Страница 57, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

224 Вычислили:

$[(40.6 - 7.48) : 1.6 - (44.6 \cdot 0.0108) : 0.24] : 2.79 + (132 + 14.042 + 3.25) : 45.24$

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь — сложение и вычитание, двигаясь слева направо.

Исходное выражение:

$[(40,6 - 7,48) : 1,6 - (44,6 \cdot 0,0108) : 0,24] : 2,79 + (132 + 14,042 + 3,25) : 45,24$

1. Выполним вычитание в первых скобках:

$40,6 - 7,48 = 33,12$

2. Разделим результат первого действия на 1,6:

$33,12 : 1,6 = 20,7$

3. Выполним умножение во вторых скобках:

$44,6 \cdot 0,0108 = 0,48168$

4. Разделим результат третьего действия на 0,24:

$0,48168 : 0,24 = 2,007$

5. Найдем разность результатов второго и четвертого действий (вычисление в квадратных скобках):

$20,7 - 2,007 = 18,693$

6. Разделим результат пятого действия на 2,79:

$18,693 : 2,79 = 6,7$

7. Выполним сложение в третьих скобках:

$132 + 14,042 + 3,25 = 149,292$

8. Разделим результат седьмого действия на 45,24:

$149,292 : 45,24 = 3,3$

9. Сложим результаты шестого и восьмого действий, чтобы найти окончательный ответ:

$6,7 + 3,3 = 10$

Ответ: 10

224 Вычисли:

$[(40.6-7.48) \div 1.6 - (44.6 \cdot 0.0108) \div 0.24] \div 2.79 + (132+14.042+3.25) \div 45.24$

D 225 Реши задачи способом пропорций:

1) Чтобы связать шарф длиной 1,4 м, нужно 350 г шерсти. Сколько шерсти потребуется, чтобы связать шарф такой же ширины длиной 180 см?

2) Для класса куплено 120 тетрадей по 12,5 р. Сколько тетрадей по цене 15 р. можно купить на эти же деньги?

1) Это задача на прямую пропорциональность: чем длиннее шарф, тем больше шерсти требуется. Сначала приведем все единицы измерения длины к одной, например, к сантиметрам. $1,4 \, м = 1,4 \cdot 100 \, см = 140 \, см$. Пусть $x$ – это необходимое количество шерсти в граммах для шарфа длиной 180 см. Составим пропорцию: 140 см длины – 350 г шерсти 180 см длины – $x$ г шерсти Математически это выглядит так: $ \frac{140}{180} = \frac{350}{x} $ Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $ 140 \cdot x = 180 \cdot 350 $ $ x = \frac{180 \cdot 350}{140} $ Сократим дробь: $ x = \frac{18 \cdot 350}{14} = \frac{9 \cdot 350}{7} = 9 \cdot 50 = 450 $ Таким образом, для шарфа длиной 180 см потребуется 450 г шерсти.
Ответ: 450 г шерсти.

2) Это задача на обратную пропорциональность: чем выше цена одной тетради, тем меньшее их количество можно купить на ту же сумму денег. Пусть $x$ – это количество тетрадей по цене 15 рублей, которое можно купить. Составим пропорцию, учитывая, что зависимость обратная (второе отношение нужно "перевернуть"): 120 тетрадей – по 12,5 р. $x$ тетрадей – по 15 р. Пропорция будет выглядеть так: $ \frac{120}{x} = \frac{15}{12.5} $ Решим уравнение, чтобы найти $x$: $ 120 \cdot 12.5 = x \cdot 15 $ $ x = \frac{120 \cdot 12.5}{15} $ Сократим дробь, разделив 120 на 15: $ x = 8 \cdot 12.5 = 100 $ Значит, на те же деньги можно купить 100 тетрадей по цене 15 рублей.
Ответ: 100 тетрадей.

D 225 Реши задачи способом пропорций:

1) Чтобы связать шарф длиной 1,4 м, нужно 350 г шерсти. Сколько шерсти потребуется, чтобы связать шарф такой же ширины длиной 180 см?

