Страница 15, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

13 Запиши множество многоугольников, изображённых на рисунке:

а) содержащих угол $B$;

треугольник $\triangle ABC$, четырехугольник $ABCD$, пятиугольник $ABCDE$.

б) не содержащих угол $E$;

треугольник $\triangle ABC$, треугольник $\triangle ACD$, четырехугольник $ABCD$.

в) одной из сторон которых является сторона $AC$.

треугольник $\triangle ABC$, треугольник $\triangle ACD$, четырехугольник $ACDE$.

Для решения задачи сначала определим все многоугольники, которые изображены на рисунке. На нем можно выделить следующие фигуры:
- Треугольник $ABC$
- Треугольник $ACD$
- Треугольник $ADE$
- Четырехугольник $ABCD$ (составленный из треугольников $ABC$ и $ACD$)
- Четырехугольник $ACDE$ (составленный из треугольников $ACD$ и $ADE$)
- Пятиугольник $ABCDE$ (составленный из всех трех треугольников).
Теперь, исходя из этого списка, найдем множества многоугольников, удовлетворяющих заданным условиям.

а) содержащих угол B
Многоугольник содержит угол $B$, если точка $B$ является одной из его вершин. Проверим каждый многоугольник из нашего списка:
- Треугольник $ABC$: имеет вершину $B$. Подходит.
- Треугольник $ACD$: не имеет вершины $B$. Не подходит.
- Треугольник $ADE$: не имеет вершины $B$. Не подходит.
- Четырехугольник $ABCD$: имеет вершину $B$. Подходит.
- Четырехугольник $ACDE$: не имеет вершины $B$. Не подходит.
- Пятиугольник $ABCDE$: имеет вершину $B$. Подходит.
Таким образом, множество многоугольников, содержащих угол $B$, состоит из трех фигур.
Ответ: $\{ABC, ABCD, ABCDE\}$

б) не содержащих угол E
Требуется найти все многоугольники, у которых точка $E$ не является вершиной. Проверим каждую фигуру:
- Треугольник $ABC$: не имеет вершины $E$. Подходит.
- Треугольник $ACD$: не имеет вершины $E$. Подходит.
- Треугольник $ADE$: имеет вершину $E$. Не подходит.
- Четырехугольник $ABCD$: не имеет вершины $E$. Подходит.
- Четырехугольник $ACDE$: имеет вершину $E$. Не подходит.
- Пятиугольник $ABCDE$: имеет вершину $E$. Не подходит.
Таким образом, искомое множество состоит из трех многоугольников.
Ответ: $\{ABC, ACD, ABCD\}$

в) одной из сторон которых является сторона AC
Сторона $AC$ является стороной многоугольника, если его вершины $A$ и $C$ — соседние. Если же вершины $A$ и $C$ не соседние, то отрезок $AC$ является диагональю. Проанализируем все фигуры:
- Треугольник $ABC$: стороны $AB, BC, AC$. $AC$ является стороной. Подходит.
- Треугольник $ACD$: стороны $AC, CD, DA$. $AC$ является стороной. Подходит.
- Треугольник $ADE$: стороны $AD, DE, EA$. $AC$ не является стороной. Не подходит.
- Четырехугольник $ABCD$: стороны $AB, BC, CD, DA$. $AC$ является диагональю. Не подходит.
- Четырехугольник $ACDE$: стороны $AC, CD, DE, EA$. $AC$ является стороной. Подходит.
- Пятиугольник $ABCDE$: стороны $AB, BC, CD, DE, EA$. $AC$ является диагональю. Не подходит.
Следовательно, множество искомых многоугольников включает три фигуры.
Ответ: $\{ABC, ACD, ACDE\}$

14 Отгадай загадку:

Б $ (17 + 28) : 9 $

Д $ 20 \cdot 8 : 40 $

А $ (76 - 40) : 18 \cdot 8 $

Н $ 60 - 32 : 4 $

О $ 75 : 3 \cdot 2 - 18 $

Т $ 650 : 5 \cdot 3 : 10 $

И $ (80 - 50) : 15 $

Л $ 800 : 100 \cdot 9 : 3 $

Ч $ 280 \cdot 2 : 80 \cdot 12 $

К $ 27 \cdot 3 - 34 $

Б $ 600 : 10 \cdot 3 : 18 $

Е $ 100 - 72 : 9 \cdot 11 $

Ю $ 15 \cdot (16 - 9) : 3 $

39 32 32 52 - 10 24 2 52 , 39 32 32 52 - 47 24 2 52 ,

52 32 84 5 35 52 16 52 12 10 12 32 4 2 52 .

Для того чтобы отгадать загадку, необходимо решить все примеры, а затем подставить буквы, соответствующие ответам, в пустые клетки таблицы.

Вычисление значений для каждой буквы

Б

$(17 + 28) : 9$

1. Сначала выполняем действие в скобках: $17 + 28 = 45$.

