Страница 62, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

243 Найди пересечение множеств натуральных решений неравенств:

1) $x > 4$ и $3 \le x < 7$;

2) $x \le 6$ и $6 < x < 10$;

3) $5 \le x \le 9$ и $8 < x \le 11$;

4) $x > 12$ и $31 \le x < 36$.

Для нахождения пересечения множеств натуральных решений необходимо сначала найти множество натуральных решений для каждого неравенства, а затем найти их общие элементы.

1) $x > 4$ и $3 \le x < 7$

Сначала найдем множество натуральных решений для первого неравенства $x > 4$. Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, — это все целые числа, большие 4. Обозначим это множество как $A$:
$A = \{5, 6, 7, 8, 9, \dots\}$

Теперь найдем множество натуральных решений для второго неравенства $3 \le x < 7$. Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию, — это целые числа, которые больше или равны 3 и строго меньше 7. Обозначим это множество как $B$:
$B = \{3, 4, 5, 6\}$

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, которые есть в обоих множествах. Сравнивая множества $A$ и $B$, находим общие элементы: 5 и 6.

Ответ: $\{5, 6\}$

2) $x \le 6$ и $6 < x < 10$

Найдем множество натуральных решений для первого неравенства $x \le 6$. Это все натуральные числа, меньшие или равные 6. Обозначим это множество как $A$:
$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

Найдем множество натуральных решений для второго неравенства $6 < x < 10$. Это натуральные числа, которые строго больше 6 и строго меньше 10. Обозначим это множество как $B$:
$B = \{7, 8, 9\}$

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит общие элементы. Сравнивая множества $A$ и $B$, мы видим, что у них нет общих элементов.

Следовательно, пересечение является пустым множеством.

Ответ: $\emptyset$

3) $5 \le x \le 9$ и $8 < x \le 11$

Найдем множество натуральных решений для первого неравенства $5 \le x \le 9$. Это натуральные числа от 5 до 9 включительно. Обозначим это множество как $A$:
$A = \{5, 6, 7, 8, 9\}$

Найдем множество натуральных решений для второго неравенства $8 < x \le 11$. Это натуральные числа, которые строго больше 8 и меньше или равны 11. Обозначим это множество как $B$:
$B = \{9, 10, 11\}$

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит общие элементы. Единственным общим элементом для множеств $A$ и $B$ является число 9.

Ответ: $\{9\}$

4) $x > 12$ и $31 \le x < 36$

Найдем множество натуральных решений для первого неравенства $x > 12$. Это все натуральные числа, большие 12. Обозначим это множество как $A$:
$A = \{13, 14, 15, \dots\}$

Найдем множество натуральных решений для второго неравенства $31 \le x < 36$. Это натуральные числа, которые больше или равны 31 и строго меньше 36. Обозначим это множество как $B$:
$B = \{31, 32, 33, 34, 35\}$

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит общие элементы. Все элементы множества $B$ (31, 32, 33, 34, 35) являются числами, большими 12, поэтому все они также содержатся в множестве $A$. Таким образом, пересечением этих двух множеств является само множество $B$.

Ответ: $\{31, 32, 33, 34, 35\}$

243 Найди пересечение множеств натуральных решений неравенств:

1) $x > 4$ и $3 \le x < 7$;

2) $x \le 6$ и $6 < x < 10$;

3) $5 \le x \le 9$ и $8 < x \le 11$;

4) $x > 12$ и $31 \le x < 36$.

244 Найди пересечение множества $A = \left\{3\frac{4}{31}; 30; 1,8; 5; \frac{6}{7}; 2,01; 3,56; 2; 0; 124; 6; 4,89\right\}$ с множеством решений неравенства

$\frac{(4,4 \cdot 0,25 + 2,7 \cdot \frac{1}{9} + 0,2 : 0,125) : \frac{1}{2}}{(5 - 4\frac{1}{4}) : 0,25} < x \leq \frac{5\frac{4}{5} + \frac{1}{5} \cdot (3,8 \cdot 1\frac{2}{7} - 2,8 \cdot 1\frac{2}{7}) \cdot 8\frac{5}{9}}{(\frac{5}{9} - \frac{11}{36}) \cdot 6,4}.$

Для нахождения пересечения множества $A$ с множеством решений неравенства, необходимо сначала решить само неравенство. Для этого вычислим значения левой и правой частей.

Вычислим числитель:

• $4,4 \cdot 0,25 = 4,4 \cdot \frac{1}{4} = 1,1$
• $2,7 \cdot \frac{1}{9} = \frac{27}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{10} = 0,3$
• $0,2 : 0,125 = \frac{2}{10} : \frac{125}{1000} = \frac{1}{5} : \frac{1}{8} = \frac{1}{5} \cdot 8 = \frac{8}{5} = 1,6$
• Складываем результаты в скобках: $1,1 + 0,3 + 1,6 = 3$
• Выполняем деление: $3 : \frac{1}{2} = 3 \cdot 2 = 6$

Вычислим знаменатель:

• $5 - 4\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
• $\frac{3}{4} : 0,25 = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$

Значение левой части: $\frac{6}{3} = 2$.

Вычислим числитель:

• Воспользуемся распределительным свойством в скобках: $3,8 \cdot 1\frac{2}{7} - 2,8 \cdot 1\frac{2}{7} = (3,8 - 2,8) \cdot 1\frac{2}{7} = 1 \cdot 1\frac{2}{7} = 1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$
• Выполняем умножение: $\frac{1}{5} \cdot \frac{9}{7} \cdot 8\frac{5}{9} = \frac{1}{5} \cdot \frac{9}{7} \cdot \frac{77}{9} = \frac{1 \cdot 9 \cdot 77}{5 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{77}{35} = \frac{11}{5}$
• Складываем результаты: $5\frac{4}{5} + \frac{11}{5} = \frac{29}{5} + \frac{11}{5} = \frac{40}{5} = 8$

Вычислим знаменатель:

• $\frac{5}{9} - \frac{11}{36} = \frac{5 \cdot 4}{36} - \frac{11}{36} = \frac{20-11}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
• $\frac{1}{4} \cdot 6,4 = \frac{1}{4} \cdot \frac{64}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

Значение правой части: $\frac{8}{\frac{8}{5}} = 8 \cdot \frac{5}{8} = 5$.

Подставим вычисленные значения в исходное неравенство:

$2 < x \le 5$

Множеством решений является полуинтервал $(2, 5]$.

Множество $A = \{3\frac{4}{31}; 30; 1,8; 5; \frac{6}{7}; 2,01; 3,56; 2; 0; 124; 6; 4,89\}$.

Выберем из множества $A$ числа, которые принадлежат полуинтервалу $(2, 5]$, то есть удовлетворяют условию $2 < x \le 5$.

• $3\frac{4}{31} \approx 3,13$. $2 < 3,13 \le 5$. Подходит.
• $30$. Не подходит.
• $1,8$. Не подходит.
• $5$. $2 < 5 \le 5$. Подходит.
• $\frac{6}{7} \approx 0,86$. Не подходит.
• $2,01$. $2 < 2,01 \le 5$. Подходит.
• $3,56$. $2 < 3,56 \le 5$. Подходит.
• $2$. Не подходит, так как неравенство строгое ($x>2$).
• $0$. Не подходит.
• $124$. Не подходит.
• $6$. Не подходит.
• $4,89$. $2 < 4,89 \le 5$. Подходит.

Пересечением множества A и множества решений неравенства является множество, состоящее из чисел, которые подошли.

Ответ: $\{2,01; 3\frac{4}{31}; 3,56; 4,89; 5\}$.

244 Найди пересечение множества A = ${3\frac{4}{31}; 30; 1.8; 5; \frac{6}{7}; 2.01; 3.56; 2; 0; 124; 6; 4.89}$ с множеством решений неравенства:

$$\frac{(4.4 \cdot 0.25 + 2.7 \cdot \frac{1}{9} + 0.2 : 0.125) : \frac{1}{2}}{(5 - 4\frac{1}{4}) : 0.25} < x \le \frac{5\frac{4}{5} + \frac{1}{5} \cdot (3.8 \cdot 1\frac{2}{7} - 2.8 \cdot 1\frac{2}{7}) \cdot 8\frac{5}{9}}{(\frac{5}{9} - \frac{11}{36}) \cdot 6.4}$$

Плот плывёт по реке со скоростью 2,4 км/ч. За сколько времени катер проплывёт по течению этой реки 123,2 км и вернётся обратно, если известно, что скорость плота составляет 12 % от собственной скорости катера?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Сначала найдем собственную скорость катера. Скорость плота равна скорости течения реки, поскольку плот движется только за счет течения. Обозначим скорость течения реки как $v_{теч}$. Из условия имеем:

$v_{теч} = 2,4$ км/ч.

