Страница 60, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

234 Попробуй решить примеры каждого блока не более чем за 2 мин. (Пиши только ответы.) Если не уложишься в отведённое время, попробуй повторить ещё раз дома.

$0,36 : 0,9;$
$3,4 + 0,16;$
$0,8 + 0,02;$
$4,2 - 0,02;$
$4 - 1,75;$
$2,5 \cdot 0,08;$
$21,6 \cdot 0,1;$
$6,4 : 0,04.$

$1,48 - 0,9;$
$0,05 \cdot 1,8;$
$400 \cdot 0,17;$
$22,2 - 3,2;$
$6 : 0,0001;$
$0,6 + 7,5;$
$2,35 + 0,25;$
$25,5 : 2,5.$

А

0,36 : 0,9
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько цифр, сколько их в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.
$0,36 : 0,9 = 3,6 : 9 = 0,4$.
Ответ: 0,4.

3,4 + 0,16
Чтобы сложить десятичные дроби, нужно записать их друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Затем выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и в ответе поставить запятую под запятыми в данных дробях.
$3,4 + 0,16 = 3,40 + 0,16 = 3,56$.
Ответ: 3,56.

0,8 + 0,02
Выполняем сложение, уравняв количество знаков после запятой.
$0,8 + 0,02 = 0,80 + 0,02 = 0,82$.
Ответ: 0,82.

4,2 - 0,02
Чтобы вычесть десятичные дроби, нужно записать их друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Уравнять количество знаков после запятой, добавив нули, и выполнить вычитание.
$4,2 - 0,02 = 4,20 - 0,02 = 4,18$.
Ответ: 4,18.

4 - 1,75
Представим целое число 4 в виде десятичной дроби 4,00 и выполним вычитание столбиком.
$4 - 1,75 = 4,00 - 1,75 = 2,25$.
Ответ: 2,25.

2,5 ⋅ 0,08
Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
$25 \cdot 8 = 200$. В множителях 2,5 и 0,08 суммарно три цифры после запятой ($1+2=3$).
$2,5 \cdot 0,08 = 0,200 = 0,2$.
Ответ: 0,2.

21,6 ⋅ 0,1
Умножение на 0,1 равносильно делению на 10, для этого нужно перенести запятую на один знак влево.
$21,6 \cdot 0,1 = 2,16$.
Ответ: 2,16.

6,4 : 0,04
Перенесем запятую в делимом и делителе на два знака вправо, чтобы делитель стал целым числом.
$6,4 : 0,04 = 640 : 4 = 160$.
Ответ: 160.

Б

1,48 - 0,9
Выполняем вычитание, уравняв количество знаков после запятой.
$1,48 - 0,9 = 1,48 - 0,90 = 0,58$.
Ответ: 0,58.

0,05 ⋅ 1,8
Умножаем числа, не обращая внимания на запятые: $5 \cdot 18 = 90$.
Суммарное количество знаков после запятой в множителях: $2+1=3$. Отделяем три знака в результате.
$0,05 \cdot 1,8 = 0,090 = 0,09$.
Ответ: 0,09.

400 ⋅ 0,17
Выполним умножение, не обращая внимания на запятую: $400 \cdot 17 = 6800$.
В множителе 0,17 два знака после запятой. Отделяем два знака в результате.
$400 \cdot 0,17 = 68,00 = 68$.
Ответ: 68.

22,2 - 3,2
Выполняем вычитание десятичных дробей столбиком.
$22,2 - 3,2 = 19,0 = 19$.
Ответ: 19.

6 : 0,0001
Деление на 0,0001 равносильно умножению на 10000.
$6 : 0,0001 = 6 \cdot 10000 = 60000$.
Ответ: 60000.

0,6 + 7,5
Выполняем сложение десятичных дробей столбиком.
$0,6 + 7,5 = 8,1$.
Ответ: 8,1.

2,35 + 0,25
Выполняем сложение десятичных дробей столбиком.
$2,35 + 0,25 = 2,60 = 2,6$.
Ответ: 2,6.

25,5 : 2,5
Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо.
$25,5 : 2,5 = 255 : 25 = 10,2$.
Ответ: 10,2.

П 234 Попробуй решить примеры каждого блока не более чем за 2 мин.

(Пиши только ответы.) Если не уложишься в отведенное время, попробуй повторить еще раз дома.

$0.36 : 0.9; \quad 3.4 + 0.16;$

$0.8 + 0.02; \quad 4.2 - 0.02;$

$4 - 1.75; \quad 2.5 \cdot 0.08;$

$21.6 \cdot 0.1; \quad 6.4 : 0.04.$

$1.48 - 0.9; \quad 0.05 \cdot 1.8;$

$400 \cdot 0.17; \quad 22.2 - 3.2;$

$6 : 0.0001; \quad 0.6 + 7.5;$

$2.35 + 0.25; \quad 25.5 : 2.5.$

235 Составь выражение и найди его значение.

1) Утроенное произведение числа 4,8 и квадрата числа $\frac{1}{3}$.

2) Частное куба числа 0,2 и разности чисел 0,64 и $\frac{3}{5}$.

3) Квадрат суммы чисел $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$ и 0,3.

4) Сумма квадратов чисел $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$ и 0,3.

1) Утроенное произведение числа 4,8 и квадрата числа $\frac{1}{3}$

Составим выражение. «Утроенное произведение» означает, что результат умножения нужно умножить на 3. «Произведение числа 4,8 и квадрата числа $\frac{1}{3}$» записывается как $4.8 \cdot (\frac{1}{3})^2$. Таким образом, итоговое выражение: $3 \cdot 4.8 \cdot (\frac{1}{3})^2$.

Найдем значение этого выражения.
1. Возведем в квадрат: $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
2. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной для удобства: $4.8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$.
3. Выполним умножение: $3 \cdot \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 24}{5 \cdot 9} = \frac{72}{45}$.
4. Сократим полученную дробь на 9: $\frac{72 : 9}{45 : 9} = \frac{8}{5}$.
5. Переведем результат в десятичную дробь: $\frac{8}{5} = 1.6$.
Ответ: 1,6.

2) Частное куба числа 0,2 и разности чисел 0,64 и $\frac{3}{5}$

Составим выражение. «Частное» — это результат деления. Делимое — «куб числа 0,2», то есть $0.2^3$. Делитель — «разность чисел 0,64 и $\frac{3}{5}$», то есть $(0.64 - \frac{3}{5})$. Таким образом, итоговое выражение: $0.2^3 : (0.64 - \frac{3}{5})$.

Найдем значение этого выражения.
1. Сначала выполним действие в скобках. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{3}{5} = 0.6$.
2. Найдем разность: $0.64 - 0.6 = 0.04$.
3. Возведем в куб: $0.2^3 = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.2 = 0.008$.
4. Выполним деление: $0.008 : 0.04 = \frac{0.008}{0.04} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0.2$.
Ответ: 0,2.

3) Квадрат суммы чисел $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$ и 0,3

Составим выражение. «Квадрат суммы» означает, что сначала нужно найти сумму чисел, а затем возвести результат в квадрат. Таким образом, итоговое выражение: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + 0.3)^2$.

Найдем значение этого выражения. Для удобства переведем все дроби в десятичный формат.
1. $\frac{1}{2} = 0.5$; $\frac{1}{5} = 0.2$.
2. Найдем сумму в скобках: $0.5 + 0.2 + 0.3 = 1$.
3. Возведем результат в квадрат: $1^2 = 1$.
Ответ: 1.