2. Затем выполняем деление: $45 : 9 = 5$.

Ответ: 5

Н

$60 - 32 : 4$

1. Согласно порядку действий, сначала выполняем деление: $32 : 4 = 8$.

2. Затем выполняем вычитание: $60 - 8 = 52$.

Ответ: 52

И

$(80 - 50) : 15$

1. Выполняем действие в скобках: $80 - 50 = 30$.

2. Выполняем деление: $30 : 15 = 2$.

Ответ: 2

К

$27 \cdot 3 - 34$

1. Сначала выполняем умножение: $27 \cdot 3 = 81$.

2. Затем выполняем вычитание: $81 - 34 = 47$.

Ответ: 47

Д

$20 \cdot 8 : 40$

1. Выполняем действия умножения и деления по порядку слева направо. Сначала умножение: $20 \cdot 8 = 160$.

2. Затем деление: $160 : 40 = 4$.

Ответ: 4

О

$75 : 3 \cdot 2 - 18$

1. Выполняем действия деления и умножения слева направо: $75 : 3 = 25$.

2. Далее умножение: $25 \cdot 2 = 50$.

3. Последним действием выполняем вычитание: $50 - 18 = 32$.

Ответ: 32

Л

$800 : 100 \cdot 9 : 3$

1. Выполняем действия деления и умножения по порядку слева направо. Первое деление: $800 : 100 = 8$.

2. Затем умножение: $8 \cdot 9 = 72$.

3. Второе деление: $72 : 3 = 24$.

Ответ: 24

Б

$600 : 10 \cdot 3 : 18$

1. Выполняем действия деления и умножения по порядку слева направо. Первое деление: $600 : 10 = 60$.

2. Затем умножение: $60 \cdot 3 = 180$.

3. Второе деление: $180 : 18 = 10$.

Ответ: 10

А

$(76 - 40) : 18 \cdot 8$

1. Выполняем действие в скобках: $76 - 40 = 36$.

2. Выполняем деление: $36 : 18 = 2$.

3. Выполняем умножение: $2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16

Т

$650 : 5 \cdot 3 : 10$

1. Выполняем действия деления и умножения по порядку слева направо. Первое деление: $650 : 5 = 130$.

2. Затем умножение: $130 \cdot 3 = 390$.

3. Второе деление: $390 : 10 = 39$.

Ответ: 39

Ч

$280 \cdot 2 : 80 \cdot 12$

1. Выполняем действия умножения и деления по порядку слева направо. Первое умножение: $280 \cdot 2 = 560$.

2. Затем деление: $560 : 80 = 7$.

3. Второе умножение: $7 \cdot 12 = 84$.

Ответ: 84

Е

$100 - 72 : 9 \cdot 11$

1. По порядку действий сначала выполняем деление: $72 : 9 = 8$.

2. Затем умножение: $8 \cdot 11 = 88$.

3. В конце выполняем вычитание: $100 - 88 = 12$.

Ответ: 12

Ю

$15 \cdot (16 - 9) : 3$

1. Сначала выполняем действие в скобках: $16 - 9 = 7$.

2. Затем выполняем умножение: $15 \cdot 7 = 105$.

3. В конце выполняем деление: $105 : 3 = 35$.

Ответ: 35

Расшифровка и отгадка

Сопоставим полученные ответы с буквами:

• А $\rightarrow$ 16
• Б $\rightarrow$ 5, 10
• Д $\rightarrow$ 4
• Е $\rightarrow$ 12
• И $\rightarrow$ 2
• К $\rightarrow$ 47
• Л $\rightarrow$ 24
• Н $\rightarrow$ 52
• О $\rightarrow$ 32
• Т $\rightarrow$ 39
• Ч $\rightarrow$ 84
• Ю $\rightarrow$ 35

Теперь подставим буквы в ячейки, используя числа как ключ:

39 32 $\rightarrow$ ТО

32 52 $\rightarrow$ ОН

10 24 2 52 $\rightarrow$ БЛИН,

39 32 $\rightarrow$ ТО

32 52 $\rightarrow$ ОН

47 24 2 52 $\rightarrow$ КЛИН,

52 32 84 5 35 $\rightarrow$ НОЧЬЮ

52 16 $\rightarrow$ НА

52 12 10 12 $\rightarrow$ НЕБЕ

32 4 2 52 $\rightarrow$ ОДИН.

В результате получилась загадка: «То он блин, то он клин, ночью на небе один».

Ответ: Месяц

15 Собрался Иван Царевич на бой со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым.

«Вот тебе меч-кладенец, — говорит ему Баба Яга. — Одним ударом ты можешь срубить Змею либо 1 голову, либо 2 головы, либо 1 хвост, либо 2 хвоста.

Запомни: срубишь голову — новая вырастет, срубишь хвост — 2 новых вырастут, срубишь 2 хвоста — голова вырастет, срубишь 2 головы — ничего не вырастет».