Известно, что скорость плота составляет 12% от собственной скорости катера ($v_{соб}$). Выразим это математически, переведя проценты в десятичную дробь ($12\% = 0,12$):

$v_{теч} = 0,12 \cdot v_{соб}$

Теперь мы можем найти собственную скорость катера, подставив известное значение скорости течения:

$2,4 = 0,12 \cdot v_{соб}$

$v_{соб} = \frac{2,4}{0,12} = \frac{240}{12} = 20$ км/ч.

2. Теперь рассчитаем скорость катера по течению ($v_{по}$) и против течения ($v_{против}$).

Скорость по течению – это сумма собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = 20 + 2,4 = 22,4$ км/ч.

Скорость против течения – это разность собственной скорости катера и скорости течения:

$v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = 20 - 2,4 = 17,6$ км/ч.

3. Наконец, найдем общее время, которое катер затратит на весь путь. Расстояние в одну сторону составляет $S = 123,2$ км. Общее время $t_{общ}$ равно сумме времени движения по течению ($t_{по}$) и времени движения против течения ($t_{против}$).

Время движения по течению:

$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{123,2}{22,4} = 5,5$ часа.

Время движения против течения:

$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{123,2}{17,6} = 7$ часов.

Общее время в пути:

$t_{общ} = t_{по} + t_{против} = 5,5 + 7 = 12,5$ часа.

Ответ: 12,5 часов.

245 Плот плывет по реке со скоростью 2,4 км/ч. За сколько времени катер проплывет по течению этой реки 123,2 км и вернется обратно, если известно, что скорость плота составляет 12% от собственной скорости катера?

246 Моторная лодка прошла 90 км по течению реки за 6 ч, а против течения реки – за 10 ч. За сколько времени проплывёт это же расстояние:

а) плот по реке;

б) моторная лодка по озеру?

Для решения задачи введем обозначения: $S$ — расстояние (90 км), $V_{л}$ — собственная скорость моторной лодки, а $V_{р}$ — скорость течения реки.

Скорость лодки при движении по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения ($V_{л} + V_{р}$), а при движении против течения — их разности ($V_{л} - V_{р}$).

1. Найдем скорость лодки по течению. Она прошла 90 км за 6 часов:

$V_{по\ теч.} = S / t_{по\ теч.} = 90\ км / 6\ ч = 15\ км/ч$.

Таким образом, мы получили первое уравнение: $V_{л} + V_{р} = 15$.

2. Найдем скорость лодки против течения. Она прошла 90 км за 10 часов:

$V_{против\ теч.} = S / t_{против\ теч.} = 90\ км / 10\ ч = 9\ км/ч$.

Таким образом, мы получили второе уравнение: $V_{л} - V_{р} = 9$.

3. Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} V_{л} + V_{р} = 15 \\ V_{л} - V_{р} = 9 \end{cases}$

Сложим оба уравнения, чтобы найти собственную скорость лодки ($V_{л}$):

$(V_{л} + V_{р}) + (V_{л} - V_{р}) = 15 + 9$

$2V_{л} = 24$

$V_{л} = 24 / 2 = 12\ км/ч$.

4. Теперь найдем скорость течения реки ($V_{р}$), подставив значение $V_{л}$ в первое уравнение:

$12 + V_{р} = 15$

$V_{р} = 15 - 12 = 3\ км/ч$.

Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

а) плот по реке

Плот не имеет собственного двигателя и движется со скоростью течения реки. Следовательно, скорость плота $V_{плота} = V_{р} = 3\ км/ч$.

Время, за которое плот проплывет расстояние 90 км:

$t_{плота} = S / V_{плота} = 90\ км / 3\ км/ч = 30\ ч$.

Ответ: 30 часов.

б) моторная лодка по озеру?

В озере (стоячей воде) течения нет, поэтому моторная лодка будет двигаться со своей собственной скоростью. Следовательно, скорость лодки по озеру $V_{озеро} = V_{л} = 12\ км/ч$.

Время, за которое лодка пройдет 90 км по озеру:

$t_{озеро} = S / V_{озеро} = 90\ км / 12\ км/ч = 7,5\ ч$.

Ответ: 7,5 часов.

246 Моторная лодка прошла 90 км по течению реки за 6 ч, а против течения реки – за 10 ч. За сколько времени проплывет это же расстояние:

а) плот по реке;

б) моторная лодка по озеру?

247 Лодка может пройти расстояние между двумя посёлками, стоящими на берегу реки, за 4 ч 20 мин против течения реки и за 2 ч 10 мин по течению. Скорость течения реки равна 1,5 км/ч. Найди собственную скорость лодки и расстояние между посёлками.

Пусть $v_{с}$ — искомая собственная скорость лодки в км/ч, а $S$ — искомое расстояние между посёлками в км.
По условию, скорость течения реки $v_{т} = 1,5$ км/ч.
Тогда скорость лодки по течению составляет $v_{по} = v_{с} + v_{т} = v_{с} + 1,5$ км/ч.
Скорость лодки против течения составляет $v_{против} = v_{с} - v_{т} = v_{с} - 1,5$ км/ч.

Переведем время, затраченное на путь, в часы:
Время движения против течения: $t_{против} = 4 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 4 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 4\frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{13}{3}$ ч.
Время движения по течению: $t_{по} = 2 \text{ ч } 10 \text{ мин} = 2 + \frac{10}{60} \text{ ч} = 2\frac{1}{6} \text{ ч} = \frac{13}{6}$ ч.

Расстояние $S$ между посёлками не меняется, поэтому, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, можно приравнять выражения для расстояния, пройденного по течению и против течения:
$v_{по} \cdot t_{по} = v_{против} \cdot t_{против}$
$(v_{с} + 1,5) \cdot \frac{13}{6} = (v_{с} - 1,5) \cdot \frac{13}{3}$

собственную скорость лодки

Решим полученное уравнение, чтобы найти $v_{с}$.
Сначала разделим обе части уравнения на общий множитель 13:
$(v_{с} + 1,5) \cdot \frac{1}{6} = (v_{с} - 1,5) \cdot \frac{1}{3}$
Теперь умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей:
$v_{с} + 1,5 = (v_{с} - 1,5) \cdot 2$
$v_{с} + 1,5 = 2v_{с} - 3$
$2v_{с} - v_{с} = 1,5 + 3$
$v_{с} = 4,5$

Ответ: собственная скорость лодки равна 4,5 км/ч.

расстояние между посёлками

Теперь, когда известна собственная скорость лодки, можно вычислить расстояние $S$. Подставим значение $v_{с} = 4,5$ км/ч в любую из формул для расстояния, например, для движения по течению:
$S = (v_{с} + 1,5) \cdot t_{по}$
$S = (4,5 + 1,5) \cdot \frac{13}{6}$
$S = 6 \cdot \frac{13}{6}$
$S = 13$

Ответ: расстояние между посёлками равно 13 км.

247 Лодка может пройти расстояние между двумя поселками, стоящими на берегу реки, за 4 ч 20 мин против течения реки и за 2 ч 10 мин по течению. Скорость течения реки равна $1.5 \text{ км/ч}$. Найди собственную скорость лодки и расстояние между поселками.

248 Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи её, при условии, что значения всех переменных отличны от нуля:

1) $ \frac{m}{3} - \frac{3}{m} $;

2) $ 2a + \frac{b}{5} $;

3) $ \frac{x^2}{9} \cdot \frac{6}{xy} $;

4) $ (5c) : \frac{c^2}{d} $.

1) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $ \frac{m}{3} $ и $ \frac{3}{m} $ равен $ 3m $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ m $, а второй — на $ 3 $.

