Страница 22, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Как изменится произведение, если множители увеличить, уменьшить? Не вычисляя, расставь в порядке возрастания следующие произведения:

$52 \cdot 63$, $312 \cdot 147$, $85 \cdot 147$, $85 \cdot 63$, $52 \cdot 18$, $24 \cdot 7$.

Произведение напрямую зависит от величины его множителей. Поскольку все множители в задаче являются положительными числами, действуют следующие правила:

• При увеличении одного или обоих множителей произведение также увеличивается.
• При уменьшении одного или обоих множителей произведение также уменьшается.

Чтобы расположить данные произведения в порядке возрастания, не выполняя вычислений, мы будем сравнивать их множители. Основной принцип сравнения: если у двух произведений один из множителей одинаков, то больше то произведение, у которого второй множитель больше.

Проведем сравнение по шагам:

1. Сначала найдем самое маленькое произведение. В выражении $24 \cdot 7$ оба множителя ($24$ и $7$) значительно меньше множителей в других произведениях. Например, сравнивая с $52 \cdot 18$, мы видим, что $24 < 52$ и $7 < 18$, следовательно $24 \cdot 7 < 52 \cdot 18$. Таким образом, $24 \cdot 7$ — наименьшее произведение.

2. Теперь сравним произведения, имеющие общие множители:

• Сравним $52 \cdot 18$ и $52 \cdot 63$. У них общий множитель $52$. Так как $18 < 63$, то $52 \cdot 18 < 52 \cdot 63$.
• Сравним $52 \cdot 63$ и $85 \cdot 63$. У них общий множитель $63$. Так как $52 < 85$, то $52 \cdot 63 < 85 \cdot 63$.
• Сравним $85 \cdot 63$ и $85 \cdot 147$. У них общий множитель $85$. Так как $63 < 147$, то $85 \cdot 63 < 85 \cdot 147$.
• Сравним $85 \cdot 147$ и $312 \cdot 147$. У них общий множитель $147$. Так как $85 < 312$, то $85 \cdot 147 < 312 \cdot 147$.

3. Объединив все полученные неравенства, мы можем выстроить полную цепочку произведений в порядке их возрастания:

$24 \cdot 7 < 52 \cdot 18 < 52 \cdot 63 < 85 \cdot 63 < 85 \cdot 147 < 312 \cdot 147$

Ответ: при увеличении множителей произведение увеличивается, а при уменьшении — уменьшается. Произведения в порядке возрастания: $24 \cdot 7, 52 \cdot 18, 52 \cdot 63, 85 \cdot 63, 85 \cdot 147, 312 \cdot 147$.

2 Найди числа, между которыми заключено произведение:

a) $\text{[ ]} \cdot \text{[ ]} < 54 \cdot 9 < \text{[ ]} \cdot \text{[ ]}$

$\text{[ ]} \cdot \text{[ ]} < 54 \cdot 9 < \text{[ ]} \cdot \text{[ ]}$

б) $\text{[ ]} \cdot \text{[ ]} < 27 \cdot 53 < \text{[ ]} \cdot \text{[ ]}$

$\text{[ ]} \cdot \text{[ ]} < 27 \cdot 53 < \text{[ ]} \cdot \text{[ ]}$

в) $\text{[ ]} \cdot \text{[ ]} < 871 \cdot 25 < \text{[ ]} \cdot \text{[ ]}$

$\text{[ ]} \cdot \text{[ ]} < 871 \cdot 25 < \text{[ ]} \cdot \text{[ ]}$

г) $\text{[ ]} \cdot \text{[ ]} < 176 \cdot 421 < \text{[ ]} \cdot \text{[ ]}$

$\text{[ ]} \cdot \text{[ ]} < 176 \cdot 421 < \text{[ ]} \cdot \text{[ ]}$

а)

Чтобы найти числа, между которыми заключено произведение $54 \cdot 9$, мы можем оценить его, используя "круглые" числа. Это называется методом оценки или прикидки.

