Страница 63, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 В произведении знаменитого римского поэта I века до н. э. Горация так описана беседа учителя с учеником в одной из римских школ этой эпохи:

Учитель. Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от $5$ унций отнять $1$ унцию.

Ученик. $1/3$.

Учитель. Правильно. Ты сумеешь сберечь своё имущество.

Пользуясь схемой, докажи, что ученик был прав:

$4$ унции $4$ унции $4$ унции

$5$ унций

Пользуясь схемой, докажи, что ученик был прав:

Задача, которую задал учитель, заключается в следующем: нужно из пяти унций вычесть одну унцию. С точки зрения современной арифметики, решение простое:

$5 \text{ унций} - 1 \text{ унция} = 4 \text{ унции}$

Однако ученик дал ответ "Одна треть". Чтобы понять его правоту, необходимо обратиться к древнеримской системе мер. В этой системе основной единицей массы (либра) или денежной единицей (асс) была величина, которая делилась на 12 унций. То есть:

$1 \text{ асс} = 12 \text{ унций}$

Таким образом, результат вычисления, 4 унции, является частью целого асса. Ученик выразил этот результат в виде дроби от основной единицы. Найдем, какую часть от асса составляют 4 унции:

$\frac{4 \text{ унции}}{12 \text{ унций}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Схема, приведенная в задании, наглядно иллюстрирует это соотношение. На ней показано, что некая целая величина (асс, или 12 унций) состоит из трех равных частей, каждая из которых равна 4 унциям ($4+4+4=12$). Следовательно, отрезок, равный 4 унциям, составляет ровно одну треть ($1/3$) от целого.

Таким образом, ученик был прав, назвав результат вычитания "одна треть", так как 4 унции — это и есть одна треть от асса.

Ответ: Ученик прав. Результат вычитания ($5 \text{ унций} - 1 \text{ унция}$) равен $4 \text{ унциям}$. В древнеримской системе мер, где $1 \text{ асс} = 12 \text{ унций}$, $4 \text{ унции}$ составляют $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ асса. Схема это подтверждает, показывая, что целое (12 унций) состоит из трех равных частей по 4 унции, следовательно, 4 унции — это одна треть.

2 Задача из «Арифметики» известного среднеазиатского математика Аль Хорезми (IX век н. э.).

«Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10».

треть четверть $10$ $?$

«Найти число, зная, что если отнять от него одну треть и одну четверть, то получится 10».

Для решения этой задачи обозначим искомое число переменной $x$.

Согласно условию, от этого числа отнимают его третью часть, то есть $\frac{1}{3}x$, и его четвертую часть, то есть $\frac{1}{4}x$. Результатом этого вычитания является число 10. Можем составить следующее уравнение:

$x - \frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 10$

Чтобы решить это уравнение, сначала упростим его левую часть. Вынесем $x$ за скобки:

$x(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 10$

Теперь выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 равен 12.

$1 = \frac{12}{12}$, $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

Подставим эти значения обратно в уравнение:

$x(\frac{12}{12} - \frac{4}{12} - \frac{3}{12}) = 10$

$x(\frac{12 - 4 - 3}{12}) = 10$

$x \cdot \frac{5}{12} = 10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{5}{12}$:

$x = 10 \div \frac{5}{12}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$x = 10 \cdot \frac{12}{5}$

$x = \frac{10 \cdot 12}{5} = \frac{120}{5}$

$x = 24$

Сделаем проверку, чтобы убедиться в правильности решения. Искомое число равно 24.

Одна треть от 24: $\frac{1}{3} \cdot 24 = 8$.

Одна четверть от 24: $\frac{1}{4} \cdot 24 = 6$.

Вычтем найденные части из числа 24:

$24 - 8 - 6 = 16 - 6 = 10$.

Полученный результат (10) соответствует условию задачи. Следовательно, число найдено верно.

Ответ: 24

3 Задача из «Папируса Ахмеса» (Египет, 1850 г. до н. э.).

«Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

— Сколько приводишь ты своего несметного стада?

Пастух отвечает:

— Я привожу две трети от трети скота. Сочти!»

Используя схему, найди, сколько быков было в стаде.

70 быков

?

Для решения этой задачи, давайте разберем ответ пастуха и соотнесем его с предложенной схемой.