2) Для класса куплено 120 тетрадей по 12,5 р. Сколько тетрадей по цене 15 р. можно купить на эти же деньги?

226 Реши задачи на проценты способом пропорций.

1) За перевозку мебели заплатили 1200 р., что составило 4 % её стоимости. Сколько рублей стоила мебель?

2) Костюм до снижения цен стоил 7500 р. Цена на костюм снижена на 6 %. На сколько рублей снижена цена?

3) В растворе массой 280 г содержится 56 г соли. Чему равна концентрация этого раствора?

1) Пусть $x$ рублей — это полная стоимость мебели, что принимается за 100%. Стоимость перевозки, равная 1200 рублям, составляет 4% от полной стоимости. Составим пропорцию, чтобы найти полную стоимость мебели:
1200 р. — 4%
$x$ р. — 100%
Из этой пропорции получаем уравнение:
$\frac{1200}{x} = \frac{4}{100}$
Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$4 \cdot x = 1200 \cdot 100$
$4x = 120000$
$x = \frac{120000}{4}$
$x = 30000$
Таким образом, стоимость мебели составляет 30000 рублей.
Ответ: 30000 рублей.

2) Первоначальная стоимость костюма, 7500 рублей, — это 100%. Цену снизили на 6%. Нам нужно найти, сколько рублей составляет эта скидка. Пусть $x$ рублей — это сумма снижения цены. Составим пропорцию:
7500 р. — 100%
$x$ р. — 6%
Запишем соответствующее уравнение:
$\frac{7500}{x} = \frac{100}{6}$
Решим уравнение, чтобы найти $x$:
$100 \cdot x = 7500 \cdot 6$
$100x = 45000$
$x = \frac{45000}{100}$
$x = 450$
Следовательно, цена была снижена на 450 рублей.
Ответ: 450 рублей.

3) Общая масса раствора, 280 г, принимается за 100%. Масса соли в этом растворе составляет 56 г. Концентрация раствора — это процентное содержание соли в общей массе. Обозначим искомую концентрацию за $x$%. Составим пропорцию:
280 г — 100%
56 г — $x$%
Запишем уравнение из пропорции:
$\frac{280}{56} = \frac{100}{x}$
Найдем $x$:
$280 \cdot x = 56 \cdot 100$
$280x = 5600$
$x = \frac{5600}{280}$
$x = 20$
Таким образом, концентрация раствора равна 20%.
Ответ: 20 %.

226 Реши задачи на проценты способом пропорций:

1) За перевозку мебели заплатили 1200 р., что составило $4\%$ ее стоимости. Сколько рублей стоила мебель?

2) Костюм до снижения цен стоил 7500 р. Цена на костюм снижена на $6\%$. На сколько рублей снижена цена?

3) В растворе массой 280 г содержится 56 г соли. Чему равна концентрация этого раствора?

227 Подводная лодка, передвигаясь со скоростью 15,6 км/ч, пришла к месту назначения за 3 ч 45 мин. С какой скоростью она должна была идти, чтобы пройти весь путь на 30 мин быстрее?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем расстояние, которое прошла подводная лодка.

Сначала необходимо перевести время движения в часы. В одном часе 60 минут, значит 45 минут составляют $ \frac{45}{60} $ часа.

$ t_1 = 3 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 3 + \frac{45}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{3}{4} \text{ ч} = 3,75 \text{ ч} $

Теперь, используя формулу расстояния $ S = v \cdot t $, где $ v $ — скорость, а $ t $ — время, найдем пройденный путь:

$ S = 15,6 \text{ км/ч} \times 3,75 \text{ ч} = 58,5 \text{ км} $

2. Определим новое время и рассчитаем необходимую скорость.