Сначала вычислим точное значение произведения, чтобы потом проверить нашу оценку: $54 \cdot 9 = 486$.

1. Нижняя граница. Округлим множитель 54 в меньшую сторону до ближайшего десятка. Ближайший десяток, который меньше 54, это 50. Умножим 50 на 9: $50 \cdot 9 = 450$. Поскольку $50 < 54$, то и произведение $50 \cdot 9$ будет меньше, чем $54 \cdot 9$.

2. Верхняя граница. Округлим множитель 54 в большую сторону до ближайшего десятка. Ближайший десяток, который больше 54, это 60. Умножим 60 на 9: $60 \cdot 9 = 540$. Поскольку $54 < 60$, то и произведение $54 \cdot 9$ будет меньше, чем $60 \cdot 9$.

В результате мы получаем двойное неравенство: $50 \cdot 9 < 54 \cdot 9 < 60 \cdot 9$. Подставив вычисленные значения, получим: $450 < 54 \cdot 9 < 540$. Наша проверка подтверждает, что это верно, так как $450 < 486 < 540$.

Ответ: $50 \cdot 9 < 54 \cdot 9 < 60 \cdot 9$ и $450 < 54 \cdot 9 < 540$.

б)

Оценим произведение $27 \cdot 53$. Сначала вычислим точное значение: $27 \cdot 53 = 1431$.

1. Нижняя граница. Округлим оба множителя в меньшую сторону до ближайших десятков. Для 27 это 20, а для 53 это 50. Перемножим их: $20 \cdot 50 = 1000$. Так как $20 < 27$ и $50 < 53$, то $20 \cdot 50 < 27 \cdot 53$.

2. Верхняя граница. Округлим оба множителя в большую сторону до ближайших десятков. Для 27 это 30, а для 53 это 60. Перемножим их: $30 \cdot 60 = 1800$. Так как $27 < 30$ и $53 < 60$, то $27 \cdot 53 < 30 \cdot 60$.

Таким образом, мы получили неравенство: $20 \cdot 50 < 27 \cdot 53 < 30 \cdot 60$. Подставив значения, получаем: $1000 < 27 \cdot 53 < 1800$. Это верно, так как $1000 < 1431 < 1800$.

Ответ: $20 \cdot 50 < 27 \cdot 53 < 30 \cdot 60$ и $1000 < 27 \cdot 53 < 1800$.

в)

Оценим произведение $871 \cdot 25$. Точное значение: $871 \cdot 25 = 21775$.

1. Нижняя граница. Округлим множители в меньшую сторону. 871 округлим до ближайшей сотни — 800. 25 округлим до ближайшего десятка — 20. $800 \cdot 20 = 16000$.

2. Верхняя граница. Округлим множители в большую сторону. 871 округлим до ближайшей сотни — 900. 25 округлим до ближайшего десятка — 30. $900 \cdot 30 = 27000$.

В результате получаем неравенство: $800 \cdot 20 < 871 \cdot 25 < 900 \cdot 30$. После вычислений: $16000 < 871 \cdot 25 < 27000$. Проверка показывает, что оценка верна: $16000 < 21775 < 27000$.

Ответ: $800 \cdot 20 < 871 \cdot 25 < 900 \cdot 30$ и $16000 < 871 \cdot 25 < 27000$.

г)

Оценим произведение $176 \cdot 421$. Точное значение: $176 \cdot 421 = 74096$.

1. Нижняя граница. Округлим оба множителя в меньшую сторону до ближайших сотен. Для 176 это 100, а для 421 это 400. $100 \cdot 400 = 40000$.

2. Верхняя граница. Округлим оба множителя в большую сторону до ближайших сотен. Для 176 это 200, а для 421 это 500. $200 \cdot 500 = 100000$.