1. Пастух говорит, что привел "две трети от трети скота". Найдем, какую часть от всего стада это составляет. "Треть скота" — это $\frac{1}{3}$ всего стада. "Две трети от трети" — это $\frac{2}{3}$ от $\frac{1}{3}$. Чтобы найти эту часть, нужно перемножить дроби:

$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2 \times 1}{3 \times 3} = \frac{2}{9}$

Таким образом, 70 быков, которых привел пастух, составляют $\frac{2}{9}$ от всего стада.

2. Теперь обратимся к схеме. Она представляет собой отрезок, разделенный на 9 равных частей. Весь отрезок — это целое стадо (или $\frac{9}{9}$). Каждая маленькая часть отрезка соответствует $\frac{1}{9}$ стада.

3. Мы знаем, что 70 быков — это $\frac{2}{9}$ стада. На схеме это соответствует двум частям. Чтобы найти, сколько быков приходится на одну часть ($\frac{1}{9}$ стада), нужно 70 разделить на 2:

$70 \div 2 = 35$ (быков)

Итак, одна часть на схеме ($\frac{1}{9}$ стада) — это 35 быков.

4. Все стадо состоит из 9 таких частей. Чтобы найти общее количество быков в стаде, нужно количество быков в одной части умножить на 9:

$35 \times 9 = 315$ (быков)

Ответ: В стаде было 315 быков.

9 БЛИЦтурнир.

a) Женя сочинила $a$ частушек, а Лена — в 4 раза меньше. На сколько частушек больше сочинила Женя, чем Лена?

б) Аня улыбнулась $x$ раз, а Маша — в 3 раза больше. Вместе они улыбнулись в 7 раз больше, чем Катя. Сколько раз улыбнулась Катя?

в) Саша пробежал $y$ метров за 5 минут. Сколько метров он пробежит за 12 минут, если будет бежать с той же скоростью?

г) Дима прочитал $c$ страниц за 20 минут. Сколько времени ему понадобится, чтобы прочитать $d$ страниц, если он будет читать с той же производительностью?

д) Оксана купила 4 заколки по $a$ р. за штуку и зеркальце за $b$ р. Сколько денег у неё осталось, если сначала было $c$ р.?

е) У Пети и Алёши вместе $x$ р., причём у Пети на $y$ р. меньше, чем у Алёши. Сколько денег у Пети?

а) Женя сочинила $a$ частушек. Лена сочинила в 4 раза меньше, то есть $a / 4$ частушек. Чтобы найти, на сколько больше частушек сочинила Женя, чем Лена, нужно из количества частушек Жени вычесть количество частушек Лены. Это составит $a - a/4$.
Ответ: $a - a/4$

б) Аня улыбнулась $x$ раз. Маша улыбнулась в 3 раза больше, то есть $3 \cdot x = 3x$ раз. Вместе Аня и Маша улыбнулись $x + 3x = 4x$ раз. По условию, это в 7 раз больше, чем улыбнулась Катя. Следовательно, чтобы найти, сколько раз улыбнулась Катя, нужно общее число улыбок Ани и Маши разделить на 7.
Ответ: $(x + 3x) / 7$

в) Сначала найдем скорость Саши. Он пробежал $y$ метров за 5 минут, значит, его скорость равна $y/5$ метров в минуту. Чтобы узнать, какое расстояние он пробежит за 12 минут с той же скоростью, нужно скорость умножить на время: $(y/5) \cdot 12$ метров.
Ответ: $(y / 5) \cdot 12$

г) Сначала найдем производительность чтения Димы. Он прочитал $c$ страниц за 20 минут. Значит, на чтение одной страницы он тратит $20/c$ минут. Чтобы найти, сколько времени ему понадобится на $d$ страниц, нужно время на одну страницу умножить на количество страниц: $(20/c) \cdot d$ минут.
Ответ: $(20 / c) \cdot d$

д) Оксана купила 4 заколки по $a$ рублей за штуку, потратив на них $4 \cdot a$ рублей. Также она купила зеркальце за $b$ рублей. Общая сумма покупки составила $4a + b$ рублей. Изначально у неё было $c$ рублей. Чтобы найти остаток, нужно из начальной суммы вычесть сумму покупки.
Ответ: $c - (4a + b)$

