Страница 50, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

192 1) Туристы прошли путь от турбазы до озера за 4 дня. В первый день они прошли $\frac{1}{4}$ всего пути, во второй – $\frac{3}{7}$ оставшегося пути, а в третий и четвёртый дни проходили по 12 км. Чему равна длина всего пути от турбазы до озера?

2) Лыжник прошёл маршрут длиной 103 км за 4 дня. Во второй день он прошёл 120 % пути, пройденного в первый день, в третий день – $\frac{2}{3}$ пути, который он прошёл во второй день, а в четвёртый день – оставшиеся 28 км. Сколько километров проходил лыжник в каждый из первых трёх дней?

1)

Обозначим всю длину пути от турбазы до озера через $x$ км.

1. В первый день туристы прошли $\frac{1}{4}$ всего пути, то есть $\frac{1}{4}x$ км.

2. После первого дня осталось пройти $x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$ км.

3. Во второй день они прошли $\frac{3}{7}$ оставшегося пути, то есть $\frac{3}{7} \cdot (\frac{3}{4}x) = \frac{9}{28}x$ км.

4. В третий и четвёртый дни они проходили по 12 км, то есть за два дня прошли $12 + 12 = 24$ км.

5. Сложим расстояния, пройденные за все четыре дня, чтобы получить общую длину пути:
$\frac{1}{4}x + \frac{9}{28}x + 24 = x$

6. Решим полученное уравнение:
$x - \frac{1}{4}x - \frac{9}{28}x = 24$
Приведём дроби к общему знаменателю 28:
$\frac{28}{28}x - \frac{7}{28}x - \frac{9}{28}x = 24$
$\frac{28 - 7 - 9}{28}x = 24$
$\frac{12}{28}x = 24$
Сократим дробь $\frac{12}{28}$ на 4:
$\frac{3}{7}x = 24$
$x = 24 \div \frac{3}{7}$
$x = 24 \cdot \frac{7}{3}$
$x = 8 \cdot 7$
$x = 56$

Таким образом, длина всего пути от турбазы до озера равна 56 км.

Ответ: 56 км.

2)

Пусть $x$ км — это расстояние, которое лыжник прошёл в первый день.

1. Во второй день он прошёл 120% пути, пройденного в первый день. Переведём проценты в десятичную дробь: $120\% = 1.2$. Значит, во второй день он прошёл $1.2x$ км.

2. В третий день он прошёл $\frac{2}{3}$ пути, который он прошёл во второй день, то есть $\frac{2}{3} \cdot (1.2x) = \frac{2.4}{3}x = 0.8x$ км.

3. В четвёртый день лыжник прошёл оставшиеся 28 км.

4. Общая длина маршрута составляет 103 км. Составим уравнение, сложив расстояния за все четыре дня:
$x + 1.2x + 0.8x + 28 = 103$

5. Решим уравнение:
$(1 + 1.2 + 0.8)x + 28 = 103$
$3x + 28 = 103$
$3x = 103 - 28$
$3x = 75$
$x = 75 \div 3$
$x = 25$

6. Мы нашли расстояние, которое лыжник прошёл в первый день: 25 км. Теперь найдём расстояния за второй и третий дни:

• Второй день: $1.2x = 1.2 \cdot 25 = 30$ км.
• Третий день: $0.8x = 0.8 \cdot 25 = 20$ км.

Проверим: $25 + 30 + 20 + 28 = 103$ км. Всё верно.

Ответ: в первый день лыжник прошёл 25 км, во второй — 30 км, в третий — 20 км.

192 1) Туристы прошли путь от турбазы до озера за 4 дня. В первый день они прошли $\frac{1}{4}$ всего пути, во второй – $\frac{3}{7}$ оставшегося пути, а в третий и четвертый дни проходили по 12 км. Чему равна длина всего пути от турбазы до озера?

2) Лыжник прошел маршрут длиной 103 км за 4 дня. Во второй день он прошел 120% пути, пройденного в первый день, в третий день – $\frac{2}{3}$ пути, который он прошел во второй день, а в четвертый день – оставшиеся 28 км. Сколько километров проходил лыжник в каждый из первых трех дней?

