. Расположение долей показано на числовом луче.

Чтобы отметить доли $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$ на числовом луче, удобно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6, 3 и 2 — это 6. Разделим единичный отрезок (от 0 до 1) на 6 равных частей.

• Доля $\frac{1}{6}$ будет соответствовать первой отметке.

• Приведем долю $\frac{1}{3}$ к знаменателю 6: $\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$. Эта доля будет соответствовать второй отметке.

• Приведем долю $\frac{1}{2}$ к знаменателю 6: $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$. Эта доля будет соответствовать третьей отметке.

Отметим эти доли на числовом луче:

Ответ: Расположение долей показано на числовом луче выше.

13 Викторина «В мире животных».

Миллионы лет тому назад на Земле жили динозавры. Они были и небольших размеров, с кошку, и гигантские — до 30–50 м длины и 50 т веса. Виды их были самыми разными. Большинство их вымерло. Их потомками сегодня являются некоторые птицы и крокодилы. Расшифруй название одного из видов динозавров.

$20 : 5 + 17$

$(100 - 30) \cdot 6 : 10$

$42 - 6 \cdot 4$

$25 + 15 \cdot 4 - 23$

$64 : 8 \cdot 10$

$(254 + 42 - 200) : 6$

$318 + 490 : 70$

$(1000 - 600) : 5 - 35$

$500 - 9 \cdot 40$

$(679 - 71 - 400) : 4$

18 62 325 45 80 42 52 21 140 16

Для того чтобы расшифровать название, необходимо решить каждый пример. Каждой букве соответствует результат вычислений. Затем нужно подставить буквы в таблицу в соответствии с числами, чтобы получить слово.

A
$20 : 5 + 17$
1. Выполняем деление: $20 : 5 = 4$.
2. Выполняем сложение: $4 + 17 = 21$.
Ответ: 21

О
$(100 - 30) \cdot 6 : 10$
1. Выполняем действие в скобках: $100 - 30 = 70$.
2. Выполняем умножение: $70 \cdot 6 = 420$.
3. Выполняем деление: $420 : 10 = 42$.
Ответ: 42

П
$42 - 6 \cdot 4$
1. Выполняем умножение: $6 \cdot 4 = 24$.
2. Выполняем вычитание: $42 - 24 = 18$.
Ответ: 18

Е
$25 + 15 \cdot 4 - 23$
1. Выполняем умножение: $15 \cdot 4 = 60$.
2. Выполняем сложение: $25 + 60 = 85$.
3. Выполняем вычитание: $85 - 23 = 62$.
Ответ: 62

К
$64 : 8 \cdot 10$
1. Выполняем деление: $64 : 8 = 8$.
2. Выполняем умножение: $8 \cdot 10 = 80$.
Ответ: 80

Р
$(254 + 42 - 200) : 6$
1. Выполняем сложение в скобках: $254 + 42 = 296$.
2. Выполняем вычитание в скобках: $296 - 200 = 96$.
3. Выполняем деление: $96 : 6 = 16$.
Ответ: 16

Л
$318 + 490 : 70$
1. Выполняем деление: $490 : 70 = 7$.
2. Выполняем сложение: $318 + 7 = 325$.
Ответ: 325

И
$(1000 - 600) : 5 - 35$
1. Выполняем действие в скобках: $1000 - 600 = 400$.
2. Выполняем деление: $400 : 5 = 80$.
3. Выполняем вычитание: $80 - 35 = 45$.
Ответ: 45

В
$500 - 9 \cdot 40$
1. Выполняем умножение: $9 \cdot 40 = 360$.
2. Выполняем вычитание: $500 - 360 = 140$.
Ответ: 140

З
$(679 - 71 - 400) : 4$
1. Выполняем первое вычитание в скобках: $679 - 71 = 608$.
2. Выполняем второе вычитание в скобках: $608 - 400 = 208$.
3. Выполняем деление: $208 : 4 = 52$.
Ответ: 52

Теперь сопоставим полученные результаты с числами в таблице и подставим соответствующие буквы:

18 → П
62 → Е
325 → Л
45 → И
80 → К
42 → О
52 → З
21 → А
140 → В
16 → Р

Собрав все буквы в указанном порядке, мы получаем название животного: ПЕЛИКОЗАВР.

Ответ: Пеликозавр.