Таким образом, мы получили неравенство: $100 \cdot 400 < 176 \cdot 421 < 200 \cdot 500$. Подставив значения, получаем: $40000 < 176 \cdot 421 < 100000$. Проверка: $40000 < 74096 < 100000$. Неравенство верное.

Ответ: $100 \cdot 400 < 176 \cdot 421 < 200 \cdot 500$ и $40000 < 176 \cdot 421 < 100000$.

3 Докажи, что:

а) $300 < 15 \cdot 36 < 800;$

б) $4800 < 83 \cdot 62 < 6300;$

в) $2000 < 145 \cdot 29 < 6000;$

г) $420000 < 731 \cdot 624 < 560000.$

а) Чтобы доказать неравенство $300 < 15 \cdot 36 < 800$, сначала вычислим произведение $15 \cdot 36$.
$15 \cdot 36 = 540$.
Теперь подставим полученное значение в двойное неравенство: $300 < 540 < 800$.
Проверим каждую часть неравенства:
$300 < 540$ - это верное утверждение.
$540 < 800$ - это также верное утверждение.
Поскольку обе части верны, исходное неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $4800 < 83 \cdot 62 < 6300$, используем метод оценки (округления).
1. Оценка снизу (левая часть неравенства):
Округлим множители в меньшую сторону до ближайшего десятка: $83 > 80$ и $62 > 60$.
Поскольку оба множителя были уменьшены, их произведение будет меньше исходного: $83 \cdot 62 > 80 \cdot 60$.
$80 \cdot 60 = 4800$.
Следовательно, $83 \cdot 62 > 4800$.
2. Оценка сверху (правая часть неравенства):
Округлим множители в большую сторону до ближайшего десятка: $83 < 90$ и $62 < 70$.
Поскольку оба множителя были увеличены, их произведение будет больше исходного: $83 \cdot 62 < 90 \cdot 70$.
$90 \cdot 70 = 6300$.
Следовательно, $83 \cdot 62 < 6300$.
Объединив оба результата, мы получаем $4800 < 83 \cdot 62 < 6300$.
Ответ: Неравенство доказано.

в) Чтобы доказать неравенство $2000 < 145 \cdot 29 < 6000$, используем метод оценки.
1. Оценка снизу:
Округлим множители в меньшую сторону: $145 > 100$ и $29 > 20$.
Их произведение будет меньше исходного: $145 \cdot 29 > 100 \cdot 20$.
$100 \cdot 20 = 2000$.
Следовательно, $145 \cdot 29 > 2000$.
2. Оценка сверху:
Округлим множители в большую сторону: $145 < 150$ и $29 < 40$.
Их произведение будет больше исходного: $145 \cdot 29 < 150 \cdot 40$.
$150 \cdot 40 = 6000$.
Следовательно, $145 \cdot 29 < 6000$.
Таким образом, мы доказали, что $2000 < 145 \cdot 29 < 6000$.
Ответ: Неравенство доказано.

г) Чтобы доказать неравенство $420000 < 731 \cdot 624 < 560000$, используем метод оценки.
1. Оценка снизу:
Округлим множители в меньшую сторону до ближайшей сотни: $731 > 700$ и $624 > 600$.
Произведение округленных чисел будет меньше исходного: $731 \cdot 624 > 700 \cdot 600$.
$700 \cdot 600 = 420000$.
Следовательно, $731 \cdot 624 > 420000$.
2. Оценка сверху:
Округлим множители в большую сторону до ближайшей сотни: $731 < 800$ и $624 < 700$.
Произведение округленных чисел будет больше исходного: $731 \cdot 624 < 800 \cdot 700$.
$800 \cdot 700 = 560000$.
Следовательно, $731 \cdot 624 < 560000$.
Таким образом, мы доказали, что $420000 < 731 \cdot 624 < 560000$.
Ответ: Неравенство доказано.