Сможет ли Иван-царевич срубить Змею все головы и все хвосты за 9 ударов? Обоснуй свой ответ.

Да, Иван-царевич сможет срубить Змею все головы и все хвосты за 9 ударов. Для этого ему нужна правильная последовательность действий. Обоснуем это математически и приведем пример такой последовательности.

Изначально у Змея 3 головы и 3 хвоста. Цель — 0 голов и 0 хвостов.

Рассмотрим, как каждый тип удара изменяет количество голов (Г) и хвостов (Х):

• Срубить 1 голову: количество голов не меняется ($\DeltaГ = -1+1=0$), количество хвостов не меняется. Этот удар бесполезен для победы.
• Срубить 2 головы: количество голов уменьшается на 2 ($\DeltaГ = -2$), количество хвостов не меняется.
• Срубить 1 хвост: количество хвостов увеличивается на 1 ($\DeltaХ = -1+2=1$), количество голов не меняется.
• Срубить 2 хвоста: количество хвостов уменьшается на 2 ($\DeltaХ = -2$), а количество голов увеличивается на 1 ($\DeltaГ = +1$).

Пусть $n_1, n_2, n_3, n_4$ — количество ударов каждого типа соответственно. Чтобы победить за 9 ударов, должны выполняться следующие условия:

1. Общее количество ударов: $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 9$.
2. Изменение количества голов: $-2n_2 + n_4 = -3$ (с 3 до 0).
3. Изменение количества хвостов: $n_3 - 2n_4 = -3$ (с 3 до 0).

Из второго уравнения получаем $n_4 = 2n_2 - 3$. Из третьего $n_3 = 2n_4 - 3$.

Подставим $n_4$ в уравнение для $n_3$: $n_3 = 2(2n_2 - 3) - 3 = 4n_2 - 6 - 3 = 4n_2 - 9$.

Поскольку количество ударов не может быть отрицательным ($n_3 \ge 0$), то $4n_2 - 9 \ge 0$, откуда $n_2 \ge 9/4$, то есть $n_2 \ge 2.25$. Так как $n_2$ — целое число, минимальное возможное значение для $n_2$ это 3.

Возьмем $n_2 = 3$. Тогда:

• $n_4 = 2 \cdot 3 - 3 = 3$
• $n_3 = 4 \cdot 3 - 9 = 3$

Теперь подставим найденные значения в первое уравнение, чтобы найти $n_1$:

$n_1 + 3 + 3 + 3 = 9 \implies n_1 = 0$.

Таким образом, для победы нужно нанести 3 удара типа «срубить 2 головы», 3 удара «срубить 1 хвост» и 3 удара «срубить 2 хвоста». Бесполезные удары «срубить 1 голову» не используются.

Осталось показать, что такая последовательность ударов возможна (т.е. на каждом шаге у Змея будет достаточно голов или хвостов для удара). Вот один из возможных вариантов:

1. Удар 1 (срубить 1 хвост): У Змея 3 головы и 4 хвоста.
2. Удар 2 (срубить 1 хвост): У Змея 3 головы и 5 хвостов.
3. Удар 3 (срубить 1 хвост): У Змея 3 головы и 6 хвостов.
4. Удар 4 (срубить 2 хвоста): У Змея 4 головы и 4 хвоста.
5. Удар 5 (срубить 2 хвоста): У Змея 5 голов и 2 хвоста.
6. Удар 6 (срубить 2 хвоста): У Змея 6 голов и 0 хвостов.
7. Удар 7 (срубить 2 головы): У Змея 4 головы и 0 хвостов.
8. Удар 8 (срубить 2 головы): У Змея 2 головы и 0 хвостов.
9. Удар 9 (срубить 2 головы): У Змея 0 голов и 0 хвостов.

Победа! Иван-царевич справился с задачей за 9 ударов.

Ответ: Да, сможет. Существует последовательность ударов, которая позволяет победить Змея за 9 ударов. Например, можно сначала 3 раза срубить по одному хвосту, чтобы их стало больше, затем 3 раза срубить по два хвоста, а оставшиеся 6 голов срубить тремя ударами по две головы.

9. a) Придумай 5 дробей, равных 1.

б) Придумай 3 правильные и 3 неправильные дроби.

а) Дробь равна единице, когда ее числитель и знаменатель равны между собой (при условии, что знаменатель не равен нулю). То есть, любая дробь вида $ \frac{a}{a} $ равна 1. Можно привести бесконечно много таких примеров. Вот 5 из них:
$ \frac{3}{3} $
$ \frac{5}{5} $
$ \frac{12}{12} $
$ \frac{50}{50} $
$ \frac{234}{234} $
Все эти дроби равны 1.
Ответ: $ \frac{3}{3}, \frac{5}{5}, \frac{12}{12}, \frac{50}{50}, \frac{234}{234} $.

б) Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Значение такой дроби всегда меньше 1. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Значение такой дроби всегда больше или равно 1.
Примеры 3 правильных дробей:
$ \frac{1}{2} $ (один меньше двух)
$ \frac{4}{9} $ (четыре меньше девяти)
$ \frac{10}{27} $ (десять меньше двадцати семи)
Примеры 3 неправильных дробей:
$ \frac{7}{4} $ (семь больше четырех)
$ \frac{11}{11} $ (числитель равен знаменателю)
$ \frac{100}{3} $ (сто больше трех)
Ответ: правильные дроби — $ \frac{1}{2}, \frac{4}{9}, \frac{10}{27} $; неправильные дроби — $ \frac{7}{4}, \frac{11}{11}, \frac{100}{3} $.

10 Выполни действия и подчеркни дроби, равные 1.

$\frac{4}{11} + \frac{5}{11} = $ ; $\frac{1}{7} + \frac{6}{7} = $ ; $\frac{5}{8} + \frac{7}{8} = $ ;

$\frac{9}{13} - \frac{6}{13} = $ ; $\frac{11}{6} - \frac{5}{6} = $ ; $\frac{10}{10} - \frac{7}{10} = $ .

$\frac{4}{11} + \frac{5}{11}$

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{4}{11} + \frac{5}{11} = \frac{4+5}{11} = \frac{9}{11}$

Эта дробь не равна 1, так как числитель не равен знаменателю.

Ответ: $\frac{9}{11}$

$\frac{1}{7} + \frac{6}{7}$

Складываем числители, а знаменатель оставляем прежним.

$\frac{1}{7} + \frac{6}{7} = \frac{1+6}{7} = \frac{7}{7}$

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1. Согласно заданию, результат нужно подчеркнуть.

Ответ: $\frac{7}{7}$

$\frac{5}{8} + \frac{7}{8}$

Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменений.

$\frac{5}{8} + \frac{7}{8} = \frac{5+7}{8} = \frac{12}{8}$

Эта дробь не равна 1. Ее можно сократить: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ или представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{12}{8}$

$\frac{9}{13} - \frac{6}{13}$

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{9}{13} - \frac{6}{13} = \frac{9-6}{13} = \frac{3}{13}$

Эта дробь не равна 1.

Ответ: $\frac{3}{13}$

$\frac{11}{6} - \frac{5}{6}$

Вычитаем числители, а знаменатель оставляем прежним.

$\frac{11}{6} - \frac{5}{6} = \frac{11-5}{6} = \frac{6}{6}$

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1. Согласно заданию, результат нужно подчеркнуть.

Ответ: $\frac{6}{6}$

$\frac{10}{10} - \frac{7}{10}$

Вычитаем числители, а знаменатель оставляем без изменений.

$\frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{10-7}{10} = \frac{3}{10}$

Эта дробь не равна 1.

Ответ: $\frac{3}{10}$

Из чисел каждой елочки составь и реши по 4 примера на сложение и вычитание дробей.

$10$, $6$, $3$, $9$, $10$, $10$

$5$, $11$, $23$, $23$, $16$, $23$

$15$, $8$, $15$, $4$, $12$, $15$

БЛИЦтурнир

Для решения задачи составим и решим по 4 примера для каждой елочки, используя указанные на ней числа для составления дробей. На каждой елке есть числа, которые повторяются — их удобно взять в качестве общего знаменателя. В качестве числителей возьмем другие числа с елки, которые связаны между собой сложением и вычитанием.

Числа на елочке: 10, 6, 3, 9, 10, 10. Используем число 10 как общий знаменатель, а числа 3, 6 и 9 — как числители. Эти числа связаны соотношением $3 + 6 = 9$.

1. $\frac{3}{10} + \frac{6}{10} = \frac{3+6}{10} = \frac{9}{10}$

Ответ: $\frac{9}{10}$

2. $\frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6+3}{10} = \frac{9}{10}$

Ответ: $\frac{9}{10}$

3. $\frac{9}{10} - \frac{3}{10} = \frac{9-3}{10} = \frac{6}{10}$

Ответ: $\frac{6}{10}$

4. $\frac{9}{10} - \frac{6}{10} = \frac{9-6}{10} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

Числа на елочке: 5, 11, 23, 23, 16, 23. Используем число 23 как общий знаменатель, а числа 5, 11 и 16 — как числители. Эти числа связаны соотношением $5 + 11 = 16$.