е) Пусть у Пети было $P$ рублей, а у Алёши — $A$ рублей. По условию, вместе у них было $x$ рублей ($P + A = x$), и у Пети на $y$ рублей меньше, чем у Алёши ($A = P + y$). Подставим второе уравнение в первое: $P + (P + y) = x$. Упрощаем: $2P + y = x$. Выразим $2P$: $2P = x - y$. Найдём, сколько денег у Пети, разделив обе части на 2.
Ответ: $(x - y) / 2$

10 Восстанови цепочки вычислений, если производились только операции сложения и вычитания:

a) $4 \rightarrow ? \rightarrow \frac{4}{5} \rightarrow +1\frac{2}{5} \rightarrow ? \rightarrow ? \rightarrow 8\frac{1}{5} \rightarrow -4\frac{3}{5} \rightarrow ? $

б) $7\frac{5}{8} \rightarrow +1\frac{3}{8} \rightarrow ? \rightarrow ? \rightarrow 5\frac{3}{7} \rightarrow -2\frac{6}{7} \rightarrow ? \rightarrow ? \rightarrow 5\frac{2}{7}$

а)

Для восстановления цепочки необходимо последовательно найти неизвестные операции и числа.

1. Найдем первую неизвестную операцию. Чтобы из числа $4$ получить $\frac{4}{5}$, необходимо вычесть некоторое число. Найдем это число:

$4 - x = \frac{4}{5}$

$x = 4 - \frac{4}{5} = 3\frac{5}{5} - \frac{4}{5} = 3\frac{1}{5}$

Таким образом, первая операция — это вычитание $3\frac{1}{5}$.

2. Найдем первое неизвестное число в окошке. Для этого выполним сложение:

$\frac{4}{5} + 1\frac{2}{5} = 1 + (\frac{4}{5} + \frac{2}{5}) = 1 + \frac{6}{5} = 1 + 1\frac{1}{5} = 2\frac{1}{5}$

В первом окошке стоит число $2\frac{1}{5}$.

3. Найдем вторую неизвестную операцию. Чтобы из $2\frac{1}{5}$ получить $8\frac{1}{5}$, необходимо прибавить некоторое число. Найдем его:

$2\frac{1}{5} + y = 8\frac{1}{5}$

$y = 8\frac{1}{5} - 2\frac{1}{5} = 6$

Вторая операция — это сложение $6$.

4. Найдем второе неизвестное число в окошке. Для этого выполним вычитание:

$8\frac{1}{5} - 4\frac{3}{5} = 7\frac{6}{5} - 4\frac{3}{5} = 3\frac{3}{5}$

Во втором окошке стоит число $3\frac{3}{5}$.

Полностью восстановленная цепочка: $4 \xrightarrow{-3\frac{1}{5}} \frac{4}{5} \xrightarrow{+1\frac{2}{5}} 2\frac{1}{5} \xrightarrow{+6} 8\frac{1}{5} \xrightarrow{-4\frac{3}{5}} 3\frac{3}{5}$

Ответ: первая пропущенная операция: $-3\frac{1}{5}$; первое пропущенное число: $2\frac{1}{5}$; вторая пропущенная операция: $+6$; второе пропущенное число: $3\frac{3}{5}$.

б)

Аналогично восстановим вторую цепочку вычислений.

1. Найдем первое неизвестное число в окошке. Выполним сложение:

$7\frac{5}{8} + 1\frac{3}{8} = (7+1) + (\frac{5}{8} + \frac{3}{8}) = 8 + \frac{8}{8} = 8 + 1 = 9$

В первом окошке стоит число $9$.

2. Найдем первую неизвестную операцию. Чтобы из $9$ получить $5\frac{3}{7}$, необходимо выполнить вычитание. Найдем вычитаемое:

$9 - x = 5\frac{3}{7}$

$x = 9 - 5\frac{3}{7} = 8\frac{7}{7} - 5\frac{3}{7} = 3\frac{4}{7}$

Первая операция — это вычитание $3\frac{4}{7}$.

3. Найдем второе неизвестное число в окошке. Выполним вычитание:

$5\frac{3}{7} - 2\frac{6}{7} = 4\frac{10}{7} - 2\frac{6}{7} = 2\frac{4}{7}$

Во втором окошке стоит число $2\frac{4}{7}$.

