Страница 8, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Запиши неравенства:

а) $15 \le 34$

б) $72 \ge 27$

в) $17 \le 17$

г) $56 \ge 56$

а) Чтобы записать фразу "15 меньше или равно 34" в виде математического неравенства, нужно использовать знак "меньше или равно", который выглядит как $ \le $. Этот знак ставится между числами 15 и 34. Таким образом, неравенство будет выглядеть следующим образом: $15 \le 34$. Это неравенство является верным, так как 15 меньше 34.
Ответ: $15 \le 34$

б) Фраза "72 больше или равно 27" записывается с помощью знака "больше или равно" ($ \ge $). Мы сравниваем числа 72 и 27. Так как 72 больше, чем 27, мы ставим между ними соответствующий знак. Получается неравенство: $72 \ge 27$. Это неравенство является верным.
Ответ: $72 \ge 27$

в) Для записи фразы "17 меньше или равно 17" используется знак $ \le $. Неравенство будет иметь вид: $17 \le 17$. Данное неравенство является нестрогим, что означает, что оно верно, если левая часть меньше правой или если они равны. В данном случае 17 равно 17, поэтому условие выполняется, и неравенство является верным.
Ответ: $17 \le 17$

г) Для записи фразы "56 больше или равно 56" используется знак $ \ge $. Неравенство записывается как $56 \ge 56$. По аналогии с предыдущим пунктом, это нестрогое неравенство верно, так как 56 равно 56, что удовлетворяет условию "больше или равно".
Ответ: $56 \ge 56$

4 Запиши множество решений неравенства и отметь его на числовом луче. Найди «похожие» неравенства и сравни множества их решений.

a) $x < 5$

0 1 2 3 4 5 6 7

б) $x \le 5$

0 1 2 3 4 5 6 7

в) $y > 2$

0 1 2 3 4 5 6 7

г) $y \ge 2$

0 1 2 3 4 5 6 7

а) $x < 5$

Множеством решений данного неравенства являются все числа, которые строго меньше 5. Если рассматривать целые неотрицательные числа (как на числовом луче), то решениями будут 0, 1, 2, 3, 4.
Множество решений записывается так: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.
На числовом луче нужно отметить точку 5 пустым («выколотым») кружком, так как неравенство строгое (число 5 не является решением), и заштриховать часть луча слева от этой точки.

Ответ: $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

б) $x \le 5$

Множеством решений данного неравенства являются все числа, которые меньше или равны 5. Для целых неотрицательных чисел это будут 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Множество решений записывается так: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
На числовом луче нужно отметить точку 5 закрашенным кружком, так как неравенство нестрогое (число 5 является решением), и заштриховать часть луча слева от этой точки, включая саму точку 5.

Ответ: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

Сравнение решений неравенств а) и б)

Неравенства $x < 5$ и $x \le 5$ являются «похожими», поскольку в них переменная $x$ сравнивается с одним и тем же числом 5. Различие состоит в знаке неравенства: в первом случае он строгий ($<$), а во втором — нестрогий ($\le$).
Из-за этого множество решений неравенства $x \le 5$ включает в себя все решения неравенства $x < 5$ и, дополнительно, само число 5.

в) $y > 2$

Множеством решений данного неравенства являются все числа, которые строго больше 2. Для целых неотрицательных чисел это будут 3, 4, 5, 6, и так далее.
Множество решений записывается так: $\{3, 4, 5, 6, ...\}$.
На числовом луче нужно отметить точку 2 пустым («выколотым») кружком и заштриховать часть луча справа от этой точки.

Ответ: $\{3, 4, 5, 6, ...\}$.

г) $y \ge 2$

Множеством решений данного неравенства являются все числа, которые больше или равны 2. Для целых неотрицательных чисел это будут 2, 3, 4, 5, и так далее.
Множество решений записывается так: $\{2, 3, 4, 5, ...\}$.
На числовом луче нужно отметить точку 2 закрашенным кружком и заштриховать часть луча справа от этой точки, включая саму точку 2.

Ответ: $\{2, 3, 4, 5, ...\}$.

Сравнение решений неравенств в) и г)

Неравенства $y > 2$ и $y \ge 2$ являются «похожими», так как в них переменная $y$ сравнивается с числом 2. Различие заключается в строгости знака неравенства.
Множество решений неравенства $y \ge 2$ включает в себя все решения неравенства $y > 2$ и, дополнительно, само число 2.

5 Реши неравенства:

а) $m \le 3$ _________ в) $d > 4$ _________

б) $m < 3$ _________ г) $d \ge 4$ _________

а) Неравенство $m \le 3$ означает, что переменная $m$ может принимать любые значения, которые меньше или равны 3. Множеством решений является числовой промежуток от минус бесконечности до 3, включая число 3. В виде интервала это записывается как $(-\infty, 3]$. Ответ: $m \in (-\infty, 3]$.

б) Неравенство $m < 3$ означает, что переменная $m$ может принимать любые значения, которые строго меньше 3. Множеством решений является числовой промежуток от минус бесконечности до 3, не включая число 3. В виде интервала это записывается как $(-\infty, 3)$. Ответ: $m \in (-\infty, 3)$.