1. а) Запиши дроби около делений шкалы:

0, $1/3$, $2/3$, $3/3$, $4/3$, 1, 2, 3, 4

б) Сколько целых единиц содержат дроби: $3/3, 6/3, 9/3, 12/3$?

в) Представь неправильные дроби в виде суммы целого числа единиц и правильной дроби:

$4/3 = 1 + 1/3$
$7/3 = $
$5/3 = 1 + $
$8/3 = $
$10/3 = $
$11/3 = $

На числовом луче отмечена дробь $7/3$. Она содержит

2 целых единицы и ещё $1/3$ единицы. Значит, $7/3 = 2 + 1/3$.

0, 1, 2, $2\frac{1}{3}$, 3, 4

Сумму $2 + 1/3$ принято записывать короче: $2\frac{1}{3}$. Получилось смешанное число. Оно состоит из целой части — числа 2 и

дробной части — числа $1/3$. Читают: «Две целых одна треть».

а) На числовой шкале каждый единичный отрезок (например, от 0 до 1) разделен на 3 равные части. Это означает, что одно деление равно $\frac{1}{3}$. Продолжая подписывать деления на шкале, мы последовательно прибавляем $\frac{1}{3}$. После уже подписанных дробей $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{4}{3}$ следуют:
- Следующее деление после $\frac{4}{3}$ это $\frac{5}{3}$.
- Деление, соответствующее числу 2, это $\frac{6}{3}$, так как $6 \div 3 = 2$.
- Следующие два деления это $\frac{7}{3}$ и $\frac{8}{3}$.
- Деление, соответствующее числу 3, это $\frac{9}{3}$, так как $9 \div 3 = 3$.
- Следующие два деления это $\frac{10}{3}$ и $\frac{11}{3}$.
- Деление, соответствующее числу 4, это $\frac{12}{3}$, так как $12 \div 3 = 4$.
Ответ: Дроби, которые нужно записать около делений шкалы: $\frac{5}{3}, \frac{6}{3}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}, \frac{9}{3}, \frac{10}{3}, \frac{11}{3}, \frac{12}{3}$.

б) Чтобы найти, сколько целых единиц содержит дробь, нужно разделить ее числитель на знаменатель.
- Дробь $\frac{3}{3}$: $3 \div 3 = 1$. Содержит 1 целую единицу.
- Дробь $\frac{6}{3}$: $6 \div 3 = 2$. Содержит 2 целые единицы.
- Дробь $\frac{9}{3}$: $9 \div 3 = 3$. Содержит 3 целые единицы.
- Дробь $\frac{12}{3}$: $12 \div 3 = 4$. Содержит 4 целые единицы.
Ответ: Дробь $\frac{3}{3}$ содержит 1 целую единицу; дробь $\frac{6}{3}$ содержит 2 целые единицы; дробь $\frac{9}{3}$ содержит 3 целые единицы; дробь $\frac{12}{3}$ содержит 4 целые единицы.

в) Чтобы представить неправильную дробь в виде суммы целого числа и правильной дроби, нужно выделить целую часть. Для этого числитель делят на знаменатель с остатком. Неполное частное будет целой частью, а остаток — новым числителем дробной части.
- Для дроби $\frac{5}{3}$: делим 5 на 3, получаем 1 и в остатке 2. Таким образом, $\frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3}$.
- Для дроби $\frac{7}{3}$: делим 7 на 3, получаем 2 и в остатке 1. Таким образом, $\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$.
- Для дроби $\frac{8}{3}$: делим 8 на 3, получаем 2 и в остатке 2. Таким образом, $\frac{8}{3} = 2 + \frac{2}{3}$.
- Для дроби $\frac{10}{3}$: делим 10 на 3, получаем 3 и в остатке 1. Таким образом, $\frac{10}{3} = 3 + \frac{1}{3}$.
- Для дроби $\frac{11}{3}$: делим 11 на 3, получаем 3 и в остатке 2. Таким образом, $\frac{11}{3} = 3 + \frac{2}{3}$.
Ответ:
$\frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}$
$\frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3}$
$\frac{7}{3} = 2 + \frac{1}{3}$
$\frac{8}{3} = 2 + \frac{2}{3}$
$\frac{10}{3} = 3 + \frac{1}{3}$
$\frac{11}{3} = 3 + \frac{2}{3}$