4) Сумма квадратов чисел $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$ и 0,3

Составим выражение. «Сумма квадратов» означает, что сначала нужно возвести каждое число в квадрат, а затем сложить полученные результаты. Таким образом, итоговое выражение: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{5})^2 + 0.3^2$.

Найдем значение этого выражения.
1. Возведем в квадрат каждое число:
$(\frac{1}{2})^2 = 0.5^2 = 0.25$.
$(\frac{1}{5})^2 = 0.2^2 = 0.04$.
$0.3^2 = 0.09$.
2. Сложим полученные значения: $0.25 + 0.04 + 0.09 = 0.38$.
Ответ: 0,38.

235 Составь выражение и найди его значение:

1) Утроенное произведение числа 4,8 и квадрата числа $1/3$.

2) Частное куба числа 0,2 и разности чисел 0,64 и $3/5$.

3) Квадрат суммы чисел $1/2$, $1/5$ и 0,3.

4) Сумма квадратов чисел $1/2$, $1/5$ и 0,3.

236 Известно, что $ \frac{1}{10} = 0,1 $; $ \frac{1}{8} = 0,125 $; $ \frac{1}{5} = 0,2 $; $ \frac{1}{4} = 0,25 $; $ \frac{1}{2} = 0,5 $. Поэтому для того, чтобы умножить число, например, на 0,125, можно разделить его на 8. Используя этот приём, найди произведения.

$64 \cdot 0,125$

$1,8 \cdot 0,5$

$35 \cdot 0,2$

$71,5 \cdot 0,01$

$28 \cdot 0,25$

$3600 \cdot 0,01$

$320 \cdot 0,125$

$680 \cdot 0,5$

$505 \cdot 0,2$

$0,48 \cdot 0,125$

$7 \cdot 0,001$

$3,6 \cdot 0,25$

$82,4 \cdot 0,1$

$1024 \cdot 0,25$

$282,8 \cdot 0,5$

$0,75 \cdot 0,2$

$32 \cdot 0,5$

$4,5 \cdot 0,2$

$4,44 \cdot 0,25$

$5,6 \cdot 0,125$

64 · 0,125
Умножение на $0,125$ эквивалентно делению на $8$, так как $0,125 = \frac{1}{8}$.
$64 \cdot 0,125 = 64 \div 8 = 8$.
Ответ: 8

1,8 · 0,5
Умножение на $0,5$ эквивалентно делению на $2$, так как $0,5 = \frac{1}{2}$.
$1,8 \cdot 0,5 = 1,8 \div 2 = 0,9$.
Ответ: 0,9

35 · 0,2
Умножение на $0,2$ эквивалентно делению на $5$, так как $0,2 = \frac{1}{5}$.
$35 \cdot 0,2 = 35 \div 5 = 7$.
Ответ: 7

71,5 · 0,01
Умножение на $0,01$ эквивалентно делению на $100$, так как $0,01 = \frac{1}{100}$.
$71,5 \cdot 0,01 = 71,5 \div 100 = 0,715$.
Ответ: 0,715

28 · 0,25
Умножение на $0,25$ эквивалентно делению на $4$, так как $0,25 = \frac{1}{4}$.
$28 \cdot 0,25 = 28 \div 4 = 7$.
Ответ: 7

3600 · 0,01
Умножение на $0,01$ эквивалентно делению на $100$, так как $0,01 = \frac{1}{100}$.
$3600 \cdot 0,01 = 3600 \div 100 = 36$.
Ответ: 36

320 · 0,125
Умножение на $0,125$ эквивалентно делению на $8$, так как $0,125 = \frac{1}{8}$.
$320 \cdot 0,125 = 320 \div 8 = 40$.
Ответ: 40

680 · 0,5
Умножение на $0,5$ эквивалентно делению на $2$, так как $0,5 = \frac{1}{2}$.
$680 \cdot 0,5 = 680 \div 2 = 340$.
Ответ: 340

505 · 0,2
Умножение на $0,2$ эквивалентно делению на $5$, так как $0,2 = \frac{1}{5}$.
$505 \cdot 0,2 = 505 \div 5 = 101$.
Ответ: 101

0,48 · 0,125
Умножение на $0,125$ эквивалентно делению на $8$, так как $0,125 = \frac{1}{8}$.
$0,48 \cdot 0,125 = 0,48 \div 8 = 0,06$.
Ответ: 0,06

7 · 0,001
Умножение на $0,001$ эквивалентно делению на $1000$, так как $0,001 = \frac{1}{1000}$.
$7 \cdot 0,001 = 7 \div 1000 = 0,007$.
Ответ: 0,007

3,6 · 0,25
Умножение на $0,25$ эквивалентно делению на $4$, так как $0,25 = \frac{1}{4}$.
$3,6 \cdot 0,25 = 3,6 \div 4 = 0,9$.
Ответ: 0,9

82,4 · 0,1
Умножение на $0,1$ эквивалентно делению на $10$, так как $0,1 = \frac{1}{10}$.
$82,4 \cdot 0,1 = 82,4 \div 10 = 8,24$.
Ответ: 8,24

1024 · 0,25
Умножение на $0,25$ эквивалентно делению на $4$, так как $0,25 = \frac{1}{4}$.
$1024 \cdot 0,25 = 1024 \div 4 = 256$.
Ответ: 256

282,8 · 0,5
Умножение на $0,5$ эквивалентно делению на $2$, так как $0,5 = \frac{1}{2}$.
$282,8 \cdot 0,5 = 282,8 \div 2 = 141,4$.
Ответ: 141,4

0,75 · 0,2
Умножение на $0,2$ эквивалентно делению на $5$, так как $0,2 = \frac{1}{5}$.
$0,75 \cdot 0,2 = 0,75 \div 5 = 0,15$.
Ответ: 0,15

32 · 0,5
Умножение на $0,5$ эквивалентно делению на $2$, так как $0,5 = \frac{1}{2}$.
$32 \cdot 0,5 = 32 \div 2 = 16$.
Ответ: 16

4,5 · 0,2
Умножение на $0,2$ эквивалентно делению на $5$, так как $0,2 = \frac{1}{5}$.
$4,5 \cdot 0,2 = 4,5 \div 5 = 0,9$.
Ответ: 0,9

4,44 · 0,25
Умножение на $0,25$ эквивалентно делению на $4$, так как $0,25 = \frac{1}{4}$.
$4,44 \cdot 0,25 = 4,44 \div 4 = 1,11$.
Ответ: 1,11

5,6 · 0,125
Умножение на $0,125$ эквивалентно делению на $8$, так как $0,125 = \frac{1}{8}$.
$5,6 \cdot 0,125 = 5,6 \div 8 = 0,7$.
Ответ: 0,7

236 Известно, что $\frac{1}{10} = 0,1$; $\frac{1}{8} = 0,125$; $\frac{1}{5} = 0,2$; $\frac{1}{4} = 0,25$; $\frac{1}{2} = 0,5$. Поэтому для того, чтобы умножить число, например, на 0,125, можно разделить его на 8.

