Страница 7, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1. а) Маленький Артём заплакал. Чтобы его успокоить, Таня сказала: «Я дам тебе конфету или печенье». Саша сказал: «Я дам тебе конфету и печенье».

Чем отличаются их высказывания?

б) Таня и Саша дали Артёму только по конфете. Кто из них выполнил свое обещание?

а) Высказывания Тани и Саши отличаются ключевыми словами-союзами: «ИЛИ» и «И». Эти союзы определяют условия, при которых обещание считается выполненным.

Обещание Тани: «Я дам тебе конфету ИЛИ печенье». Это высказывание является примером логической операции дизъюнкции (логическое «ИЛИ»). Чтобы обещание было выполнено, достаточно дать Артёму хотя бы что-то одно: только конфету, только печенье, или и то, и другое вместе. Если обозначить событие «дать конфету» как $A$, а событие «дать печенье» как $B$, то обещание Тани можно записать формулой $A \lor B$. Это утверждение истинно, если истинно $A$, или истинно $B$, или оба сразу.

Обещание Саши: «Я дам тебе конфету И печенье». Это высказывание является примером логической операции конъюнкции (логическое «И»). Чтобы это обещание было выполнено, Саша должен дать Артёму оба предмета без исключения. Формула для обещания Саши: $A \land B$. Это утверждение истинно только в том случае, когда истинны и $A$, и $B$ одновременно.

Ответ: Высказывания отличаются логическими условиями: Таня обещала дать хотя бы один из предметов на выбор, а Саша обещал дать оба предмета вместе.

б) В данной ситуации Таня и Саша дали Артёму только по конфете. Проанализируем, кто из них сдержал слово.

Таня обещала дать конфету ИЛИ печенье. Она дала конфету. Поскольку для выполнения её обещания было достаточно дать хотя бы один из предметов, она сдержала своё слово.

Саша обещал дать конфету И печенье. Он должен был дать оба предмета. Так как он дал только конфету, а печенье не дал, его обещание не выполнено.

Ответ: Свое обещание выполнила Таня.

2 Прочитай неравенства. Из каких высказываний они состоят? Какие из них верны, а какие — нет?

$5 \le 16$; $180 \ge 7$; $29 \le 14$; $25 \ge 25$;

$99 \ge 100$; $12 \le 12$; $94 \ge 49$; $805 \le 508$.

Нестрогие неравенства (со знаками $ \le $ или $ \ge $) представляют собой составное высказывание, которое состоит из двух простых высказываний, соединенных союзом «или». Такое неравенство является верным, если верно хотя бы одно из составляющих его простых высказываний.

Строгие неравенства (со знаками $ < $ или $ > $) состоят из одного простого высказывания.

Читается: «Пять меньше либо равно шестнадцати».
Это неравенство состоит из двух высказываний: $5 < 16$ («пять меньше шестнадцати») или $5 = 16$ («пять равно шестнадцати»).
Первое высказывание $5 < 16$ является верным. Поскольку хотя бы одно из высказываний верно, то и все неравенство является верным.
Ответ: Верно.

Читается: «Сто восемьдесят больше семи».
Это строгое неравенство, оно состоит из одного высказывания: $180 > 7$.
Это высказывание является верным, так как число 180 действительно больше числа 7.
Ответ: Верно.

Читается: «Двадцать девять меньше либо равно четырнадцати».
Это неравенство состоит из двух высказываний: $29 < 14$ («двадцать девять меньше четырнадцати») или $29 = 14$ («двадцать девять равно четырнадцати»).
Оба этих высказывания являются неверными. Следовательно, все неравенство неверно.
Ответ: Неверно.

Читается: «Двадцать пять больше либо равно двадцати пяти».
Это неравенство состоит из двух высказываний: $25 > 25$ («двадцать пять больше двадцати пяти») или $25 = 25$ («двадцать пять равно двадцати пяти»).
Второе высказывание $25 = 25$ является верным. Поскольку хотя бы одно из высказываний верно, то и все неравенство является верным.
Ответ: Верно.