14 Найди множество значений переменной $a$, при которых дробь $\frac{a}{12}$ будет правильной, а дробь $\frac{a}{5}$ — неправильной.

Чтобы найти искомое множество значений переменной $a$, необходимо рассмотреть два условия, которым она должна удовлетворять одновременно. Предполагается, что $a$ является натуральным числом.

Первое условие: дробь $\frac{a}{12}$ должна быть правильной. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Таким образом, должно выполняться неравенство: $a < 12$.

Второе условие: дробь $\frac{a}{5}$ должна быть неправильной. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Таким образом, должно выполняться неравенство: $a \ge 5$.

Теперь объединим оба условия. Нам нужно найти все натуральные числа $a$, которые одновременно больше или равны 5 и меньше 12. Это можно записать в виде двойного неравенства: $5 \le a < 12$.

Перечислим все целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству: $5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$.

Это и есть искомое множество значений для переменной $a$.

Ответ: {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.

15 Составь программу действий и вычисли:

a) $13\ 056 : 32 \cdot 704 + (4301 - 3783) - (2378 + 12\ 622) : 300$;

б) $(14\ 242 - 97) : 69 - 520 \cdot 75 : 1000 + (1\ 000\ 000 - 968 \cdot 638)$.

а) $13056 : 32 \cdot 704 + (4301 - 3783) - (2378 + 12622) : 300$

Составим программу действий и выполним вычисления по порядку:

1. Выполним действие в первой скобке: $4301 - 3783 = 518$.
2. Выполним действие во второй скобке: $2378 + 12622 = 15000$.
3. Выполним деление: $13056 : 32 = 408$.
4. Выполним умножение: $408 \cdot 704 = 287232$.
5. Выполним деление результата из второй скобки: $15000 : 300 = 50$.
6. Выполним сложение: $287232 + 518 = 287750$.
7. Выполним вычитание: $287750 - 50 = 287700$.

Запишем итоговое выражение: $287232 + 518 - 50 = 287700$.

Ответ: $287700$.

б) $(14242 - 97) : 69 - 520 \cdot 75 : 1000 + (1000000 - 968 \cdot 638)$

Составим программу действий и выполним вычисления по порядку:

1. Выполним действие в первой скобке: $14242 - 97 = 14145$.
2. Во второй скобке сначала выполним умножение: $968 \cdot 638 = 617584$.
3. Затем выполним вычитание во второй скобке: $1000000 - 617584 = 382416$.
4. Выполним деление результата из первой скобки: $14145 : 69 = 205$.
5. Выполним умножение: $520 \cdot 75 = 39000$.
6. Выполним деление: $39000 : 1000 = 39$.
7. Теперь подставим все полученные значения в исходное выражение и решим его: $205 - 39 + 382416$.
8. Выполним вычитание: $205 - 39 = 166$.
9. Выполним сложение: $166 + 382416 = 382582$.

Запишем итоговое выражение: $205 - 39 + 382416 = 382582$.

Ответ: $382582$.

16 Старинная задача.

В классе учатся 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (Предполагается, что у каждого ученика по 32 зуба.)

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $М$ – это количество мальчиков в классе, а $Д$ – количество девочек.

Из условия известно, что всего в классе 13 детей. На основе этого составим первое уравнение:
$М + Д = 13$

Также в условии сказано, что у каждого ученика по 32 зуба. Значит, общее количество зубов у всех мальчиков равно $32 \times М$.

У каждого человека 10 пальцев на руках и 10 пальцев на ногах, то есть всего 20 пальцев. Следовательно, общее количество пальцев на руках и ногах у всех девочек равно $20 \times Д$.

По условию, общее количество зубов у мальчиков равно общему количеству пальцев у девочек. На основе этого составим второе уравнение:
$32М = 20Д$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $М + Д = 13$
2) $32М = 20Д$

Из первого уравнения выразим $Д$ через $М$:
$Д = 13 - М$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$32М = 20 \times (13 - М)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти количество мальчиков ($М$):
$32М = 260 - 20М$
$32М + 20М = 260$
$52М = 260$
$М = \frac{260}{52}$
$М = 5$

Таким образом, мы нашли, что в классе 5 мальчиков.