Используя этот прием, найди произведения:

$64 \cdot 0,125$

$1,8 \cdot 0,5$

$35 \cdot 0,2$

$71,5 \cdot 0,01$

$28 \cdot 0,25$

$3600 \cdot 0,01$

$320 \cdot 0,125$

$680 \cdot 0,5$

$505 \cdot 0,2$

$0,48 \cdot 0,125$

$7 \cdot 0,001$

$3,6 \cdot 0,25$

$82,4 \cdot 0,1$

$1024 \cdot 0,25$

$282,8 \cdot 0,5$

$0,75 \cdot 0,2$

$32 \cdot 0,5$

$4,5 \cdot 0,2$

$4,44 \cdot 0,25$

$5,6 \cdot 0,125$

237 Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи её (значения всех переменных отличны от нуля):

1) $\frac{3}{a} - \frac{b}{2a}$;

2) $\frac{c}{2d} + \frac{1}{cd}$;

3) $\frac{4}{x^2} + \frac{y}{2x}$;

4) $\frac{2b}{n} - 3$;

5) $\frac{a}{4b^2} \cdot \frac{2b}{a}$;

6) $\frac{3xy}{k} : \frac{6x^2}{7k}$;

7) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$;

8) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$.

1) $\frac{3}{a} - \frac{b}{2a}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $a$ и $2a$ это $2a$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$\frac{3 \cdot 2}{a \cdot 2} - \frac{b}{2a} = \frac{6}{2a} - \frac{b}{2a}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{6 - b}{2a}$

Дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{6 - b}{2a}$

2) $\frac{c}{2d} + \frac{1}{cd}$

Найдём общий знаменатель для дробей со знаменателями $2d$ и $cd$. Наименьший общий знаменатель - это $2cd$. Умножим первую дробь на недостающий множитель $c$, а вторую на 2:

$\frac{c \cdot c}{2d \cdot c} + \frac{1 \cdot 2}{cd \cdot 2} = \frac{c^2}{2cd} + \frac{2}{2cd}$

Сложим числители полученных дробей:

$\frac{c^2 + 2}{2cd}$

Дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{c^2 + 2}{2cd}$

3) $\frac{4}{x^2} + \frac{y}{2x}$

Общим знаменателем для $x^2$ и $2x$ является $2x^2$. Домножим первую дробь на 2, а вторую на $x$:

$\frac{4 \cdot 2}{x^2 \cdot 2} + \frac{y \cdot x}{2x \cdot x} = \frac{8}{2x^2} + \frac{xy}{2x^2}$

Складываем числители:

$\frac{8 + xy}{2x^2}$

Ответ: $\frac{8 + xy}{2x^2}$

4) $\frac{2b}{n} - 3$

Представим число 3 в виде дроби со знаменателем $n$: $3 = \frac{3n}{n}$.

$\frac{2b}{n} - \frac{3n}{n}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{2b - 3n}{n}$

Ответ: $\frac{2b - 3n}{n}$

5) $\frac{a}{4b^2} \cdot \frac{2b}{a}$

При умножении дробей перемножаются их числители и знаменатели:

$\frac{a \cdot 2b}{4b^2 \cdot a} = \frac{2ab}{4ab^2}$

Сократим полученную дробь. Числовой коэффициент $\frac{2}{4}$ сокращается до $\frac{1}{2}$. Переменную $a$ можно сократить. Переменную $b$ можно сократить, при этом в знаменателе останется $b$ в первой степени:

$\frac{\cancel{2}\cancel{a}\cancel{b}}{4_2 \cancel{a} b^{\cancel{2}}} = \frac{1}{2b}$

Ответ: $\frac{1}{2b}$

6) $\frac{3xy}{k} : \frac{6x^2}{7k}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{3xy}{k} \cdot \frac{7k}{6x^2} = \frac{3xy \cdot 7k}{k \cdot 6x^2} = \frac{21xyk}{6kx^2}$

Сократим дробь. Числовой коэффициент $\frac{21}{6}$ сокращается на 3 и становится $\frac{7}{2}$. Переменную $k$ можно сократить. Переменную $x$ можно сократить, при этом в знаменателе останется $x$ в первой степени:

$\frac{21^{\;7} \cancel{x} y \cancel{k}}{6_{\;2} \cancel{k} x^{\cancel{2}}} = \frac{7y}{2x}$

Ответ: $\frac{7y}{2x}$

7) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$

Представим выражение $mn$ в виде дроби $\frac{mn}{1}$:

$\frac{m}{3n} \cdot \frac{mn}{1} = \frac{m \cdot mn}{3n \cdot 1} = \frac{m^2n}{3n}$

Сократим дробь на $n$ (по условию все переменные не равны нулю):

$\frac{m^2\cancel{n}}{3\cancel{n}} = \frac{m^2}{3}$

Ответ: $\frac{m^2}{3}$

8) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$

Данное выражение идентично выражению из предыдущего пункта.

$\frac{m}{3n} \cdot (mn) = \frac{m \cdot mn}{3n} = \frac{m^2n}{3n}$

Сокращаем на $n$:

$\frac{m^2}{3}$

Ответ: $\frac{m^2}{3}$

237 Преобразуй выражение в дробь и, если возможно, сократи ее (значения всех переменных отличны от нуля):

1) $\frac{3}{a} - \frac{b}{2a}$;

2) $\frac{c}{2d} + \frac{1}{cd}$;

3) $\frac{4}{x^2} + \frac{y}{2x}$;

4) $\frac{2b}{n} - 3$;

5) $\frac{a}{4b^2} \cdot \frac{2b}{a}$;

6) $\frac{3xy}{k} : \frac{6x^2}{7k}$;

7) $\frac{m}{3n} : (mn)$;

8) $\frac{m}{3n} \cdot (mn)$.

238 Найди методом перебора множество всех пар натуральных чисел x и y, удовлетворяющих уравнению:

1) $3x + y^2 = 19;$

2) $x^2 = 20 - y^2;$

3) $(x - 2y)(y + 2x) = 12.$

1) Дано уравнение $3x + y^2 = 19$, где $x$ и $y$ – натуральные числа (положительные целые числа).

Методом перебора найдем все подходящие пары $(x, y)$. Выразим $x$ из уравнения: $3x = 19 - y^2$.

Поскольку $x$ и $y$ – натуральные числа, $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Из $3x \ge 3$ следует, что $19 - y^2 \ge 3$, откуда $y^2 \le 16$.

Значит, возможные натуральные значения для $y$: 1, 2, 3, 4. Проверим каждое из них.

Также необходимо, чтобы $19 - y^2$ делилось на 3, так как $x$ должно быть целым числом.

- Если $y = 1$, то $3x = 19 - 1^2 = 18$. Отсюда $x = 6$. Пара $(6, 1)$ является решением.

- Если $y = 2$, то $3x = 19 - 2^2 = 19 - 4 = 15$. Отсюда $x = 5$. Пара $(5, 2)$ является решением.

- Если $y = 3$, то $3x = 19 - 3^2 = 19 - 9 = 10$. Число 10 не делится на 3, поэтому $x$ не будет целым числом.

- Если $y = 4$, то $3x = 19 - 4^2 = 19 - 16 = 3$. Отсюда $x = 1$. Пара $(1, 4)$ является решением.

При $y > 4$, $y^2 > 16$, и $19 - y^2$ будет меньше 3, что невозможно для натурального $x$.

Ответ: $\{(6, 1), (5, 2), (1, 4)\}$.

2) Дано уравнение $x^2 = 20 - y^2$, которое можно переписать в виде $x^2 + y^2 = 20$. Ищем натуральные решения $x$ и $y$.

Поскольку $x$ и $y$ – натуральные числа, $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Из уравнения следует, что $y^2 < 20$. Возможные натуральные значения для $y$: 1, 2, 3, 4 (так как $5^2 = 25 > 20$).

Будем перебирать значения $y$ и проверять, является ли соответствующее значение $x$ натуральным числом.