Читается: «Девяносто девять больше либо равно ста».
Это неравенство состоит из двух высказываний: $99 > 100$ («девяносто девять больше ста») или $99 = 100$ («девяносто девять равно ста»).
Оба этих высказывания являются неверными. Следовательно, все неравенство неверно.
Ответ: Неверно.

Читается: «Двенадцать меньше либо равно двенадцати».
Это неравенство состоит из двух высказываний: $12 < 12$ («двенадцать меньше двенадцати») или $12 = 12$ («двенадцать равно двенадцати»).
Второе высказывание $12 = 12$ является верным. Поскольку хотя бы одно из высказываний верно, то и все неравенство является верным.
Ответ: Верно.

Читается: «Девяносто четыре больше либо равно сорока девяти».
Это неравенство состоит из двух высказываний: $94 > 49$ («девяносто четыре больше сорока девяти») или $94 = 49$ («девяносто четыре равно сорока девяти»).
Первое высказывание $94 > 49$ является верным. Поскольку хотя бы одно из высказываний верно, то и все неравенство является верным.
Ответ: Верно.

Читается: «Восемьсот пять меньше либо равно пятистам восьми».
Это неравенство состоит из двух высказываний: $805 < 508$ («восемьсот пять меньше пятисот восьми») или $805 = 508$ («восемьсот пять равно пятистам восьми»).
Оба этих высказывания являются неверными. Следовательно, все неравенство неверно.
Ответ: Неверно.

1. Круг разделен на 8 равных частей. Раскрась $\frac{3}{8}$ круга синим цветом, а $\frac{2}{8}$ круга — красным цветом. Какая часть круга закрашена? Найди сумму: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \square$.

Как сложить две дроби с одинаковыми знаменателями?

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, можно сложить числители, а знаменатель оставить тот же.

$\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n}$

Какая часть круга закрашена? Найди сумму: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8}$

В условии задачи сказано, что круг разделен на 8 равных частей. Синим цветом нужно раскрасить $\frac{3}{8}$ круга, а красным — $\frac{2}{8}$ круга.

Чтобы узнать, какая общая часть круга закрашена, необходимо сложить эти две дроби. У них одинаковый знаменатель, равный 8. Согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, мы должны сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Выполним вычисление:

$\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} = \frac{5}{8}$

Это означает, что всего закрашено 5 из 8 частей круга.

Ответ: $\frac{5}{8}$

Как сложить две дроби с одинаковыми знаменателями?

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же. Это правило можно записать с помощью формулы:

$\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n}$

Здесь a и b — это числители, а n — их общий знаменатель.

Ответ: Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

2 Сложи две дроби и проиллюстрируй решение на чертеже:

а) $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \boxed{}$ ;

б) $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \boxed{}$ .

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1+4}{6} = \frac{5}{6}$

Иллюстрация на чертеже: на числовой оси, разделенной на 6 равных частей, откладываем сначала 1 часть (синяя дуга), а затем к ней добавляем еще 4 части (красная дуга). В итоге получаем 5 частей из 6.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

б) Действуем по тому же правилу: складываем числители, а знаменатель оставляем без изменений.

$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$

Иллюстрация на чертеже: на числовой оси, разделенной на 7 равных частей, откладываем сначала 2 части (синяя дуга), а затем добавляем еще 3 части (красная дуга). В итоге получаем 5 частей из 7.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

3 Сложи дроби с помощью числового луча:

a) $ \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \boxed{\phantom{X}} $;

б) $ \frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \boxed{\phantom{X}} $.