Теперь найдем количество девочек, подставив полученное значение $М$ в первое уравнение:
$Д = 13 - М$
$Д = 13 - 5$
$Д = 8$

Следовательно, в классе 8 девочек.

Проверим правильность решения:
Общее количество зубов у 5 мальчиков: $5 \times 32 = 160$.
Общее количество пальцев у 8 девочек: $8 \times 20 = 160$.
$160 = 160$, что соответствует условию задачи.
Общее число детей: $5 \text{ (мальчиков)} + 8 \text{ (девочек)} = 13$. Это также соответствует условию.

Ответ: в классе 5 мальчиков и 8 девочек.

17* Продолжи ряд на 4 числа, сохраняя закономерность:

7, 1, 49, 2, 343, 3, ...

Для решения задачи необходимо найти закономерность в представленной последовательности чисел. Данный ряд можно рассматривать как две чередующиеся последовательности.

1. Последовательность чисел на нечетных местах: 7, 49, 343, ...

Члены этой последовательности являются степенями числа 7. Каждый следующий член получается умножением предыдущего на 7.
Первый член: $7 = 7^1$
Третий член: $49 = 7 \times 7 = 7^2$
Пятый член: $343 = 49 \times 7 = 7^3$
Следовательно, следующие два члена этой последовательности будут:
Седьмой член: $7^4 = 343 \times 7 = 2401$
Девятый член: $7^5 = 2401 \times 7 = 16807$

2. Последовательность чисел на четных местах: 1, 2, 3, ...

Эта последовательность представляет собой ряд натуральных чисел, начиная с 1. Каждый следующий член увеличивается на 1.
Следующие два члена этой последовательности будут:
Восьмой член: $3 + 1 = 4$
Десятый член: $4 + 1 = 5$

Продолжение исходного ряда на 4 числа:

Теперь объединим найденные члены обеих последовательностей в исходный ряд:
Исходный ряд: 7, 1, 49, 2, 343, 3, ...
Следующее число (седьмое) берется из первой последовательности — это 2401.
Следующее число (восьмое) берется из второй последовательности — это 4.
Следующее число (девятое) берется из первой последовательности — это 16807.
Следующее число (десятое) берется из второй последовательности — это 5.
Таким образом, продолжение ряда на 4 числа выглядит так: 2401, 4, 16807, 5.

Ответ: 2401, 4, 16807, 5.

8 Придумай задачу по схеме и реши её. Составь и реши одну из задач, обратных данной. Сколько для неё можно составить обратных задач?

4 км/ч 15 км/ч

57 км $t_{\text{встр.}} = ?$

Обратная задача:

Придумай задачу по схеме и реши её.

Задача: Из двух посёлков, расстояние между которыми 57 км, одновременно навстречу друг другу вышли пешеход и выехал велосипедист. Скорость пешехода 4 км/ч, а скорость велосипедиста 15 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

1. Найдём скорость сближения пешехода и велосипедиста. Для этого сложим их скорости:

$v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 15 \text{ км/ч} = 19 \text{ км/ч}$

2. Найдём время, через которое они встретятся. Для этого разделим расстояние на скорость сближения:

$t = S / v_{сбл.} = 57 \text{ км} / 19 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: пешеход и велосипедист встретятся через 3 часа.

Составь и реши одну из задач, обратных данной.

Обратная задача: Из двух посёлков одновременно навстречу друг другу вышли пешеход и выехал велосипедист и встретились через 3 часа. Скорость пешехода была 4 км/ч, а скорость велосипедиста – 15 км/ч. Какое расстояние было между посёлками?

Решение:

1. Найдём скорость сближения пешехода и велосипедиста:

$v_{сбл.} = v_1 + v_2 = 4 \text{ км/ч} + 15 \text{ км/ч} = 19 \text{ км/ч}$

2. Найдём расстояние между посёлками. Для этого умножим скорость сближения на время в пути:

$S = v_{сбл.} \times t = 19 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 57 \text{ км}$

Ответ: расстояние между посёлками было 57 км.

Сколько для неё можно составить обратных задач?

В исходной задаче известны три величины (расстояние $S$, скорость первого объекта $v_1$, скорость второго объекта $v_2$) и одна неизвестная (время $t$). Обратная задача — это задача, в которой искомое из прямой задачи ($t$) становится известным, а одна из известных величин ($S$, $v_1$ или $v_2$) — неизвестной. Поскольку в исходных данных три числовых значения, можно составить три обратные задачи:

1. Найти расстояние $S$.
2. Найти скорость первого объекта $v_1$.
3. Найти скорость второго объекта $v_2$.