4. Найдем вторую неизвестную операцию. Чтобы из $2\frac{4}{7}$ получить $5\frac{2}{7}$, необходимо выполнить сложение. Найдем слагаемое:

$2\frac{4}{7} + y = 5\frac{2}{7}$

$y = 5\frac{2}{7} - 2\frac{4}{7} = 4\frac{9}{7} - 2\frac{4}{7} = 2\frac{5}{7}$

Вторая операция — это сложение $2\frac{5}{7}$.

Полностью восстановленная цепочка: $7\frac{5}{8} \xrightarrow{+1\frac{3}{8}} 9 \xrightarrow{-3\frac{4}{7}} 5\frac{3}{7} \xrightarrow{-2\frac{6}{7}} 2\frac{4}{7} \xrightarrow{+2\frac{5}{7}} 5\frac{2}{7}$

Ответ: первое пропущенное число: $9$; первая пропущенная операция: $-3\frac{4}{7}$; второе пропущенное число: $2\frac{4}{7}$; вторая пропущенная операция: $+2\frac{5}{7}$.

11 Известно, что $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} $. Какие ещё равенства можно составить из этих чисел? Какие свойства сложения надо использовать для составления равенств?

Какие ещё равенства можно составить из этих чисел?

На основе исходного равенства $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$, где $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ – это слагаемые, а $\frac{5}{6}$ – это сумма, можно составить ещё три верных равенства с этими же числами.

1. Применяя переместительное свойство сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), мы можем поменять слагаемые местами:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

2. Сложение и вычитание – взаимообратные операции. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Таким образом, мы можем составить два равенства на вычитание:

$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

$\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$; $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$; $\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$.

Какие свойства сложения надо использовать для составления равенств?

Для составления новых равенств были использованы следующие свойства и правила:

1. Переместительное свойство сложения. Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Это свойство позволяет получить равенство $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.

2. Связь между сложением и вычитанием (или правило нахождения неизвестного слагаемого). Это правило гласит, что для нахождения одного слагаемого необходимо из суммы вычесть другое слагаемое. Это позволяет составить равенства $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ и $\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$.

Ответ: Переместительное свойство сложения и правило нахождения неизвестного слагаемого, основанное на связи между сложением и вычитанием.

Верны ли неравенства:

а) $\frac{12150 : 27 \cdot 9 \cdot 20}{12150 : (27 : 9) \cdot 20} \le 1;$

б) $\frac{29120 : 520 + 40 \cdot 305}{29120 : (520 + 40) \cdot 305} \ge 1?$

а)

Проверим верность неравенства $ \frac{12150 : 27 \cdot 9 \cdot 20}{12150 : (27 : 9) \cdot 20} \le 1 $.

Для этого необходимо сравнить значения числителя и знаменателя. Вычислим их, соблюдая порядок арифметических действий.

Вычислим значение выражения в числителе. Деление и умножение имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо:

1. $ 12150 : 27 = 450 $
2. $ 450 \cdot 9 = 4050 $
3. $ 4050 \cdot 20 = 81000 $

Значение числителя равно 81000.

Вычислим значение выражения в знаменателе. Сначала выполняется действие в скобках, затем остальные действия слева направо:

1. $ 27 : 9 = 3 $
2. $ 12150 : 3 = 4050 $
3. $ 4050 \cdot 20 = 81000 $

Значение знаменателя также равно 81000.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное неравенство:

$ \frac{81000}{81000} \le 1 $

$ 1 \le 1 $

Это неравенство верно, так как 1 равно 1.

Ответ: неравенство верно.

б)

Проверим верность неравенства $ \frac{29120 : 520 + 40 \cdot 305}{29120 : (520 + 40) \cdot 305} \ge 1 $.

Вычислим значение числителя. Сначала выполняются умножение и деление, затем сложение:

1. $ 29120 : 520 = 56 $
2. $ 40 \cdot 305 = 12200 $
3. $ 56 + 12200 = 12256 $

Значение числителя равно 12256.

