Страница 11, часть 3 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2, 3 Петерсон

3 Замени двойное неравенство двумя неравенствами:

$9 \le x < 18$ ___________ и ___________

$3 < y \le 11$ ___________ и ___________

$9 \le x < 18$

Двойное неравенство $9 \le x < 18$ является краткой записью системы из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно. Оно означает, что переменная $x$ больше или равна 9 и одновременно строго меньше 18.

Чтобы заменить его двумя неравенствами, мы рассматриваем левую и правую части по отдельности:

1. Левая часть двойного неравенства: $9 \le x$.

2. Правая часть двойного неравенства: $x < 18$.

Эти два неравенства, соединенные союзом "и", полностью эквивалентны исходному двойному неравенству.

Ответ: $9 \le x$ и $x < 18$.

$3 < y \le 11$

Аналогично, двойное неравенство $3 < y \le 11$ означает, что переменная $y$ строго больше 3 и одновременно меньше или равна 11.

Разобьем его на два отдельных неравенства, взяв левую и правую части:

1. Левая часть: $3 < y$.

2. Правая часть: $y \le 11$.

Таким образом, мы заменяем одно двойное неравенство на систему из двух простых неравенств.

Ответ: $3 < y$ и $y \le 11$.

4 Можно ли заменить данные неравенства одним двойным неравенством? Если да, то запиши подходящее двойное неравенство.

а) $2 < y$ и $y < 6$

б) $y > 2$ и $y < 6$

в) $2 < y$ и $z < 6$

г) $y < 2$ и $y > 6$

а) Да, можно. Неравенства $2 < y$ и $y < 6$ относятся к одной и той же переменной $y$. Первое неравенство показывает, что $y$ больше 2, а второе — что $y$ меньше 6. Эти два условия можно объединить в одно двойное неравенство, которое показывает, что $y$ находится в интервале между 2 и 6.
Ответ: $2 < y < 6$

б) Да, можно. Неравенства $y > 2$ и $y < 6$ также относятся к одной переменной $y$. Неравенство $y > 2$ эквивалентно неравенству $2 < y$. Таким образом, мы имеем те же условия, что и в пункте а): $y$ должен быть одновременно больше 2 и меньше 6. Это можно записать в виде двойного неравенства.
Ответ: $2 < y < 6$

в) Нет, нельзя. В данном случае у нас два неравенства с двумя разными переменными: $2 < y$ и $z < 6$. Двойное неравенство вида $a < x < b$ используется для описания диапазона значений одной переменной. Поскольку здесь переменные разные ($y$ и $z$), объединить эти неравенства в одно двойное невозможно.
Ответ: Нельзя.

г) Нет, нельзя. У нас есть два условия для переменной $y$: $y < 2$ и $y > 6$. Это означает, что число $y$ должно быть одновременно меньше 2 и больше 6. Не существует ни одного числа, которое удовлетворяло бы обоим этим условиям одновременно. Решением данной системы неравенств является пустое множество. Двойное неравенство всегда предполагает наличие какого-то диапазона чисел, поэтому в данном случае замена невозможна.
Ответ: Нельзя.

5 Запиши двойные неравенства:

a) t больше 4 и меньше 9

$4 < t < 9$

б) k больше или равно 5 и меньше 18

$5 \le k < 18$

в) m больше 10 и меньше или равно 25

$10 < m \le 25$

а) t больше 4 и меньше 9
Чтобы записать это в виде двойного неравенства, нужно объединить два условия: $t > 4$ и $t < 9$. Первое условие можно также записать как $4 < t$. Совместив оба условия, мы помещаем переменную $t$ между двумя числами. Так как неравенства строгие ("больше" и "меньше"), мы используем знаки $ < $ и $ > $.
Ответ: $4 < t < 9$

б) k больше или равно 5 и меньше 18
Здесь у нас два условия: $k \ge 5$ и $k < 18$. Первое неравенство нестрогое ("больше или равно"), поэтому используется знак $\ge$, который можно записать и как $5 \le k$. Второе неравенство строгое ("меньше"), поэтому используется знак $<$. Объединяем их в одно двойное неравенство.
Ответ: $5 \le k < 18$

в) m больше 10 и меньше или равно 25
Данное условие состоит из двух частей: $m > 10$ (строгое неравенство) и $m \le 25$ (нестрогое неравенство). Первую часть можно записать как $10 < m$. Совмещая оба неравенства, получаем итоговое двойное неравенство, где используются оба знака: строгий и нестрогий.
Ответ: $10 < m \le 25$

6 Отметь на луче множество решений двойного неравенства и запиши его с помощью фигурных скобок.