- Если $y = 1$, то $x^2 = 20 - 1^2 = 19$. $x = \sqrt{19}$, не является натуральным числом.

- Если $y = 2$, то $x^2 = 20 - 2^2 = 20 - 4 = 16$. $x = \sqrt{16} = 4$. Пара $(4, 2)$ является решением.

- Если $y = 3$, то $x^2 = 20 - 3^2 = 20 - 9 = 11$. $x = \sqrt{11}$, не является натуральным числом.

- Если $y = 4$, то $x^2 = 20 - 4^2 = 20 - 16 = 4$. $x = \sqrt{4} = 2$. Пара $(2, 4)$ является решением.

Из-за симметрии уравнения относительно $x$ и $y$ можно было бы перебирать значения $x$ и получить те же пары.

Ответ: $\{(4, 2), (2, 4)\}$.

3) Дано уравнение $(x - 2y)(y + 2x) = 12$. Ищем натуральные решения $x$ и $y$.

Оба множителя $(x - 2y)$ и $(y + 2x)$ должны быть целыми числами.

Поскольку $x \ge 1$ и $y \ge 1$, второй множитель $y + 2x \ge 1 + 2(1) = 3$.

Так как произведение равно положительному числу 12, а второй множитель положителен, то и первый множитель $(x - 2y)$ должен быть положительным. Отсюда следует $x - 2y > 0$, или $x > 2y$.

Рассмотрим все пары целых положительных множителей числа 12: $(1, 12)$, $(2, 6)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(6, 2)$, $(12, 1)$.

Учитывая, что второй множитель $y + 2x \ge 3$, проверим следующие системы уравнений:

- Случай 1: $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ y + 2x = 12 \end{cases}$. Из первого уравнения $x = 1 + 2y$. Подставляем во второе: $y + 2(1 + 2y) = 12 \Rightarrow y + 2 + 4y = 12 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y = 2$. Тогда $x = 1 + 2(2) = 5$. Пара $(5, 2)$ состоит из натуральных чисел. Проверяем условие $x > 2y$: $5 > 2(2)$, то есть $5 > 4$. Верно. Пара $(5, 2)$ является решением.

- Случай 2: $\begin{cases} x - 2y = 2 \\ y + 2x = 6 \end{cases}$. Из первого уравнения $x = 2 + 2y$. Подставляем во второе: $y + 2(2 + 2y) = 6 \Rightarrow y + 4 + 4y = 6 \Rightarrow 5y = 2 \Rightarrow y = 2/5$. Не является натуральным числом.

- Случай 3: $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ y + 2x = 4 \end{cases}$. Из первого уравнения $x = 3 + 2y$. Подставляем во второе: $y + 2(3 + 2y) = 4 \Rightarrow y + 6 + 4y = 4 \Rightarrow 5y = -2 \Rightarrow y = -2/5$. Не является натуральным числом.

- Случай 4: $\begin{cases} x - 2y = 4 \\ y + 2x = 3 \end{cases}$. Этот случай невозможен, так как мы установили, что $y + 2x \ge 3$. Здесь $y+2x=3$ возможно только при $y=1, x=1$, но тогда $x-2y = 1-2(1)=-1 \ne 4$. Решим систему: из первого уравнения $x = 4 + 2y$. Подставляем во второе: $y + 2(4 + 2y) = 3 \Rightarrow y + 8 + 4y = 3 \Rightarrow 5y = -5 \Rightarrow y = -1$. Не является натуральным числом.

Единственная пара, удовлетворяющая условиям, – это $(5, 2)$.

Ответ: $\{(5, 2)\}$.

238 Найди методом перебора множество всех пар натуральных чисел $x$ и $y$,

удовлетворяющих уравнению:

1) $3x + y^2 = 19;$

2) $x^2 = 20 - y^2;$

3) $(x - 2y)(y + 2x) = 12.$

237 Раздели число:

а) 60 в отношении $5 : 7$;

б) 15,4 в отношении $3 : 8$;

в) 210 в отношении $1 : 2 : 3$;

г) 0,32 в отношении $2 : 5 : 9$.

Чтобы разделить число на части в заданном отношении, необходимо сначала найти сумму всех частей отношения. Затем, разделив исходное число на эту сумму, мы найдем, какая величина приходится на одну часть. Наконец, умножив эту величину на каждое из чисел в отношении, мы получим искомые числа.

а) Разделим число 60 в отношении 5 : 7.

1. Найдем общее количество частей в отношении:

$5 + 7 = 12$ (частей)

2. Определим, какая величина приходится на одну часть, разделив исходное число на количество частей:

$60 / 12 = 5$

3. Найдем искомые числа, умножив значение одной части на соответствующее количество частей:

Первое число: $5 \times 5 = 25$

Второе число: $7 \times 5 = 35$

Проверка: $25 + 35 = 60$.

Ответ: 25 и 35.

б) Разделим число 15,4 в отношении 3 : 8.

1. Найдем общее количество частей:

$3 + 8 = 11$ (частей)

2. Найдем значение одной части:

$15,4 / 11 = 1,4$

3. Вычислим искомые числа:

Первое число: $3 \times 1,4 = 4,2$

Второе число: $8 \times 1,4 = 11,2$

Проверка: $4,2 + 11,2 = 15,4$.

Ответ: 4,2 и 11,2.

в) Разделим число 210 в отношении 1 : 2 : 3.

1. Найдем сумму частей отношения:

$1 + 2 + 3 = 6$ (частей)

2. Определим, какая величина приходится на одну часть:

$210 / 6 = 35$

3. Найдем искомые числа:

Первое число: $1 \times 35 = 35$

Второе число: $2 \times 35 = 70$

Третье число: $3 \times 35 = 105$

Проверка: $35 + 70 + 105 = 210$.

Ответ: 35, 70 и 105.

г) Разделим число 0,32 в отношении 2 : 5 : 9.

1. Найдем общее количество частей:

$2 + 5 + 9 = 16$ (частей)

2. Найдем значение одной части:

$0,32 / 16 = 0,02$

3. Вычислим искомые числа:

Первое число: $2 \times 0,02 = 0,04$

Второе число: $5 \times 0,02 = 0,1$

Третье число: $9 \times 0,02 = 0,18$

Проверка: $0,04 + 0,1 + 0,18 = 0,32$.

Ответ: 0,04, 0,1 и 0,18.

К 237 Раздели число:

а) 60 в отношении $5 : 7$;

б) 15,4 в отношении $3 : 8$;

в) 210 в отношении $1 : 2 : 3$;

г) 0,32 в отношении $2 : 5 : 9$.

238 Упрости отношения:

а) $2,5 : 4,5;$

б) $\frac{2}{7} : 5;$

в) $2 : 4 : 12;$

г) $5 : 35 : 45;$

д) $0,2 : 0,4 : 0,5;$

е) $\frac{1}{9} : \frac{2}{9} : \frac{8}{9};$

ж) $\frac{1}{3} : \frac{1}{2} : 1;$

з) $\frac{1}{6} : 0,2 : \frac{2}{15}. $

а) Чтобы упростить отношение $2,5 : 4,5$, нужно избавиться от десятичных дробей. Для этого умножим обе части отношения на 10.
$2,5 \times 10 = 25$
$4,5 \times 10 = 45$
Получаем отношение $25 : 45$. Теперь сократим его, разделив обе части на их наибольший общий делитель (НОД). НОД для 25 и 45 равен 5.
$25 \div 5 = 5$
$45 \div 5 = 9$
В результате получаем отношение $5 : 9$.
Ответ: $5 : 9$.