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{3}{9}$ с помощью числового луча, нужно найти на нем первое слагаемое и отсчитать от него вправо количество делений, равное числителю второго слагаемого.
Числовой луч на рисунке разделен на 9 равных частей, где каждое деление равно $\frac{1}{9}$.
1. Находим точку, соответствующую дроби $\frac{4}{9}$. Это четвертое деление от нуля.
2. От этой точки отсчитываем вправо еще 3 деления (согласно дроби $\frac{3}{9}$).
3. Мы попадаем на седьмое деление, которое соответствует дроби $\frac{7}{9}$.
Также можно выполнить сложение по правилу: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются их числители, а знаменатель остается неизменным.
$\frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{4+3}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$

б)

Для сложения дробей $\frac{1}{5}$ и $\frac{3}{5}$ используем второй числовой луч.
Отрезок от 0 до 1 на этом луче разделен на 5 равных частей, то есть одно деление равно $\frac{1}{5}$.
1. Находим на луче первое слагаемое $\frac{1}{5}$ — это первое деление от нуля.
2. Чтобы прибавить $\frac{3}{5}$, отсчитываем от точки $\frac{1}{5}$ вправо 3 деления.
3. Мы окажемся на четвертом делении (1 + 3 = 4), что соответствует дроби $\frac{4}{5}$.
Проверим вычислением по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1+3}{5} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$

4 Выполни действия:

1) $\frac{5}{23} + \frac{17}{23} = $;

2) $\frac{8}{38} + \frac{26}{38} = $;

3) $\frac{43}{75} + \frac{19}{75} = $.

1) Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. В данном примере знаменатель равен 23.

Выполним сложение числителей: $5 + 17 = 22$.

Запишем результат в виде дроби:

$\frac{5}{23} + \frac{17}{23} = \frac{5+17}{23} = \frac{22}{23}$

Полученная дробь $\frac{22}{23}$ является несократимой, так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы.

Ответ: $\frac{22}{23}$

2) Знаменатели дробей одинаковы и равны 38. Складываем числители:

$8 + 26 = 34$.

Запишем результат сложения:

$\frac{8}{38} + \frac{26}{38} = \frac{8+26}{38} = \frac{34}{38}$

Дробь $\frac{34}{38}$ можно сократить, так как и числитель (34), и знаменатель (38) являются четными числами. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{34 \div 2}{38 \div 2} = \frac{17}{19}$

Дробь $\frac{17}{19}$ несократима, так как 17 и 19 — простые числа.

Ответ: $\frac{17}{19}$

3) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 75. Для этого складываем их числители:

$43 + 19 = 62$.

Запишем итоговую дробь:

$\frac{43}{75} + \frac{19}{75} = \frac{43+19}{75} = \frac{62}{75}$

Проверим, является ли дробь $\frac{62}{75}$ сократимой. Для этого найдем общие делители числителя и знаменателя. Число 62 делится на 1, 2, 31, 62. Число 75 делится на 1, 3, 5, 15, 25, 75. Общим делителем является только 1, следовательно, дробь несократимая.

Ответ: $\frac{62}{75}$

5 Выполни действия. Что ты замечаешь?

$\frac{7}{100} + \frac{21}{100} =$ $7\% + 21\% =$

$\frac{48}{100} + \frac{32}{100} =$ $48\% + 32\% =$

$\frac{7}{100} + \frac{21}{100}$
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{7}{100} + \frac{21}{100} = \frac{7 + 21}{100} = \frac{28}{100}$
Ответ: $\frac{28}{100}$.

$7\% + 21\%$
Сложение процентов выполняется так же, как и сложение обычных чисел.
$7\% + 21\% = (7 + 21)\% = 28\%$
Ответ: $28\%$.

$\frac{48}{100} + \frac{32}{100}$
Складываем числители дробей, так как знаменатели одинаковы.
$\frac{48}{100} + \frac{32}{100} = \frac{48 + 32}{100} = \frac{80}{100}$
Ответ: $\frac{80}{100}$.

$48\% + 32\%$
Складываем числовые значения процентов.
$48\% + 32\% = (48 + 32)\% = 80\%$
Ответ: $80\%$.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что процент — это сотая часть числа. Например, $1\% = \frac{1}{100}$. Поэтому сложение дробей со знаменателем 100 — это то же самое, что и сложение соответствующих им процентов. Результаты в каждой паре примеров равны: $\frac{28}{100}$ равно $28\%$, а $\frac{80}{100}$ равно $80\%$. Числитель дроби со знаменателем 100 соответствует количеству процентов.