193 1) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. При встрече оказалось, что первый пешеход прошёл $ \frac{1}{4} $ всего пути и ещё 3,2 км, а второй – в 2 раза больше первого. Чему равно расстояние от А до В?

2) Мастер и ученик должны были сделать некоторое количество деталей. По окончании работы оказалось, что мастер выполнил $ \frac{2}{3} $ всего задания и ещё 8 деталей, а ученик – 0,25 того, что выполнил мастер. Сколько всего деталей сделали ученик и мастер?

1)

Пусть $S$ - искомое расстояние от пункта А до пункта В в километрах. Обозначим расстояние, которое прошел первый пешеход до встречи, как $S_1$, а расстояние, которое прошел второй пешеход, как $S_2$.

Согласно условию задачи, первый пешеход прошёл $\frac{1}{4}$ всего пути и ещё 3,2 км. Это можно записать в виде уравнения:$S_1 = \frac{1}{4}S + 3,2$.

Второй пешеход прошёл в 2 раза больше, чем первый. Значит:$S_2 = 2 \times S_1$.

Поскольку пешеходы вышли одновременно навстречу друг другу и встретились, то сумма расстояний, которые они прошли, равна всему расстоянию между пунктами А и В:$S_1 + S_2 = S$.

Теперь составим систему уравнений и решим её. Подставим выражение для $S_2$ в третье уравнение:$S_1 + (2 \times S_1) = S$$3S_1 = S$.

Мы получили, что всё расстояние в 3 раза больше пути, пройденного первым пешеходом. Теперь подставим в это уравнение выражение для $S_1$:$3 \times (\frac{1}{4}S + 3,2) = S$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $S$:$\frac{3}{4}S + 3 \times 3,2 = S$$\frac{3}{4}S + 9,6 = S$.

Перенесём слагаемое $\frac{3}{4}S$ в правую часть уравнения, чтобы сгруппировать члены с переменной $S$:$9,6 = S - \frac{3}{4}S$$9,6 = \frac{4}{4}S - \frac{3}{4}S$$9,6 = \frac{1}{4}S$.

Чтобы найти $S$, умножим обе части уравнения на 4:$S = 9,6 \times 4$$S = 38,4$ км.

Ответ: 38,4 км.

2)

Пусть $N$ - общее количество деталей, сделанных мастером и учеником вместе. Обозначим количество деталей, изготовленных мастером, как $N_м$, а учеником — как $N_у$.

Из условия задачи следует, что мастер выполнил $\frac{2}{3}$ от всего задания (то есть, от общего количества сделанных деталей $N$) и ещё 8 деталей. Запишем это в виде уравнения:$N_м = \frac{2}{3}N + 8$.

Ученик сделал 0,25 (что равно $\frac{1}{4}$) от количества деталей, сделанных мастером:$N_у = 0,25 \times N_м = \frac{1}{4}N_м$.

Общее количество деталей равно сумме деталей, сделанных мастером и учеником:$N = N_м + N_у$.

Подставим в последнее уравнение выражение для $N_у$:$N = N_м + \frac{1}{4}N_м$$N = \frac{4}{4}N_м + \frac{1}{4}N_м$$N = \frac{5}{4}N_м$.

Теперь выразим $N_м$ через $N$:$N_м = \frac{4}{5}N$.

Подставим это выражение в самое первое уравнение:$\frac{4}{5}N = \frac{2}{3}N + 8$.

Решим это уравнение относительно $N$. Перенесём все члены с $N$ в левую часть:$\frac{4}{5}N - \frac{2}{3}N = 8$.

Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю, равному 15:$\frac{4 \times 3}{15}N - \frac{2 \times 5}{15}N = 8$$\frac{12}{15}N - \frac{10}{15}N = 8$$\frac{2}{15}N = 8$.

Чтобы найти $N$, умножим обе части уравнения на $\frac{15}{2}$:$N = 8 \times \frac{15}{2}$$N = 4 \times 15$$N = 60$ деталей.

Ответ: 60 деталей.

