Номер 1.81, страница 21 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.81. На первой полке стояло 12 книг, на второй — на 3 книги больше, а на третьей полке — на $a$ книг меньше, чем на двух первых полках вместе. Сколько книг на третьей полке?

а) Выберите такое число $a$, чтобы задача имела решение. Решите задачу с выбранным числом $a$.

б) Какое самое большое число $a$ можно взять, чтобы задача имела решение, если на третьей полке была хотя бы одна книга?

в) Придумайте задачу, в которой число заменено буквой, и проведите похожее исследование.

Сначала найдем, сколько книг на второй полке и на первых двух полках вместе.
1) На второй полке: $12 + 3 = 15$ (книг).
2) На первой и второй полках вместе: $12 + 15 = 27$ (книг).
Таким образом, на третьей полке стоит $27 - a$ книг.

а) Чтобы задача имела решение, количество книг на третьей полке должно быть целым неотрицательным числом. Это значит, что $27 - a \ge 0$, или $a \le 27$. Также, исходя из смысла фразы "на $a$ книг меньше", можно предположить, что $a$ — натуральное число.
Выберем любое натуральное число $a$, которое меньше или равно 27. Например, пусть $a = 7$.
Решим задачу с этим числом:
1) $12 + 3 = 15$ (книг) — на второй полке.
2) $12 + 15 = 27$ (книг) — на первой и второй полках вместе.
3) $27 - 7 = 20$ (книг) — на третьей полке.
Ответ: при $a = 7$ на третьей полке 20 книг.

б) По условию, на третьей полке была хотя бы одна книга. Это можно записать в виде неравенства:
Количество книг на третьей полке $\ge 1$
$27 - a \ge 1$
Чтобы найти наибольшее возможное $a$, решим это неравенство относительно $a$:
$26 \ge a$, или $a \le 26$.
Самое большое целое число $a$, удовлетворяющее этому условию, — это 26.
Ответ: 26.

в) Придумаем похожую задачу:
«В первой корзине 15 грибов, во второй — на $b$ грибов больше, чем в первой, а в третьей — на 8 грибов меньше, чем в первых двух корзинах вместе. Сколько грибов в третьей корзине?»
Проведем исследование:
1) Грибов во второй корзине: $15 + b$.
2) Грибов в первой и второй корзинах вместе: $15 + (15 + b) = 30 + b$.
3) Грибов в третьей корзине: $(30 + b) - 8 = 22 + b$.

Исследование:
Поскольку количество грибов не может быть отрицательным, все выражения должны быть неотрицательными.
- Количество грибов во второй корзине: $15 + b \ge 0$. Так как $b$ — это число, на которое грибов больше, логично предположить, что $b$ — положительное число ($b > 0$). При этом условии $15 + b$ всегда будет положительным.
- Количество грибов в третьей корзине: $22 + b \ge 0$. Это выражение также всегда будет положительным при $b > 0$.

Таким образом, в отличие от исходной задачи, в этой задаче переменная $b$ может быть любым положительным числом, и задача всегда будет иметь решение. Например, если $b=5$, то в третьей корзине $22 + 5 = 27$ грибов. Если $b=100$, то в третьей корзине $22 + 100 = 122$ гриба.
Ответ: Придуманная задача: «В первой корзине 15 грибов, во второй — на $b$ грибов больше, чем в первой, а в третьей — на 8 грибов меньше, чем в первых двух корзинах вместе. Сколько грибов в третьей корзине?». Исследование показало, что эта задача имеет решение для любого положительного значения $b$.