а) $3 < x < 8$

б) $3 \le x < 8$

в) $3 < x \le 8$

г) $3 \le x \le 8$

а) $3 < x < 8$

Это двойное строгое неравенство. Оно означает, что $x$ должен быть одновременно больше 3 и меньше 8. На числовом луче это множество представляет собой интервал между числами 3 и 8, при этом сами числа 3 и 8 в него не входят (на луче они отмечаются "выколотыми", или пустыми, точками). Мы ищем целые числа, которые удовлетворяют этому условию.

Целочисленные решения, которые больше 3 и меньше 8: 4, 5, 6, 7.

Запишем это множество с помощью фигурных скобок.

Ответ: {4, 5, 6, 7}

б) $3 \le x < 8$

Это двойное нестрогое/строгое неравенство. Оно означает, что $x$ должен быть больше или равен 3, и в то же время строго меньше 8. На числовом луче число 3 включается в решение (отмечается закрашенной точкой), а число 8 не включается ("выколотая" точка). Мы ищем целые числа, удовлетворяющие этому условию.

Целочисленные решения, которые больше или равны 3 и меньше 8: 3, 4, 5, 6, 7.

Запишем это множество с помощью фигурных скобок.

Ответ: {3, 4, 5, 6, 7}

в) $3 < x \le 8$

Это двойное строгое/нестрогое неравенство. Оно означает, что $x$ должен быть строго больше 3, и в то же время меньше или равен 8. На числовом луче число 3 не включается в решение ("выколотая" точка), а число 8 включается (закрашенная точка). Мы ищем целые числа, удовлетворяющие этому условию.

Целочисленные решения, которые больше 3 и меньше или равны 8: 4, 5, 6, 7, 8.

Запишем это множество с помощью фигурных скобок.

Ответ: {4, 5, 6, 7, 8}

г) $3 \le x \le 8$

Это двойное нестрогое неравенство. Оно означает, что $x$ должен быть больше или равен 3, и в то же время меньше или равен 8. На числовом луче оба числа, 3 и 8, включаются в решение (отмечаются закрашенными точками). Мы ищем целые числа, удовлетворяющие этому условию.

Целочисленные решения, которые больше или равны 3 и меньше или равны 8: 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Запишем это множество с помощью фигурных скобок.

Ответ: {3, 4, 5, 6, 7, 8}

7 Напиши 4 разных двойных неравенства, множество решений которых совпадает с множеством чисел, отмеченных на луче:

0 1 2 3 4 5 6 7

_______

_______

_______

_______

На числовом луче отмечены целые числа: 2, 3, 4, 5. Нам нужно составить 4 различных двойных неравенства, решением которых будет именно это множество чисел. Обозначим искомое число переменной $x$.

1. Самый простой способ — использовать нестрогие неравенства (больше или равно, меньше или равно). Число $x$ должно быть больше или равно 2 и одновременно меньше или равно 5.
Ответ: $2 \le x \le 5$

2. Можно использовать строгие неравенства (больше, меньше). Чтобы число 2 входило в множество решений, $x$ должен быть строго больше, чем 1. Чтобы число 5 входило в множество решений, $x$ должен быть строго меньше, чем 6.
Ответ: $1 < x < 6$

3. Можно скомбинировать строгий и нестрогий знаки. Например, пусть $x$ будет больше или равен 2 (включая 2), но при этом строго меньше 6 (не включая 6).
Ответ: $2 \le x < 6$

4. Другая комбинация знаков: пусть $x$ будет строго больше 1 (не включая 1), но при этом меньше или равен 5 (включая 5).
Ответ: $1 < x \le 5$

8 Запиши три выражения, значение которых равно 32.

Чтобы составить три выражения, значение которых равно 32, можно использовать различные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, а также их комбинации.

Используем операцию умножения. Подберем два множителя, произведение которых будет равно 32. Например, это могут быть числа 4 и 8.

Проверим вычисление: $4 \times 8 = 32$.

Ответ: $4 \times 8$

Используем операцию вычитания. Найдем уменьшаемое и вычитаемое, разность которых равна 32. Например, возьмем число 40 и вычтем из него 8.

Проверим вычисление: $40 - 8 = 32$.

Ответ: $40 - 8$

Составим выражение, которое включает в себя несколько действий, например, деление и сложение. Разделим 60 на 2 и к результату прибавим 2.

Проверим вычисление: $60 \div 2 + 2 = 30 + 2 = 32$.

Ответ: $60 \div 2 + 2$

4 Найди значения разностей:

$\frac{28}{42} - \frac{15}{42} = \Box$

$\frac{60}{81} - \frac{34}{81} = \Box$

$\frac{73}{98} - \frac{56}{98} = \Box$

$\frac{28}{42} - \frac{15}{42}$

Чтобы найти разность двух дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{28}{42} - \frac{15}{42} = \frac{28 - 15}{42} = \frac{13}{42}$

Проверим, является ли полученная дробь сократимой. Числитель 13 — это простое число. Знаменатель 42 не делится на 13 без остатка ($42 \div 13 \approx 3.23$). Следовательно, дробь $\frac{13}{42}$ несократима.