193 1) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. При встрече оказалось, что первый пешеход прошел $\frac{1}{4}$ всего пути и еще 3,2 км, а второй – в 2 раза больше первого. Чему равно расстояние от А до В?

2) Мастер и ученик должны были сделать некоторое количество деталей. По окончании работы оказалось, что мастер выполнил $\frac{2}{3}$ всего задания и еще 8 деталей, а ученик – 0,25 того, что выполнил мастер. Сколько всего деталей сделали ученик и мастер?

194 Найди по рисункам скорости сближения и скорости удаления пешеходов. Как и на сколько изменится расстояние между ними через 2 ч? Чему оно станет равно? В каком случае и через сколько времени после начала движения произойдёт встреча? ($d_2$ – расстояние между пешеходами через 2 ч после выхода.)

1) 3 км/ч 5 км/ч

? км

30 км

$t = 2$ ч

$d_2 = ?$

2) 5 км/ч 3 км/ч

30 км

$t = 2$ ч

$d_2 = ?$

3) 3 км/ч 5 км/ч

30 км

? км

$t = 2$ ч

$d_2 = ?$

4) 3 км/ч 5 км/ч

30 км

$t = 2$ ч

$d_2 = ?$

1)

В данном случае пешеходы движутся навстречу друг другу. Это движение на сближение.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:$v_{сбл} = 3 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$.

За 2 часа расстояние между ними уменьшится на величину:$\Delta d = v_{сбл} \times t = 8 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 16 \text{ км}$.

Новое расстояние между ними через 2 часа ($d_2$) составит:$d_2 = 30 \text{ км} - 16 \text{ км} = 14 \text{ км}$.

Ответ: скорость сближения 8 км/ч; расстояние через 2 часа уменьшится на 16 км и станет равным 14 км.

2)

В данном случае пешеходы движутся в одном направлении, при этом второй пешеход (скорость 5 км/ч) догоняет первого (скорость 3 км/ч). Это движение на сближение (вдогонку).

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна разности их скоростей:$v_{сбл} = 5 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$.

За 2 часа расстояние между ними уменьшится на:$\Delta d = v_{сбл} \times t = 2 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 4 \text{ км}$.

Новое расстояние между ними через 2 часа ($d_2$) составит:$d_2 = 30 \text{ км} - 4 \text{ км} = 26 \text{ км}$.

Ответ: скорость сближения 2 км/ч; расстояние через 2 часа уменьшится на 4 км и станет равным 26 км.

3)

В данном случае пешеходы движутся в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга. Это движение на удаление.

Скорость удаления $v_{уд}$ равна сумме их скоростей:$v_{уд} = 3 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч}$.

За 2 часа расстояние между ними увеличится на:$\Delta d = v_{уд} \times t = 8 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 16 \text{ км}$.

Новое расстояние между ними через 2 часа ($d_2$) составит:$d_2 = 30 \text{ км} + 16 \text{ км} = 46 \text{ км}$.

Ответ: скорость удаления 8 км/ч; расстояние через 2 часа увеличится на 16 км и станет равным 46 км.

4)

В данном случае пешеходы движутся в одном направлении, при этом идущий впереди пешеход (5 км/ч) быстрее идущего сзади (3 км/ч). Это движение на удаление.

Скорость удаления $v_{уд}$ равна разности их скоростей:$v_{уд} = 5 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$.

За 2 часа расстояние между ними увеличится на:$\Delta d = v_{уд} \times t = 2 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 4 \text{ км}$.

Новое расстояние между ними через 2 часа ($d_2$) составит:$d_2 = 30 \text{ км} + 4 \text{ км} = 34 \text{ км}$.

Ответ: скорость удаления 2 км/ч; расстояние через 2 часа увеличится на 4 км и станет равным 34 км.

Встреча пешеходов

Встреча пешеходов возможна только в случаях, когда они сближаются, то есть в случаях 1 и 2.

Для случая 1 (движение навстречу):
Время до встречи $t_{встр}$ вычисляется как начальное расстояние, деленное на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{30 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 3,75 \text{ ч}$.
Поскольку $0,75 \text{ часа} = 0,75 \times 60 = 45 \text{ минут}$, встреча произойдет через 3 часа 45 минут.