в) Неравенство $d > 4$ означает, что переменная $d$ может принимать любые значения, которые строго больше 4. Множеством решений является числовой промежуток от 4 до плюс бесконечности, не включая число 4. В виде интервала это записывается как $(4, +\infty)$. Ответ: $d \in (4, +\infty)$.

г) Неравенство $d \ge 4$ означает, что переменная $d$ может принимать любые значения, которые больше или равны 4. Множеством решений является числовой промежуток от 4 до плюс бесконечности, включая число 4. В виде интервала это записывается как $[4, +\infty)$. Ответ: $d \in [4, +\infty)$.

6 Напиши множество решений неравенства $y < 3$. Какое неравенство со знаком $\le$ имеет то же самое множество решений?

Напиши множество решений неравенства y < 3

Решением неравенства $y < 3$ являются все числа, которые строго меньше 3. Вторая часть вопроса (о поиске эквивалентного неравенства со знаком $ \le $) имеет решение только в том случае, если мы рассматриваем множество целых чисел. Поэтому будем искать множество целых решений.
Целые числа, удовлетворяющие условию $y < 3$, — это все целые числа, которые меньше 3. Наибольшим таким числом является 2. Следовательно, искомое множество включает 2, 1, 0, -1, и так далее в сторону уменьшения.
Его можно записать в виде: $\{...; -2; -1; 0; 1; 2\}$.
Ответ: Множество целых решений неравенства $y < 3$ есть $\{...; -2; -1; 0; 1; 2\}$.

Какое неравенство со знаком ≤ имеет то же самое множество решений?

Мы ищем неравенство вида $y \le k$, где $k$ — целое число, которое имеет то же самое множество целых решений, что и неравенство $y < 3$.
Множество целых решений для $y < 3$ — это $\{...; -2; -1; 0; 1; 2\}$. Самый большой элемент в этом множестве — это число 2.
Множество целых решений для неравенства $y \le k$ включает все целые числа, меньшие или равные $k$. Самым большим элементом в этом множестве является само число $k$.
Чтобы множества решений были идентичны, их наибольшие элементы должны совпадать. Отсюда следует, что $k$ должно быть равно 2.
Таким образом, искомое неравенство — это $y \le 2$.
Ответ: $y \le 2$.

7. Напиши множество решений неравенства $t > 9$. Какое неравенство со знаком $\ge$ имеет то же самое множество решений?

Напиши множество решений неравенства t > 9.

Решением неравенства $t > 9$ являются все числа, которые строго больше 9. Это множество представляет собой открытый числовой луч, который начинается от точки 9 (не включая саму точку) и простирается до плюс бесконечности. В виде интервала это записывается как $(9, +\infty)$.

Ответ: $(9, +\infty)$.

Какое неравенство со знаком $\ge$ имеет то же самое множество решений?

Этот вопрос обычно подразумевает, что решения ищутся в множестве целых чисел. В множестве действительных чисел найти такое неравенство невозможно, так как множество решений для $t>9$ — это открытый интервал $(9, +\infty)$, а для неравенства со знаком $\ge$ — это промежуток, включающий свою начальную точку (например, $[c, +\infty)$).

Рассмотрим решения в целых числах:

1. Целочисленные решения неравенства $t > 9$ — это все целые числа, которые больше 9. Первое такое число — 10. Таким образом, множество решений: $\{10, 11, 12, 13, \ldots\}$.

2. Нам нужно найти неравенство вида $t \ge c$, которое имеет то же самое множество целочисленных решений. Наименьшим решением является число 10, и оно должно входить в искомое множество. Этому условию соответствует неравенство $t \ge 10$. Его решения в целых числах также будут $\{10, 11, 12, 13, \ldots\}$.

Ответ: $t \ge 10$.

8. Верны ли высказывания?

1) Некоторые решения неравенства $x \ge 5$ являются однозначными числами.

2) Все решения неравенства $x \ge 5$ являются однозначными числами.

1) Некоторые решения неравенства $x \ge 5$ являются однозначными числами.

Для того чтобы определить верность этого высказывания, необходимо найти решения неравенства $x \ge 5$ и проверить, есть ли среди них однозначные числа.
Решениями неравенства являются все числа, которые больше или равны 5. Например, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.5 и так далее.
Однозначными числами называются целые числа, для записи которых используется одна цифра (от 0 до 9).
Выберем из множества решений неравенства числа, которые также являются однозначными. Такими числами являются 5, 6, 7, 8 и 9. Все они удовлетворяют условию $x \ge 5$.
Поскольку мы нашли хотя бы одно такое решение (а в данном случае их пять), утверждение о том, что "некоторые решения" являются однозначными числами, является верным.
Ответ: высказывание верно.

2) Все решения неравенства $x \ge 5$ являются однозначными числами.

Это высказывание утверждает, что любое число, которое больше или равно 5, обязательно является однозначным.
Чтобы проверить это утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример – то есть число, которое является решением неравенства, но не является однозначным.
Рассмотрим число 10. Оно является решением неравенства, так как $10 \ge 5$. Однако число 10 является двузначным, а не однозначным.
Другие контрпримеры: 15, 100, 50.4. Все эти числа больше 5, но не являются однозначными.
Поскольку существуют решения неравенства $x \ge 5$, которые не являются однозначными числами, данное высказывание неверно.
Ответ: высказывание неверно.