Ответ: $\frac{13}{42}$

$\frac{60}{81} - \frac{34}{81}$

Выполняем вычитание по тому же правилу, так как знаменатели дробей совпадают. Вычитаем числители и записываем результат над общим знаменателем.

$\frac{60}{81} - \frac{34}{81} = \frac{60 - 34}{81} = \frac{26}{81}$

Проверим возможность сокращения дроби. Разложим числитель и знаменатель на простые множители: $26 = 2 \cdot 13$, а $81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$. Общих множителей, кроме 1, у числителя и знаменателя нет, поэтому дробь $\frac{26}{81}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{26}{81}$

$\frac{73}{98} - \frac{56}{98}$

Для нахождения разности этих дробей необходимо из числителя 73 вычесть числитель 56, а знаменатель 98 оставить прежним.

$\frac{73}{98} - \frac{56}{98} = \frac{73 - 56}{98} = \frac{17}{98}$

Проверим, можно ли сократить результат. Числитель 17 — это простое число. Знаменатель 98 не делится на 17 нацело ($98 \div 17 \approx 5.76$). Значит, дробь $\frac{17}{98}$ несократима.

Ответ: $\frac{17}{98}$

5 Выполни действия. Что ты замечаешь?

а) $\frac{16}{100} - \frac{8}{100} = \Box$
$16\% - 8\% = \Box$

б) $\frac{80}{100} - \frac{28}{100} = \Box$
$80\% - 28\% = \Box$

г) $\frac{74}{100} - \frac{67}{100} = \Box$
$74\% - 67\% = \Box$

а)
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{16}{100} - \frac{8}{100} = \frac{16 - 8}{100} = \frac{8}{100}$
Теперь выполним вычитание процентов:
$16\% - 8\% = 8\%$
Ответ: $\frac{8}{100}$ и $8\%$.

б)
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{80}{100} - \frac{28}{100} = \frac{80 - 28}{100} = \frac{52}{100}$
Теперь выполним вычитание процентов:
$80\% - 28\% = 52\%$
Ответ: $\frac{52}{100}$ и $52\%$.

г)
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{74}{100} - \frac{67}{100} = \frac{74 - 67}{100} = \frac{7}{100}$
Теперь выполним вычитание процентов:
$74\% - 67\% = 7\%$
Ответ: $\frac{7}{100}$ и $7\%$.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что в каждой паре примеров результат вычитания дробей со знаменателем 100 и результат вычитания соответствующих процентов эквивалентны. Это происходит потому, что процент по определению является сотой частью числа. Любое количество процентов $n\%$ можно записать в виде дроби $\frac{n}{100}$. Следовательно, действия с процентами (в данном случае вычитание) аналогичны действиям с обыкновенными дробями, у которых знаменатель равен 100, а числители равны значениям процентов.

6 a) Бочонок был заполнен мёдом на $\frac{7}{9}$. Винни-Пух съел $\frac{5}{9}$ бочонка. Какая часть бочонка осталась заполнена мёдом?

б) За 3 дня турист прошёл $\frac{11}{12}$ пути. В первый день он прошёл $\frac{4}{12}$ пути, а во второй день — $\frac{3}{12}$ пути. Какую часть пути прошёл турист за третий день?

а)

Чтобы определить, какая часть бочонка осталась заполнена мёдом, необходимо из первоначальной части мёда вычесть ту часть, которую съел Винни-Пух.

Изначально было заполнено $ \frac{7}{9} $ бочонка.

Винни-Пух съел $ \frac{5}{9} $ бочонка.

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{7}{9} - \frac{5}{9} = \frac{7-5}{9} = \frac{2}{9} $

Следовательно, в бочонке осталось $ \frac{2}{9} $ мёда.

Ответ: $ \frac{2}{9} $ бочонка.

б)

Чтобы найти, какую часть пути турист прошёл за третий день, нужно сначала вычислить, какую часть пути он преодолел за первые два дня, а затем вычесть полученное значение из общего расстояния, пройденного за три дня.

1. Найдём, какую часть пути турист прошёл за первый и второй дни вместе, сложив соответствующие дроби:

$ \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12} $

За первые два дня турист прошёл $ \frac{7}{12} $ всего пути.