2 Запиши число в виде суммы целой и дробной частей:

$2\frac{7}{8} = 2 +$

$7\frac{6}{11} = $

$38\frac{2}{3} = $

$2\frac{7}{8}$
Смешанное число — это число, состоящее из целой и дробной частей. По определению, смешанное число является суммой его целой части и его дробной части. Для числа $2\frac{7}{8}$ целая часть равна 2, а дробная часть — $\frac{7}{8}$.
Таким образом, получаем:
$2\frac{7}{8} = 2 + \frac{7}{8}$
Ответ: $2 + \frac{7}{8}$

$7\frac{6}{11}$
Аналогично, для смешанного числа $7\frac{6}{11}$ целой частью является 7, а дробной — $\frac{6}{11}$. Запишем это число в виде суммы его целой и дробной частей.
$7\frac{6}{11} = 7 + \frac{6}{11}$
Ответ: $7 + \frac{6}{11}$

$38\frac{2}{3}$
Смешанное число $38\frac{2}{3}$ имеет целую часть, равную 38, и дробную часть, равную $\frac{2}{3}$. Представим его в виде суммы этих двух частей.
$38\frac{2}{3} = 38 + \frac{2}{3}$
Ответ: $38 + \frac{2}{3}$

3 Запиши сумму в виде смешанного числа и определи, между какими натуральными числами оно находится.

$4 + \frac{2}{5} =$

$12 + \frac{3}{7} =$

$64 + \frac{48}{59} =$

$4 + \frac{2}{15}$
Сумма натурального числа и правильной дроби по определению является смешанным числом. Натуральное число становится целой частью, а дробь — дробной частью.
$4 + \frac{2}{15} = 4\frac{2}{15}$
Чтобы определить, между какими натуральными числами находится полученное смешанное число, нужно посмотреть на его целую часть. Целая часть числа $4\frac{2}{15}$ равна 4. Поскольку дробная часть $\frac{2}{15}$ положительна, но меньше 1, то все число больше 4, но меньше следующего натурального числа, то есть 5.
Мы можем записать это в виде неравенства: $4 < 4\frac{2}{15} < 5$.
Следовательно, число находится между 4 и 5.
Ответ: смешанное число $4\frac{2}{15}$; находится между натуральными числами 4 и 5.

$12 + \frac{3}{7}$
Запишем данную сумму в виде смешанного числа:
$12 + \frac{3}{7} = 12\frac{3}{7}$
Целая часть этого смешанного числа равна 12. Дробная часть $\frac{3}{7}$ является правильной дробью (числитель 3 меньше знаменателя 7), поэтому она больше 0 и меньше 1.
Следовательно, число $12\frac{3}{7}$ больше 12, но меньше 13.
Неравенство: $12 < 12\frac{3}{7} < 13$.
Таким образом, число находится между натуральными числами 12 и 13.
Ответ: смешанное число $12\frac{3}{7}$; находится между натуральными числами 12 и 13.

$64 + \frac{48}{59}$
Представим сумму в виде смешанного числа:
$64 + \frac{48}{59} = 64\frac{48}{59}$
Целая часть смешанного числа $64\frac{48}{59}$ равна 64. Дробная часть $\frac{48}{59}$ является правильной дробью ($48 < 59$), значит, $0 < \frac{48}{59} < 1$.
Это означает, что число $64\frac{48}{59}$ больше 64, но меньше 65.
Неравенство: $64 < 64\frac{48}{59} < 65$.
Таким образом, число находится между натуральными числами 64 и 65.
Ответ: смешанное число $64\frac{48}{59}$; находится между натуральными числами 64 и 65.