1. $\frac{5}{23} + \frac{11}{23} = \frac{5+11}{23} = \frac{16}{23}$

Ответ: $\frac{16}{23}$

2. $\frac{11}{23} + \frac{5}{23} = \frac{11+5}{23} = \frac{16}{23}$

Ответ: $\frac{16}{23}$

3. $\frac{16}{23} - \frac{5}{23} = \frac{16-5}{23} = \frac{11}{23}$

Ответ: $\frac{11}{23}$

4. $\frac{16}{23} - \frac{11}{23} = \frac{16-11}{23} = \frac{5}{23}$

Ответ: $\frac{5}{23}$

Числа на елочке: 15, 15, 8, 4, 12, 15. Используем число 15 как общий знаменатель, а числа 4, 8 и 12 — как числители. Эти числа связаны соотношением $4 + 8 = 12$.

1. $\frac{4}{15} + \frac{8}{15} = \frac{4+8}{15} = \frac{12}{15}$

Ответ: $\frac{12}{15}$

2. $\frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8+4}{15} = \frac{12}{15}$

Ответ: $\frac{12}{15}$

3. $\frac{12}{15} - \frac{4}{15} = \frac{12-4}{15} = \frac{8}{15}$

Ответ: $\frac{8}{15}$

4. $\frac{12}{15} - \frac{8}{15} = \frac{12-8}{15} = \frac{4}{15}$

Ответ: $\frac{4}{15}$

12 БЛИЦтурнир.

а) Какую часть от числа $n$ составляет $m$?

б) Найди $\frac{6}{17}$ от числа $a$.

в) Найди $8\%$ от числа $b$.

г) Найди число, $\frac{5}{12}$ которого составляют $x$.

д) Найди число, если $24\%$ его равны $y$.

а) Какую часть от числа n составляет m?

Чтобы определить, какую часть одно число ($m$) составляет от другого числа ($n$), необходимо разделить первое число на второе. Результатом будет дробь, показывающая искомое соотношение.

Ответ: $\frac{m}{n}$

б) Найди $\frac{6}{17}$ от числа a.

Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на данную дробь. Таким образом, мы умножаем число $a$ на $\frac{6}{17}$, что дает $a \cdot \frac{6}{17} = \frac{6a}{17}$.

Ответ: $\frac{6a}{17}$

в) Найди 8% от числа b.

Чтобы найти процент от числа, сначала необходимо выразить проценты в виде десятичной дроби. $8\%$ это $\frac{8}{100}$ или $0.08$. Затем нужно умножить число $b$ на эту дробь: $b \cdot 0.08$.

Ответ: $0.08b$

г) Найди число, $\frac{5}{12}$ которого составляют x.

Это задача нахождения целого по его части. Если известно, что $\frac{5}{12}$ от искомого числа равны $x$, то для нахождения всего числа нужно данную часть ($x$) разделить на соответствующую ей дробь ($\frac{5}{12}$). Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $x : \frac{5}{12} = x \cdot \frac{12}{5} = \frac{12x}{5}$.

Ответ: $\frac{12x}{5}$

д) Найди число, если 24% его равны y.

Это также задача нахождения целого по его части, выраженной в процентах. Сначала переведем проценты в десятичную дробь: $24\% = \frac{24}{100} = 0.24$. Если $24\%$ от числа равны $y$, то для нахождения всего числа нужно разделить $y$ на $0.24$. Это можно записать как $y : 0.24 = y : \frac{24}{100} = y \cdot \frac{100}{24} = \frac{100y}{24}$. Сократив дробь, получим $\frac{25y}{6}$.

Ответ: $\frac{25y}{6}$

13 a) $7050 \cdot 807 : 141 - (201000 - 183112) : (7740 : 90) \cdot 43;$

б) $5000418 - (45150 : 75 \cdot 306 + 37095 \cdot 9) - 345 \cdot 7.$

а) $7050 \cdot 807 : 141 - (201000 - 183112) : (7740 : 90) \cdot 43$

Решим задачу по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, и в последнюю очередь сложение и вычитание слева направо.

1. Вычислим значение в первой скобке:
   $201000 - 183112 = 17888$

2. Вычислим значение во второй скобке:
   $7740 : 90 = 86$

3. Выполним первое умножение:
   $7050 \cdot 807 = 5689350$

4. Выполним первое деление:
   $5689350 : 141 = 40350$

5. Теперь подставим результаты из скобок в выражение и выполним деление:
   $17888 : 86 = 208$

6. Выполним умножение:
   $208 \cdot 43 = 8944$

7. Выполним конечное вычитание:
   $40350 - 8944 = 31406$

Ответ: 31406

б) $5000418 - (45150 : 75 \cdot 306 + 37095 \cdot 9) - 345 \cdot 7$

Сначала выполним все действия в скобках, затем умножение за скобками, и в конце вычитание слева направо.