б) В отношении $\frac{2}{7} : 5$ один член является дробью, а другой — целым числом. Чтобы упростить такое отношение, умножим обе его части на знаменатель дроби, то есть на 7.
$\frac{2}{7} \times 7 = 2$
$5 \times 7 = 35$
Получаем отношение $2 : 35$. Числа 2 и 35 являются взаимно простыми, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $2 : 35$.

в) Чтобы упростить отношение $2 : 4 : 12$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его членов. НОД(2, 4, 12) равен 2. Разделим каждый член отношения на 2.
$2 \div 2 = 1$
$4 \div 2 = 2$
$12 \div 2 = 6$
Упрощенное отношение: $1 : 2 : 6$.
Ответ: $1 : 2 : 6$.

г) Для упрощения отношения $5 : 35 : 45$ найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 5, 35 и 45. Все эти числа делятся на 5, поэтому НОД(5, 35, 45) = 5. Разделим каждый член отношения на 5.
$5 \div 5 = 1$
$35 \div 5 = 7$
$45 \div 5 = 9$
Упрощенное отношение: $1 : 7 : 9$.
Ответ: $1 : 7 : 9$.

д) В отношении $0,2 : 0,4 : 0,5$ все члены являются десятичными дробями. Умножим каждый член на 10, чтобы избавиться от запятой.
$0,2 \times 10 = 2$
$0,4 \times 10 = 4$
$0,5 \times 10 = 5$
Получаем отношение $2 : 4 : 5$. Наибольший общий делитель для чисел 2, 4 и 5 равен 1, следовательно, это отношение является простейшим.
Ответ: $2 : 4 : 5$.

е) В отношении $\frac{1}{9} : \frac{2}{9} : \frac{8}{9}$ все члены имеют общий знаменатель 9. Чтобы избавиться от дробей, умножим каждый член отношения на 9.
$\frac{1}{9} \times 9 = 1$
$\frac{2}{9} \times 9 = 2$
$\frac{8}{9} \times 9 = 8$
Получаем отношение $1 : 2 : 8$. Это отношение не может быть упрощено дальше.
Ответ: $1 : 2 : 8$.

ж) Чтобы упростить отношение $\frac{1}{3} : \frac{1}{2} : 1$, нужно избавиться от дробей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей (3 и 2), которое равно 6. Умножим каждый член отношения на 6.
$\frac{1}{3} \times 6 = 2$
$\frac{1}{2} \times 6 = 3$
$1 \times 6 = 6$
Получаем отношение $2 : 3 : 6$.
Ответ: $2 : 3 : 6$.

з) В отношении $\frac{1}{6} : 0,2 : \frac{2}{15}$ есть разные типы чисел. Сначала приведем все к одному виду — к обыкновенным дробям. $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Отношение принимает вид: $\frac{1}{6} : \frac{1}{5} : \frac{2}{15}$.
Чтобы избавиться от дробей, найдем НОК знаменателей 6, 5 и 15. НОК(6, 5, 15) = 30. Умножим каждый член отношения на 30.
$\frac{1}{6} \times 30 = 5$
$\frac{1}{5} \times 30 = 6$
$\frac{2}{15} \times 30 = 4$
Получаем упрощенное отношение $5 : 6 : 4$.
Ответ: $5 : 6 : 4$.

238 Упрости отношения:

а) $2,5 : 4,5$;

б) $\frac{2}{7} : 5$;

в) $2 : 4 : 12$;

г) $5 : 35 : 45$;

д) $0,2 : 0,4 : 0,5$;

е) $\frac{1}{9} : \frac{2}{9} : \frac{8}{9}$;

ж) $\frac{1}{3} : \frac{1}{2} : 1$;

з) $\frac{1}{6} : 0,2 : \frac{2}{15}$.

239 Раздели число:

а) 39 в отношении 0,25 : 6,25;

б) 8,4 в отношении $5\frac{1}{9} : 1\frac{2}{3}$;

в) 216 в отношении 0,3 : $\frac{3}{14}$;

г) 330 в отношении 0,6 : 0,9 : 1,8;

д) $5\frac{2}{3}$ в отношении $\frac{3}{4} : 2 : 1,5$;

е) 250 в отношении $\frac{7}{12} : 2,5 : \frac{1}{4} : \frac{5}{6}$.

а)

Чтобы разделить число 39 в отношении $0,25 : 6,25$, выполним следующие действия:

1. Для удобства вычислений упростим отношение, избавившись от десятичных дробей. Умножим обе части отношения на 100:

$0,25 \cdot 100 : 6,25 \cdot 100 = 25 : 625$

2. Сократим полученное отношение, разделив обе части на их наибольший общий делитель, который равен 25:

$25 \div 25 : 625 \div 25 = 1 : 25$

3. Найдем сумму частей отношения: $S = 1 + 25 = 26$.

4. Определим, какая величина приходится на одну часть. Для этого разделим число на сумму частей (найдем коэффициент пропорциональности $k$):

$k = \frac{39}{26} = \frac{3}{2} = 1,5$

5. Найдем искомые числа, умножив каждую часть упрощенного отношения на коэффициент пропорциональности:

Первое число: $1 \cdot 1,5 = 1,5$.

Второе число: $25 \cdot 1,5 = 37,5$.

Проверка: $1,5 + 37,5 = 39$.

Ответ: 1,5 и 37,5.

б)

Чтобы разделить число 8,4 в отношении $ \frac{5}{9} : 1\frac{2}{3} $, выполним следующие действия:

1. Преобразуем отношение, чтобы работать с целыми числами. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Отношение принимает вид: $\frac{5}{9} : \frac{5}{3}$.

2. Умножим обе части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей (9 и 3), то есть на 9:

$\frac{5}{9} \cdot 9 : \frac{5}{3} \cdot 9 = 5 : 15$

3. Сократим полученное отношение, разделив обе части на 5:

$5 \div 5 : 15 \div 5 = 1 : 3$

4. Найдем сумму частей отношения: $S = 1 + 3 = 4$.

5. Вычислим коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{8,4}{4} = 2,1$

6. Найдем искомые числа:

Первое число: $1 \cdot 2,1 = 2,1$.

Второе число: $3 \cdot 2,1 = 6,3$.

Проверка: $2,1 + 6,3 = 8,4$.

Ответ: 2,1 и 6,3.

в)

Чтобы разделить число 216 в отношении $0,3 : \frac{3}{14}$, выполним следующие действия:

1. Преобразуем отношение, представив десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,3 = \frac{3}{10}$

Отношение принимает вид: $\frac{3}{10} : \frac{3}{14}$.

2. Чтобы получить отношение целых чисел, умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (10 и 14), которое равно 70:

$\frac{3}{10} \cdot 70 : \frac{3}{14} \cdot 70 = (3 \cdot 7) : (3 \cdot 5) = 21 : 15$

3. Сократим полученное отношение, разделив обе части на 3:

$21 \div 3 : 15 \div 3 = 7 : 5$

4. Найдем сумму частей отношения: $S = 7 + 5 = 12$.

5. Вычислим коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{216}{12} = 18$

6. Найдем искомые числа:

Первое число: $7 \cdot 18 = 126$.

Второе число: $5 \cdot 18 = 90$.

Проверка: $126 + 90 = 216$.

Ответ: 126 и 90.