1. Измерь углы AOB, BOC и COD. Вычисли величину угла AOD. Проверь с помощью измерений.

$\angle AOB = $ _______

$\angle BOC = $ _______

$\angle COD = $ _______

$\angle AOD = $ _______

Для решения этой задачи необходимо измерить три угла с помощью транспортира (или оценить их визуально), а затем вычислить их сумму, чтобы найти угол AOD. После этого результат вычисления следует проверить прямым измерением угла AOD.

∠AOB = Измерив угол между лучами OA и OB, мы получим его величину. Визуально можно определить, что луч OB перпендикулярен лучу OD (образуя угол 90°), а луч OA делит угол между лучом OB и горизонтальной осью (проходящей влево от точки O) примерно пополам. Это позволяет предположить, что угол AOB равен $45°$.
Ответ: $45°$

∠BOC = Измерим угол между лучами OB и OC. Угол BOD выглядит как прямой, то есть $90°$. Луч OC делит этот угол на две части. Угол BOC визуально составляет примерно две трети от прямого угла.
$90° \cdot \frac{2}{3} = 60°$.
Ответ: $60°$

∠COD = Измерим угол между лучами OC и OD. Этот угол является оставшейся частью прямого угла BOD.
$∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 90° - 60° = 30°$.
Ответ: $30°$

∠AOD = Чтобы вычислить величину угла AOD, нужно сложить величины углов AOB, BOC и COD, так как они вместе образуют искомый угол.
Формула сложения углов: $∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD$.
Подставим полученные значения: $∠AOD = 45° + 60° + 30° = 135°$.
Проверка: Если измерить угол AOD напрямую с помощью транспортира, поместив его центр в точку O и одну из сторон на луч OD, то луч OA укажет на отметку $135°$. Это подтверждает, что наши вычисления верны.
Ответ: $135°$

2 Измерь углы $BAD$ и $CAD$. Вычисли величину угла $BAC$. Проверь с помощью измерений.

$\angle BAD = $

$\angle CAD = $

$\angle BAC = $

Для решения данной задачи необходимо использовать транспортир для измерения углов на чертеже.

∠ BAD =

Чтобы измерить угол BAD, совмещаем центр транспортира с вершиной угла, точкой А. Нулевую отметку шкалы транспортира располагаем вдоль луча АВ. Луч AD пересечет шкалу транспортира на определенном значении. Произведя измерение, получаем, что угол BAD равен 45 градусам.

Ответ: $ \angle BAD = 45^\circ $

∠ CAD =

Для измерения угла CAD, мы также совмещаем центр транспортира с точкой А. Теперь нулевую отметку шкалы можно совместить с лучом AD. Тогда луч AC пересечет шкалу транспортира на значении, равном 75 градусам.

Ответ: $ \angle CAD = 75^\circ $

∠ BAC =

Величина угла BAC равна сумме величин углов BAD и CAD, поскольку луч AD делит угол BAC на эти два угла. Вычислим величину угла BAC:

$ \angle BAC = \angle BAD + \angle CAD $

Подставим измеренные значения:

$ \angle BAC = 45^\circ + 75^\circ = 120^\circ $

Проверка: Проверим результат, измерив угол BAC напрямую с помощью транспортира. Совмещаем центр транспортира с точкой А, а его нулевую отметку — с лучом АВ. Луч АС указывает на отметку 120° на шкале. Результат вычисления совпадает с прямым измерением.

Ответ: $ \angle BAC = 120^\circ $

3. Как называются углы $AOB$ и $BOC$? Можно ли найти их сумму без измерений? Проверь с помощью транспортира.

$\angle AOB + \angle BOC = $

Проверка:

$\angle AOB = $

$\angle BOC = $

Углы $∠AOB$ и $∠BOC$ называются смежными.