По условию, подводная лодка должна была пройти тот же путь на 30 минут быстрее. Найдем новое время в пути $ t_2 $:

$ t_2 = 3 \text{ ч } 45 \text{ мин} - 30 \text{ мин} = 3 \text{ ч } 15 \text{ мин} $

Переведем новое время в часы:

$ t_2 = 3 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 3 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 3,25 \text{ ч} $

Чтобы найти новую скорость $ v_2 $, разделим расстояние $ S $ на новое время $ t_2 $:

$ v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{58,5 \text{ км}}{3,25 \text{ ч}} = 18 \text{ км/ч} $

Ответ: 18 км/ч.

227 Подводная лодка, передвигаясь со скоростью $15,6 \text{ км/ч}$, пришла к месту назначения за $3 \text{ ч } 45 \text{ мин}$. С какой скоростью она должна была идти, чтобы пройти весь путь на $30 \text{ мин}$ быстрее?

228 Длина прямоугольника 18,4 см, а площадь – 276 $ \text{см}^2 $. На сколько сантиметров надо увеличить длину, чтобы при той же ширине площадь увеличилась до 300 $ \text{см}^2 $?

Для решения этой задачи нужно выполнить три шага: найти исходную ширину прямоугольника, затем найти новую длину при новой площади и той же ширине, и, наконец, вычислить разницу между новой и старой длиной.

1. Находим ширину прямоугольника.

Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению его длины ($a$) на ширину ($b$): $S = a \cdot b$. Из условия известны начальная длина $a_1 = 18,4$ см и начальная площадь $S_1 = 276$ $см^2$. Выразим и вычислим ширину $b$:

$b = \frac{S_1}{a_1} = \frac{276}{18,4} = \frac{2760}{184} = 15$ см.

2. Находим новую длину прямоугольника.

По условию, ширина не меняется ($b = 15$ см), а площадь должна увеличиться до $S_2 = 300$ $см^2$. Найдем новую длину $a_2$, которая соответствует новой площади:

$a_2 = \frac{S_2}{b} = \frac{300}{15} = 20$ см.

3. Находим, на сколько нужно увеличить длину.

Чтобы найти, на сколько сантиметров нужно увеличить первоначальную длину, вычтем из новой длины первоначальную:

$a_2 - a_1 = 20 - 18,4 = 1,6$ см.

Ответ: длину надо увеличить на 1,6 см.

228 Длина прямоугольника 18,4 см, а площадь – 276 $ \text{см}^2 $. На сколько надо увеличить длину, чтобы при той же ширине площадь увеличилась до 300 $ \text{см}^2 $?

229 Реши задачу двумя способами.

В зале расставили 288 стульев в 12 одинаковых рядов. Сколько таких рядов получится из 360 стульев?

Способ 1
1. Найдем, сколько стульев находится в одном ряду. Для этого разделим общее количество стульев на количество рядов.
$288 : 12 = 24$ (стула) – в одном ряду.
2. Теперь узнаем, сколько рядов можно составить из 360 стульев, если в каждом ряду будет по 24 стула. Для этого разделим новое количество стульев на количество стульев в одном ряду.
$360 : 24 = 15$ (рядов).
Ответ: 15 рядов.

Способ 2
1. Узнаем, во сколько раз 360 стульев больше, чем 288 стульев. Для этого разделим одно количество на другое.
$360 : 288 = 1,25$ (раза) – во столько раз увеличилось количество стульев.
2. Так как количество стульев в ряду не меняется, количество рядов увеличится во столько же раз. Умножим исходное количество рядов на полученный коэффициент.
$12 \cdot 1,25 = 15$ (рядов).
Альтернативно, можно составить пропорцию:
288 стульев — 12 рядов
360 стульев — $x$ рядов
$\frac{288}{360} = \frac{12}{x}$
$x = \frac{360 \cdot 12}{288} = \frac{4320}{288} = 15$ (рядов).
Ответ: 15 рядов.

229 Реши задачу двумя способами:

В зале расставили 288 стульев в 12 одинаковых рядов. Сколько таких рядов получится из 360 стульев?