г)

Чтобы разделить число 330 в отношении $0,6 : 0,9 : 1,8$, выполним следующие действия:

1. Упростим отношение, умножив все его части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$0,6 \cdot 10 : 0,9 \cdot 10 : 1,8 \cdot 10 = 6 : 9 : 18$

2. Сократим полученное отношение, разделив все части на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$6 \div 3 : 9 \div 3 : 18 \div 3 = 2 : 3 : 6$

3. Найдем сумму частей отношения: $S = 2 + 3 + 6 = 11$.

4. Вычислим коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{330}{11} = 30$

5. Найдем искомые числа:

Первое число: $2 \cdot 30 = 60$.

Второе число: $3 \cdot 30 = 90$.

Третье число: $6 \cdot 30 = 180$.

Проверка: $60 + 90 + 180 = 330$.

Ответ: 60, 90 и 180.

д)

Чтобы разделить число $5\frac{2}{3}$ в отношении $\frac{3}{4} : 2 : 1,5$, выполним следующие действия:

1. Преобразуем число для деления и члены отношения. Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$

2. Представим все члены отношения в виде обыкновенных дробей:

$\frac{3}{4} : \frac{2}{1} : \frac{15}{10} = \frac{3}{4} : \frac{2}{1} : \frac{3}{2}$

3. Приведем отношение к целым числам, умножив все части на наименьшее общее кратное знаменателей (4, 1, 2), то есть на 4:

$\frac{3}{4} \cdot 4 : \frac{2}{1} \cdot 4 : \frac{3}{2} \cdot 4 = 3 : 8 : 6$

4. Найдем сумму частей отношения: $S = 3 + 8 + 6 = 17$.

5. Вычислим коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{17/3}{17} = \frac{17}{3 \cdot 17} = \frac{1}{3}$

6. Найдем искомые числа:

Первое число: $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

Второе число: $8 \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.

Третье число: $6 \cdot \frac{1}{3} = 2$.

Проверка: $1 + 2\frac{2}{3} + 2 = 5\frac{2}{3}$.

Ответ: 1, $2\frac{2}{3}$ и 2.

е)

Чтобы разделить число 250 в отношении $\frac{7}{12} : 2,5 : \frac{1}{4} : \frac{5}{6}$, выполним следующие действия:

1. Представим все члены отношения в виде обыкновенных дробей:

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

Отношение принимает вид: $\frac{7}{12} : \frac{5}{2} : \frac{1}{4} : \frac{5}{6}$.

2. Приведем отношение к целым числам, умножив все части на наименьшее общее кратное знаменателей (12, 2, 4, 6), которое равно 12:

$\frac{7}{12} \cdot 12 : \frac{5}{2} \cdot 12 : \frac{1}{4} \cdot 12 : \frac{5}{6} \cdot 12 = 7 : 30 : 3 : 10$

3. Найдем сумму частей отношения: $S = 7 + 30 + 3 + 10 = 50$.

4. Вычислим коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{250}{50} = 5$

5. Найдем искомые числа:

Первое число: $7 \cdot 5 = 35$.

Второе число: $30 \cdot 5 = 150$.

Третье число: $3 \cdot 5 = 15$.

Четвертое число: $10 \cdot 5 = 50$.

Проверка: $35 + 150 + 15 + 50 = 250$.

Ответ: 35, 150, 15 и 50.

239 Раздели число:

а) 39 в отношении 0,25 : 6,25;

б) 8,4 в отношении $\frac{5}{9} : 1\frac{2}{3}$;

в) 216 в отношении $0,3 : \frac{3}{14}$;

г) 330 в отношении 0,6 : 0,9 : 1,8;

д) $5\frac{2}{3}$ в отношении $\frac{3}{4} : 2 : 1,5$;

е) 250 в отношении $\frac{7}{12} : 2,5 : \frac{1}{4} : \frac{5}{6}$.

240 В ателье поступил заказ на пошив 120 школьных форм. Его передали двум бригадам, в одной из которых 8 человек, а в другой – 7. Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада при пропорциональном распределении заказа между работниками?

Для решения задачи необходимо распределить общее количество школьных форм (120 штук) пропорционально количеству работников в каждой бригаде. Сначала найдем общее количество работников.

1. Найдем общее количество работников в двух бригадах:
$8 + 7 = 15$ (работников)

2. Теперь определим, сколько школьных форм приходится на одного работника, если заказ распределяется поровну между всеми. Для этого общее количество форм разделим на общее количество работников:
$120 / 15 = 8$ (форм на одного работника)

3. Рассчитаем, сколько форм должна сшить первая бригада, в которой 8 человек. Для этого умножим количество работников в бригаде на количество форм, приходящихся на одного работника:
$8 * 8 = 64$ (формы)

4. Аналогично рассчитаем количество форм для второй бригады, в которой 7 человек:
$7 * 8 = 56$ (форм)

5. Проверим, совпадает ли сумма сшитых форм с общим заказом:
$64 + 56 = 120$ (форм).
Расчеты верны.

Ответ: первая бригада должна сшить 64 школьные формы, а вторая бригада – 56 школьных форм.

240 В ателье поступил заказ на пошив 120 школьных форм. Его передали двум бригадам, в одной из которых 8 человек, а в другой – 7. Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада при пропорциональном распределении заказа между работниками?

241 За компьютерный набор рукописи два оператора получили 3500 р. Один из них набрал 105 страниц данной рукописи, а другой – остальные 35. Какая сумма денег была выплачена за эту работу каждому оператору, если стоимость страницы набора была постоянна?

Для того чтобы определить, какую сумму получил каждый оператор, необходимо сначала найти общую выполненную работу (общее количество набранных страниц), а затем вычислить стоимость набора одной страницы.

1. Найдем общее количество страниц, которое набрали оба оператора, сложив количество страниц, набранных каждым из них:

$105 + 35 = 140$ страниц.

2. Теперь, зная общее количество страниц (140) и общую сумму вознаграждения (3500 р.), мы можем рассчитать стоимость набора одной страницы. Для этого разделим общую сумму на общее количество страниц:

$3500 \text{ р.} \div 140 \text{ страниц} = 25 \text{ р./страницу}$.

3. Зная стоимость одной страницы, мы можем вычислить, сколько денег получил каждый оператор, умножив количество набранных им страниц на стоимость одной страницы.

Сумма, которую получил первый оператор, набравший 105 страниц:

$105 \text{ страниц} \times 25 \text{ р./страницу} = 2625 \text{ рублей}$.

Сумма, которую получил второй оператор, набравший 35 страниц:

$35 \text{ страниц} \times 25 \text{ р./страницу} = 875 \text{ рублей}$.

Для проверки можно сложить полученные суммы: $2625 + 875 = 3500$ рублей, что соответствует исходной общей сумме.

Ответ: первый оператор получил 2625 рублей, а второй оператор получил 875 рублей.

241 За компьютерный набор рукописи два оператора получили 3500 р. Один из них набрал 105 страниц данной рукописи, а другой – остальные 35. Какая сумма денег была выплачена за эту работу каждому оператору, если стоимость страницы набора была постоянна?

242 Отрезок $AB$ разделён точкой $C$ в отношении $2:5$, причём одна из частей отрезка на 6 см больше другой. Найди длину каждой части.

Пусть отрезок AB разделен точкой C на две части: AC и CB.

Согласно условию, отношение длин этих частей составляет $2:5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длина меньшей части отрезка будет равна $2x$ см, а длина большей части — $5x$ см.