6 a) Масса помидора $\frac{3}{10}$ кг, а масса огурца $\frac{4}{10}$ кг. Чему равна общая масса помидора и огурца в килограммах, в граммах?

б) Помидорами занято $\frac{6}{17}$ поля, а огурцами $\frac{5}{17}$ поля. Какая часть поля занята помидорами и огурцами? Что занимает большую площадь — помидоры или огурцы?

а)

1. Чтобы найти общую массу помидора и огурца, нужно сложить их массы.

Масса помидора равна $\frac{3}{10}$ кг, а масса огурца — $\frac{4}{10}$ кг. Складываем эти дроби:

$\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3+4}{10} = \frac{7}{10}$ кг.

2. Теперь переведем общую массу в граммы. Мы знаем, что в 1 килограмме 1000 граммов.

Чтобы найти массу в граммах, нужно массу в килограммах умножить на 1000:

$\frac{7}{10} \times 1000 = \frac{7 \times 1000}{10} = 7 \times 100 = 700$ г.

Ответ: общая масса помидора и огурца равна $\frac{7}{10}$ кг, или 700 г.

б)

1. Чтобы узнать, какая часть поля занята помидорами и огурцами вместе, нужно сложить части поля, которые они занимают по отдельности.

Помидорами занято $\frac{6}{17}$ поля, а огурцами — $\frac{5}{17}$ поля.

$\frac{6}{17} + \frac{5}{17} = \frac{6+5}{17} = \frac{11}{17}$.

Таким образом, помидорами и огурцами вместе занято $\frac{11}{17}$ поля.

2. Чтобы определить, что занимает большую площадь, нужно сравнить дроби $\frac{6}{17}$ (помидоры) и $\frac{5}{17}$ (огурцы).

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Так как $6 > 5$, то $\frac{6}{17} > \frac{5}{17}$.

Следовательно, помидоры занимают большую площадь.

Ответ: помидорами и огурцами занято $\frac{11}{17}$ поля; помидоры занимают большую площадь.

7. Заполни таблицы:

+ $\frac{3}{24}$ $\frac{9}{24}$ $\frac{11}{24}$

$\frac{7}{24}$

$\frac{9}{24}$

$\frac{12}{24}$

+ $\frac{5}{36}$ $\frac{8}{36}$ $\frac{19}{36}$

$\frac{2}{36}$

$\frac{6}{36}$

$\frac{15}{36}$

Для того чтобы заполнить таблицы, необходимо для каждой пустой ячейки выполнить сложение дробей. Складывать нужно дробь из крайнего левого столбца, соответствующую строке ячейки, и дробь из верхней строки, соответствующую столбцу ячейки. Поскольку все дроби в каждой таблице имеют одинаковый знаменатель, для их сложения нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменений. Например, $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$.

В этой таблице все дроби имеют знаменатель 24. Будем последовательно складывать дроби и заполнять ячейки.

• Первая строка:
  • $\frac{7}{24} + \frac{3}{24} = \frac{7+3}{24} = \frac{10}{24}$
  • $\frac{7}{24} + \frac{9}{24} = \frac{7+9}{24} = \frac{16}{24}$
  • $\frac{7}{24} + \frac{11}{24} = \frac{7+11}{24} = \frac{18}{24}$
• Вторая строка:
  • $\frac{9}{24} + \frac{3}{24} = \frac{9+3}{24} = \frac{12}{24}$
  • $\frac{9}{24} + \frac{9}{24} = \frac{9+9}{24} = \frac{18}{24}$
  • $\frac{9}{24} + \frac{11}{24} = \frac{9+11}{24} = \frac{20}{24}$
• Третья строка:
  • $\frac{12}{24} + \frac{3}{24} = \frac{12+3}{24} = \frac{15}{24}$
  • $\frac{12}{24} + \frac{9}{24} = \frac{12+9}{24} = \frac{21}{24}$
  • $\frac{12}{24} + \frac{11}{24} = \frac{12+11}{24} = \frac{23}{24}$

Ответ:

В этой таблице все дроби имеют знаменатель 36. Выполним сложение аналогично предыдущей таблице.

• Первая строка:
  • $\frac{2}{36} + \frac{5}{36} = \frac{2+5}{36} = \frac{7}{36}$
  • $\frac{2}{36} + \frac{8}{36} = \frac{2+8}{36} = \frac{10}{36}$
  • $\frac{2}{36} + \frac{19}{36} = \frac{2+19}{36} = \frac{21}{36}$
• Вторая строка:
  • $\frac{6}{36} + \frac{5}{36} = \frac{6+5}{36} = \frac{11}{36}$
  • $\frac{6}{36} + \frac{8}{36} = \frac{6+8}{36} = \frac{14}{36}$
  • $\frac{6}{36} + \frac{19}{36} = \frac{6+19}{36} = \frac{25}{36}$
• Третья строка:
  • $\frac{15}{36} + \frac{5}{36} = \frac{15+5}{36} = \frac{20}{36}$
  • $\frac{15}{36} + \frac{8}{36} = \frac{15+8}{36} = \frac{23}{36}$
  • $\frac{15}{36} + \frac{19}{36} = \frac{15+19}{36} = \frac{34}{36}$

Ответ:

8 Найди значение выражения $x + \frac{15}{42}$, если $x = \frac{4}{42}$, $\frac{8}{42}$, $\frac{25}{42}$.