1. Начнем с действий в скобках. Первое деление:
   $45150 : 75 = 602$

2. Теперь умножение в скобках:
   $602 \cdot 306 = 184212$

3. Второе умножение в скобках:
   $37095 \cdot 9 = 333855$

4. Сложение в скобках:
   $184212 + 333855 = 518067$

5. Теперь выполним умножение за скобками:
   $345 \cdot 7 = 2415$

6. Подставим все полученные значения в исходное выражение:
   $5000418 - 518067 - 2415$

7. Выполним вычитание слева направо:
   $5000418 - 518067 = 4482351$

8. И последнее вычитание:
   $4482351 - 2415 = 4479936$

Ответ: 4479936

14 В семиэтажном доме на 12 квартир меньше, чем в девятиэтажном. Сколько квартир в каждом доме, если число квартир на этаже в обоих домах одинаковое?

I — ? кв.

II — ? кв., на 12 кв. больше чем I

Общее число кв. | Число кв. на этаже | Число этажей

I | |

II | Одинаковое |

II-I | |

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов. Сначала мы найдем разницу в этажности домов, затем, используя разницу в количестве квартир, вычислим, сколько квартир приходится на один этаж. После этого мы сможем рассчитать общее количество квартир в каждом доме.

1. Находим разницу в количестве этажей

Один дом имеет 9 этажей, а другой — 7. Чтобы найти разницу, вычтем из большего числа этажей меньшее:

$9 - 7 = 2$ (этажа)

Разница в этажности составляет 2 этажа.

2. Находим количество квартир на одном этаже

По условию задачи, в девятиэтажном доме на 12 квартир больше, чем в семиэтажном. Эта разница в 12 квартир приходится на 2 этажа, на которые один дом выше другого. Поскольку количество квартир на этаже в обоих домах одинаковое, мы можем разделить общую разницу в квартирах на разницу в этажах:

$12 / 2 = 6$ (квартир)

Таким образом, на каждом этаже в обоих домах находится по 6 квартир.

3. Находим общее количество квартир в семиэтажном доме

Теперь, зная количество квартир на одном этаже, мы можем найти общее их число в семиэтажном доме, умножив количество этажей на число квартир на этаже:

$7 * 6 = 42$ (квартиры)

Ответ: в семиэтажном доме 42 квартиры.

4. Находим общее количество квартир в девятиэтажном доме

Аналогичным образом рассчитаем общее число квартир в девятиэтажном доме:

$9 * 6 = 54$ (квартиры)

Ответ: в девятиэтажном доме 54 квартиры.

Проверка

Чтобы убедиться в правильности решения, проверим, составляет ли разница в количестве квартир 12:

$54 - 42 = 12$

Разница совпадает с условием задачи, следовательно, задача решена верно.

7 Найди величину угла $AOB$, если $OM$ — его биссектриса. Определи вид угла $AOB$ (острый, прямой, тупой, развернутый).

a) $36^\circ$

$\angle AOB = \text{ }$

б) $78^\circ$

$\angle AOB = \text{ }$

в) $45^\circ$

$\angle AOB = \text{ }$

По определению, биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Если луч $OM$ является биссектрисой угла $AOB$, то это означает, что $\angle AOM = \angle MOB$. Следовательно, величина всего угла $AOB$ равна сумме двух его равных частей: $\angle AOB = \angle AOM + \angle MOB = 2 \cdot \angle AOM = 2 \cdot \angle MOB$.

а)

На рисунке а) нам дана величина угла $AOM$, которая равна $36^\circ$. Так как $OM$ — биссектриса, то $\angle AOB$ в два раза больше $\angle AOM$.
$\angle AOB = 2 \cdot \angle AOM = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.
Угол, который меньше $90^\circ$, называется острым. Так как $72^\circ < 90^\circ$, то угол $AOB$ — острый.
Ответ: $\angle AOB = 72^\circ$, острый угол.

б)

На рисунке б) нам дана величина угла $AOM$, которая равна $78^\circ$. Так как $OM$ — биссектриса, то $\angle AOB$ в два раза больше $\angle AOM$.
$\angle AOB = 2 \cdot \angle AOM = 2 \cdot 78^\circ = 156^\circ$.
Угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$, называется тупым. Так как $90^\circ < 156^\circ < 180^\circ$, то угол $AOB$ — тупой.
Ответ: $\angle AOB = 156^\circ$, тупой угол.

в)

На рисунке в) нам дана величина угла $MOB$, которая равна $45^\circ$. Так как $OM$ — биссектриса, то $\angle AOB$ в два раза больше $\angle MOB$.
$\angle AOB = 2 \cdot \angle MOB = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.
Угол, равный $90^\circ$, называется прямым. Следовательно, угол $AOB$ — прямой.
Ответ: $\angle AOB = 90^\circ$, прямой угол.

8 Нарисуй угол, смежный данному, и найди его величину:

a) M

N

K

$29^\circ$

б) F

D

E

$90^\circ$

в) C

B

A

$147^\circ$

а)

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Дан угол $\angle MNK = 29^\circ$. Чтобы построить смежный с ним угол, необходимо продлить один из его лучей (например, $NM$) за вершину $N$. Новый угол, образованный продолжением луча и лучом $NK$, будет смежным с данным.