Также по условию известно, что одна из частей на 6 см больше другой. Так как $5x > 2x$, то большей частью является та, длина которой равна $5x$. Составим уравнение, выражающее разницу между длинами частей:

$5x - 2x = 6$

Решим это уравнение:

$3x = 6$

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Теперь, зная значение коэффициента $x$, можем найти длины каждой из частей отрезка:

Длина меньшей части: $2x = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Длина большей части: $5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Проверим: отношение длин $4:10$ равно $2:5$, а разница между длинами $10 - 4 = 6$ см. Условия задачи выполнены.

Ответ: длины частей отрезка равны 4 см и 10 см.

242 Отрезок $AB$ разделен точкой $C$ в отношении $2 : 5$, причем одна из частей отрезка на 6 см больше другой. Найди длину каждой части.

243 Отрезок $MN$ разделён точками $K$ и $T$ в отношении $1 : 2 : 3$, причём самая маленькая из частей отрезка на 5 дм меньше самой большой. Чему равна длина всего отрезка?

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда, согласно отношению $1:2:3$, длины трех частей, на которые разделен отрезок MN, равны $x$, $2x$ и $3x$.

Наименьшая часть имеет длину $x$, а наибольшая — $3x$. По условию задачи, разница между их длинами составляет 5 дм. Составим и решим уравнение:

$3x - x = 5$

$2x = 5$

$x = \frac{5}{2} = 2.5$ дм

Таким образом, одна "часть" в указанном соотношении равна 2.5 дм.

Длина всего отрезка MN равна сумме длин всех его частей. Суммарное количество частей в соотношении равно $1 + 2 + 3 = 6$.

Найдем общую длину отрезка, умножив количество частей на длину одной части:

$L_{MN} = 6 \cdot x = 6 \cdot 2.5 = 15$ дм

Также можно найти длины каждой части и сложить их:
Первая часть: $1 \cdot 2.5 = 2.5$ дм
Вторая часть: $2 \cdot 2.5 = 5$ дм
Третья часть: $3 \cdot 2.5 = 7.5$ дм
Общая длина: $2.5 + 5 + 7.5 = 15$ дм

Ответ: 15 дм.

243 Отрезок $MN$ разделен точками $K$ и $T$ в отношении $1 : 2 : 3$, причем самая маленькая из частей отрезка на 5 дм меньше самой большой. Чему равна длина всего отрезка?

244 Периметр треугольника равен 150 м. Чему равны длины его сторон, если их отношение равно $3:3:4$?

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их отношение равно $3 : 3 : 4$. Это означает, что длины сторон можно выразить через некий коэффициент пропорциональности $x$:
$a = 3x$
$b = 3x$
$c = 4x$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c$. По условию, периметр равен 150 м. Составим и решим уравнение, подставив выражения для сторон:
$3x + 3x + 4x = 150$

Сложим все части, содержащие $x$:
$10x = 150$

Теперь найдем значение коэффициента $x$:
$x = \frac{150}{10}$
$x = 15$

Зная коэффициент пропорциональности, мы можем вычислить длины каждой стороны треугольника:
Первая сторона: $a = 3x = 3 \cdot 15 = 45$ м.
Вторая сторона: $b = 3x = 3 \cdot 15 = 45$ м.
Третья сторона: $c = 4x = 4 \cdot 15 = 60$ м.

Проверка: $45 + 45 + 60 = 150$ м.

Ответ: длины сторон треугольника равны 45 м, 45 м и 60 м.

244 Периметр треугольника равен 150 м. Чему равны длины его сторон, если их отношение равно $3 : 3 : 4$?

245 Длины сторон четырёхугольника пропорциональны числам 2, 5, 3 и 7, а его большая сторона на 30 см превышает меньшую. Чему равен периметр четырёхугольника?

Пусть $x$ (в см) — коэффициент пропорциональности. Тогда длины сторон четырёхугольника равны $2x$, $3x$, $5x$ и $7x$.

Наименьшая сторона четырёхугольника равна $2x$, а наибольшая — $7x$. По условию задачи, разность между наибольшей и наименьшей сторонами составляет 30 см. Составим и решим уравнение:
$7x - 2x = 30$
$5x = 30$
$x = \frac{30}{5}$
$x = 6$

Таким образом, коэффициент пропорциональности равен 6.

Периметр четырёхугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Найдём его, используя найденный коэффициент:
$P = 2x + 3x + 5x + 7x = (2+3+5+7)x = 17x$
Подставим значение $x = 6$:
$P = 17 \cdot 6 = 102$ см.

Ответ: 102 см.

245 Длины сторон четырехугольника пропорциональны числам 2, 5, 3 и 7, а его большая сторона на 30 см превышает меньшую. Чему равен периметр четырехугольника?

246 Для праздника купили красные и белые шары в отношении $5 : 3$.

1) Чему равно отношение числа красных шаров к числу всех шаров?

2) Чему равно отношение числа белых шаров к числу всех шаров?

3) Сколько процентов всех шаров составляют красные, а сколько – белые шары?

Отношение красных шаров к белым составляет $5 : 3$. Это значит, что на каждые 5 частей красных шаров приходится 3 части белых шаров.

Найдем общее количество частей, на которые можно разделить все шары: $5 + 3 = 8$ (частей).

1) Чему равно отношение числа красных шаров к числу всех шаров?

Красные шары составляют 5 частей из 8. Следовательно, их отношение к общему числу шаров равно $5 : 8$ или в виде дроби $\frac{5}{8}$.
Ответ: $5 : 8$.

2) Чему равно отношение числа белых шаров к числу всех шаров?

Белые шары составляют 3 части из 8. Следовательно, их отношение к общему числу шаров равно $3 : 8$ или в виде дроби $\frac{3}{8}$.
Ответ: $3 : 8$.

3) Сколько процентов всех шаров составляют красные, а сколько – белые шары?

Чтобы найти процентное содержание, нужно отношение (дробь) умножить на 100%.
Процент красных шаров: $\frac{5}{8} \cdot 100\% = \frac{500}{8}\% = 62,5\%$.
Процент белых шаров: $\frac{3}{8} \cdot 100\% = \frac{300}{8}\% = 37,5\%$.
Ответ: красные шары составляют 62,5%, а белые – 37,5%.

246 Для праздника купили красные и белые шары в отношении $5 : 3$.

1) Чему равно отношение числа красных шаров к числу всех шаров?

2) Чему равно отношение числа белых шаров к числу всех шаров?

3) Сколько процентов всех шаров составляют красные, а сколько – белые шары?

264 Придумай высказывание с союзом «если..., то...» и построй для него обратное.

Как объединить эти два высказывания в одно предложение?

Придумай высказывание с союзом «если..., то...» и построй для него обратное.

Высказывание с союзом «если..., то...» называется условным утверждением. Оно имеет форму «Если А, то Б», где А — это условие (посылка), а Б — заключение (следствие). В символической логике это записывается как $A \implies B$.

Приведем пример такого высказывания, которое является истинным:

Исходное высказывание: «Если треугольник является равносторонним, то все его углы равны $60^\circ$».

Здесь условие (А): «треугольник является равносторонним», а заключение (Б): «все его углы равны $60^\circ$».

Обратное высказывание строится путем замены условия и заключения местами. Его форма: «Если Б, то А», или $B \implies A$.

Обратное высказывание для нашего примера:

«Если все углы треугольника равны $60^\circ$, то он является равносторонним».

В данном случае обратное высказывание также является истинным.

Ответ: Исходное высказывание: «Если треугольник является равносторонним, то все его углы равны $60^\circ$». Обратное высказывание: «Если все углы треугольника равны $60^\circ$, то он является равносторонним».