Чтобы найти значение выражения, необходимо последовательно подставить каждое из данных значений переменной $x$ в выражение $x + \frac{15}{42}$ и выполнить вычисления.

Если $x = \frac{4}{42}$

Подставляем значение $x$ в выражение:

$x + \frac{15}{42} = \frac{4}{42} + \frac{15}{42}$

Так как у дробей одинаковый знаменатель, складываем их числители:

$\frac{4 + 15}{42} = \frac{19}{42}$

Дробь $\frac{19}{42}$ является несократимой, так как числитель 19 — простое число, и знаменатель 42 на него не делится.

Ответ: $\frac{19}{42}$.

Если $x = \frac{8}{42}$

Подставляем значение $x$ в выражение:

$x + \frac{15}{42} = \frac{8}{42} + \frac{15}{42}$

Складываем числители дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{8 + 15}{42} = \frac{23}{42}$

Дробь $\frac{23}{42}$ является несократимой, так как числитель 23 — простое число, и знаменатель 42 на него не делится.

Ответ: $\frac{23}{42}$.

Если $x = \frac{25}{42}$

Подставляем значение $x$ в выражение:

$x + \frac{15}{42} = \frac{25}{42} + \frac{15}{42}$

Складываем числители дробей:

$\frac{25 + 15}{42} = \frac{40}{42}$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\frac{40 \div 2}{42 \div 2} = \frac{20}{21}$

Ответ: $\frac{20}{21}$.

9 Вычисли произведение, записав его в виде суммы:

а) $\frac{3}{20} \cdot 4;$

б) $\frac{6}{25} \cdot 3;$

в) $\frac{2}{100} \cdot 6;$

г) $\frac{3}{1000} \cdot 5.$

Как быстрее умножить дробь на натуральное число?

а)

Произведение $\frac{3}{20} \cdot 4$ можно представить как сумму четырех слагаемых, каждое из которых равно $\frac{3}{20}$.
$\frac{3}{20} \cdot 4 = \frac{3}{20} + \frac{3}{20} + \frac{3}{20} + \frac{3}{20} = \frac{3+3+3+3}{20} = \frac{12}{20}$
Сократим полученную дробь на 4:
$\frac{12}{20} = \frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5}$
Ответ: $\frac{3}{5}$

б)

Произведение $\frac{6}{25} \cdot 3$ можно представить как сумму трех слагаемых, каждое из которых равно $\frac{6}{25}$.
$\frac{6}{25} \cdot 3 = \frac{6}{25} + \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{6+6+6}{25} = \frac{18}{25}$
Дробь $\frac{18}{25}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{18}{25}$

в)

Произведение $\frac{2}{100} \cdot 6$ можно представить как сумму шести слагаемых, каждое из которых равно $\frac{2}{100}$.
$\frac{2}{100} \cdot 6 = \frac{2}{100} + \frac{2}{100} + \frac{2}{100} + \frac{2}{100} + \frac{2}{100} + \frac{2}{100} = \frac{2 \cdot 6}{100} = \frac{12}{100}$
Сократим полученную дробь на 4:
$\frac{12}{100} = \frac{12 \div 4}{100 \div 4} = \frac{3}{25}$
Ответ: $\frac{3}{25}$

г)

Произведение $\frac{3}{1000} \cdot 5$ можно представить как сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно $\frac{3}{1000}$.
$\frac{3}{1000} \cdot 5 = \frac{3}{1000} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{1000} = \frac{3 \cdot 5}{1000} = \frac{15}{1000}$
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{15}{1000} = \frac{15 \div 5}{1000 \div 5} = \frac{3}{200}$
Ответ: $\frac{3}{200}$

Как быстрее умножить дробь на натуральное число?

Из решенных примеров видно, что умножение дроби на натуральное число — это то же самое, что и сложение этой дроби самой с собой соответствующее число раз. В результате получается дробь, у которой знаменатель тот же, а числитель равен произведению числителя исходной дроби на натуральное число.
Поэтому, чтобы быстрее умножить дробь на натуральное число, нужно ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
Это правило можно записать в виде формулы: $\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a \cdot c}{b}$
Этот способ намного быстрее, чем запись и вычисление длинной суммы, особенно когда натуральное число большое.
Ответ: Чтобы быстрее умножить дробь на натуральное число, нужно ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

10 Автобус ехал 3 ч со скоростью 54 км/ч. Оказалось, что он проехал $ \frac{9}{14} $ всего пути. Сколько всего километров он должен проехать? С какой скоростью надо ехать автобусу, чтобы преодолеть оставшееся расстояние за 2 ч?

проехал осталось

$s$ $v$ $t$

? км/ч 2 ч

Задача состоит из двух частей. Решим их по порядку.

Сколько всего километров он должен проехать?

1. Сначала определим, какое расстояние автобус уже проехал. Для этого умножим его скорость на время в пути, используя формулу расстояния $s = v \cdot t$.

$54 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 162 \text{ км}$

2. В условии сказано, что 162 км — это $\frac{9}{14}$ всего пути. Чтобы найти общую длину пути, нужно расстояние, которое уже проехал автобус, разделить на эту дробь (или, что то же самое, найти число по его части).