Для случая 2 (движение вдогонку):
Время до встречи $t_{встр}$ вычисляется аналогично:
$t_{встр} = \frac{30 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 15 \text{ ч}$.
Встреча произойдет через 15 часов.

В случаях 3 и 4 пешеходы удаляются друг от друга, поэтому их встреча невозможна.

Ответ: встреча произойдет в первом случае через 3 часа 45 минут, а во втором случае — через 15 часов.

194 Найди по рисункам скорости сближения и скорости удаления пешеходов. Как и на сколько изменится расстояние между ними через 2 ч? Чему оно станет равно? В каком случае и через сколько времени после начала движения произойдет встреча? ($d_2$ - расстояние между пешеходами через 2 ч после выхода.)

1) Движение навстречу. Скорость левого пешехода 3 км/ч (вправо), скорость правого пешехода 5 км/ч (влево). Начальное расстояние между пешеходами 30 км. $t = 2$ ч, $d_2 = ?$

2) Движение вдогонку. Скорость левого пешехода 5 км/ч (вправо), скорость правого пешехода 3 км/ч (вправо). Начальное расстояние между пешеходами 30 км. $t = 2$ ч, $d_2 = ?$

3) Движение в разные стороны. Скорость левого пешехода 3 км/ч (влево), скорость правого пешехода 5 км/ч (вправо). Начальное расстояние между пешеходами 30 км. $t = 2$ ч, $d_2 = ?$

4) Движение вдогонку. Скорость левого пешехода 3 км/ч (вправо), скорость правого пешехода 5 км/ч (вправо). Начальное расстояние между пешеходами 30 км. $t = 2$ ч, $d_2 = ?$

195 1) Из двух городов, расстояние между которыми 400,4 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля равна 82,5 км/ч, а скорость автобуса составляет ${11 \over 15}$ скорости автомобиля. Какое расстояние проедет автобус до его встречи с автомобилем?

2) Два лыжника, находясь друг от друга на расстоянии 6 км, вышли одновременно навстречу друг другу и через 15 мин встретились. Когда же они вышли из одного пункта в одном направлении, через 50 мин один отстал от другого на 5 км. Чему равна скорость каждого лыжника?

1)

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем скорость автобуса. Она составляет $\frac{11}{15}$ от скорости автомобиля:

$V_{\text{автобуса}} = 82,5 \cdot \frac{11}{15} = \frac{825}{10} \cdot \frac{11}{15} = \frac{165}{2} \cdot \frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 11}{2} = \frac{121}{2} = 60,5$ км/ч.

2. Найдем скорость сближения автомобиля и автобуса. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:

$V_{\text{сближения}} = V_{\text{автомобиля}} + V_{\text{автобуса}} = 82,5 + 60,5 = 143$ км/ч.

3. Найдем время, через которое они встретятся. Для этого разделим общее расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{V_{\text{сближения}}} = \frac{400,4}{143} = 2,8$ ч.

4. Найдем расстояние, которое проедет автобус до встречи. Для этого умножим скорость автобуса на время в пути:

$S_{\text{автобуса}} = V_{\text{автобуса}} \cdot t = 60,5 \cdot 2,8 = 169,4$ км.

Ответ: автобус проедет 169,4 км до его встречи с автомобилем.

2)

Пусть $V_1$ – скорость первого лыжника, а $V_2$ – скорость второго лыжника (в км/ч). Для решения задачи составим систему уравнений.