$ \frac{m}{3} - \frac{3}{m} = \frac{m \cdot m}{3 \cdot m} - \frac{3 \cdot 3}{m \cdot 3} = \frac{m^2}{3m} - \frac{9}{3m} = \frac{m^2 - 9}{3m} $

Числитель можно разложить по формуле разности квадратов: $ m^2 - 9 = (m-3)(m+3) $. Получаем дробь $ \frac{(m-3)(m+3)}{3m} $. Так как в числителе и знаменателе нет общих множителей, дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $ \frac{m^2 - 9}{3m} $.

2) Чтобы сложить целое выражение и дробь, представим целое выражение в виде дроби и приведем их к общему знаменателю. Представим $ 2a $ как $ \frac{2a}{1} $. Общий знаменатель равен $ 5 $.

$ 2a + \frac{b}{5} = \frac{2a}{1} + \frac{b}{5} = \frac{2a \cdot 5}{1 \cdot 5} + \frac{b}{5} = \frac{10a}{5} + \frac{b}{5} = \frac{10a + b}{5} $

Сократить полученную дробь нельзя.

Ответ: $ \frac{10a + b}{5} $.

3) При умножении дробей их числители и знаменатели перемножаются соответственно.

$ \frac{x^2}{9} \cdot \frac{6}{xy} = \frac{x^2 \cdot 6}{9 \cdot xy} = \frac{6x^2}{9xy} $

Теперь сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты на $ 3 $ ($ 6 \div 3 = 2 $, $ 9 \div 3 = 3 $) и переменные на $ x $ ($ x^2 \div x = x $).

$ \frac{6x^2}{9xy} = \frac{2 \cdot 3 \cdot x \cdot x}{3 \cdot 3 \cdot x \cdot y} = \frac{2x}{3y} $

Ответ: $ \frac{2x}{3y} $.

4) Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Представим выражение $ 5c $ в виде дроби $ \frac{5c}{1} $.

$ (5c) : \frac{c^2}{d} = \frac{5c}{1} \cdot \frac{d}{c^2} = \frac{5c \cdot d}{1 \cdot c^2} = \frac{5cd}{c^2} $

Сократим полученную дробь на $ c $.

$ \frac{5cd}{c^2} = \frac{5d}{c} $

Ответ: $ \frac{5d}{c} $.

248 Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи ее, если значения всех переменных отличны от нуля:

1) $ \frac{m}{3} - \frac{3}{m} $;

2) $ 2a + \frac{b}{5} $;

3) $ \frac{x^2}{9} \cdot \frac{6}{xy} $;

4) $ (5c) : \frac{c^2}{d} $.

249 Найди методом перебора множество всех упорядоченных пар натуральных чисел а и b, удовлетворяющих уравнению $a^2 + 5b = 46$.

Требуется найти множество всех упорядоченных пар натуральных чисел $(a, b)$, которые удовлетворяют уравнению $a^2 + 5b = 46$.

Поскольку $a$ и $b$ по условию являются натуральными числами, они должны быть положительными целыми числами, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$.

Выразим из уравнения переменную $b$: $5b = 46 - a^2$ $b = \frac{46 - a^2}{5}$

Используем условие, что $b \ge 1$: $\frac{46 - a^2}{5} \ge 1$ $46 - a^2 \ge 5$ $a^2 \le 46 - 5$ $a^2 \le 41$

Так как $a$ — натуральное число, его возможные значения ограничены этим неравенством. Найдем, какие натуральные числа $a$ ему удовлетворяют: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$. Все эти квадраты меньше или равны 41. Следующее натуральное число $7$, $7^2=49$, что больше 41. Следовательно, возможные значения для $a$: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Теперь применим метод перебора для каждого возможного значения $a$, чтобы найти соответствующее значение $b$. Для того чтобы $b$ было натуральным числом, значение выражения $46 - a^2$ должно быть положительным и делиться на 5 без остатка.

1. Если $a = 1$: $b = \frac{46 - 1^2}{5} = \frac{46 - 1}{5} = \frac{45}{5} = 9$. Число 9 — натуральное, поэтому пара $(1, 9)$ является решением.

2. Если $a = 2$: $b = \frac{46 - 2^2}{5} = \frac{46 - 4}{5} = \frac{42}{5}$. Результат не является целым числом.

3. Если $a = 3$: $b = \frac{46 - 3^2}{5} = \frac{46 - 9}{5} = \frac{37}{5}$. Результат не является целым числом.

4. Если $a = 4$: $b = \frac{46 - 4^2}{5} = \frac{46 - 16}{5} = \frac{30}{5} = 6$. Число 6 — натуральное, поэтому пара $(4, 6)$ является решением.

5. Если $a = 5$: $b = \frac{46 - 5^2}{5} = \frac{46 - 25}{5} = \frac{21}{5}$. Результат не является целым числом.

6. Если $a = 6$: $b = \frac{46 - 6^2}{5} = \frac{46 - 36}{5} = \frac{10}{5} = 2$. Число 2 — натуральное, поэтому пара $(6, 2)$ является решением.

Мы перебрали все возможные значения для $a$ и нашли все соответствующие пары натуральных чисел.

Ответ: $\{(1, 9), (4, 6), (6, 2)\}$.

249 Найди методом перебора множество всех упорядоченных пар натуральных чисел a и b, удовлетворяющих уравнению:

$a^2 + 5b = 46$.

250 1) Начерти квадрат со стороной 9 см и заполни его паркетом по образцу. Раскрась получившийся рисунок так, чтобы было красиво.

2) Придумай свой рисунок паркета. Заполни им такой же квадрат и раскрась.

1)

Чтобы начертить квадрат со стороной 9 см и заполнить его паркетом по образцу, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подготовка основы.
   Начертите квадрат со стороной 9 см. Для удобного размещения узора, разделим квадрат на сетку из более мелких ячеек. Чтобы узор поместился целиком и повторялся несколько раз, удобно выбрать размер ячейки 0,5 см. Таким образом, квадрат 9x9 см будет разделен на сетку $18 \times 18$ ячеек.

2. Анализ узора.
   Узор на образце состоит из повторяющихся блоков размером $2 \times 2$ ячейки. Существует два типа таких блоков, которые чередуются в шахматном порядке:

   • Блок А: Внутри квадрата $2 \times 2$ проведена диагональ из левого нижнего угла в правый верхний.
   • Блок Б: Внутри квадрата $2 \times 2$ проведены два отрезка: из левого верхнего угла в центр квадрата и из правого нижнего угла в центр квадрата.

3. Заполнение квадрата узором.
   Теперь заполним нашу сетку $18 \times 18$ (которая состоит из $9 \times 9$ блоков $2 \times 2$) чередующимися блоками А и Б. В первой строке блоков чередуем А, Б, А, Б... Во второй строке начинаем с Б: Б, А, Б, А... и так далее для всех 9 строк блоков.

4. Раскрашивание.
   Получившийся узор образует красивые фигуры: восьмиконечные звезды и ромбы. Чтобы рисунок был красивым, можно раскрасить его, используя три цвета. Например:

   • Все ромбы — желтым цветом.
   • Все "звезды" — синим цветом.
   • Оставшиеся маленькие треугольные участки по краям — зеленым цветом.

Ответ:

Ниже представлен результат выполнения задания — квадрат 9х9 см, заполненный паркетом по образцу и раскрашенный.

2)

Для второго задания нужно придумать свой рисунок паркета. Возьмем за основу простой, но эффектный узор "вертушка" (pinwheel), который можно создать на квадратной сетке.

1. Подготовка основы.
   Так же, как и в первом задании, начертим квадрат со стороной 9 см. Для создания узора "вертушка" удобно разделить квадрат на сетку $6 \times 6$ ячеек. В этом случае каждая ячейка будет квадратом со стороной $9 \text{ см} / 6 = 1,5$ см.

2. Создание узора.
   Узор формируется из блоков $2 \times 2$ ячейки (то есть $3 \times 3$ см). В каждом из четырех квадратов блока проводится диагональ, причем все диагонали сходятся в центре блока, образуя фигуру, похожую на вертушку.

   • В левом верхнем квадрате блока ($1,5 \times 1,5$ см) проводим диагональ из левого верхнего угла в правый нижний.
   • В правом верхнем квадрате — из правого верхнего угла в левый нижний.
   • В левом нижнем квадрате — из левого нижнего угла в правый верхний.
   • В правом нижнем квадрате — из правого нижнего угла в левый верхний.

   Этот блок $2 \times 2$ повторяется по всей площади большого квадрата $6 \times 6$ (всего таких блоков будет $3 \times 3 = 9$).