$162 \div \frac{9}{14} = 162 \cdot \frac{14}{9} = \frac{162 \cdot 14}{9} = 18 \cdot 14 = 252 \text{ км}$

Ответ: всего автобус должен проехать 252 км.

С какой скоростью надо ехать автобусу, чтобы преодолеть оставшееся расстояние за 2 ч?

1. Сначала вычислим, какое расстояние осталось проехать. Для этого из общего расстояния вычтем уже пройденное.

$252 \text{ км} - 162 \text{ км} = 90 \text{ км}$

2. Теперь, зная оставшееся расстояние (90 км) и время, за которое его нужно проехать (2 ч), мы можем найти необходимую скорость по формуле $v = \frac{s}{t}$.

$\frac{90 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 45 \text{ км/ч}$

Ответ: чтобы преодолеть оставшееся расстояние за 2 часа, автобусу надо ехать со скоростью 45 км/ч.

11 Найди значение выражения:

a) $418560 : (34 \cdot 25 - 196) \cdot 708 - 500347 : 983 + 8989898;$

б) $10000 \cdot 1000 - 1818880 : (87 \cdot 78 - 412300 : 70) \cdot 970.$

а) $418560 : (34 \cdot 25 - 196) \cdot 708 - 500347 : 983 + 8989898$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в конце – сложение и вычитание (слева направо).

1. Выполним действия в скобках: $(34 \cdot 25 - 196)$.

1.1. Сначала умножение: $34 \cdot 25 = 850$.

1.2. Затем вычитание: $850 - 196 = 654$.

2. Теперь выражение выглядит так: $418560 : 654 \cdot 708 - 500347 : 983 + 8989898$.

3. Выполним умножение и деление по порядку слева направо:

3.1. Первое деление: $418560 : 654 = 640$.

3.2. Затем умножение: $640 \cdot 708 = 453120$.

3.3. Второе деление: $500347 : 983 = 509$.

4. Выражение принимает вид: $453120 - 509 + 8989898$.

5. Выполним сложение и вычитание слева направо:

5.1. Вычитание: $453120 - 509 = 452611$.

5.2. Сложение: $452611 + 8989898 = 9442509$.

Ответ: $9442509$.

б) $10000 \cdot 1000 - 1818880 : (87 \cdot 78 - 412300 : 70) \cdot 970$

Решаем, соблюдая порядок действий: скобки, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

1. Выполним действия в скобках: $(87 \cdot 78 - 412300 : 70)$.

1.1. Сначала умножение и деление внутри скобок слева направо.

1.2. Умножение: $87 \cdot 78 = 6786$.

1.3. Деление: $412300 : 70 = 41230 : 7 = 5890$.

1.4. Теперь вычитание: $6786 - 5890 = 896$.

2. Выражение принимает вид: $10000 \cdot 1000 - 1818880 : 896 \cdot 970$.

3. Выполним умножение и деление по порядку слева направо:

3.1. Первое умножение: $10000 \cdot 1000 = 10000000$.

3.2. Затем деление: $1818880 : 896 = 2030$.

3.3. И второе умножение: $2030 \cdot 970 = 1969100$.

4. Выражение упрощается до: $10000000 - 1969100$.

5. Выполним вычитание:

5.1. $10000000 - 1969100 = 8030900$.

Ответ: $8030900$.

11 Объём бидона равен 4 л, что составляет $ \frac{2}{7} $ объёма канистры и 2% объёма бочки.

а) На сколько больше жидкости вмещает бочка, чем бидон и канистра вместе?

б) Во сколько раз объём бочки больше объёма бидона?

в) Сколько канистр можно налить из бочки, наполненной до краёв? Сколько жидкости ещё останется?

Сначала определим объемы всех емкостей на основе данных из условия.

1. Объем бидона известен: $V_{бидона} = 4$ л.

2. Объем бидона составляет $\frac{2}{7}$ объема канистры. Чтобы найти полный объем канистры ($V_{канистры}$), нужно объем бидона разделить на эту дробь:

$V_{канистры} = 4 \div \frac{2}{7} = 4 \times \frac{7}{2} = 14$ л.

3. Объем бидона составляет $2\%$ объема бочки. Переведем проценты в десятичную дробь: $2\% = 0.02$. Чтобы найти полный объем бочки ($V_{бочки}$), нужно объем бидона разделить на это число:

$V_{бочки} = 4 \div 0.02 = 4 \div \frac{2}{100} = 4 \times \frac{100}{2} = 200$ л.

Итак, объемы емкостей:

• Бидон: $4$ л
• Канистра: $14$ л
• Бочка: $200$ л

Теперь можно ответить на вопросы задачи.

а) На сколько больше жидкости вмещает бочка, чем бидон и канистра вместе?

1. Найдем общий объем бидона и канистры:

$4 \text{ л} + 14 \text{ л} = 18 \text{ л}$.

2. Вычтем этот суммарный объем из объема бочки:

$200 \text{ л} - 18 \text{ л} = 182 \text{ л}$.

Ответ: бочка вмещает на $182$ л жидкости больше, чем бидон и канистра вместе.

б) Во сколько раз объём бочки больше объёма бидона?