Ответ: для данной задачи можно составить 3 обратные задачи.

9 Из деревни в город выехал велосипедист со скоростью $250 \text{ м/мин}$. Через $10 \text{ мин}$ вслед за ним выехал автобус со скоростью $750 \text{ м/мин}$.

a) Через сколько времени автобус догонит велосипедиста?

б) На каком расстоянии от деревни произойдёт встреча?

в) Какое расстояние будет между велосипедистом и автобусом через $8 \text{ мин}$ после встречи?

а) Через сколько времени автобус догонит велосипедиста?

1. Сначала найдем, какое расстояние проехал велосипедист за 10 минут, пока автобус стоял. Это расстояние и будет начальной дистанцией между ними в момент старта автобуса.

Расстояние = скорость × время

$S_{форы} = 250 \text{ м/мин} \cdot 10 \text{ мин} = 2500 \text{ м}$.

2. Автобус догоняет велосипедиста. Найдем скорость сближения. Поскольку они движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей.

$v_{сближения} = v_{автобуса} - v_{велосипедиста} = 750 \text{ м/мин} - 250 \text{ м/мин} = 500 \text{ м/мин}$.

3. Теперь, зная расстояние между ними и скорость сближения, найдем время, за которое автобус покроет это расстояние и догонит велосипедиста.

Время = расстояние / скорость

$t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сближения}} = \frac{2500 \text{ м}}{500 \text{ м/мин}} = 5 \text{ мин}$.

Ответ: автобус догонит велосипедиста через 5 минут после своего выезда.

б) На каком расстоянии от деревни произойдёт встреча?

Чтобы найти расстояние от деревни до места встречи, нужно умножить скорость автобуса на время его движения до встречи (которое мы нашли в пункте а).

$S_{встречи} = v_{автобуса} \cdot t_{встречи} = 750 \text{ м/мин} \cdot 5 \text{ мин} = 3750 \text{ м}$.

Для проверки можно рассчитать это же расстояние для велосипедиста. Он был в пути 10 минут до выезда автобуса и еще 5 минут, пока автобус его догонял. Общее время в пути для велосипедиста: $10 + 5 = 15$ минут.

$S_{встречи} = v_{велосипедиста} \cdot (10 \text{ мин} + 5 \text{ мин}) = 250 \text{ м/мин} \cdot 15 \text{ мин} = 3750 \text{ м}$.

Результаты совпадают. 3750 м это 3 км 750 м.

Ответ: встреча произойдёт на расстоянии 3750 м (или 3 км 750 м) от деревни.

в) Какое расстояние будет между велосипедистом и автобусом через 8 мин после встречи?

1. После встречи автобус продолжит движение с большей скоростью и будет удаляться от велосипедиста. Скорость удаления равна разности их скоростей (так же, как и скорость сближения).

$v_{удаления} = v_{автобуса} - v_{велосипедиста} = 750 \text{ м/мин} - 250 \text{ м/мин} = 500 \text{ м/мин}$.

2. Чтобы найти, на какое расстояние автобус уедет от велосипедиста за 8 минут, нужно скорость удаления умножить на это время.

$S_{удаления} = v_{удаления} \cdot t = 500 \text{ м/мин} \cdot 8 \text{ мин} = 4000 \text{ м}$.

4000 м это 4 км.

Ответ: через 8 мин после встречи расстояние между ними будет 4000 м (или 4 км).

10 Составь выражение и найди его значение:

а) Из $16\frac{4}{9}$ вычесть сумму чисел $3\frac{7}{9}$ и $8\frac{8}{9}$.

б) Из разности чисел $12\frac{1}{18}$ и $7\frac{5}{18}$ вычесть $2\frac{17}{18}$.

а)

Составим математическое выражение согласно условию: из числа $16\frac{4}{9}$ нужно вычесть сумму чисел $3\frac{7}{9}$ и $8\frac{8}{9}$. Сумму чисел запишем в скобках.

Выражение: $16\frac{4}{9} - (3\frac{7}{9} + 8\frac{8}{9})$.

Решим его по действиям.