2. Теперь вычтем из общего пути, пройденного за три дня ($ \frac{11}{12} $), путь, пройденный за первые два дня ($ \frac{7}{12} $):

$ \frac{11}{12} - \frac{7}{12} = \frac{11-7}{12} = \frac{4}{12} $

Полученную дробь $ \frac{4}{12} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 4:

$ \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3} $

Таким образом, за третий день турист прошёл $ \frac{4}{12} $ (или $ \frac{1}{3} $) пути.

Ответ: $ \frac{4}{12} $ пути.

7 Сравни части величин:

$\frac{2}{8}$ $\frac{7}{8}$ $\frac{14}{16}$ $\frac{14}{21}$ $3\%$ $\frac{3}{100}$

$\frac{9}{15}$ $\frac{6}{15}$ $\frac{5}{7}$ $\frac{5}{6}$ $50\%$ $12\%$

8. а) Составь все возможные равенства из чисел $ \frac{3}{25} $, $ \frac{16}{25} $, $ \frac{19}{25} $.

б) Составь выражения, значение которых равно $ \frac{12}{17} $.

а)

Для составления равенств из чисел $\frac{3}{25}$, $\frac{16}{25}$ и $\frac{19}{25}$ обратим внимание на их числители: 3, 16 и 19. Поскольку знаменатели у всех дробей одинаковые, мы можем проверить, как связаны между собой числители.

Мы видим, что между числителями существует простая зависимость: $3 + 16 = 19$. На основе этого соотношения можно составить верные равенства с данными дробями, используя операции сложения и вычитания.

1. Сложение:
Сумма двух меньших дробей равна большей дроби:
$\frac{3}{25} + \frac{16}{25} = \frac{3+16}{25} = \frac{19}{25}$
Согласно переместительному свойству сложения, мы также можем записать:
$\frac{16}{25} + \frac{3}{25} = \frac{16+3}{25} = \frac{19}{25}$

2. Вычитание:
Из равенства на сложение можно получить два равенства на вычитание. Если из суммы вычесть одно из слагаемых, получится другое слагаемое.
$\frac{19}{25} - \frac{3}{25} = \frac{19-3}{25} = \frac{16}{25}$
и
$\frac{19}{25} - \frac{16}{25} = \frac{19-16}{25} = \frac{3}{25}$

Таким образом, мы составили все четыре возможных равенства.

Ответ: $\frac{3}{25} + \frac{16}{25} = \frac{19}{25}$; $\frac{16}{25} + \frac{3}{25} = \frac{19}{25}$; $\frac{19}{25} - \frac{3}{25} = \frac{16}{25}$; $\frac{19}{25} - \frac{16}{25} = \frac{3}{25}$.

б)

Нужно составить выражения, значение которых равно $\frac{12}{17}$. Это можно сделать, используя разные арифметические действия. Вот несколько примеров:

1. Сложение:
Представим числитель 12 как сумму двух чисел, например, $10 + 2$.
$\frac{10}{17} + \frac{2}{17} = \frac{10+2}{17} = \frac{12}{17}$

2. Вычитание:
Найдем два числа, разность которых равна 12, например, $15 - 3$.
$\frac{15}{17} - \frac{3}{17} = \frac{15-3}{17} = \frac{12}{17}$
Также можно вычесть дробь из целого числа, например, из 1:
$1 - \frac{5}{17} = \frac{17}{17} - \frac{5}{17} = \frac{17-5}{17} = \frac{12}{17}$

3. Умножение:
Представим числитель 12 как произведение двух чисел, например, $2 \times 6$.
$2 \times \frac{6}{17} = \frac{2 \times 6}{17} = \frac{12}{17}$

4. Деление:
Найдем дробь, которая при делении на целое число даст $\frac{12}{17}$. Например, разделим дробь $\frac{24}{17}$ на 2.
$\frac{24}{17} \div 2 = \frac{24}{17 \times 2} = \frac{12}{17}$

Ответ: Примеры выражений: $\frac{10}{17} + \frac{2}{17}$; $\frac{15}{17} - \frac{3}{17}$; $1 - \frac{5}{17}$; $2 \times \frac{6}{17}$; $\frac{24}{17} \div 2$.

9 Заполни таблицы:

+

$\frac{2}{19}$

$\frac{5}{19}$

$\frac{3}{19}$

$\frac{12}{19}$

$\frac{11}{19}$

$\frac{18}{19}$

+

$\frac{7}{28}$

$\frac{14}{28}$

$\frac{6}{28}$

$\frac{22}{28}$

$\frac{11}{28}$

$\frac{13}{28}$

Левая таблица

Для заполнения таблицы необходимо выполнить сложение дробей. Каждая ячейка таблицы содержит сумму дроби из заголовка соответствующей строки и дроби из заголовка столбца. Сначала найдем неизвестные слагаемые в заголовках.