1. В первом случае лыжники движутся навстречу друг другу. Расстояние между ними было $6$ км, и они встретились через $15$ минут. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = 0,25$ ч. При движении навстречу их скорости складываются (скорость сближения). Используя формулу $S = V \cdot t$, получаем первое уравнение:

$(V_1 + V_2) \cdot 0,25 = 6$

Отсюда находим сумму скоростей:

$V_1 + V_2 = \frac{6}{0,25} = 24$

2. Во втором случае лыжники вышли из одного пункта в одном направлении. Через $50$ минут один отстал от другого на $5$ км. Переведем минуты в часы: $50 \text{ мин} = \frac{50}{60} \text{ ч} = \frac{5}{6}$ ч. При движении в одном направлении скорость удаления равна разности их скоростей (предположим, что $V_1 > V_2$). Получаем второе уравнение:

$(V_1 - V_2) \cdot \frac{5}{6} = 5$

Отсюда находим разность скоростей:

$V_1 - V_2 = 5 \div \frac{5}{6} = 5 \cdot \frac{6}{5} = 6$

3. Теперь решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} V_1 + V_2 = 24 \\ V_1 - V_2 = 6 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(V_1 + V_2) + (V_1 - V_2) = 24 + 6$

$2V_1 = 30$

$V_1 = 15$ км/ч.

Подставим найденное значение $V_1$ в первое уравнение, чтобы найти $V_2$:

$15 + V_2 = 24$

$V_2 = 24 - 15 = 9$ км/ч.

Ответ: скорость одного лыжника равна 15 км/ч, а скорость второго лыжника — 9 км/ч.

195 1) Из двух городов, расстояние между которыми 400,4 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля равна 82,5 км/ч, а скорость автобуса составляет $ \frac{11}{15} $ скорости автомобиля. Какое расстояние проедет автобус до его встречи с автомобилем?

2) Два лыжника, находясь друг от друга на расстоянии 6 км, вышли одновременно навстречу друг другу и через 15 мин встретились. Когда же они вышли из одного пункта в одном направлении, то через 50 мин один отстал от другого на 5 км. Чему равна скорость каждого лыжника?

194 Найди значение выражений А, В и С. Подбери четвёртое число так, чтобы получилась пропорция. Сколько различных чисел можно подобрать?

A $0,992 + (8,109 : 1,5 + 840 \cdot 1,04 - 791,406) : 12,5;$

B $(2\frac{3}{11} + 5\frac{8}{11} \cdot 0)\cdot\left[3\frac{5}{6} : \left(3\frac{5}{6} - 0\right) + 2,7\cdot 1\frac{1}{3} - \frac{1}{3} : 1\frac{2}{3} \cdot 1\right];$

C $\left[18\frac{1}{3} : 11 + 0,8\cdot\left(4\frac{1}{6} - 3\frac{3}{4}\right)\right]^2.$

A

Сначала найдем значение выражения A, выполняя действия в правильном порядке:

1) Выполним действия в скобках. Начнем с деления: $8,109 : 1,5 = 5,406$.

2) Теперь умножение в скобках: $840 \cdot 1,04 = 873,6$.

3) Далее сложение и вычитание в скобках: $5,406 + 873,6 - 791,406 = 879,006 - 791,406 = 87,6$.

4) Разделим результат, полученный в скобках: $87,6 : 12,5 = 7,008$.

5) Выполним последнее сложение: $0,992 + 7,008 = 8$.

Таким образом, значение выражения A равно 8.

Ответ: 8.

B

Теперь найдем значение выражения B, соблюдая порядок действий:

1) Сначала вычислим значение в первых скобках: $(2\frac{3}{11} + 5\frac{8}{11} \cdot 0) = 2\frac{3}{11} + 0 = 2\frac{3}{11}$.

2) Теперь вычислим значение в квадратных скобках:

а) $3\frac{5}{6} : (3\frac{5}{6} - 0) = 3\frac{5}{6} : 3\frac{5}{6} = 1$.

б) $2,7 \cdot 1\frac{1}{3} = \frac{27}{10} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{10} = \frac{36}{10} = 3,6$.

в) $\frac{1}{3} : 1\frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} : \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5} = 0,2$.

г) Сложим и вычтем полученные результаты: $1 + 3,6 - 0,2 = 4,4$.

3) Наконец, перемножим результат первых скобок и вторых: $2\frac{3}{11} \cdot 4,4 = \frac{25}{11} \cdot \frac{44}{10} = \frac{25 \cdot 4}{10} = \frac{100}{10} = 10$.

Таким образом, значение выражения B равно 10.

Ответ: 10.