3. Раскрашивание.
   Каждый блок $2 \times 2$ состоит из 8 треугольников. Четыре треугольника, образующие "лопасти" вертушки, можно закрасить одним цветом (например, оранжевым), а остальные четыре, образующие фон, — другим (например, голубым). Это создаст яркий и динамичный рисунок.

Ответ:

Ниже представлен пример придуманного паркета "вертушка" в квадрате 9х9 см.

$d + 30 = 135.$

250 1) Начерти квадрат со стороной 9 см и заполни его паркетом по образцу. Раскрась получившийся рисунок так, чтобы было красиво.

2) Придумай свой рисунок паркета. Заполни им такой же квадрат и раскрась.

251 Построй два смежных угла так, чтобы один из них:

1) был на $20^{\circ}$ меньше второго;

2) был в 3 раза больше второго.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна 180°.

1) был на 20° меньше второго

Обозначим величины искомых смежных углов как $ \alpha $ и $ \beta $.
Исходя из свойства смежных углов, их сумма составляет 180°:
$ \alpha + \beta = 180° $
Согласно условию, один угол на 20° меньше другого. Предположим, что $ \alpha $ — это меньший угол, тогда:
$ \alpha = \beta - 20° $
Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \alpha = \beta - 20° \end{cases} $
Для решения подставим выражение для $ \alpha $ из второго уравнения в первое:
$ (\beta - 20°) + \beta = 180° $
$ 2\beta - 20° = 180° $
$ 2\beta = 180° + 20° $
$ 2\beta = 200° $
$ \beta = \frac{200°}{2} = 100° $
Теперь, зная значение $ \beta $, найдем $ \alpha $:
$ \alpha = 100° - 20° = 80° $
Таким образом, величины углов равны 80° и 100°.
Для их построения необходимо начертить прямую, выбрать на ней точку (вершину углов) и с помощью транспортира отложить от одного из образовавшихся лучей угол в 80° (или 100°). Второй угол, смежный с ним, будет равен 100° (или 80°).
Ответ: 80° и 100°.

2) был в 3 раза больше второго

Пусть $ \alpha $ и $ \beta $ — величины смежных углов. Их сумма равна 180°:
$ \alpha + \beta = 180° $
По условию, один угол в 3 раза больше другого. Пусть $ \alpha $ будет большим углом, а $ \beta $ — меньшим:
$ \alpha = 3\beta $
Снова составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180° \\ \alpha = 3\beta \end{cases} $
Подставим второе уравнение в первое:
$ 3\beta + \beta = 180° $
$ 4\beta = 180° $
$ \beta = \frac{180°}{4} = 45° $
Теперь найдем величину второго угла $ \alpha $:
$ \alpha = 3 \times 45° = 135° $
Следовательно, искомые углы равны 45° и 135°.
Построение выполняется аналогично первому пункту: на прямой от выбранной точки с помощью транспортира откладывается угол в 45° (или 135°). Второй смежный угол будет равен 135° (или 45°).
Ответ: 45° и 135°.

251 Построй два смежных угла так, чтобы один из них:

1) был на $20^{\circ}$ меньше второго;

2) был в 3 раза больше второго.

255 Раздели число $a$ на три части $a_1, a_2$ и $a_3$, если:

1) $a=75$, $a_1:a_2=3:4$ и $a_2:a_3=8:11$;

2) $a=12,3$, $a_1:a_2=2:3$ и $a_2:a_3=4:7$;

3) $a=150$, $a_1:a_2=0,8:\frac{2}{7}$ и $a_2:a_3=1,5:1,8$;

4) $a=15\frac{1}{3}$, $a_1:a_2=0,5:2$ и $a_2:a_3=0,5:\frac{1}{3}$.

255 Раздели число $a$ на три части $a_1, a_2$ и $a_3$, если:

1) $a=75$, $a_1 : a_2 = 3 : 4$ и $a_2 : a_3 = 8 : 11$;

2) $a=12,3$, $a_1 : a_2 = 2 : 3$ и $a_2 : a_3 = 4 : 7$;

3) $a=150$, $a_1 : a_2 = 0,8 : \frac{2}{7}$ и $a_2 : a_3 = 1,5 : 1,8$;

4) $a=15\frac{1}{3}$, $a_1 : a_2 = 0,5 : 2$ и $a_2 : a_3 = 0,5 : \frac{1}{3}$.

256 Для изготовления фарфора берут глину, гипс и песок в следующих отношениях: масса гипса относится к массе глины как $1 : 25$, а масса песка относится к массе гипса как $2 : 1$. Сколько этих материалов надо взять, чтобы изготовить 56 кг фарфора?

Для решения задачи сначала определим соотношение масс всех трех компонентов: глины, гипса и песка.

Пусть масса глины будет $m_{г}$, масса гипса — $m_{гипс}$, а масса песка — $m_{п}$.

Из условия задачи известно:

1. Отношение массы гипса к массе глины равно $1:25$. Это можно записать как пропорцию: $m_{гипс} : m_{г} = 1 : 25$.

2. Отношение массы песка к массе гипса равно $2:1$. Это можно записать как пропорцию: $m_{п} : m_{гипс} = 2 : 1$.

Чтобы объединить эти два отношения в одно, приведем их к общему компоненту. В данном случае это гипс, и его доля в обоих отношениях уже равна 1 части, что упрощает задачу.

Из первого отношения мы видим, что на 1 часть гипса приходится 25 частей глины.

Из второго отношения мы видим, что на 1 часть гипса приходится 2 части песка.

Таким образом, мы можем записать общее соотношение масс: глина : гипс : песок = $25 : 1 : 2$.

Теперь найдем общее количество частей в смеси, сложив доли каждого компонента:

$25 + 1 + 2 = 28$ (частей).

Общая масса фарфора, которую необходимо изготовить, составляет 56 кг. Эта масса соответствует 28 частям смеси.

Найдем, какая масса приходится на одну часть:

$56 \text{ кг} \div 28 \text{ частей} = 2 \text{ кг/часть}$.

Теперь, зная массу одной части, мы можем рассчитать массу каждого компонента, необходимую для изготовления 56 кг фарфора:

Масса глины: $25 \text{ частей} \times 2 \text{ кг/часть} = 50 \text{ кг}$.

Масса гипса: $1 \text{ часть} \times 2 \text{ кг/часть} = 2 \text{ кг}$.

Масса песка: $2 \text{ части} \times 2 \text{ кг/часть} = 4 \text{ кг}$.

Проверим правильность расчетов, сложив массы всех компонентов:

$50 \text{ кг} + 2 \text{ кг} + 4 \text{ кг} = 56 \text{ кг}$.

Сумма масс совпадает с заданной, следовательно, расчеты верны.

Ответ: для изготовления 56 кг фарфора потребуется 50 кг глины, 2 кг гипса и 4 кг песка.

256 Для изготовления фарфора берут глину, гипс и песок в следующих отношениях: масса гипса относится к массе глины как $1 : 25$, а масса песка относится к массе гипса как $2 : 1$. Сколько этих материалов надо взять, чтобы изготовить 56 кг фарфора?

257 Периметр треугольника $ABC$ равен 32,5 см. Найди длины сторон этого треугольника, если $AB$ относится к $BC$ как $3:4$, а $BC$ относится к $AC$ как $2:3$.

По условию задачи периметр треугольника $ABC$ равен 32,5 см. Периметр — это сумма длин всех сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC = 32,5$ см.

Также нам даны отношения длин сторон:
1) $AB$ относится к $BC$ как $3 : 4$, то есть $\frac{AB}{BC} = \frac{3}{4}$.
2) $BC$ относится к $AC$ как $2 : 3$, то есть $\frac{BC}{AC} = \frac{2}{3}$.

Чтобы найти отношение длин всех трех сторон $AB : BC : AC$, нам нужно привести два данных отношения к общему члену для стороны $BC$. В первом отношении $BC$ соответствует 4 частям, а во втором — 2 частям. Найдем наименьшее общее кратное чисел 4 и 2, которое равно 4.

Первое отношение $AB : BC = 3 : 4$ уже содержит 4 части для $BC$, поэтому мы его не меняем.

Второе отношение $BC : AC = 2 : 3$ нужно преобразовать так, чтобы $BC$ соответствовало 4 частям. Для этого умножим обе части отношения на 2: $BC : AC = (2 \cdot 2) : (3 \cdot 2) = 4 : 6$.