Вычислим значение знаменателя. Сначала выполняется действие в скобках, затем деление и умножение слева направо:

1. $ 520 + 40 = 560 $
2. $ 29120 : 560 = 52 $
3. $ 52 \cdot 305 = 15860 $

Значение знаменателя равно 15860.

Подставим полученные значения в неравенство:

$ \frac{12256}{15860} \ge 1 $

Так как числитель дроби (12256) меньше знаменателя (15860), то значение этой дроби меньше 1. Следовательно, полученное неравенство является неверным.

Ответ: неравенство неверно.

7 Восстанови рисунок по его коду:

$C_1 (2; 0)$, $C_2 (2; 10)$, $C_3 (4; 12)$, $C_4 (12; 12)$, $C_5 (18; 14)$,
$C_6 (18; 16)$, $C_7 (20; 14)$, $C_8 (22; 14)$, $C_9 (24; 12)$, $C_{10} (24; 14)$,
$C_{11} (25; 12)$, $C_{12} (26; 12)$, $C_{13} (26; 14)$, $C_{14} (28; 12)$, $C_{15} (28; 10)$,
$C_{16} (24; 8)$, $C_{17} (22; 8)$, $C_{18} (18; 6)$, $C_{19} (18; 0)$, $C_{20} (14; 0)$,
$C_{21} (14; 4)$, $C_{22} (6; 4)$, $C_{23} (6; 0)$, $C_1$.

$y$
16
14
12
10
8
6
4
2
1
0 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 $x$

Для восстановления рисунка по его коду необходимо последовательно отметить на координатной плоскости все заданные точки и соединить их отрезками в указанном порядке.

1. Координаты точек

Задан следующий набор точек с координатами $(x; y)$:

• $C_1(2; 0)$
• $C_2(2; 10)$
• $C_3(4; 12)$
• $C_4(12; 12)$
• $C_5(18; 14)$
• $C_6(18; 16)$
• $C_7(20; 14)$
• $C_8(22; 14)$
• $C_9(24; 12)$
• $C_{10}(24; 14)$
• $C_{11}(25; 12)$
• $C_{12}(26; 12)$
• $C_{13}(26; 14)$
• $C_{14}(28; 12)$
• $C_{15}(28; 10)$
• $C_{16}(24; 8)$
• $C_{17}(22; 8)$
• $C_{18}(18; 6)$
• $C_{19}(18; 0)$
• $C_{20}(14; 0)$
• $C_{21}(14; 4)$
• $C_{22}(6; 4)$
• $C_{23}(6; 0)$

2. Построение фигуры

На координатной плоскости отмечаем каждую точку в соответствии с её координатами. Затем соединяем точки отрезками в порядке их нумерации: $C_1$ с $C_2$, $C_2$ с $C_3$, и так далее до точки $C_{23}$. В конце соединяем последнюю точку $C_{23}$ с первой точкой $C_1$, чтобы получить замкнутый контур.

3. Восстановленный рисунок

Последовательное соединение точек образует фигуру, изображенную на графике ниже. Эта фигура представляет собой контур боевой машины (танка или бронетранспортёра).

Ответ: На восстановленном рисунке изображён контур военного транспортного средства.

8. Реши уравнение:

a) $(7 \frac{1}{8} - x) + 2 \frac{3}{8} = 5 \frac{7}{8};$

б) $14 \frac{7}{9} - (y + 8 \frac{8}{9}) = 4 \frac{2}{9}.$

а) $(7\frac{1}{8} - x) + 2\frac{3}{8} = 5\frac{7}{8}$

В данном уравнении выражение в скобках $(7\frac{1}{8} - x)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$7\frac{1}{8} - x = 5\frac{7}{8} - 2\frac{3}{8}$

Выполним вычитание в правой части уравнения:

$5\frac{7}{8} - 2\frac{3}{8} = (5 - 2) + (\frac{7}{8} - \frac{3}{8}) = 3 + \frac{4}{8} = 3\frac{4}{8}$

Получим упрощенное уравнение:

$7\frac{1}{8} - x = 3\frac{4}{8}$

Теперь $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 7\frac{1}{8} - 3\frac{4}{8}$

Для выполнения вычитания необходимо, чтобы дробная часть уменьшаемого была больше дробной части вычитаемого. Так как $\frac{1}{8} < \frac{4}{8}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$7\frac{1}{8} = 6 + 1 + \frac{1}{8} = 6 + \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = 6\frac{9}{8}$

Теперь произведем вычитание:

$x = 6\frac{9}{8} - 3\frac{4}{8} = (6 - 3) + (\frac{9}{8} - \frac{4}{8}) = 3 + \frac{5}{8} = 3\frac{5}{8}$

Ответ: $x = 3\frac{5}{8}$.