230 Бригада из 4 человек за 28 дней сшила 560 одинаковых комплектов белья. За сколько дней сошьёт 300 таких же комплектов бригада из 6 человек, если все портные будут работать с одинаковой производительностью?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала определим производительность труда одного портного, затем производительность новой бригады и, наконец, время, которое потребуется новой бригаде для выполнения задания.

1. Узнаем, сколько комплектов белья шила бригада из 4 человек за один день. Для этого разделим общее количество сшитых комплектов на количество затраченных дней:

$560 \text{ комплектов} \div 28 \text{ дней} = 20 \text{ комплектов/день}$

Это производительность всей первой бригады.

2. Теперь найдем производительность одного портного. Поскольку все портные работали с одинаковой производительностью, разделим производительность бригады на количество человек в ней:

$20 \text{ комплектов/день} \div 4 \text{ человека} = 5 \text{ комплектов/день на человека}$

Таким образом, один портной шьет 5 комплектов белья в день.

3. Рассчитаем производительность новой бригады, состоящей из 6 человек. Умножим производительность одного портного на количество человек в новой бригаде:

$5 \text{ комплектов/день на человека} \times 6 \text{ человек} = 30 \text{ комплектов/день}$

Это производительность новой бригады.

4. Наконец, определим, сколько дней потребуется новой бригаде, чтобы сшить 300 комплектов. Для этого разделим требуемый объем работы на производительность новой бригады:

$300 \text{ комплектов} \div 30 \text{ комплектов/день} = 10 \text{ дней}$

Ответ: 10 дней.

230 Бригада из 4 человек за 28 дней сшила 560 одинаковых комплектов белья. За сколько дней сошьет 300 таких же комплектов бригада из 6 человек, если все портные будут работать с одинаковой производительностью?

231 Числитель дроби на 8 меньше знаменателя. Если числитель увеличить в 2 раза, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $ \frac{2}{3} $. На сколько данная дробь больше, чем $ \frac{1}{6} $?

Обозначим знаменатель исходной дроби как $x$. По условию, числитель на 8 меньше знаменателя, следовательно, числитель равен $x - 8$. Таким образом, исходная дробь — это $\frac{x-8}{x}$.

Далее, по условию, числитель увеличили в 2 раза, то есть он стал $2(x-8)$. Знаменатель увеличили на 6, и он стал $x+6$. Получившаяся дробь равна $\frac{2}{3}$. Составим уравнение на основе этих данных:
$\frac{2(x-8)}{x+6} = \frac{2}{3}$

Решим это уравнение. Можно использовать свойство пропорции (перекрестное умножение):
$3 \cdot 2(x-8) = 2 \cdot (x+6)$
$6(x-8) = 2(x+6)$
Разделим обе части уравнения на 2:
$3(x-8) = x+6$
Раскроем скобки:
$3x - 24 = x+6$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$3x - x = 6 + 24$
$2x = 30$
$x = 15$

Итак, знаменатель исходной дроби равен 15. Найдем числитель:
$x - 8 = 15 - 8 = 7$
Следовательно, исходная дробь — это $\frac{7}{15}$.

Теперь ответим на второй вопрос задачи: на сколько данная дробь больше, чем $\frac{1}{6}$? Для этого найдем разность между ними:
$\frac{7}{15} - \frac{1}{6}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 6 равен 30.
$\frac{7}{15} - \frac{1}{6} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{14}{30} - \frac{5}{30} = \frac{14-5}{30} = \frac{9}{30}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{9}{30} = \frac{3}{10}$
Ответ: на $\frac{3}{10}$.

231 Числитель дроби на 8 меньше знаменателя. Если числитель увеличить в 2 раза, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная $\frac{2}{3}$. На сколько данная дробь больше, чем $\frac{1}{6}$?

232 Построй треугольник ABC и проведи в нём медианы AM и BN. Пусть O – точка пересечения медиан. Найди отношение отрезков $AO : OM$ и $BO : ON$, выполнив необходимые измерения. Повтори эксперимент ещё раз и сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведённых построений и измерений считать данное утверждение доказанным?