1. Неизвестное слагаемое во второй строке (обозначим $x$) можно найти из уравнения $x + \frac{5}{19} = \frac{12}{19}$. Решение: $x = \frac{12}{19} - \frac{5}{19} = \frac{7}{19}$.

2. Неизвестное слагаемое в третьем столбце (обозначим $y$) можно найти из уравнения $\frac{11}{19} + y = \frac{18}{19}$. Решение: $y = \frac{18}{19} - \frac{11}{19} = \frac{7}{19}$.

3. Теперь, зная все слагаемые в заголовках, вычисляем суммы для пустых ячеек. Например, для ячейки на пересечении первой строки и первого столбца: $\frac{3}{19} + \frac{2}{19} = \frac{5}{19}$.

Ответ:

Правая таблица

Заполняем вторую таблицу аналогичным образом.

1. Находим неизвестное слагаемое во второй строке ($x$): $x + \frac{14}{28} = \frac{22}{28}$. Решение: $x = \frac{22}{28} - \frac{14}{28} = \frac{8}{28}$.

2. Находим неизвестное слагаемое в третьем столбце ($y$), используя найденное значение $x$: $x + y = \frac{11}{28}$, то есть $\frac{8}{28} + y = \frac{11}{28}$. Решение: $y = \frac{11}{28} - \frac{8}{28} = \frac{3}{28}$.

3. Вычисляем суммы для оставшихся пустых ячеек. Например, для ячейки на пересечении первой строки и первого столбца: $\frac{6}{28} + \frac{7}{28} = \frac{13}{28}$.

Ответ:

10* Запиши с помощью фигурных скобок множество натуральных решений неравенства: $1/6 \le \frac{a-2}{6} < 4/6$. Придумай другое неравенство, имеющее то же множество решений.

Решение неравенства и запись множества решений

Исходное неравенство: $ \frac{1}{6} \le \frac{a}{6} - \frac{2}{6} < \frac{4}{6} $.
Сначала упростим выражение в центре, объединив дроби: $ \frac{a-2}{6} $.
Неравенство принимает вид: $ \frac{1}{6} \le \frac{a-2}{6} < \frac{4}{6} $.
Поскольку все части неравенства имеют одинаковый знаменатель 6, мы можем умножить каждую часть на 6, чтобы избавиться от дробей. Знак неравенства при этом не меняется:
$ 1 \le a-2 < 4 $
Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства, чтобы найти значение $a$:
$ 1 + 2 \le a - 2 + 2 < 4 + 2 $
$ 3 \le a < 6 $
Согласно условию, нам нужно найти множество натуральных решений. Натуральные числа, удовлетворяющие неравенству $ 3 \le a < 6 $, — это числа, которые больше или равны 3 и строго меньше 6. Такими числами являются 3, 4 и 5.
Запишем это множество с помощью фигурных скобок.
Ответ: {3, 4, 5}

Создание другого неравенства с тем же множеством решений

Чтобы придумать другое неравенство с тем же множеством натуральных решений {3, 4, 5}, можно отталкиваться от простого двойного неравенства, которому удовлетворяют эти числа.
Например, самое очевидное неравенство для целых чисел 3, 4 и 5 — это $ 3 \le a \le 5 $.
Также можно взять полученное нами неравенство $ 3 \le a < 6 $ и выполнить над всеми его частями одинаковое арифметическое действие. Например, вычтем из каждой части число 10:
$ 3 - 10 \le a - 10 < 6 - 10 $
$ -7 \le a - 10 < -4 $
Это новое неравенство также имеет множество натуральных решений {3, 4, 5}.
Ответ: $ 3 \le a \le 5 $ (или, например, $ -7 \le a - 10 < -4 $)

8 Объясни по рисункам, что приняли за целое (единицу). Что нужно найти? Чем похожи и чем различаются эти задачи? Реши их.

a) 1 — 7 яб.

? — 4 яб.

б) 1 — 4 яб.

? — 7 яб.

Как найти, какую часть одно число составляет от другого? В каком случае получается правильная дробь, а в каком — неправильная?

По рисункам видно, что в задаче а) за целое (единицу) приняли 7 яблок, а в задаче б) за целое приняли 4 яблока. Это обозначено на схемах цифрой 1 над соответствующим отрезком.

В обеих задачах нужно найти, какую часть одно количество яблок составляет от другого (принятого за целое).

Задачи похожи тем, что в них используются одни и те же числа — 4 и 7. Различаются они тем, что именно принимается за целое: в первом случае это 7 яблок, а во втором — 4 яблока. Это приводит к разным результатам.

а)
Нужно найти, какую часть 4 яблока составляют от 7 яблок. Для этого необходимо 4 разделить на 7. Число, которое сравнивают (4), становится числителем, а число, с которым сравнивают (целое, 7), — знаменателем.
$4 : 7 = \frac{4}{7}$
Ответ: $\frac{4}{7}$.