Найдем величину смежного угла. Пусть его величина равна $x$. Тогда:

$29^\circ + x = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 29^\circ$

$x = 151^\circ$

Ответ: $151^\circ$

б)

Дан прямой угол $\angle DEF = 90^\circ$. Смежный с ним угол строится путем продления одного из лучей (например, $ED$) за вершину $E$.

Найдем величину смежного угла. Пусть его величина равна $y$. Согласно свойству смежных углов:

$90^\circ + y = 180^\circ$

$y = 180^\circ - 90^\circ$

$y = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$

в)

Дан угол $\angle ABC = 147^\circ$. Чтобы построить смежный с ним угол, необходимо продлить один из его лучей (например, $AB$) за вершину $B$.

Найдем величину смежного угла. Пусть его величина равна $z$. По свойству смежных углов:

$147^\circ + z = 180^\circ$

$z = 180^\circ - 147^\circ$

$z = 33^\circ$

Ответ: $33^\circ$

9. Найди закономерность и заполни таблицу. Запиши формулу зависимости переменной $y$ от $x$.

a) x: 1, $1\frac{3}{5}$, $2\frac{2}{5}$, $3\frac{1}{5}$, $4\frac{3}{5}$, $5\frac{4}{5}$, 7

y: $2\frac{2}{5}$, 3, $3\frac{4}{5}$, , , ,

$y = $

б) x: $9\frac{6}{7}$, 8, $7\frac{2}{7}$, $6\frac{5}{7}$, $5\frac{3}{7}$, 4, $3\frac{1}{7}$

y: $7\frac{3}{7}$, $5\frac{4}{7}$, $4\frac{6}{7}$, , , ,

$y = $

а)

Для того чтобы найти закономерность, проанализируем первые несколько пар значений x и y из таблицы. Найдем разность между y и x для каждой известной пары:

• При $x = 1$, $y = 2\frac{2}{5}$. Разность: $y - x = 2\frac{2}{5} - 1 = 1\frac{2}{5}$.

• При $x = 1\frac{3}{5}$, $y = 3$. Разность: $y - x = 3 - 1\frac{3}{5} = 2\frac{5}{5} - 1\frac{3}{5} = 1\frac{2}{5}$.

• При $x = 2\frac{2}{5}$, $y = 3\frac{4}{5}$. Разность: $y - x = 3\frac{4}{5} - 2\frac{2}{5} = 1\frac{2}{5}$.

Мы видим, что значение y всегда больше значения x на одну и ту же величину: $1\frac{2}{5}$. Таким образом, мы можем записать формулу зависимости: $y = x + 1\frac{2}{5}$.

Теперь, используя эту формулу, заполним пустые ячейки в таблице:

• При $x = 3\frac{1}{5}$: $y = 3\frac{1}{5} + 1\frac{2}{5} = 4\frac{3}{5}$.

• При $x = 4\frac{3}{5}$: $y = 4\frac{3}{5} + 1\frac{2}{5} = 5\frac{5}{5} = 6$.

• При $x = 5\frac{4}{5}$: $y = 5\frac{4}{5} + 1\frac{2}{5} = 6\frac{6}{5} = 7\frac{1}{5}$.

• При $x = 7$: $y = 7 + 1\frac{2}{5} = 8\frac{2}{5}$.

Заполненная таблица выглядит так:

Ответ: $y = x + 1\frac{2}{5}$.

б)

Аналогично найдем закономерность для второй таблицы. Найдем разность между x и y для известных пар:

• При $x = 9\frac{6}{7}$, $y = 7\frac{3}{7}$. Разность: $x - y = 9\frac{6}{7} - 7\frac{3}{7} = 2\frac{3}{7}$.

• При $x = 8$, $y = 5\frac{4}{7}$. Разность: $x - y = 8 - 5\frac{4}{7} = 7\frac{7}{7} - 5\frac{4}{7} = 2\frac{3}{7}$.

• При $x = 7\frac{2}{7}$, $y = 4\frac{6}{7}$. Разность: $x - y = 7\frac{2}{7} - 4\frac{6}{7} = 6\frac{9}{7} - 4\frac{6}{7} = 2\frac{3}{7}$.

Здесь значение x всегда больше значения y на $2\frac{3}{7}$. Значит, формула зависимости: $y = x - 2\frac{3}{7}$.

Теперь заполним пустые ячейки в таблице с помощью найденной формулы:

• При $x = 6\frac{5}{7}$: $y = 6\frac{5}{7} - 2\frac{3}{7} = 4\frac{2}{7}$.

• При $x = 5\frac{3}{7}$: $y = 5\frac{3}{7} - 2\frac{3}{7} = 3$.

• При $x = 4$: $y = 4 - 2\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7} - 2\frac{3}{7} = 1\frac{4}{7}$.