Теперь мы можем объединить эти отношения в одно: $AB : BC : AC = 3 : 4 : 6$.

Пусть $x$ — это длина одной части в данном отношении. Тогда длины сторон треугольника можно выразить через $x$:
$AB = 3x$
$BC = 4x$
$AC = 6x$

Подставим эти выражения в формулу периметра и составим уравнение: $3x + 4x + 6x = 32,5$

Решим это уравнение: $13x = 32,5$ $x = \frac{32,5}{13}$ $x = 2,5$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длины каждой стороны:
$AB = 3 \cdot 2,5 = 7,5$ см.
$BC = 4 \cdot 2,5 = 10$ см.
$AC = 6 \cdot 2,5 = 15$ см.

Проверим, равен ли периметр 32,5 см: $7,5 + 10 + 15 = 32,5$ см. Все верно.

Ответ: длины сторон треугольника равны 7,5 см, 10 см и 15 см.

257 Периметр треугольника $ABC$ равен 32,5 см. Найди длины сторон этого треугольника, если $AB$ относится к $BC$ как $3:4$, а $BC$ относится к $AC$ как $2:3$.

258 1) Найди три числа, если известно, что первое число относится ко второму как $3 : 8$, второе к третьему – как $2 : 5$, а сумма первого и третьего равна $4,6$.

2) Найди три числа, если первое относится ко второму как $0,5 : 0,6$, второе к третьему – как $\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$, а разность третьего и первого равна $5,5$.

3) Найди числа $a, b, c \text{ и } d$, если $a : b = 1 : 2$, $b : c = 3 : 4$, $c : d = 2 : 7$, а их сумма равна $90$.

4) Найди числа $a, b, c \text{ и } d$, если $a : b = \frac{3}{4} : 0,5$, $b : c = 1,2 : \frac{1}{3}$, $c : d = 5 : 2$, а их среднее арифметическое равно $1,3$.

1) Обозначим три числа как $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Из условия задачи имеем два отношения: $x_1 : x_2 = 3 : 8$ и $x_2 : x_3 = 2 : 5$. Чтобы найти общее отношение $x_1 : x_2 : x_3$, приведем второе отношение к общему члену для $x_2$. Наименьшее общее кратное для членов отношения, соответствующих $x_2$ (числа 8 и 2), равно 8. Первое отношение уже содержит 8. Второе отношение $2:5$ умножим на 4: $(2 \cdot 4) : (5 \cdot 4) = 8 : 20$. Таким образом, получаем единое отношение $x_1 : x_2 : x_3 = 3 : 8 : 20$.
Это означает, что числа можно представить в виде $x_1 = 3k$, $x_2 = 8k$ и $x_3 = 20k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
По условию, сумма первого и третьего чисел равна 4,6: $x_1 + x_3 = 4.6$.
Подставим выражения через $k$: $3k + 20k = 4.6$.
$23k = 4.6$.
$k = \frac{4.6}{23} = 0.2$.
Теперь найдем сами числа:
$x_1 = 3 \cdot 0.2 = 0.6$
$x_2 = 8 \cdot 0.2 = 1.6$
$x_3 = 20 \cdot 0.2 = 4.0$
Ответ: 0,6; 1,6; 4,0.

2) Обозначим три числа как $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Из условия даны отношения $x_1 : x_2 = 0,5 : 0,6$ и $x_2 : x_3 = \frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$.
Упростим отношения, приведя их к целым числам:
$x_1 : x_2 = 0,5 : 0,6 = 5 : 6$.
$x_2 : x_3 = \frac{2}{3} : 1\frac{1}{6} = \frac{2}{3} : \frac{7}{6}$. Умножим обе части на 6: $(\frac{2}{3} \cdot 6) : (\frac{7}{6} \cdot 6) = 4 : 7$.
Теперь у нас есть отношения $x_1 : x_2 = 5 : 6$ и $x_2 : x_3 = 4 : 7$. Найдем общее отношение $x_1 : x_2 : x_3$. Наименьшее общее кратное для членов, соответствующих $x_2$ (6 и 4), равно 12.
Приведем отношения к общему члену 12:
$x_1 : x_2 = (5 \cdot 2) : (6 \cdot 2) = 10 : 12$.
$x_2 : x_3 = (4 \cdot 3) : (7 \cdot 3) = 12 : 21$.
Общее отношение: $x_1 : x_2 : x_3 = 10 : 12 : 21$.
Представим числа как $x_1 = 10k$, $x_2 = 12k$ и $x_3 = 21k$.
По условию, разность третьего и первого равна 5,5: $x_3 - x_1 = 5.5$.
Подставим выражения через $k$: $21k - 10k = 5.5$.
$11k = 5.5$.
$k = \frac{5.5}{11} = 0.5$.
Найдем числа:
$x_1 = 10 \cdot 0.5 = 5$
$x_2 = 12 \cdot 0.5 = 6$
$x_3 = 21 \cdot 0.5 = 10.5$
Ответ: 5; 6; 10,5.

3) Нам даны отношения: $a : b = 1 : 2$, $b : c = 3 : 4$, $c : d = 2 : 7$. Найдем общее отношение $a : b : c : d$.
Сначала объединим $a:b$ и $b:c$. НОК для членов $b$ (2 и 3) равно 6.
$a : b = (1 \cdot 3) : (2 \cdot 3) = 3 : 6$.
$b : c = (3 \cdot 2) : (4 \cdot 2) = 6 : 8$.
Получаем $a : b : c = 3 : 6 : 8$.
Теперь объединим это с $c:d = 2:7$. НОК для членов $c$ (8 и 2) равно 8.
$a : b : c = 3 : 6 : 8$.
$c : d = (2 \cdot 4) : (7 \cdot 4) = 8 : 28$.
Итоговое отношение: $a : b : c : d = 3 : 6 : 8 : 28$.
Представим числа как $a = 3k, b = 6k, c = 8k, d = 28k$.
Сумма чисел равна 90: $a + b + c + d = 90$.
$3k + 6k + 8k + 28k = 90$.
$45k = 90$.
$k = \frac{90}{45} = 2$.
Найдем числа:
$a = 3 \cdot 2 = 6$
$b = 6 \cdot 2 = 12$
$c = 8 \cdot 2 = 16$
$d = 28 \cdot 2 = 56$
Ответ: $a=6$, $b=12$, $c=16$, $d=56$.

4) Даны отношения: $a : b = \frac{3}{4} : 0,5$, $b : c = 1,2 : \frac{1}{3}$, $c : d = 5 : 2$.
Упростим отношения:
$a : b = \frac{3}{4} : \frac{1}{2} = (\frac{3}{4} \cdot 4) : (\frac{1}{2} \cdot 4) = 3 : 2$.
$b : c = 1,2 : \frac{1}{3} = \frac{12}{10} : \frac{1}{3} = \frac{6}{5} : \frac{1}{3} = (\frac{6}{5} \cdot 15) : (\frac{1}{3} \cdot 15) = 18 : 5$.
$c : d = 5 : 2$.
Найдем общее отношение $a:b:c:d$. Объединим $a:b = 3:2$ и $b:c = 18:5$. НОК для $b$ (2 и 18) равно 18.
$a:b = (3 \cdot 9) : (2 \cdot 9) = 27 : 18$.
Получаем $a : b : c = 27 : 18 : 5$.
Теперь объединим это с $c:d = 5:2$. Члены для $c$ уже равны (5).
Итоговое отношение: $a : b : c : d = 27 : 18 : 5 : 2$.
Представим числа как $a=27k, b=18k, c=5k, d=2k$.
Среднее арифметическое чисел равно 1,3. Это значит, что их сумма, деленная на их количество (4), равна 1,3.
$\frac{a+b+c+d}{4} = 1.3 \implies a+b+c+d = 1.3 \cdot 4 = 5.2$.
$27k + 18k + 5k + 2k = 5.2$.
$52k = 5.2$.
$k = \frac{5.2}{52} = 0.1$.
Найдем числа:
$a = 27 \cdot 0.1 = 2.7$
$b = 18 \cdot 0.1 = 1.8$
$c = 5 \cdot 0.1 = 0.5$
$d = 2 \cdot 0.1 = 0.2$
Ответ: $a=2,7$, $b=1,8$, $c=0,5$, $d=0,2$.