C

Найдем значение выражения C:

1) Начнем с действия в круглых скобках, приведя дроби к общему знаменателю: $4\frac{1}{6} - 3\frac{3}{4} = \frac{25}{6} - \frac{15}{4} = \frac{50}{12} - \frac{45}{12} = \frac{5}{12}$.

2) Теперь выполним умножение: $0,8 \cdot \frac{5}{12} = \frac{8}{10} \cdot \frac{5}{12} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

3) Выполним деление: $18\frac{1}{3} : 11 = \frac{55}{3} : 11 = \frac{55}{3 \cdot 11} = \frac{5}{3}$.

4) Сложим результаты внутри квадратных скобок: $\frac{5}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

5) Возведем результат в квадрат: $2^2 = 4$.

Таким образом, значение выражения C равно 4.

Ответ: 4.

Далее решим вторую часть задачи. Мы нашли значения: $A = 8$, $B = 10$ и $C = 4$. Нужно подобрать четвёртое число $x$ так, чтобы из этих четырёх чисел получилась пропорция. Четыре числа образуют пропорцию, если произведение одной пары чисел равно произведению другой пары. Для набора чисел $\{8, 10, 4, x\}$ это дает три возможных уникальных уравнения:

1) $8 \cdot x = 10 \cdot 4 \implies 8x = 40 \implies x = 5$.

2) $10 \cdot x = 8 \cdot 4 \implies 10x = 32 \implies x = 3,2$.

3) $4 \cdot x = 8 \cdot 10 \implies 4x = 80 \implies x = 20$.

Следовательно, можно подобрать три различных числа, чтобы получилась пропорция. Например, можно взять число 5, и тогда получится пропорция $8:10 = 4:5$.

Ответ: В качестве четвёртого числа можно подобрать 5 (или 3,2, или 20). Всего можно подобрать 3 различных числа.

194 Найди значение выражений А, В и С. Подбери четвертое число так, чтобы получилась пропорция. Сколько различных чисел можно подобрать?

А $0,992 + (8,109 : 1,5 + 840 \cdot 1,04 - 791,406) : 12,5;$

В $(2\frac{3}{11} + 5\frac{8}{11} \cdot 0)\cdot [3\frac{5}{6}:(3\frac{5}{6}-0)+2,7\cdot 1\frac{1}{3}-\frac{1}{3}:1\frac{2}{3}\cdot 1];$

С $[18\frac{1}{3} : 11 + 0,8 \cdot (4\frac{1}{6} - 3\frac{3}{4})]^2.$

195* Имеется 4 арбуза различной массы. Как, пользуясь чашечными весами без гирь, расположить их по возрастанию массы посредством не более пяти взвешиваний?

Для того чтобы расположить 4 арбуза различной массы (обозначим их А, Б, В, Г) по возрастанию, можно использовать следующий алгоритм, который гарантированно уложится в пять взвешиваний на чашечных весах без гирь.

1. Первое взвешивание: Положим на одну чашу весов арбуз А, а на другую — арбуз Б. Так как массы арбузов различны, одна из чаш перевесит. Запомним, какой арбуз тяжелее, а какой легче.

   Для определенности, предположим, что арбуз А тяжелее арбуза Б ($А > Б$).

2. Второе взвешивание: Аналогично сравним оставшиеся арбузы В и Г.

   Предположим, что арбуз В тяжелее арбуза Г ($В > Г$).

3. Третье взвешивание: Теперь сравним двух «победителей» из первых двух взвешиваний — арбузы А и В.

   Предположим, что арбуз А оказался тяжелее арбуза В ($А > В$).

   На основе этих трех взвешиваний мы можем сделать важные выводы:

   • Арбуз А является самым тяжелым из четырех. Мы знаем, что $А > Б$ и $А > В$, а также $В > Г$. Следовательно, А тяжелее всех остальных.
   • Мы установили частичный порядок: $А > В > Г$. Место арбуза Б в этой последовательности пока неизвестно (мы знаем только, что $А > Б$).

4. Четвертое взвешивание: Чтобы найти место арбуза Б, сравним его с арбузом В (который на данный момент является вторым по массе из известных).