б) $14\frac{7}{9} - (y + 8\frac{8}{9}) = 4\frac{2}{9}$

В данном уравнении выражение в скобках $(y + 8\frac{8}{9})$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$y + 8\frac{8}{9} = 14\frac{7}{9} - 4\frac{2}{9}$

Выполним вычитание в правой части уравнения:

$14\frac{7}{9} - 4\frac{2}{9} = (14 - 4) + (\frac{7}{9} - \frac{2}{9}) = 10 + \frac{5}{9} = 10\frac{5}{9}$

Получим упрощенное уравнение:

$y + 8\frac{8}{9} = 10\frac{5}{9}$

Теперь $y$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$y = 10\frac{5}{9} - 8\frac{8}{9}$

Для выполнения вычитания необходимо, чтобы дробная часть уменьшаемого была больше дробной части вычитаемого. Так как $\frac{5}{9} < \frac{8}{9}$, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:

$10\frac{5}{9} = 9 + 1 + \frac{5}{9} = 9 + \frac{9}{9} + \frac{5}{9} = 9\frac{14}{9}$

Теперь произведем вычитание:

$y = 9\frac{14}{9} - 8\frac{8}{9} = (9 - 8) + (\frac{14}{9} - \frac{8}{9}) = 1 + \frac{6}{9} = 1\frac{6}{9}$

Сократим дробную часть полученного ответа:

$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$

Таким образом, $y = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: $y = 1\frac{2}{3}$.

9 Сравни части величин ($b \neq 0$):

$\frac{5}{12} \square \frac{7}{12}$; $\frac{5}{99} \square 5\%$; $6\frac{1}{8} \square 5\frac{1}{8}$; $\frac{a+2}{8} \square \frac{a}{8}$;

$\frac{9}{16} \square \frac{9}{20}$; $18\% \square 17\frac{1}{2}$; $4\frac{6}{7} \square 4\frac{6}{11}$; $\frac{15}{b} \square \frac{15}{b+4}$.

$\frac{5}{12} \square \frac{7}{12}$. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Знаменатели обеих дробей равны 12. Сравниваем числители: $5 < 7$. Следовательно, $\frac{5}{12} < \frac{7}{12}$. Ответ: $\frac{5}{12} < \frac{7}{12}$.

$\frac{5}{99} \square 5\%$. Для сравнения представим проценты в виде обыкновенной дроби: $5\% = \frac{5}{100}$. Теперь сравним дроби $\frac{5}{99}$ и $\frac{5}{100}$. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $99 < 100$, то $\frac{5}{99} > \frac{5}{100}$. Следовательно, $\frac{5}{99} > 5\%$. Ответ: $\frac{5}{99} > 5\%$.

$6\frac{1}{8} \square 5\frac{1}{8}$. Для сравнения двух смешанных чисел сначала сравнивают их целые части. Целая часть первого числа равна 6, а второго — 5. Так как $6 > 5$, то первое число больше второго: $6\frac{1}{8} > 5\frac{1}{8}$. Ответ: $6\frac{1}{8} > 5\frac{1}{8}$.

$\frac{a+2}{8} \square \frac{a}{8}$. Данные дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 8. Чтобы их сравнить, нужно сравнить числители: $a+2$ и $a$. При любом значении $a$ выражение $a+2$ будет больше, чем $a$, поскольку 2 — положительное число. Следовательно, $\frac{a+2}{8} > \frac{a}{8}$. Ответ: $\frac{a+2}{8} > \frac{a}{8}$.

$\frac{9}{16} \square \frac{9}{20}$. У этих дробей одинаковые числители, равные 9. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравниваем знаменатели: $16 < 20$. Следовательно, первая дробь больше второй: $\frac{9}{16} > \frac{9}{20}$. Ответ: $\frac{9}{16} > \frac{9}{20}$.