8 Запиши множества острых, прямых и тупых углов многоугольников на рисунке. Есть ли среди них прямоугольник?

Острые углы: А, В, С, Л, Я, Ц

Прямые углы: И, К, П, Р

Тупые углы: О, М, Т, У, Е, Ц

Из букв, входящих в каждое множество, составь слова.

Для решения задачи необходимо классифицировать все углы многоугольников, представленных на рисунке, а затем ответить на поставленные вопросы. Углы классифицируются следующим образом:

• Острый угол: угол, градусная мера которого меньше 90 градусов ($ < 90° $).
• Прямой угол: угол, градусная мера которого равна 90 градусам ($ = 90° $).
• Тупой угол: угол, градусная мера которого больше 90 градусов ($ > 90° $).

Проанализируем углы каждого многоугольника:

1. Четырехугольник OCЛЕ: $ \angle О $ - тупой, $ \angle С $ - тупой, $ \angle Л $ - тупой, $ \angle Е $ - острый.
2. Треугольник ЦАТ: $ \angle Ц $ - острый, $ \angle А $ - острый, $ \angle Т $ - тупой.
3. Четырехугольник ИКРН: все углы $ \angle И, \angle К, \angle Р, \angle Н $ являются прямыми.
4. Пятиугольник УМВЯП: $ \angle У $ - тупой, $ \angle М $ - тупой, $ \angle В $ - острый, $ \angle Я $ - острый, $ \angle П $ - тупой.

Теперь запишем множества углов и составим слова из соответствующих букв.

Острые углы:

К острым углам относятся $ \angle А, \angle В, \angle Е, \angle Ц, \angle Я $. Множество букв: {А, В, Е, Ц, Я}. Из этих букв составить одно слово затруднительно, но можно составить несколько коротких, например "ЯВА".
Ответ: {А, В, Е, Ц, Я}.

Прямые углы:

К прямым углам относятся $ \angle И, \angle К, \angle Н, \angle Р $. Множество букв: {И, К, Н, Р}. Из этих букв можно составить слово "РИНК".
Ответ: {И, К, Н, Р}, слово - РИНК.

Тупые углы:

К тупым углам относятся $ \angle Л, \angle М, \angle О, \angle П, \angle С, \angle Т, \angle У $. Множество букв: {Л, М, О, П, С, Т, У}. Из этих букв можно составить несколько слов: "СТОЛ", "ПОЛ", "МОСТ", "ПЛУТ", "СОМ".
Ответ: {Л, М, О, П, С, Т, У}, слова - СТОЛ, МОСТ, ПЛУТ.

Есть ли среди них прямоугольник?

Да, среди многоугольников есть прямоугольник. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. Многоугольник ИКРН имеет четыре прямых угла, следовательно, он является прямоугольником (в данном случае, квадратом).
Ответ: Да, многоугольник ИКРН.

Расшифруй название города, который в III тысячелетии до нашей эры был столицей Древнего Египта.

70
$\cdot 9$
$+ 270$
$: 10$
$- 38$
Φ

280
$: 4$
$\cdot 6$
$: 30$
$+ 36$
И

80
$: 16$
$\cdot 29$
$- 68$
$: 11$
М

72
$: 4$
$\cdot 5$
$+ 30$
$: 2$
С

48
$- 30$
$: 9$
$\cdot 80$
$+ 56$
О

90
$\cdot 4$
$: 6$
$- 21$
$: 13$
Е

7 3 7 52 50 60

Для того чтобы расшифровать название города, необходимо последовательно выполнить арифметические действия в каждом столбце и найти числовое значение для каждой буквы.