1. Разделим объем бочки на объем бидона:

$200 \text{ л} \div 4 \text{ л} = 50$.

Ответ: объем бочки в $50$ раз больше объема бидона.

в) Сколько канистр можно налить из бочки, наполненной до краёв? Сколько жидкости ещё останется?

1. Разделим общий объем бочки на объем одной канистры. Это будет деление с остатком.

$200 \div 14$

Выполним деление: $200 = 14 \times 14 + 4$.

Это означает, что можно наполнить $14$ полных канистр, и после этого в бочке останется $4$ литра жидкости.

Ответ: из бочки можно налить $14$ канистр, и останется $4$ л жидкости.

12 Белочка, зайчонок и оленёнок сделали лодку грузоподъёмностью 30 кг. Масса зайчонка равна $\frac{3}{25}$ массы оленёнка, а масса белочки составляет 6% от массы зайчонка. Могут ли они вместе отправиться в путешествие по реке на своей лодке, если масса белочки равна 180 г?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти суммарную массу белочки, зайчонка и оленёнка, а затем сравнить её с грузоподъёмностью лодки, равной 30 кг.

1. Найдём массу зайчонка. Известно, что масса белочки составляет 6% от массы зайчонка. Масса белочки равна 180 г. Представим 6% в виде десятичной дроби: $6\% = 0.06$.

Пусть $m_з$ — масса зайчонка. Тогда масса белочки ($m_б$) равна $m_б = 0.06 \cdot m_з$.

Отсюда можем найти массу зайчонка:

$m_з = \frac{m_б}{0.06} = \frac{180 \text{ г}}{0.06} = 3000 \text{ г}$.

2. Найдём массу оленёнка. По условию, масса зайчонка составляет $\frac{3}{25}$ от массы оленёнка ($m_о$).

$m_з = \frac{3}{25} \cdot m_о$.

Выразим массу оленёнка:

$m_о = m_з : \frac{3}{25} = 3000 \text{ г} \cdot \frac{25}{3} = 1000 \cdot 25 = 25000 \text{ г}$.

3. Вычислим общую массу всех животных, сложив их массы:

$M_{общая} = m_б + m_з + m_о = 180 \text{ г} + 3000 \text{ г} + 25000 \text{ г} = 28180 \text{ г}$.

4. Переведём общую массу в килограммы для сравнения с грузоподъёмностью лодки. В одном килограмме 1000 граммов.

$28180 \text{ г} = 28.18 \text{ кг}$.

5. Сравним общую массу с грузоподъёмностью лодки:

$28.18 \text{ кг} < 30 \text{ кг}$.

Общая масса животных меньше грузоподъёмности лодки. Следовательно, они все вместе могут отправиться в путешествие.

Ответ: да, могут.

13 Реши уравнения:

а) $a \cdot 948 - 6390 = 429690$;

б) $273996 : b + 15764 = 16151$;

в) $(50 - x) : 7 + 195 = 40 \cdot 5$;

г) $(270 : y - 2) \cdot 30 = 7 \cdot 120$.

а) $a \cdot 948 - 6390 = 429690$
Это уравнение, в котором левая часть представляет собой разность. Уменьшаемое — это произведение $a \cdot 948$, вычитаемое — 6390, а разность — 429690. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$a \cdot 948 = 429690 + 6390$
$a \cdot 948 = 436080$
Теперь у нас есть уравнение, в котором неизвестен один из множителей. Чтобы найти неизвестный множитель $a$, нужно произведение (436080) разделить на известный множитель (948).
$a = 436080 : 948$
$a = 460$
Проверка: $460 \cdot 948 - 6390 = 436080 - 6390 = 429690$. Верно.
Ответ: $a = 460$.

б) $273996 : b + 15764 = 16151$
В этом уравнении левая часть — это сумма. Первое слагаемое — частное $273996 : b$, второе слагаемое — 15764, а сумма — 16151. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$273996 : b = 16151 - 15764$
$273996 : b = 387$
Теперь у нас есть уравнение, в котором неизвестен делитель $b$. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое (273996) разделить на частное (387).
$b = 273996 : 387$
$b = 708$
Проверка: $273996 : 708 + 15764 = 387 + 15764 = 16151$. Верно.
Ответ: $b = 708$.

в) $(50 - x) : 7 + 195 = 40 \cdot 5$
Сначала упростим правую часть уравнения, выполнив умножение.
$40 \cdot 5 = 200$
Уравнение принимает вид:
$(50 - x) : 7 + 195 = 200$
Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое $(50 - x) : 7$, вычтем из суммы (200) известное слагаемое (195).
$(50 - x) : 7 = 200 - 195$
$(50 - x) : 7 = 5$
Чтобы найти неизвестное делимое $(50 - x)$, нужно частное (5) умножить на делитель (7).
$50 - x = 5 \cdot 7$
$50 - x = 35$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$, нужно из уменьшаемого (50) вычесть разность (35).
$x = 50 - 35$
$x = 15$
Проверка: $(50 - 15) : 7 + 195 = 35 : 7 + 195 = 5 + 195 = 200$. $40 \cdot 5 = 200$. Верно.
Ответ: $x = 15$.