$18\% \square 17\frac{1}{2}$. Для сравнения представим оба значения в виде десятичных дробей. $18\% = \frac{18}{100} = 0.18$. Смешанное число $17\frac{1}{2}$ равно $17.5$. Сравниваем десятичные дроби: $0.18 < 17.5$. Следовательно, $18\% < 17\frac{1}{2}$. Ответ: $18\% < 17\frac{1}{2}$.

$4\frac{6}{7} \square 4\frac{6}{11}$. Целые части этих смешанных чисел равны (4). Поэтому для сравнения нужно сравнить их дробные части: $\frac{6}{7}$ и $\frac{6}{11}$. У этих дробей одинаковые числители, равные 6. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $7 < 11$, то $\frac{6}{7} > \frac{6}{11}$. Следовательно, $4\frac{6}{7} > 4\frac{6}{11}$. Ответ: $4\frac{6}{7} > 4\frac{6}{11}$.

$\frac{15}{b} \square \frac{15}{b+4}$. Данные дроби имеют одинаковые числители, равные 15. Чтобы их сравнить, нужно сравнить их знаменатели: $b$ и $b+4$. В контексте задач на сравнение "частей величин" обычно предполагается, что переменные принимают положительные значения. Будем считать, что $b > 0$. В этом случае оба знаменателя положительны. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $b < b+4$, то $\frac{15}{b} > \frac{15}{b+4}$. Ответ: $\frac{15}{b} > \frac{15}{b+4}$.

10 Ширина прямоугольного участка, занятого огородом, равна $42\frac{4}{5}$ м, а длина больше ширины на $14\frac{2}{5}$ м. Найди длину забора, окружающего огород.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти длину участка, а затем вычислить его периметр, который и будет являться длиной забора.

1. Найдём длину участка

По условию, ширина участка равна $42\frac{4}{5}$ м, а его длина на $14\frac{2}{5}$ м больше. Чтобы найти длину, нужно к ширине прибавить это значение.

Сложим целые и дробные части смешанных чисел:

$42\frac{4}{5} + 14\frac{2}{5} = (42 + 14) + (\frac{4}{5} + \frac{2}{5}) = 56 + \frac{6}{5}$

Так как дробь $\frac{6}{5}$ неправильная, выделим из неё целую часть:

$\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$

Теперь добавим это к целой части, полученной ранее:

$56 + 1\frac{1}{5} = 57\frac{1}{5}$ м.

Таким образом, длина участка составляет $57\frac{1}{5}$ м.

2. Найдём длину забора (периметр участка)

Длина забора равна периметру прямоугольного участка. Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

Найдём сумму длины и ширины участка:

$57\frac{1}{5} + 42\frac{4}{5} = (57 + 42) + (\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) = 99 + \frac{5}{5} = 99 + 1 = 100$ м.

Теперь умножим полученную сумму на 2, чтобы найти периметр:

$P = 2 \cdot 100 = 200$ м.

Ответ: 200 м.

11 В трёх бидонах $11\frac{1}{4}$ л молока. В первом бидоне $3\frac{1}{4}$ л, а во втором бидоне на $\frac{1}{4}$ л меньше, чем в первом. Сколько молока в третьем бидоне?

Для того чтобы найти, сколько молока в третьем бидоне, нужно выполнить следующие действия:

1. Найдем количество молока во втором бидоне.

По условию, в первом бидоне $3\frac{1}{4}$ л молока, а во втором — на $\frac{1}{4}$ л меньше. Вычтем из количества молока в первом бидоне $\frac{1}{4}$ л:

$3\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 3$ (л) — молока во втором бидоне.

2. Найдем общее количество молока в первом и втором бидонах.

Сложим количество молока в первом и втором бидонах:

$3\frac{1}{4} + 3 = 6\frac{1}{4}$ (л) — молока в первом и втором бидонах вместе.

3. Найдем количество молока в третьем бидоне.

Общее количество молока в трех бидонах — $11\frac{1}{4}$ л. Чтобы найти, сколько молока в третьем бидоне, вычтем из общего количества сумму молока в первых двух бидонах:

$11\frac{1}{4} - 6\frac{1}{4} = 5$ (л) — молока в третьем бидоне.

Ответ: в третьем бидоне 5 л молока.