1. Сначала выполним сложение в скобках. Сложим целые и дробные части по отдельности:

$3\frac{7}{9} + 8\frac{8}{9} = (3+8) + (\frac{7}{9} + \frac{8}{9}) = 11 + \frac{15}{9}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{15}{9}$ в смешанное число: $\frac{15}{9} = 1\frac{6}{9}$.

Теперь сложим результат с целой частью: $11 + 1\frac{6}{9} = 12\frac{6}{9}$.

2. Теперь выполним вычитание:

$16\frac{4}{9} - 12\frac{6}{9}$

Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{4}{9}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{6}{9}$), необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого.

$16\frac{4}{9} = 15 + 1 + \frac{4}{9} = 15 + \frac{9}{9} + \frac{4}{9} = 15\frac{13}{9}$

Теперь произведем вычитание:

$15\frac{13}{9} - 12\frac{6}{9} = (15-12) + (\frac{13}{9} - \frac{6}{9}) = 3 + \frac{7}{9} = 3\frac{7}{9}$

Ответ: $3\frac{7}{9}$.

б)

Составим выражение на основе условия: "Из разности чисел $12\frac{1}{18}$ и $7\frac{5}{18}$ вычесть $2\frac{17}{18}$". Разность чисел запишем в скобках.

Выражение: $(12\frac{1}{18} - 7\frac{5}{18}) - 2\frac{17}{18}$.

Решим его по действиям.

1. Первым действием выполним вычитание в скобках:

$12\frac{1}{18} - 7\frac{5}{18}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{18}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{5}{18}$), поэтому "займем" единицу у целой части.

$12\frac{1}{18} = 11 + 1 + \frac{1}{18} = 11 + \frac{18}{18} + \frac{1}{18} = 11\frac{19}{18}$

Теперь вычитаем:

$11\frac{19}{18} - 7\frac{5}{18} = (11-7) + (\frac{19}{18} - \frac{5}{18}) = 4 + \frac{14}{18} = 4\frac{14}{18}$

2. Вторым действием выполним оставшееся вычитание:

$4\frac{14}{18} - 2\frac{17}{18}$

Снова дробная часть уменьшаемого ($\frac{14}{18}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{17}{18}$). Займем единицу у целой части.

$4\frac{14}{18} = 3 + 1 + \frac{14}{18} = 3 + \frac{18}{18} + \frac{14}{18} = 3\frac{32}{18}$

Теперь вычитаем:

$3\frac{32}{18} - 2\frac{17}{18} = (3-2) + (\frac{32}{18} - \frac{17}{18}) = 1 + \frac{15}{18} = 1\frac{15}{18}$

Сократим дробную часть полученного числа, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{15}{18} = \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6}$

Таким образом, итоговый результат равен $1\frac{5}{6}$.

Ответ: $1\frac{5}{6}$.

11. В одной коробке было $12\frac{3}{10}$ кг конфет, а в другой 14 кг. После продажи в первой коробке осталось $3\frac{7}{10}$ кг конфет, а во второй — $5\frac{9}{10}$ кг. Из какой коробки продано больше конфет и на сколько?

Для ответа на вопрос задачи нужно последовательно выполнить несколько действий.

1. Вычислим, сколько килограммов конфет продали из первой коробки.

Для этого необходимо из начального количества конфет в первой коробке вычесть количество оставшихся конфет.

$12\frac{3}{10} - 3\frac{7}{10} = 11\frac{13}{10} - 3\frac{7}{10} = (11-3) + (\frac{13}{10} - \frac{7}{10}) = 8\frac{6}{10}$ кг.

Таким образом, из первой коробки продали $8\frac{6}{10}$ кг конфет.

2. Вычислим, сколько килограммов конфет продали из второй коробки.

Аналогично, из начального количества конфет во второй коробке вычтем количество оставшихся.

$14 - 5\frac{9}{10} = 13\frac{10}{10} - 5\frac{9}{10} = (13-5) + (\frac{10}{10} - \frac{9}{10}) = 8\frac{1}{10}$ кг.

Таким образом, из второй коробки продали $8\frac{1}{10}$ кг конфет.

3. Сравним количество проданных конфет и найдем разницу.

Теперь сравним количество конфет, проданных из первой и второй коробок: $8\frac{6}{10}$ кг и $8\frac{1}{10}$ кг.