б)
Нужно найти, какую часть 7 яблок составляют от 4 яблок. Для этого необходимо 7 разделить на 4. Число, которое сравнивают (7), становится числителем, а число, с которым сравнивают (целое, 4), — знаменателем.
$7 : 4 = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{7}{4}$.

Чтобы найти, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе. Первое число будет числителем дроби, а второе — её знаменателем.

Правильная дробь (у которой числитель меньше знаменателя) получается в том случае, когда искомая часть меньше целого. Это случай из задачи а), так как $4 < 7$, и в результате получилась правильная дробь $\frac{4}{7}$.

Неправильная дробь (у которой числитель больше или равен знаменателю) получается, когда сравниваемое число больше целого. Это случай из задачи б), так как $7 > 4$, и в результате получилась неправильная дробь $\frac{7}{4}$.

9 Сделай рисунки и определи, какую часть составляет:

а) $\frac{2}{3}$,

$\frac{3}{2}$;

б) $\frac{5}{9}$,

$\frac{9}{5}$;

в) $\frac{3}{6}$,

$\frac{6}{3}$;

г) $\frac{2}{8}$,

$\frac{8}{2}$.

Сравни задания в каждом столбике. Что в них общего и чем они различаются?

а)

Чтобы определить, какую часть составляет 2 от 3, нужно разделить 2 на 3. Мы получаем дробь $ \frac{2}{3} $.
На рисунке представлен прямоугольник, разделенный на 3 равные части, из которых 2 закрашены.

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

Чтобы определить, какую часть составляет 3 от 2, нужно разделить 3 на 2. Мы получаем дробь $ \frac{3}{2} $. Это неправильная дробь, которую можно представить в виде смешанного числа $ 1\frac{1}{2} $.
На рисунке показан один целый прямоугольник (состоящий из 2 частей) и половина второго такого же прямоугольника. Всего закрашено 3 половины.

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

б)

Чтобы определить, какую часть составляет 5 от 9, нужно разделить 5 на 9. Мы получаем дробь $ \frac{5}{9} $.
На рисунке прямоугольник разделен на 9 равных частей, из которых 5 закрашены.

Ответ: $ \frac{5}{9} $.

Чтобы определить, какую часть составляет 9 от 5, нужно разделить 9 на 5. Мы получаем дробь $ \frac{9}{5} $. Это неправильная дробь, равная $ 1\frac{4}{5} $.
На рисунке показан один целый прямоугольник (5 частей) и 4 части из 5 от второго такого же прямоугольника. Всего закрашено 9 "пятых" частей.

Ответ: $ \frac{9}{5} $.

в)

Чтобы определить, какую часть составляет 3 от 6, нужно разделить 3 на 6. Мы получаем дробь $ \frac{3}{6} $, которую можно сократить до $ \frac{1}{2} $.
На рисунке прямоугольник разделен на 6 равных частей, из которых 3 закрашены, что составляет ровно половину.

Ответ: $ \frac{3}{6} $ (или $ \frac{1}{2} $).

Чтобы определить, какую часть составляет 6 от 3, нужно разделить 6 на 3. Мы получаем $ \frac{6}{3} $, что равно целому числу 2.
На рисунке показаны два целых прямоугольника, каждый из которых представляет собой "целое" из 3 частей.

Ответ: $ \frac{6}{3} $ (или 2).

г)

Чтобы определить, какую часть составляет 2 от 8, нужно разделить 2 на 8. Мы получаем дробь $ \frac{2}{8} $, которую можно сократить до $ \frac{1}{4} $.
На рисунке прямоугольник разделен на 8 равных частей, из которых 2 закрашены, что составляет одну четверть.

Ответ: $ \frac{2}{8} $ (или $ \frac{1}{4} $).

Чтобы определить, какую часть составляет 8 от 2, нужно разделить 8 на 2. Мы получаем $ \frac{8}{2} $, что равно целому числу 4.
На рисунке показаны четыре целых прямоугольника.

Ответ: $ \frac{8}{2} $ (или 4).

Сравнение заданий в каждом столбике

Общее: В каждом столбике (а, б, в, г) используются одни и те же два числа. Например, в столбике 'а' это числа 2 и 3.

Различия: В каждом столбике числа меняются местами.
- В первом задании (например, 2 от 3) первое число (часть) меньше второго (целое). В результате получается правильная дробь (например, $ \frac{2}{3} $), которая всегда меньше 1. Она показывает часть от целого.
- Во втором задании (например, 3 от 2) первое число больше второго. В результате получается неправильная дробь (например, $ \frac{3}{2} $), которая больше 1. Она показывает, что искомая величина больше, чем исходное целое.
- Дроби, получающиеся в каждом столбике (например, $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{3}{2} $), являются взаимно обратными.