   Возможны два исхода:

   • Случай 1: Арбуз Б тяжелее арбуза В ($Б > В$).

     В этом случае мы можем сразу выстроить полную последовательность масс. Так как $А > Б$ (из шага 1), $Б > В$ (текущее взвешивание) и $В > Г$ (из шага 2), то полный порядок таков: $А > Б > В > Г$. Задача решена за 4 взвешивания.

   • Случай 2: Арбуз В тяжелее арбуза Б ($В > Б$).

     Теперь мы знаем, что $А > В > Б$ и $В > Г$. Чтобы завершить упорядочивание, нам осталось только выяснить, какой из арбузов легче — Б или Г. Для этого потребуется еще одно, последнее взвешивание.

5. Пятое взвешивание (требуется только в Случае 2): Сравниваем арбузы Б и Г.

   • Если $Б > Г$, то окончательный порядок масс: $А > В > Б > Г$.
   • Если $Г > Б$, то окончательный порядок масс: $А > В > Г > Б$.

   В этом сценарии для определения полного порядка потребовалось 5 взвешиваний.

Таким образом, предложенный алгоритм позволяет однозначно расположить все четыре арбуза по возрастанию массы, совершив при этом не более пяти взвешиваний, что полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Алгоритм решения задачи состоит из следующих шагов. Сначала двумя взвешиваниями сравниваются две пары арбузов (А с Б и В с Г). Третьим взвешиванием сравниваются «победители» из этих пар, что позволяет найти самый тяжелый арбуз. После этого положение оставшихся трех арбузов определяется с помощью еще одного или двух взвешиваний. Максимальное общее количество взвешиваний для полного упорядочивания арбузов по массе составляет пять.

С 195 Имеется 4 арбуза различной массы. Как, пользуясь чашечными весами без гирь, расположить их по возрастанию массы посредством не более пяти взвешиваний?

196* Сколько всего натуральных чисел, меньших 100, которые:

а) делятся на 2, но не делятся на 3;

б) делятся на 2 или на 3;

в) не делятся ни на 2, ни на 3?

Всего натуральных чисел, меньших 100, — это числа от 1 до 99. Их общее количество равно 99.

Для решения задачи сначала найдем количество чисел от 1 до 99, которые делятся на 2, на 3, а также одновременно на 2 и 3 (то есть на 6).

1. Количество чисел, делящихся на 2: $N_2 = \lfloor \frac{99}{2} \rfloor = 49$.

2. Количество чисел, делящихся на 3: $N_3 = \lfloor \frac{99}{3} \rfloor = 33$.

3. Количество чисел, делящихся на 6 (то есть и на 2, и на 3): $N_6 = \lfloor \frac{99}{6} \rfloor = 16$.

а) делятся на 2, но не делятся на 3

Чтобы найти количество чисел, которые делятся на 2, но при этом не делятся на 3, необходимо из общего числа чисел, кратных 2, вычесть те, что также кратны 3 (то есть кратны 6).

$N_{а} = N_2 - N_6 = 49 - 16 = 33$.

Ответ: 33.

б) делятся на 2 или на 3

Для нахождения количества чисел, которые делятся на 2 или на 3, используется формула включений-исключений. Мы складываем количество чисел, кратных 2, и количество чисел, кратных 3, а затем вычитаем количество чисел, кратных 6, так как они были посчитаны дважды.

$N_{б} = N_2 + N_3 - N_6 = 49 + 33 - 16 = 82 - 16 = 66$.

Ответ: 66.

в) не делятся ни на 2, ни на 3

Чтобы найти количество чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, нужно из общего количества чисел (99) вычесть количество чисел, которые делятся хотя бы на одно из этих чисел (на 2 или на 3), которое мы нашли в пункте б).

$N_{в} = 99 - N_{б} = 99 - 66 = 33$.

Ответ: 33.

196. Сколько всего натуральных чисел, меньших 100, которые:

а) делятся на 2, но не делятся на 3;

б) делятся на 2 или на 3;

в) не делятся ни на 2, ни на 3?