Поскольку целые части дробей одинаковы (8), сравниваем их дробные части: $\frac{6}{10} > \frac{1}{10}$.

Это означает, что $8\frac{6}{10} > 8\frac{1}{10}$, следовательно, из первой коробки продали больше конфет.

Найдем, на сколько больше конфет продали из первой коробки, чем из второй:

$8\frac{6}{10} - 8\frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ кг.

Ответ: Из первой коробки продано больше конфет на $\frac{1}{2}$ кг.

12 a) $1200352 - (367120 : 520 - 98) \cdot 480 - 480238 : (6838 : 13);$

б) $56350 : 7 \cdot 703 + 340850 - (976 \cdot 674 - 798 \cdot 309) : 26 \cdot 205.$

*

a) $1\ 200\ 352 - (367\ 120 : 520 - 98) \cdot 480 - 480\ 238 : (6838 : 13)$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций. Порядок действий следующий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление (в порядке их следования слева направо), и в конце — вычитание (также слева направо).

1. Вычислим значение в первых скобках $(367\ 120 : 520 - 98)$.
- Сначала деление: $367\ 120 : 520 = 706$.
- Затем вычитание: $706 - 98 = 608$.

2. Вычислим значение во вторых скобках $(6838 : 13)$.
- $6838 : 13 = 526$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$1\ 200\ 352 - 608 \cdot 480 - 480\ 238 : 526$

4. Теперь выполним умножение и деление слева направо.
- Умножение: $608 \cdot 480 = 291\ 840$.
- Деление: $480\ 238 : 526 = 913$.

5. Снова подставим результаты в выражение:
$1\ 200\ 352 - 291\ 840 - 913$

6. Выполним вычитание слева направо.
- $1\ 200\ 352 - 291\ 840 = 908\ 512$.
- $908\ 512 - 913 = 907\ 599$.

Ответ: 907 599

б) $56\ 350 : 7 \cdot 703 + 340\ 850 - (976 \cdot 674 - 798 \cdot 309) : 26 \cdot 205$

Решаем, соблюдая установленный порядок действий: сначала вычисляем значение в скобках, затем выполняем умножение и деление по порядку слева направо, и в последнюю очередь — сложение и вычитание, также слева направо.

1. Вычислим значение выражения в скобках $(976 \cdot 674 - 798 \cdot 309)$.
- Первое умножение: $976 \cdot 674 = 657\ 824$.
- Второе умножение: $798 \cdot 309 = 246\ 582$.
- Вычитание: $657\ 824 - 246\ 582 = 411\ 242$.

2. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$56\ 350 : 7 \cdot 703 + 340\ 850 - 411\ 242 : 26 \cdot 205$

3. Теперь выполним операции умножения и деления в порядке их следования.
- Первое деление: $56\ 350 : 7 = 8050$.
- Далее умножение: $8050 \cdot 703 = 5\ 659\ 150$.
- Деление после скобок: $411\ 242 : 26 = 15\ 817$.
- Последнее умножение: $15\ 817 \cdot 205 = 3\ 242\ 485$.

4. Подставим результаты в выражение, которое теперь содержит только сложение и вычитание:
$5\ 659\ 150 + 340\ 850 - 3\ 242\ 485$

5. Выполним действия слева направо.
- Сложение: $5\ 659\ 150 + 340\ 850 = 6\ 000\ 000$.
- Вычитание: $6\ 000\ 000 - 3\ 242\ 485 = 2\ 757\ 515$.

Ответ: 2 757 515

13 Арифметический ребус «Звёздочка».

В ребусе цифры зашифрованы буквами.

Разным цифрам соответствуют разные буквы, одинаковым — одинаковые.

Запиши и прочитай число, соответствующее слову ЗВЁЗДОЧКА.

$3 + \text{В} = \text{Ё}$

$\quad \times \quad \times$

$3 \quad \text{Д} = \text{О}$

$\rule{2.5cm}{0.4pt}$

$\text{Ч} - \text{К} = \text{А}$

Для решения данного арифметического ребуса необходимо найти числовые значения для букв в слове ЗВЁЗДОЧКА. Каждая буква соответствует уникальной цифре от 0 до 9. Разным буквам соответствуют разные цифры. Цифра 3 уже использована в условии.