10) а) Какую часть всех клеток составляют закрашенные клетки? Вырази эту часть в процентах.

б) Какую часть от закрашенных клеток составляют все клетки?

в) Какую часть от закрашенных клеток составляют незакрашенные, и наоборот?

г) Построй на клетчатой бумаге квадрат со стороной 10 клеток. Придумай и нарисуй внутри него фигуру, площадь которой составляет 25 % площади квадрата.

а) Какую часть всех клеток составляют закрашенные клетки? Вырази эту часть в процентах.

1. Сначала посчитаем общее количество клеток на рисунке. Это квадрат со стороной 10 клеток, следовательно, общее количество клеток равно $10 \times 10 = 100$ клеток.
2. Теперь посчитаем количество закрашенных клеток. Внимательно сосчитав, получаем 34 закрашенные клетки.
3. Часть, которую составляют закрашенные клетки от всех клеток, равна отношению количества закрашенных клеток к общему количеству клеток: $ \frac{34}{100} $. Эту дробь можно сократить на 2, получив $ \frac{17}{50} $.
4. Чтобы выразить эту часть в процентах, нужно умножить полученную дробь на 100%: $ \frac{34}{100} \times 100\% = 34\% $.

Ответ: Закрашенные клетки составляют $ \frac{34}{100} $ (или $ \frac{17}{50} $) всех клеток, что равно 34%.

б) Какую часть от закрашенных клеток составляют все клетки?

В этом вопросе нужно найти отношение общего количества клеток к количеству закрашенных клеток.
1. Общее количество клеток: 100.
2. Количество закрашенных клеток: 34.
3. Искомая часть равна $ \frac{100}{34} $. Эту дробь можно сократить на 2: $ \frac{50}{17} $. Можно также выразить ее в виде смешанного числа: $ 2\frac{16}{17} $.

Ответ: Все клетки составляют $ \frac{100}{34} $ (или $ \frac{50}{17} $) от закрашенных клеток.

в) Какую часть от закрашенных клеток составляют незакрашенные, и наоборот?

1. Сначала найдем количество незакрашенных клеток. Оно равно разности общего количества клеток и количества закрашенных: $100 - 34 = 66$ незакрашенных клеток.
2. Теперь найдем, какую часть от закрашенных клеток составляют незакрашенные. Для этого разделим количество незакрашенных клеток на количество закрашенных: $ \frac{66}{34} $. Сократив дробь на 2, получим $ \frac{33}{17} $.
3. Теперь найдем, какую часть от незакрашенных клеток составляют закрашенные (наоборот). Для этого разделим количество закрашенных клеток на количество незакрашенных: $ \frac{34}{66} $. Сократив дробь на 2, получим $ \frac{17}{33} $.

Ответ: Незакрашенные клетки составляют $ \frac{66}{34} $ (или $ \frac{33}{17} $) от закрашенных. Закрашенные клетки составляют $ \frac{34}{66} $ (или $ \frac{17}{33} $) от незакрашенных.

г) Построй на клетчатой бумаге квадрат со стороной 10 клеток. Придумай и нарисуй внутри него фигуру, площадь которой составляет 25 % площади квадрата.

1. Площадь квадрата со стороной 10 клеток равна $10 \times 10 = 100$ клеток.
2. Нам нужно найти 25% от этой площади: $100 \times \frac{25}{100} = 25$ клеток.
3. Таким образом, нужно нарисовать фигуру, состоящую из 25 закрашенных клеток, внутри квадрата 10х10. Вариантов таких фигур множество. Один из самых простых примеров — квадрат со стороной 5 клеток ($5 \times 5 = 25$).

Ответ: Необходимо закрасить 25 клеток. Ниже приведен пример такой фигуры (квадрат 5x5, расположенный в центре большого квадрата).

11 а) Какую часть дециметра составляют: 7 мм, 9 см?

б) Какую часть гектара составляют: $3 м^2$, 6 а, 10 соток?

в) Какую часть суток составляют: 5 ч, 12 ч, 1 мин, 8 мин, 4 ч 30 мин?

г) Какую часть тонны составляют: 7 ц, 56 кг, 9 ц, 15 кг?

а) Какую часть дециметра составляют: 7 мм, 9 см?

Чтобы найти, какую часть одна величина составляет от другой, нужно выразить обе величины в одинаковых единицах измерения и найти их отношение.

1. Для 7 мм:

Сначала переведем дециметры в миллиметры. В одном дециметре (дм) содержится 10 сантиметров (см), а в одном сантиметре — 10 миллиметров (мм).
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.
Теперь найдем отношение 7 мм к 100 мм:
$ \frac{7 \text{ мм}}{100 \text{ мм}} = \frac{7}{100} $
Таким образом, 7 мм составляют $ \frac{7}{100} $ дециметра.