Найди отношение отрезков AO : OM и BO : ON, выполнив необходимые измерения.

1. Построим произвольный треугольник $ABC$.
2. Проведем медиану $AM$. Для этого найдем середину стороны $BC$ (точку $M$) и соединим ее отрезком с вершиной $A$.
3. Проведем медиану $BN$. Для этого найдем середину стороны $AC$ (точку $N$) и соединим ее отрезком с вершиной $B$.
4. Обозначим точку пересечения медиан $AM$ и $BN$ буквой $O$.
5. С помощью линейки измерим длины отрезков, на которые точка $O$ делит каждую медиану. Допустим, в результате измерений мы получили следующие значения: $AO \approx 4,2$ см, $OM \approx 2,1$ см, $BO \approx 3,6$ см, $ON \approx 1,8$ см.
6. Вычислим искомые отношения:
Для медианы $AM$: $AO : OM \approx 4,2 : 2,1 = 2:1$.
Для медианы $BN$: $BO : ON \approx 3,6 : 1,8 = 2:1$.
Наши измерения показывают, что в обоих случаях отношение отрезков равно 2:1.

Ответ: $AO : OM \approx 2:1$ и $BO : ON \approx 2:1$.

Повтори эксперимент ещё раз и сформулируй гипотезу.

1. Построим второй треугольник, отличающийся по форме от первого (например, тупоугольный).
2. Аналогично первому разу, проведем в нём медианы $AM$ и $BN$ и отметим их точку пересечения $O$.
3. Выполним новые измерения. Предположим, на этот раз мы получили: $AO \approx 5,4$ см, $OM \approx 2,7$ см, $BO \approx 4,4$ см, $ON \approx 2,2$ см.
4. Найдем отношения для этого треугольника:
Для медианы $AM$: $AO : OM \approx 5,4 : 2,7 = 2:1$.
Для медианы $BN$: $BO : ON \approx 4,4 : 2,2 = 2:1$.
Результат второго эксперимента совпадает с результатом первого. На основании этих наблюдений можно сформулировать гипотезу.

Гипотеза: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Повторный эксперимент также дает отношение 2:1. Сформулированная гипотеза: точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Можно ли на основании проведённых построений и измерений считать данное утверждение доказанным?

Нет, на основании проведённых построений и измерений считать данное утверждение (гипотезу) доказанным нельзя. Экспериментальная проверка, даже многократно повторенная, не является строгим математическим доказательством по двум основным причинам:
1. Неточность измерений. Любые измерения с помощью реальных инструментов (линейки, транспортира) всегда содержат некоторую погрешность. Мы можем получить отношение, очень близкое к 2:1, но не можем быть абсолютно уверены, что оно в точности равно 2:1.
2. Рассмотрение частных случаев. Мы проверили гипотезу лишь для двух конкретных треугольников. В математике утверждение считается доказанным, только если оно справедливо для всех возможных случаев без исключения, а их бесконечное множество. Наш эксперимент не гарантирует, что не существует треугольника, для которого это свойство не выполняется.
Таким образом, эксперимент позволяет лишь выдвинуть правдоподобную гипотезу, но для её подтверждения требуется строгое логическое доказательство, основанное на аксиомах и ранее доказанных теоремах.

Ответ: Нет, нельзя, так как измерения не являются абсолютно точными и рассматривают лишь частные случаи, в то время как математическое доказательство требует строгой логики и должно быть верным для всех без исключения случаев.

232 Построй треугольник $ABC$ и проведи в нем медианы $AM$ и $BN$. Пусть $O$ – точка пересечения медиан. Найди отношение отрезков $AO : OM$ и $BO : ON$, выполнив необходимые измерения. Повтори эксперимент еще раз и сформулируй гипотезу. Можно ли на основании проведенных построений и измерений считать данное утверждение доказанным?