1. Анализ условий и составление системы уравнений

Ребус можно представить в виде сетки 3x3, где действуют как горизонтальные, так и вертикальные математические операции. Исходя из расположения знаков, мы можем составить систему из шести уравнений:

• Горизонтальные уравнения:
  1. $3 + В = Ё$
  2. $З \times Д = О$
  3. $Ч - К = А$
• Вертикальные уравнения:
  1. $3 \times З = Ч$
  2. $В \times Д = К$
  3. $Ё - О = А$

Все буквы (А, В, Д, Ё, З, К, О, Ч) должны быть разными цифрами из множества $\{0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

2. Пошаговое решение и нахождение значений

Начнем решение с уравнений, которые накладывают самые строгие ограничения.

Шаг 1: Находим З и Ч.

Рассмотрим уравнение (4): $3 \times З = Ч$. Поскольку Ч должно быть однозначным числом, З может принимать только небольшие значения.

• Если $З=0$, то $Ч=0$. Это невозможно, так как разные буквы (З и Ч) должны обозначать разные цифры.
• Если $З=1$, то $Ч=3$. Это невозможно, так как цифра 3 уже используется в ребусе.
• Если $З=2$, то $Ч=6$. Это возможное решение.
• Если $З \ge 4$, то $Ч$ будет двузначным числом, что недопустимо.

Таким образом, единственно возможные значения: $З=2$ и $Ч=6$.

Шаг 2: Находим Д и О.

Подставим значение $З=2$ в уравнение (2): $2 \times Д = О$.

Использованные цифры: $\{2, 3, 6\}$. Доступные для остальных букв: $\{0, 1, 4, 5, 7, 8, 9\}$.

• Если $Д=0$, то $О=0$. Невозможно ($Д \ne О$).
• Если $Д=1$, то $О=2$. Невозможно ($З=2$).
• Если $Д=4$, то $О=8$. Это возможное решение.
• Если $Д \ge 5$, то $О$ будет двузначным числом.

Следовательно, единственно возможные значения: $Д=4$ и $О=8$.

Шаг 3: Проверка на противоречие.

На данный момент мы определили:

• $З = 2$
• $Ч = 6$
• $Д = 4$
• $О = 8$

Использованные цифры: $\{2, 3, 4, 6, 8\}$.
Оставшиеся буквы (В, Ё, К, А) должны принять значения из оставшихся доступных цифр: $\{0, 1, 5, 7, 9\}$.

Теперь рассмотрим остальные уравнения. Из уравнений (3) и (6) следует, что $Ч - К = Ё - О$. Подставим известные значения:

$6 - К = Ё - 8 \implies Ё + К = 14$

Теперь используем уравнение (1): $Ё = 3 + В$. Подставим это в предыдущее равенство:

$(3 + В) + К = 14 \implies В + К = 11$

Нам нужно найти две цифры $В$ и $К$ из доступного набора $\{0, 1, 5, 7, 9\}$, сумма которых равна 11. Давайте проверим все возможные пары:

• $0 + 11$ (11 не цифра)
• $1 + 10$ (10 не цифра)
• $5 + 6$ (цифра 6 уже занята буквой Ч)
• $7 + 4$ (цифра 4 уже занята буквой Д)
• $9 + 2$ (цифра 2 уже занята буквой З)

Как мы видим, ни одна пара доступных цифр не дает в сумме 11. Это означает, что система уравнений, полученная из условий ребуса, противоречива.

К этому же противоречию можно прийти, используя уравнение (5): $В \times Д = К$.

Подставив $Д=4$, получим $4 \times В = К$. Проверим значения для $В$ из набора $\{0, 1, 5, 7, 9\}$:

• Если $В=0$, то $К=0$. Невозможно ($В \ne К$).
• Если $В=1$, то $К=4$. Невозможно ($Д=4$).
• Если $В \ge 2$, то $К$ будет либо уже занятой цифрой, либо двузначным числом.

Это также подтверждает, что решения у ребуса нет.

3. Вывод

На основе проведенного анализа можно сделать вывод, что данный арифметический ребус в рамках стандартных правил (разным буквам — разные цифры, буквы — это однозначные числа) не имеет решения из-за наличия неустранимого математического противоречия в его условиях. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка.

Ответ: У данного ребуса нет решения.