Ф
1) $70 \cdot 9 = 630$
2) $630 + 270 = 900$
3) $900 : 10 = 90$
4) $90 - 38 = 52$
Ответ: 52

И
1) $280 : 4 = 70$
2) $70 \cdot 6 = 420$
3) $420 : 30 = 14$
4) $14 + 36 = 50$
Ответ: 50

М
1) $80 : 16 = 5$
2) $5 \cdot 29 = 145$
3) $145 - 68 = 77$
4) $77 : 11 = 7$
Ответ: 7

С
1) $72 : 4 = 18$
2) $18 \cdot 5 = 90$
3) $90 + 30 = 120$
4) $120 : 2 = 60$
Ответ: 60

О
1) $48 - 30 = 18$
2) $18 : 9 = 2$
3) $2 \cdot 80 = 160$
4) $160 + 56 = 216$
Ответ: 216

Е
1) $90 \cdot 4 = 360$
2) $360 : 6 = 60$
3) $60 - 21 = 39$
4) $39 : 13 = 3$
Ответ: 3

Теперь сопоставим полученные числа с числами в таблице и подставим в нижний ряд соответствующие им буквы. Число 216, полученное для буквы "О", в таблице не используется.

Прочитав буквы в нижнем ряду таблицы, получаем название города: МЕМФИС.

Город Мемфис был столицей Древнего Египта в эпоху Раннего и Древнего царств, что соответствует III тысячелетию до нашей эры.

Ответ: Мемфис.

10 Как найти число по его части, выраженной дробью? Найди число, если:

В $\frac{9}{11}$ его составляют 72

Ы $\frac{35}{12}$ его составляют 105

И $48\%$ его составляют 96

Ф $170\%$ его составляют 680

Почему в первых двух случаях число оказалось больше своей части, а в двух других — меньше?

Расположи ответы по убыванию, и ты узнаешь название столицы Египта во втором тысячелетии до нашей эры.

Чтобы найти число по его части, которая выражена дробью, необходимо значение этой части разделить на саму дробь.

В
Дано, что $\frac{9}{11}$ от искомого числа составляют 72. Чтобы найти целое число, нужно его часть (72) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{9}{11}$):
$72 \div \frac{9}{11} = 72 \times \frac{11}{9} = \frac{72 \times 11}{9} = 8 \times 11 = 88$.
Ответ: 88.

Ы
Дано, что $\frac{35}{12}$ от искомого числа составляют 105. Чтобы найти целое число, нужно 105 разделить на дробь $\frac{35}{12}$:
$105 \div \frac{35}{12} = 105 \times \frac{12}{35} = \frac{105 \times 12}{35} = 3 \times 12 = 36$.
Ответ: 36.

И
Дано, что 48% от искомого числа составляют 96. Сначала представим проценты в виде десятичной дроби: $48\% = 0.48$.
Теперь, чтобы найти целое число, разделим его часть (96) на соответствующую дробь (0.48):
$96 \div 0.48 = \frac{96}{0.48} = \frac{9600}{48} = 200$.
Ответ: 200.

Ф
Дано, что 170% от искомого числа составляют 680. Представим проценты в виде десятичной дроби: $170\% = 1.7$.
Чтобы найти целое число, разделим 680 на 1.7:
$680 \div 1.7 = \frac{680}{1.7} = \frac{6800}{17} = 400$.
Ответ: 400.

Почему в первых двух случаях число оказалось больше своей части, а в двух других — меньше?
В случаях В (88 > 72) и И (200 > 96) искомое число больше своей части. Это происходит потому, что часть выражена правильной дробью ($\frac{9}{11} < 1$) или процентом, меньшим 100% ($48\% < 100\%$). Когда мы ищем целое по его части, которая составляет меньше единицы от этого целого, то целое всегда будет больше этой части.
В случаях Ы (36 < 105) и Ф (400 < 680) искомое число меньше своей части. Это связано с тем, что часть выражена неправильной дробью ($\frac{35}{12} > 1$) или процентом, большим 100% ($170\% > 100\%$). В такой ситуации данная "часть" фактически больше самого искомого числа.

Расположи ответы по убыванию, и ты узнаешь название столицы Египта во втором тысячелетии до нашей эры.
Мы получили следующие ответы: В = 88, Ы = 36, И = 200, Ф = 400.
Расположим эти числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему) и сопоставим им соответствующие буквы:
400 (Ф)
200 (И)
88 (В)
36 (Ы)
Получается слово ФИВЫ.
Ответ: Фивы.