г) $(270 : y - 2) \cdot 30 = 7 \cdot 120$
Сначала упростим правую часть уравнения.
$7 \cdot 120 = 840$
Уравнение принимает вид:
$(270 : y - 2) \cdot 30 = 840$
Чтобы найти неизвестный множитель $(270 : y - 2)$, разделим произведение (840) на известный множитель (30).
$270 : y - 2 = 840 : 30$
$270 : y - 2 = 28$
Теперь, чтобы найти неизвестное уменьшаемое $270 : y$, прибавим к разности (28) вычитаемое (2).
$270 : y = 28 + 2$
$270 : y = 30$
Чтобы найти неизвестный делитель $y$, нужно делимое (270) разделить на частное (30).
$y = 270 : 30$
$y = 9$
Проверка: $(270 : 9 - 2) \cdot 30 = (30 - 2) \cdot 30 = 28 \cdot 30 = 840$. $7 \cdot 120 = 840$. Верно.
Ответ: $y = 9$.

14 Вставь пропущенные цифры и сделай проверку:

а) $ \begin{array}{lr} & 3\Box95\Box7 \\ + & 52\Box9\Box \\ \hline & \Box2\Box405 \end{array} $

Пустая сетка для проверки.

б) $ \begin{array}{lr} & \Box2\Box3\Box9 \\ - & \Box9605 \\ \hline & 494\Box1\Box \end{array} $

Пустая сетка для проверки.

а)

Чтобы найти пропущенные цифры в примере на сложение, будем двигаться поразрядно справа налево.

$ \_3\boxed{\phantom{0}}95\boxed{\phantom{0}}7 $
$ + \ 52\boxed{\phantom{0}}9\boxed{\phantom{0}} $
$ —————————— $
$ \boxed{\phantom{0}}2\boxed{\phantom{0}}405 $

1. Разряд единиц: $7 + \text{?_1} = 5$. Сумма должна оканчиваться на 5, значит, это 15. $7 + 8 = 15$. Вписываем 8, а 1 переносим в разряд десятков.
2. Разряд десятков: $1 \text{(перенос)} + \text{?_2} + 9 = 0$. Сумма должна оканчиваться на 0, значит, это 10. $10 + \text{?_2} = 10$. Следовательно, недостающая цифра - 0. Вписываем 0, а 1 переносим в разряд сотен.
3. Разряд сотен: $1 \text{(перенос)} + 5 + \text{?_3} = 4$. Сумма должна оканчиваться на 4, значит, это 14. $6 + \text{?_3} = 14$. Следовательно, недостающая цифра - 8. Вписываем 8, а 1 переносим в разряд тысяч.
4. Разряд тысяч: $1 \text{(перенос)} + 9 + 2 = 12$. В результате на этом месте стоит 2. Все верно. 1 переносим в разряд десятков тысяч.
5. Разряд десятков тысяч: $1 \text{(перенос)} + \text{?_4} + 5 = 2$. Сумма должна оканчиваться на 2, значит, это 12. $6 + \text{?_4} = 12$. Следовательно, недостающая цифра - 6. Вписываем 6, а 1 переносим в разряд сотен тысяч.
6. Разряд сотен тысяч: $1 \text{(перенос)} + 3 = 4$. Вписываем 4.

Получаем следующий решенный пример:

$ \_369507 $
$ + \ \ 52898 $
$ ———————— $
$ \ \ 422405 $

Проверка:

Чтобы проверить сложение, нужно из суммы вычесть одно из слагаемых. Должно получиться второе слагаемое.

$422405 - 369507 = 52898$

$ \_422405 $
$ - \ 369507 $
$ ———————— $
$ \ \ \ 52898 $

Проверка показывает, что решение верное.

Ответ:
$ \_369507 $
$ + \ \ 52898 $
$ ———————— $
$ \ \ 422405 $

б)

В условии этого примера, вероятно, допущена опечатка. При вычислении в столбик в разряде сотен мы получаем действие: $3-6$. Чтобы его выполнить, нужно занять единицу из старшего разряда, и тогда получится $13 - 6 = 7$. Однако в итоговом числе в этом разряде стоит 4. Поскольку $7 \neq 4$, пример в исходном виде не имеет решения.

Наиболее вероятной является опечатка в вычитаемом, где вместо цифры 6 должна стоять 9. В этом случае $13-9=4$, и пример решается. Решим задачу с этим исправлением.

$ \boxed{\phantom{0}}2\boxed{\phantom{0}}3\boxed{\phantom{0}}9 $
$ - \ \boxed{\phantom{0}}9905 $
$ —————————— $
$ \ 4941\boxed{\phantom{0}} $

1. Разряд единиц: $9 - 5 = \text{?_1}$. Отсюда, пропущенная цифра - 4.
2. Разряд десятков: $\text{?_2} - 0 = 1$. Отсюда, пропущенная цифра - 1.
3. Разряд сотен: $3 - 9 = 4$. Требуется заём из старшего разряда. $13 - 9 = 4$. Верно.
4. Разряд тысяч: $(\text{?_3} - 1) - 9 = 9$. Также требуется заём. $(10 + \text{?_3} - 1) - 9 = 9$, или $\text{?_3} + 9 = 18$. Отсюда, пропущенная цифра - 9.
5. Разряд десятков тысяч: $(2 - 1) - \text{?_4} = 4$. После всех заёмов у нас $1 - \text{?_4} = 4$. Снова нужен заём. $(10 + 1) - \text{?_4} = 4$, или $11 - \text{?_4} = 4$. Отсюда, пропущенная цифра - 7.
6. Разряд сотен тысяч: $(\text{?_5} - 1) - 0 = 0$. Так как в разности отсутствует шестой разряд, результат вычитания здесь равен 0. $\text{?_5} - 1 = 0$. Отсюда, пропущенная цифра - 1.