258 1) Найди три числа, если известно, что первое число относится ко второму как $3 : 8$, второе к третьему – как $2 : 5$, а сумма первого и третьего равна $4,6$.

2) Найди три числа, если первое относится ко второму как $0,5 : 0,6$, второе к третьему – как $\frac{2}{3} : 1\frac{1}{6}$, а разность третьего и первого равна $5,5$.

3) Найди числа $a, b, c$ и $d$, если $a : b = 1 : 2$, $b : c = 3 : 4$, $c : d = 2 : 7$, а их сумма равна $90$.

4) Найди числа $a, b, c$ и $d$, если $a : b = \frac{3}{4} : 0,5$, $b : c = 1,2 : \frac{1}{3}$, $c : d = 5 : 2$, а их среднее арифметическое равно $1,3$.

259. Трём победителям соревнований по большому теннису присуждены денежные премии общей суммой 15 млн р. При этом вторая премия составила 60 % первой и относится к третьей как $1 : \frac{2}{3}$. Чему равны размеры этих премий?

Для решения задачи обозначим размеры первой, второй и третьей премий как $П_1$, $П_2$ и $П_3$ соответственно. Все расчеты будем вести в миллионах рублей.

Из условия задачи нам известно:

1. Общая сумма премий: $П_1 + П_2 + П_3 = 15$
2. Вторая премия составляет 60% от первой: $П_2 = 0.6 \cdot П_1$
3. Вторая премия относится к третьей как $1 : \frac{2}{3}$: $\frac{П_2}{П_3} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Наша цель — найти значения $П_1$, $П_2$ и $П_3$. Для этого выразим все переменные через одну, например, через $П_1$.

Из второго условия у нас уже есть выражение: $П_2 = 0.6 \cdot П_1$.

Теперь поработаем с третьим условием, чтобы выразить $П_3$ через $П_1$. Сначала упростим отношение:

$\frac{П_2}{П_3} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Из этого соотношения получаем: $2 \cdot П_2 = 3 \cdot П_3$, откуда $П_3 = \frac{2}{3} \cdot П_2$.

Теперь подставим в это выражение значение $П_2$ из второго условия ($П_2 = 0.6 \cdot П_1$):

$П_3 = \frac{2}{3} \cdot (0.6 \cdot П_1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{10} \cdot П_1 = \frac{12}{30} \cdot П_1 = \frac{2}{5} \cdot П_1 = 0.4 \cdot П_1$

Теперь у нас все три премии выражены через $П_1$:

• $П_1$
• $П_2 = 0.6 \cdot П_1$
• $П_3 = 0.4 \cdot П_1$

Подставим эти выражения в первое уравнение (общая сумма премий):

$П_1 + 0.6 \cdot П_1 + 0.4 \cdot П_1 = 15$

Сложим коэффициенты при $П_1$:

$П_1 \cdot (1 + 0.6 + 0.4) = 15$

$2 \cdot П_1 = 15$

$П_1 = \frac{15}{2} = 7.5$

Итак, первая премия составляет 7,5 млн рублей.

Теперь найдем размеры второй и третьей премий:

$П_2 = 0.6 \cdot П_1 = 0.6 \cdot 7.5 = 4.5$ млн рублей.

$П_3 = 0.4 \cdot П_1 = 0.4 \cdot 7.5 = 3$ млн рублей.

Проверим, что общая сумма сходится: $7.5 + 4.5 + 3 = 12 + 3 = 15$ млн рублей. Условие выполняется.

Ответ: размеры премий равны 7,5 млн р., 4,5 млн р. и 3 млн р.

259 Трем победителям соревнований по большому теннису присуждены денежные премии общей суммой 15 млн. р. При этом вторая премия составила 60% первой и относится к третьей как $1 : \frac{2}{3}$. Чему равны размеры этих премий?

260 Фермер засеял три участка земли. Площадь первого составляет 30 % площади второго, а площадь второго относится к площади третьего как $2.5:3$. Чему равна общая площадь всех трёх участков, если известно, что площадь третьего больше площади первого на 4,5 га?

Обозначим площади трех участков как $S_1$, $S_2$ и $S_3$.

Исходя из условий задачи, запишем следующие соотношения:
1. Площадь первого участка составляет 30% от площади второго: $S_1 = 0,3 \cdot S_2$.
2. Отношение площади второго участка к площади третьего равно $2,5 : 3$, то есть $\frac{S_2}{S_3} = \frac{2,5}{3}$.
3. Площадь третьего участка на 4,5 га больше площади первого: $S_3 = S_1 + 4,5$.

Для удобства расчетов приведем все площади к одной переменной. Из отношения $\frac{S_2}{S_3} = \frac{2,5}{3}$ можно выразить $S_3$ через $S_2$:
$S_3 = S_2 \cdot \frac{3}{2,5} = S_2 \cdot \frac{30}{25} = S_2 \cdot \frac{6}{5} = 1,2 \cdot S_2$.

Теперь у нас есть выражения для $S_1$ и $S_3$ через $S_2$:
$S_1 = 0,3 \cdot S_2$
$S_3 = 1,2 \cdot S_2$

Подставим эти выражения в третье условие ($S_3 = S_1 + 4,5$):
$1,2 \cdot S_2 = 0,3 \cdot S_2 + 4,5$

Решим полученное уравнение относительно $S_2$:
$1,2 \cdot S_2 - 0,3 \cdot S_2 = 4,5$
$0,9 \cdot S_2 = 4,5$
$S_2 = \frac{4,5}{0,9} = 5$ га.

Теперь, зная площадь второго участка, можем найти площади первого и третьего участков:
$S_1 = 0,3 \cdot S_2 = 0,3 \cdot 5 = 1,5$ га.
$S_3 = 1,2 \cdot S_2 = 1,2 \cdot 5 = 6$ га.

Проверим, выполняется ли условие $S_3 = S_1 + 4,5$:
$6 = 1,5 + 4,5$
$6 = 6$. Условие выполняется.

Найдем общую площадь всех трех участков, сложив их площади:
$S_{общая} = S_1 + S_2 + S_3 = 1,5 + 5 + 6 = 12,5$ га.

Ответ: 12,5 га.

260 Фермер засеял три участка земли. Площадь первого составляет $30\%$ площади второго, а площадь второго относится к площади третьего как $2.5 : 3$.

Чему равна общая площадь всех трех участков, если известно, что площадь третьего больше площади первого на $4.5 \text{ га}$?

Вычисли устно. Составь ряд, образованный ответами примеров, и продолжи его на два числа, сохраняя закономерность.

261

$248 + 32$

$: 40$

$\cdot 60$

$- 90$

$: 33$

$?$

$700 : 14$

$\cdot 9$

$- 70$

$: 20$

$+ 6$

$?$

$6 - 2.8$

$: 4$

$\cdot 3$

$+ 0.8$

$: 3.2$

$?$

$1 : 4$

$- 0.2$

$\cdot 8$

$+ 0.35$

$: 0.3$

$?$

$3.8 : 19$

$\cdot 24$

$: 3$

$+ 5.4$

$: 70$

$?$

$4.7 + 1.3$

$: 0.1$

$\cdot 0.25$

$: 50$

$- 0.05$

$?$

$248 + 32 = 280$
$280 : 40 = 7$
$7 \cdot 60 = 420$
$420 - 90 = 330$
$330 : 33 = 10$
Ответ: 10

$700 : 14 = 50$
$50 \cdot 9 = 450$
$450 - 70 = 380$
$380 : 20 = 19$
$19 + 6 = 25$
Ответ: 25

$6 - 2,8 = 3,2$
$3,2 : 4 = 0,8$
$0,8 \cdot 3 = 2,4$
$2,4 + 0,8 = 3,2$
$3,2 : 3,2 = 1$
Ответ: 1

$1 : 4 = 0,25$
$0,25 - 0,2 = 0,05$
$0,05 \cdot 8 = 0,4$
$0,4 + 0,35 = 0,75$
$0,75 : 0,3 = 2,5$
Ответ: 2,5

$3,8 : 19 = 0,2$
$0,2 \cdot 24 = 4,8$
$4,8 : 3 = 1,6$
$1,6 + 5,4 = 7$
$7 : 70 = 0,1$
Ответ: 0,1

$4,7 + 1,3 = 6$
$6 : 0,1 = 60$
$60 \cdot 0,25 = 15$
$15 : 50 = 0,3$
$0,3 - 0,05 = 0,25$
Ответ: 0,25

Составим ряд, образованный ответами примеров: 10; 25; 1; 2,5; 0,1; 0,25.