Да, их сумму можно найти без измерений. Эти углы имеют общую сторону $OB$, а две другие их стороны, $OA$ и $OC$, являются дополнительными лучами (вместе они образуют прямую линию $AC$). Такие углы называются смежными, и их сумма всегда равна $180°$, так как они вместе образуют развернутый угол.

∠AOB + ∠BOC = $180°$
Ответ: $180°$

Проверка:
Чтобы проверить это, измерим каждый угол с помощью транспортира (значения могут быть приблизительными из-за погрешности измерения на изображении).

∠AOB = $135°$
Ответ: $135°$

∠BOC = $45°$
Ответ: $45°$

Сложим полученные значения: $135° + 45° = 180°$. Проверка подтверждает, что сумма углов найдена верно.

4 a) $\angle COD = 82^\circ$. Найди величину смежного с ним угла.

б) Один из смежных углов равен $46^\circ$. На сколько градусов второй смежный угол больше первого?

в) Во сколько раз угол величиной $18^\circ$ меньше смежного с ним угла?

г) $\angle AOB = 30^\circ$, а $\angle BOC = 150^\circ$. Могут ли быть углы $AOB$ и $BOC$ смежными? При каком условии они не будут смежными? Изобрази оба случая.

а)

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами (лежат на одной прямой). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.
Пусть искомый угол равен $x$. По свойству смежных углов:
$\angle COD + x = 180^\circ$
$82^\circ + x = 180^\circ$
$x = 180^\circ - 82^\circ$
$x = 98^\circ$
Ответ: $98^\circ$.

б)

Пусть первый смежный угол $\angle 1 = 46^\circ$, а второй — $\angle 2$.
Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
$46^\circ + \angle 2 = 180^\circ$
$\angle 2 = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ$
Теперь найдем, на сколько градусов второй угол больше первого. Для этого вычтем из величины второго угла величину первого:
$\angle 2 - \angle 1 = 134^\circ - 46^\circ = 88^\circ$
Ответ: на $88^\circ$.

в)

Пусть данный угол $\angle 1 = 18^\circ$. Найдем величину смежного с ним угла $\angle 2$.
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$
$18^\circ + \angle 2 = 180^\circ$
$\angle 2 = 180^\circ - 18^\circ = 162^\circ$
Чтобы узнать, во сколько раз первый угол меньше второго, разделим величину второго угла на величину первого:
$\frac{\angle 2}{\angle 1} = \frac{162^\circ}{18^\circ} = 9$
Ответ: в 9 раз.

г)

Два угла являются смежными, если они удовлетворяют двум условиям:
1. У них есть одна общая сторона.
2. Две другие их стороны являются дополнительными лучами (вместе образуют прямую линию).
Из второго условия следует, что сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Проверим сумму данных углов:
$\angle AOB + \angle BOC = 30^\circ + 150^\circ = 180^\circ$
Так как сумма углов равна $180^\circ$, они могут быть смежными. Это произойдет, если у них есть общая сторона (в данном случае $OB$), а две другие стороны ($OA$ и $OC$) лежат на одной прямой.

Углы $AOB$ и $BOC$ не будут смежными, если их стороны $OA$ и $OC$ не будут являться дополнительными лучами (не будут лежать на одной прямой), даже при наличии общей стороны $OB$. Например, если лучи $OA$ и $OC$ будут расположены по одну сторону от прямой, содержащей их общую сторону $OB$.

Изображение двух случаев:

Случай 1: Углы AOB и BOC смежные.
Стороны $OA$ и $OC$ образуют прямую $AC$.
Случай 2: Углы AOB и BOC не смежные.
Стороны $OA$ и $OC$ не лежат на одной прямой.
Ответ: Да, углы могут быть смежными, если их общая сторона $OB$ разделяет прямую $AC$. Они не будут смежными, если их стороны $OA$ и $OC$ не образуют прямую, например, лежат по одну сторону от прямой, содержащей луч $OB$.