Получаем следующий решенный пример (с исправлением):

$ \_129319 $
$ - \ \ 79905 $
$ ———————— $
$ \ \ \ 49414 $

Проверка:

Чтобы проверить вычитание, нужно к разности прибавить вычитаемое. Должно получиться уменьшаемое.

$49414 + 79905 = 129319$

$ \_49414 $
$ + \ 79905 $
$ ———————— $
$ \ 129319 $

Проверка показывает, что решение верное.

Ответ:
(с учётом исправления опечатки в условии: цифра 6 в вычитаемом заменена на 9)
$ \_129319 $
$ - \ \ 79905 $
$ ———————— $
$ \ \ \ 49414 $

15 В дружной семье пять мужчин, и все они носят одну фамилию.

Разница в возрасте между любым отцом и сыном 22 года. Правнука зовут Игорь Петрович, его деда — Митрофан Тимофеевич.

Как звали в детстве главу семьи и сколько ему лет, если Серёже, сыну Игоря, исполнилось 3 года? Сколько лет Петру Митрофановичу?

Для решения этой задачи необходимо сначала восстановить родственные связи в семье, используя имена и отчества, а затем рассчитать возраст каждого, исходя из известных данных.

В семье 5 мужчин, и все они являются прямыми потомками друг друга. Выстроим цепочку от младшего к старшему:

• Самый младший — Серёжа.
• Его отец — Игорь Петрович. Отчество "Петрович" говорит нам, что отца Игоря зовут Пётр.
• Правнука (Игоря) деда зовут Митрофан Тимофеевич. Значит, Митрофан — отец Петра. Отчество "Тимофеевич" означает, что отца Митрофана зовут Тимофей.
• Таким образом, Тимофей — самый старший в роду, глава семьи.

Получается следующая цепочка поколений (от старшего к младшему):

1. Тимофей (прапрадед)
2. Митрофан Тимофеевич (прадед)
3. Пётр Митрофанович (дед)
4. Игорь Петрович (отец)
5. Серёжа Игоревич (сын)

Теперь, зная, что Серёже 3 года, а разница в возрасте между отцом и сыном всегда 22 года, мы можем найти возраст каждого члена семьи.

Как звали в детстве главу семьи и сколько ему лет?

Глава семьи — это самый старший мужчина, Тимофей. В детстве его уменьшительно-ласкательное имя, скорее всего, было Тимоша. Чтобы найти его возраст, нужно последовательно прибавить по 22 года для каждого поколения, начиная с возраста Серёжи.

1. Возраст Игоря (отца Серёжи): $3 \text{ года} + 22 \text{ года} = 25 \text{ лет}$.
2. Возраст Петра (отца Игоря): $25 \text{ лет} + 22 \text{ года} = 47 \text{ лет}$.
3. Возраст Митрофана (отца Петра): $47 \text{ лет} + 22 \text{ года} = 69 \text{ лет}$.
4. Возраст Тимофея (отца Митрофана): $69 \text{ лет} + 22 \text{ года} = 91 \text{ год}$.

Ответ: Главу семьи в детстве звали Тимоша, ему 91 год.

Сколько лет Петру Митрофановичу?

Пётр Митрофанович — это отец Игоря и дед Серёжи. Его возраст был рассчитан в предыдущем пункте. Он на 22 года старше своего сына Игоря.

Возраст Игоря: $3 + 22 = 25 \text{ лет}$.
Возраст Петра: $25 + 22 = 47 \text{ лет}$.

Ответ: Петру Митрофановичу 47 лет.

16 Какое самое маленькое число делится на все натуральные числа от 1 до 10?

Чтобы найти самое маленькое число, которое делится на все натуральные числа от 1 до 10, необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК). То есть, нам нужно вычислить НОК(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).

Для этого разложим каждое число из этого диапазона на простые множители:

• $1$ — не имеет простых множителей
• $2 = 2$
• $3 = 3$
• $4 = 2^2$
• $5 = 5$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $7 = 7$
• $8 = 2^3$
• $9 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$

Теперь, чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в его наибольшей степени из всех разложений:

• Для простого множителя 2 наибольшая степень равна 3 (из разложения числа 8, $2^3$).
• Для простого множителя 3 наибольшая степень равна 2 (из разложения числа 9, $3^2$).
• Для простого множителя 5 наибольшая степень равна 1 (из разложения числа 5, $5^1$).
• Для простого множителя 7 наибольшая степень равна 1 (из разложения числа 7, $7^1$).

Перемножим эти множители в их наивысших степенях, чтобы найти НОК:

$НОК = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1$

Вычислим значение этого выражения:

$НОК = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$

Следовательно, самое маленькое число, которое делится на все натуральные числа от 1 до 10, это 2520.

Ответ: 2520