• При $x = 3\frac{1}{7}$: $y = 3\frac{1}{7} - 2\frac{3}{7} = 2\frac{8}{7} - 2\frac{3}{7} = \frac{5}{7}$.

Заполненная таблица выглядит так:

Ответ: $y = x - 2\frac{3}{7}$.

10 Сравни значения величин:

$ \frac{3}{19} \square \frac{5}{19} $ $ \frac{6}{11} \square \frac{6}{17} $ $ 1\frac{4}{5} \square 3\frac{1}{5} $ $ 4\% \square \frac{4}{49} $

$ 4 \square 3\frac{98}{99} $ $ 2\frac{4}{25} \square 2\frac{9}{25} $ $ 8\frac{2}{31} \square 8\frac{2}{3} $ $ 19\% \square \frac{7}{100} $

$\frac{3}{19} \ \square \ \frac{5}{19}$

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Знаменатели у дробей $\frac{3}{19}$ и $\frac{5}{19}$ одинаковы и равны 19. Сравним числители: $3 < 5$. Дробь с большим числителем будет больше. Таким образом, $\frac{3}{19} < \frac{5}{19}$.

Ответ: $\frac{3}{19} < \frac{5}{19}$

$\frac{6}{11} \ \square \ \frac{6}{17}$

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми числителями, нужно сравнить их знаменатели. Числители у дробей $\frac{6}{11}$ и $\frac{6}{17}$ одинаковы и равны 6. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, так как целое делится на меньшее количество частей, и каждая часть получается больше. Сравним знаменатели: $11 < 17$. Следовательно, $\frac{6}{11} > \frac{6}{17}$.

Ответ: $\frac{6}{11} > \frac{6}{17}$

$1\frac{4}{5} \ \square \ 3\frac{1}{5}$

Чтобы сравнить два смешанных числа, сначала нужно сравнить их целые части. Целая часть первого числа равна 1, а второго – 3. Так как $1 < 3$, то первое число меньше второго, независимо от их дробных частей. Таким образом, $1\frac{4}{5} < 3\frac{1}{5}$.

Ответ: $1\frac{4}{5} < 3\frac{1}{5}$

$4\% \ \square \ \frac{4}{49}$

Для сравнения процента и дроби, приведем их к одному виду. Представим проценты в виде обыкновенной дроби. Один процент – это одна сотая часть, поэтому $4\% = \frac{4}{100}$. Теперь сравним дроби $\frac{4}{100}$ и $\frac{4}{49}$. У этих дробей одинаковые числители (4). Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели: $49 < 100$. Следовательно, $\frac{4}{49} > \frac{4}{100}$. Значит, $4\% < \frac{4}{49}$.

Ответ: $4\% < \frac{4}{49}$

$4 \ \square \ 3\frac{98}{99}$

Сравниваем целое число и смешанное число. Для этого достаточно сравнить их целые части. Целая часть числа 4 равна 4. Целая часть смешанного числа $3\frac{98}{99}$ равна 3. Так как $4 > 3$, то и $4 > 3\frac{98}{99}$. Дробная часть $\frac{98}{99}$ меньше единицы, поэтому $3\frac{98}{99}$ всегда будет меньше 4.

Ответ: $4 > 3\frac{98}{99}$

$2\frac{4}{25} \ \square \ 2\frac{9}{25}$

Чтобы сравнить два смешанных числа, у которых целые части равны, нужно сравнить их дробные части. Целые части обоих чисел равны 2. Сравним дробные части: $\frac{4}{25}$ и $\frac{9}{25}$. У этих дробей одинаковые знаменатели (25). Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Сравним числители: $4 < 9$. Следовательно, $\frac{4}{25} < \frac{9}{25}$. Значит, $2\frac{4}{25} < 2\frac{9}{25}$.

Ответ: $2\frac{4}{25} < 2\frac{9}{25}$

$8\frac{2}{31} \ \square \ 8\frac{2}{3}$

Сравниваем два смешанных числа. Их целые части одинаковы и равны 8. Значит, нужно сравнить их дробные части: $\frac{2}{31}$ и $\frac{2}{3}$. У этих дробей одинаковые числители (2). Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Сравним знаменатели: $31 > 3$. Следовательно, $\frac{2}{31} < \frac{2}{3}$. Значит, $8\frac{2}{31} < 8\frac{2}{3}$.

Ответ: $8\frac{2}{31} < 8\frac{2}{3}$

$19\% \ \square \ \frac{7}{100}$

Для сравнения процента и дроби, представим процент в виде дроби. $19\% = \frac{19}{100}$. Теперь сравним две дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{19}{100}$ и $\frac{7}{100}$. Знаменатели равны 100. Сравниваем числители: $19 > 7$. Следовательно, $\frac{19}{100} > \frac{7}{100}$. Значит, $19\% > \frac{7}{100}$.

Ответ: $19\% > \frac{7}{100}$