Закономерность в этом ряду следующая: каждый следующий член получается из предыдущего путем поочередного умножения на 2,5 и деления на 25.

$10 \cdot 2,5 = 25$
$25 : 25 = 1$
$1 \cdot 2,5 = 2,5$
$2,5 : 25 = 0,1$
$0,1 \cdot 2,5 = 0,25$

Продолжим ряд на два числа, сохраняя найденную закономерность:

1. Седьмой член ряда: $0,25 : 25 = 0,01$.
2. Восьмой член ряда: $0,01 \cdot 2,5 = 0,025$.

Ответ: следующие два числа в ряду — 0,01 и 0,025.

П 261 Вычисли устно. Составь ряд, образованный ответами примеров, и продолжи его на два числа, сохраняя закономерность:

$248 + 32$
$: 40$
$\cdot 60$
$- 90$
$: 33$
----------
$?$

$700 : 14$
$\cdot 9$
$- 70$
$: 20$
$+ 6$
----------
$?$

$6 - 2.8$
$: 4$
$\cdot 3$
$+ 0.8$
$: 3.2$
----------
$?$

$1 : 4$
$- 0.2$
$\cdot 8$
$+ 0.35$
$: 0.3$
----------
$?$

$3.8 : 19$
$\cdot 24$
$: 3$
$+ 5.4$
$: 70$
----------
$?$

$4.7 + 1.3$
$: 0.1$
$\cdot 0.25$
$: 50$
$- 0.05$
----------
$?$

278 Семья израсходовала $35\%$ своего месячного дохода на питание, $1/7$ суммы на питание – на коммунальные услуги, $80\%$ остатка – на покупки, а остальные $3000$ р. были положены на счёт в банк.

Чему равен месячный доход семьи?

Примем весь месячный доход семьи за $x$.
1. На питание семья израсходовала $35\%$ своего дохода, что составляет $0.35x$.
2. На коммунальные услуги была потрачена седьмая часть от суммы на питание: $\frac{1}{7} \times 0.35x = 0.05x$.
3. Суммарные расходы на питание и коммунальные услуги составили: $0.35x + 0.05x = 0.4x$.
4. После этих трат осталась часть дохода, равная: $x - 0.4x = 0.6x$.
5. На покупки было потрачено $80\%$ от этого остатка: $0.8 \times 0.6x = 0.48x$.
6. После всех расходов осталась сумма, которая была положена на счёт в банк. Вычислим эту часть от общего дохода: $0.6x - 0.48x = 0.12x$.
7. Согласно условию задачи, эта оставшаяся сумма равна 3000 рублей. Составим уравнение:
$0.12x = 3000$
Теперь найдём $x$ (месячный доход):
$x = \frac{3000}{0.12} = \frac{300000}{12} = 25000$ рублей.
Ответ: 25000 рублей.

278 Семья израсходовала $35\%$ своего месячного дохода на питание, $\frac{1}{7}$ часть суммы на питание – на коммунальные услуги, $80\%$ остатка – на покупки, а остальные 3000 р. были положены на счет в сбербанк. Чему равен месячный доход семьи?

279 Кастрюля в 3 раза дороже сковородки. Ковш дороже сковородки на 96 р., но дешевле кастрюли на 32 р. Сколько стоит набор из кастрюли, сковородки и ковша?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть цена сковородки равна $x$ рублей.

Из условия известно, что кастрюля в 3 раза дороже сковородки, следовательно, ее цена составляет $3x$ рублей.

Ковш дороже сковородки на 96 рублей, значит, его цена равна $(x + 96)$ рублей.

Также сказано, что ковш дешевле кастрюли на 32 рубля. Это означает, что его цену можно выразить как $(3x - 32)$ рубля.

Так как мы получили два разных выражения для цены ковша, мы можем их приравнять друг к другу, чтобы составить уравнение:
$x + 96 = 3x - 32$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть уравнения, а числа — в левую:
$96 + 32 = 3x - x$
$128 = 2x$
$x = \frac{128}{2}$
$x = 64$
Таким образом, мы нашли, что цена сковородки составляет 64 рубля.

Теперь, зная цену сковородки, мы можем вычислить цены остальных предметов:

• Цена кастрюли: $3x = 3 \times 64 = 192$ рубля.
• Цена ковша: $x + 96 = 64 + 96 = 160$ рублей.

Для проверки можно использовать второе выражение для цены ковша: $3x - 32 = 192 - 32 = 160$ рублей. Результаты совпадают, значит, расчеты верны.

Наконец, чтобы найти стоимость всего набора, нужно сложить цены всех трех предметов:
Стоимость набора = (цена кастрюли) + (цена сковородки) + (цена ковша)
$192 + 64 + 160 = 416$ рублей.

Ответ: 416 рублей.

279 Кастрюля в 3 раза дороже сковородки. Ковш дороже сковородки на 96 р., но дешевле кастрюли на 32 р. Сколько стоит набор из кастрюли, сковородки и ковша?

280 Найди значение выражения:

a) $7\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{9}{11}\right) : 4,6 \cdot (-2,75) : 3\frac{3}{4};$

б) $(-0,5 : 1,25 + 1\frac{2}{5} : \left(-1\frac{4}{7}\right) - \frac{10}{11}) \cdot (-2,5).$

а) $7\frac{2}{3} \cdot (-\frac{9}{11}) : 4,6 \cdot (-2,75) : 3\frac{3}{4}$

Для решения данного выражения, сначала преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби.

$7\frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{23}{3}$

$4,6 = \frac{46}{10} = \frac{23}{5}$

$-2,75 = -2\frac{75}{100} = -2\frac{3}{4} = -\frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = -\frac{11}{4}$

$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$\frac{23}{3} \cdot (-\frac{9}{11}) : \frac{23}{5} \cdot (-\frac{11}{4}) : \frac{15}{4}$

Выполним действия по порядку (умножение и деление слева направо):

1. $\frac{23}{3} \cdot (-\frac{9}{11}) = -\frac{23 \cdot 9}{3 \cdot 11} = -\frac{23 \cdot 3}{11} = -\frac{69}{11}$

2. $-\frac{69}{11} : \frac{23}{5} = -\frac{69}{11} \cdot \frac{5}{23} = -\frac{3 \cdot 23 \cdot 5}{11 \cdot 23} = -\frac{15}{11}$

3. $-\frac{15}{11} \cdot (-\frac{11}{4}) = \frac{15 \cdot 11}{11 \cdot 4} = \frac{15}{4}$

4. $\frac{15}{4} : \frac{15}{4} = \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{15} = 1$

Ответ: 1.

б) $(-0,5 : 1,25 + 1\frac{2}{5} : (-1\frac{4}{7}) - \frac{10}{11}) \cdot (-2,5)$

Сначала выполним действия в скобках. Для этого преобразуем все числа в дроби.

$-0,5 = -\frac{1}{2}$

$1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$

$1\frac{2}{5} = \frac{7}{5}$

$-1\frac{4}{7} = -\frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = -\frac{11}{7}$

$-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$

Выполним действия в скобках по порядку:

1. Первое деление: $-0,5 : 1,25 = -\frac{1}{2} : \frac{5}{4} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$

2. Второе деление: $1\frac{2}{5} : (-1\frac{4}{7}) = \frac{7}{5} : (-\frac{11}{7}) = \frac{7}{5} \cdot (-\frac{7}{11}) = -\frac{49}{55}$

3. Теперь подставим результаты в скобки и выполним сложение и вычитание:

$-\frac{2}{5} + (-\frac{49}{55}) - \frac{10}{11} = -\frac{2}{5} - \frac{49}{55} - \frac{10}{11}$

Приведем дроби к общему знаменателю 55:

$-\frac{2 \cdot 11}{5 \cdot 11} - \frac{49}{55} - \frac{10 \cdot 5}{11 \cdot 5} = -\frac{22}{55} - \frac{49}{55} - \frac{50}{55} = \frac{-22 - 49 - 50}{55} = \frac{-121}{55}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 11:

$\frac{-121}{55} = -\frac{11}{5}$

4. Теперь умножим результат, полученный в скобках, на $-2,5$:

$-\frac{11}{5} \cdot (-2,5) = -\frac{11}{5} \cdot (-\frac{5}{2}) = \frac{11 \cdot 5}{5 \cdot 2} = \frac{11}{2} = 5,5$

Ответ: 5,5.