2. Для 9 см:

В одном дециметре (дм) содержится 10 сантиметров (см).
Найдем отношение 9 см к 10 см:
$ \frac{9 \text{ см}}{10 \text{ см}} = \frac{9}{10} $
Таким образом, 9 см составляют $ \frac{9}{10} $ дециметра.

Ответ: 7 мм составляют $ \frac{7}{100} $ дециметра, а 9 см составляют $ \frac{9}{10} $ дециметра.

б) Какую часть гектара составляют: 3 м², 6 а, 10 соток?

1. Для 3 м²:

Переведем гектары (га) в квадратные метры (м²). В одном гектаре 100 ар, а в одном аре 100 квадратных метров.
$1 \text{ га} = 100 \text{ а} = 100 \times 100 \text{ м}^2 = 10000 \text{ м}^2$.
Найдем отношение 3 м² к 10000 м²:
$ \frac{3 \text{ м}^2}{10000 \text{ м}^2} = \frac{3}{10000} $
Таким образом, 3 м² составляют $ \frac{3}{10000} $ гектара.

2. Для 6 а:

В одном гектаре (га) содержится 100 ар (а).
Найдем отношение 6 а к 100 а и сократим дробь:
$ \frac{6 \text{ а}}{100 \text{ а}} = \frac{6}{100} = \frac{3}{50} $
Таким образом, 6 а составляют $ \frac{3}{50} $ гектара.

3. Для 10 соток:

Одна сотка равна одному ару ($1 \text{ сотка} = 1 \text{ а}$). Следовательно, 10 соток = 10 а.
Найдем отношение 10 а к 100 а и сократим дробь:
$ \frac{10 \text{ а}}{100 \text{ а}} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10} $
Таким образом, 10 соток составляют $ \frac{1}{10} $ гектара.

Ответ: 3 м² составляют $ \frac{3}{10000} $ гектара, 6 а составляют $ \frac{3}{50} $ гектара, 10 соток составляют $ \frac{1}{10} $ гектара.

в) Какую часть суток составляют: 5 ч, 12 ч, 1 мин, 8 мин, 4 ч 30 мин?

В одних сутках 24 часа (ч). В одном часе 60 минут (мин). Следовательно, в сутках $24 \times 60 = 1440$ минут.

1. Для 5 ч:
$ \frac{5 \text{ ч}}{24 \text{ ч}} = \frac{5}{24} $

2. Для 12 ч:
$ \frac{12 \text{ ч}}{24 \text{ ч}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} $

3. Для 1 мин:
$ \frac{1 \text{ мин}}{1440 \text{ мин}} = \frac{1}{1440} $

4. Для 8 мин:
$ \frac{8 \text{ мин}}{1440 \text{ мин}} = \frac{8}{1440} = \frac{1}{180} $ (сократили на 8)

5. Для 4 ч 30 мин:

Сначала переведем 4 ч 30 мин в минуты: $4 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} + 30 \text{ мин} = 240 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 270 \text{ мин}$.
Теперь найдем отношение к общему числу минут в сутках:
$ \frac{270 \text{ мин}}{1440 \text{ мин}} = \frac{27}{144} = \frac{3}{16} $ (сократили на 90, а затем на 9)

Ответ: 5 ч составляют $ \frac{5}{24} $ суток, 12 ч — $ \frac{1}{2} $, 1 мин — $ \frac{1}{1440} $, 8 мин — $ \frac{1}{180} $, 4 ч 30 мин — $ \frac{3}{16} $ суток.

г) Какую часть тонны составляют: 7 ц, 56 кг, 9 ц, 15 кг?

В одной тонне (т) 10 центнеров (ц). В одной тонне 1000 килограммов (кг).

1. Для 7 ц:
$ \frac{7 \text{ ц}}{10 \text{ ц}} = \frac{7}{10} $

2. Для 56 кг:
$ \frac{56 \text{ кг}}{1000 \text{ кг}} = \frac{56}{1000} = \frac{7}{125} $ (сократили на 8)

3. Для 9 ц:
$ \frac{9 \text{ ц}}{10 \text{ ц}} = \frac{9}{10} $

4. Для 15 кг:
$ \frac{15 \text{ кг}}{1000 \text{ кг}} = \frac{15}{1000} = \frac{3}{200} $ (сократили на 5)

Ответ: 7 ц составляют $ \frac{7}{10} $ тонны, 56 кг — $ \frac{7}{125} $, 9 ц — $ \frac{9}{10} $, 15 кг — $ \frac{3}{200} $ тонны.