280 Найди значения выражений:

a) $7\frac{2}{3} \cdot (-\frac{9}{11}) : 4,6 \cdot (-2,75) : 3\frac{3}{4}$

б) $(-0,5 : 1,25 + 1\frac{2}{5} : (-1\frac{4}{7}) - \frac{10}{11}) \cdot (-2,5)$

281 Запиши числа 9, 25, 32, 75, 100 в системе счисления с основанием:

а) $d = 3$;

б) $d = 5$;

в) $d = 9$;

г) $d = 12$.

Для перевода числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием $d$ необходимо последовательно делить это число (и последующие частные) на $d$ до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Полученные остатки, записанные в обратном порядке, образуют число в новой системе счисления.

а) d = 3

Переведем числа в систему счисления с основанием 3 (троичную):

Для числа 9:
$9 \div 3 = 3$ (остаток 0)
$3 \div 3 = 1$ (остаток 0)
$1 \div 3 = 0$ (остаток 1)
Записав остатки в обратном порядке, получаем $9_{10} = 100_3$.

Для числа 25:
$25 \div 3 = 8$ (остаток 1)
$8 \div 3 = 2$ (остаток 2)
$2 \div 3 = 0$ (остаток 2)
Записав остатки в обратном порядке, получаем $25_{10} = 221_3$.

Для числа 32:
$32 \div 3 = 10$ (остаток 2)
$10 \div 3 = 3$ (остаток 1)
$3 \div 3 = 1$ (остаток 0)
$1 \div 3 = 0$ (остаток 1)
Записав остатки в обратном порядке, получаем $32_{10} = 1012_3$.

Для числа 75:
$75 \div 3 = 25$ (остаток 0)
$25 \div 3 = 8$ (остаток 1)
$8 \div 3 = 2$ (остаток 2)
$2 \div 3 = 0$ (остаток 2)
Записав остатки в обратном порядке, получаем $75_{10} = 2210_3$.

Для числа 100:
$100 \div 3 = 33$ (остаток 1)
$33 \div 3 = 11$ (остаток 0)
$11 \div 3 = 3$ (остаток 2)
$3 \div 3 = 1$ (остаток 0)
$1 \div 3 = 0$ (остаток 1)
Записав остатки в обратном порядке, получаем $100_{10} = 10201_3$.

Ответ: $9_{10} = 100_3$; $25_{10} = 221_3$; $32_{10} = 1012_3$; $75_{10} = 2210_3$; $100_{10} = 10201_3$.

б) d = 5

Переведем числа в систему счисления с основанием 5 (пятеричную):

Для числа 9:
$9 \div 5 = 1$ (остаток 4)
$1 \div 5 = 0$ (остаток 1)
Получаем $9_{10} = 14_5$.

Для числа 25:
$25 \div 5 = 5$ (остаток 0)
$5 \div 5 = 1$ (остаток 0)
$1 \div 5 = 0$ (остаток 1)
Получаем $25_{10} = 100_5$.

Для числа 32:
$32 \div 5 = 6$ (остаток 2)
$6 \div 5 = 1$ (остаток 1)
$1 \div 5 = 0$ (остаток 1)
Получаем $32_{10} = 112_5$.

Для числа 75:
$75 \div 5 = 15$ (остаток 0)
$15 \div 5 = 3$ (остаток 0)
$3 \div 5 = 0$ (остаток 3)
Получаем $75_{10} = 300_5$.

Для числа 100:
$100 \div 5 = 20$ (остаток 0)
$20 \div 5 = 4$ (остаток 0)
$4 \div 5 = 0$ (остаток 4)
Получаем $100_{10} = 400_5$.

Ответ: $9_{10} = 14_5$; $25_{10} = 100_5$; $32_{10} = 112_5$; $75_{10} = 300_5$; $100_{10} = 400_5$.

в) d = 9

Переведем числа в систему счисления с основанием 9 (девятеричную):

Для числа 9:
$9 \div 9 = 1$ (остаток 0)
$1 \div 9 = 0$ (остаток 1)
Получаем $9_{10} = 10_9$.

Для числа 25:
$25 \div 9 = 2$ (остаток 7)
$2 \div 9 = 0$ (остаток 2)
Получаем $25_{10} = 27_9$.

Для числа 32:
$32 \div 9 = 3$ (остаток 5)
$3 \div 9 = 0$ (остаток 3)
Получаем $32_{10} = 35_9$.

Для числа 75:
$75 \div 9 = 8$ (остаток 3)
$8 \div 9 = 0$ (остаток 8)
Получаем $75_{10} = 83_9$.

Для числа 100:
$100 \div 9 = 11$ (остаток 1)
$11 \div 9 = 1$ (остаток 2)
$1 \div 9 = 0$ (остаток 1)
Получаем $100_{10} = 121_9$.

Ответ: $9_{10} = 10_9$; $25_{10} = 27_9$; $32_{10} = 35_9$; $75_{10} = 83_9$; $100_{10} = 121_9$.

г) d = 12

Переведем числа в систему счисления с основанием 12 (двенадцатеричную). В этой системе используются цифры от 0 до 9, а также буквы A (для значения 10) и B (для значения 11).

Для числа 9:
$9 \div 12 = 0$ (остаток 9)
Так как 9 меньше 12, его представление в двенадцатеричной системе совпадает с десятичным: $9_{10} = 9_{12}$.

Для числа 25:
$25 \div 12 = 2$ (остаток 1)
$2 \div 12 = 0$ (остаток 2)
Получаем $25_{10} = 21_{12}$.

Для числа 32:
$32 \div 12 = 2$ (остаток 8)
$2 \div 12 = 0$ (остаток 2)
Получаем $32_{10} = 28_{12}$.

Для числа 75:
$75 \div 12 = 6$ (остаток 3)
$6 \div 12 = 0$ (остаток 6)
Получаем $75_{10} = 63_{12}$.

Для числа 100:
$100 \div 12 = 8$ (остаток 4)
$8 \div 12 = 0$ (остаток 8)
Получаем $100_{10} = 84_{12}$.

Ответ: $9_{10} = 9_{12}$; $25_{10} = 21_{12}$; $32_{10} = 28_{12}$; $75_{10} = 63_{12}$; $100_{10} = 84_{12}$.

281 Запиши числа 9, 25, 32, 75, 100 в системе счисления с основанием:

а) $d = 3$;

б) $d = 5$;

в) $d = 9$;

г) $d = 12$.

282 В классе учатся 24 мальчика и 32 девочки, а всего 100 человек. В какой системе счисления записаны все эти сведения, если система счисления одна и та же?

Пусть $x$ — это основание искомой системы счисления. По условию задачи, количество мальчиков ($24_x$), сложенное с количеством девочек ($32_x$), равно общему количеству человек в классе ($100_x$). Запишем это в виде уравнения: $24_x + 32_x = 100_x$

Для того чтобы решить это уравнение, необходимо перевести все числа в десятичную систему счисления. Формула перевода числа $ab_x$ в десятичную систему: $a \cdot x^1 + b \cdot x^0$. Для числа $abc_x$: $a \cdot x^2 + b \cdot x^1 + c \cdot x^0$. Применим это к нашему уравнению: $(2 \cdot x^1 + 4 \cdot x^0) + (3 \cdot x^1 + 2 \cdot x^0) = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x^1 + 0 \cdot x^0$

Упростим полученное выражение: $(2x + 4) + (3x + 2) = x^2$ $5x + 6 = x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$ и решим его: $x^2 - 5x - 6 = 0$ По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-6$. Корнями уравнения являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Основание системы счисления ($x$) должно быть натуральным числом и, кроме того, должно быть больше самой большой цифры, используемой в записи чисел. В данном случае самая большая цифра — это 4 (в числе 24). Следовательно, $x > 4$. Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет этим условиям. Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет, так как $6 > 4$. Таким образом, данные сведения записаны в шестеричной системе счисления.

Ответ: шестеричная система счисления.

282 В классе учатся 24 мальчика и 32 девочки, а всего 100 человек. В какой системе счисления записаны все эти сведения, если система счисления одна и та же?