Как объединить эти два высказывания в одно предложение?

Если и прямое утверждение ($A \implies B$), и обратное ему ($B \implies A$) являются истинными, их можно объединить в одно равносильное высказывание. Такое высказывание означает, что условия А и Б либо оба верны, либо оба неверны. В логике это называется эквиваленцией и обозначается символом $A \iff B$.

Для объединения в русском языке используются специальные речевые обороты, например:

• «... тогда и только тогда, когда ...»
• «... в том и только в том случае, если ...»
• «Для того чтобы ..., необходимо и достаточно ...»

Применив один из этих оборотов к нашему примеру, мы получим объединенное предложение:

«Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны $60^\circ$».

Это предложение утверждает, что оба признака (равенство всех сторон и равенство всех углов $60^\circ$) для треугольника всегда выполняются вместе.

Ответ: Если оба высказывания (прямое и обратное) истинны, их можно объединить в одно предложение с помощью речевого оборота «тогда и только тогда, когда». Например: «Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны $60^\circ$».

264 Придумай высказывание с союзом «если..., то...» и построй для него обратное.
Как объединить эти два высказывания в одно предложение?

П 265 Вычисли и запиши следующее число в ряду ответов, сохраняя закономерность.

a) $0,24 : (-0,04)$

б) $-0,8 - 0,7$

в) $-1 : (-9)$

$-30 \cdot (-0,16)$

$-2\frac{1}{3} \cdot 0,9$

$\frac{5}{18} - 0,5$

1,4 - 5

0,56 : (-0,2)

1,2 : 2,7

$-1\frac{4}{5} + 4,2$

$-7,2 \cdot \frac{1}{2}$

$-1 + \frac{1}{9}$

а)

Сначала вычислим значения каждого выражения, чтобы получить ряд чисел.

1. $0,24 : (-0,04) = -(24:4) = -6$
2. $-30 \cdot (-0,16) = 30 \cdot 0,16 = 4,8$
3. $1,4 - 5 = -3,6$
4. $-1\frac{4}{5} + 4,2 = -1,8 + 4,2 = 2,4$

Получился следующий ряд ответов: $-6; 4,8; -3,6; 2,4$.

Чтобы найти закономерность, проанализируем этот ряд. Мы видим, что знаки членов ряда чередуются (минус, плюс, минус, плюс). Рассмотрим абсолютные значения (модули) этих чисел: $6; 4,8; 3,6; 2,4$.

Найдем разность между соседними членами в ряду модулей:

$6 - 4,8 = 1,2$

$4,8 - 3,6 = 1,2$

$3,6 - 2,4 = 1,2$

Ряд модулей представляет собой арифметическую прогрессию, каждый следующий член которой на $1,2$ меньше предыдущего. Следовательно, следующий модуль в ряду будет: $2,4 - 1,2 = 1,2$.

Так как знаки в исходном ряду чередуются и последний член ($2,4$) был положительным, следующий должен быть отрицательным. Значит, следующее число в ряду ответов равно $-1,2$.

Ответ: $-1,2$.

б)

Вычислим значения выражений:

1. $-0,8 - 0,7 = -1,5$
2. $-2\frac{1}{3} \cdot 0,9 = -\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{10} = -\frac{7 \cdot 3}{10} = -\frac{21}{10} = -2,1$
3. $0,56 : (-0,2) = - (5,6 : 2) = -2,8$
4. $-7,2 \cdot \frac{1}{2} = -3,6$

Получили ряд чисел: $-1,5; -2,1; -2,8; -3,6$.

Найдем разности между соседними членами ряда (первые разности):

$-2,1 - (-1,5) = -2,1 + 1,5 = -0,6$

$-2,8 - (-2,1) = -2,8 + 2,1 = -0,7$

$-3,6 - (-2,8) = -3,6 + 2,8 = -0,8$

Полученные разности ($-0,6; -0,7; -0,8$) сами образуют арифметическую прогрессию, разность которой (вторая разность исходного ряда) равна $-0,1$.

Следующая первая разность будет равна $-0,8 + (-0,1) = -0,9$.

Чтобы найти следующее число в исходном ряду, нужно к последнему известному члену прибавить следующую разность:

$-3,6 + (-0,9) = -4,5$.

Ответ: $-4,5$.

в)

Вычислим значения выражений:

1. $-1 : (-9) = \frac{1}{9}$
2. $\frac{5}{18} - 0,5 = \frac{5}{18} - \frac{1}{2} = \frac{5}{18} - \frac{9}{18} = -\frac{4}{18} = -\frac{2}{9}$
3. $1,2 : 2,7 = \frac{12}{10} : \frac{27}{10} = \frac{12}{10} \cdot \frac{10}{27} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$
4. $-1 + \frac{1}{9} = -\frac{9}{9} + \frac{1}{9} = -\frac{8}{9}$

Получили ряд чисел: $\frac{1}{9}; -\frac{2}{9}; \frac{4}{9}; -\frac{8}{9}$.

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию. Найдем ее знаменатель $q$, разделив второй член на первый:

$q = \left(-\frac{2}{9}\right) : \left(\frac{1}{9}\right) = -\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{1} = -2$

Проверим, сохраняется ли эта закономерность для остальных членов:

$\left(-\frac{2}{9}\right) \cdot (-2) = \frac{4}{9}$ (верно)

$\left(\frac{4}{9}\right) \cdot (-2) = -\frac{8}{9}$ (верно)

Закономерность подтвердилась. Чтобы найти следующее число в ряду, нужно последний член умножить на знаменатель прогрессии $q = -2$:

$\left(-\frac{8}{9}\right) \cdot (-2) = \frac{16}{9}$.

Ответ: $\frac{16}{9}$.

П 265 Вычисли и запиши следующее число в ряду ответов, сохраняя закономерность:

a) $0.24 : (-0.04)$

$-30 \cdot (-0.16)$

$1.4 - 5$

$-1\frac{4}{5} + 4.2$

б) $-0.8 - 0.7$

$-2\frac{1}{3} \cdot 0.9$

$0.56 : (-0.2)$

$-7.2 \cdot \frac{1}{2}$

в) $-1 : (-9)$

$\frac{5}{18} - 0.5$

$1.2 : 2.7$

$-1 + \frac{1}{9}$

266 1) Увеличь число $x$:

а) на 3;

б) в 4 раза;

в) на треть;

г) на $160 \%$ .

2) Уменьши число $y$:

а) на 2;

б) в 5 раз;

в) на четверть;

г) на $30 \%$ .

1) Увеличить число x:

а) на 3

Чтобы увеличить число $x$ на 3, необходимо выполнить операцию сложения.

Ответ: $x + 3$

б) в 4 раза

Чтобы увеличить число $x$ в 4 раза, необходимо выполнить операцию умножения.

Ответ: $4x$

в) на треть

Увеличить число $x$ на треть означает прибавить к $x$ одну треть от этого же числа, то есть $\frac{1}{3}x$. В результате получаем: $x + \frac{1}{3}x = (1 + \frac{1}{3})x = \frac{4}{3}x$.

Ответ: $\frac{4}{3}x$

г) на 160 %

Увеличение числа на $p$ процентов эквивалентно его умножению на коэффициент $(1 + \frac{p}{100})$. В данном случае $p = 160$, поэтому получаем: $x \cdot (1 + \frac{160}{100}) = x \cdot (1 + 1.6) = 2.6x$.

Ответ: $2.6x$

2) Уменьшить число y:

а) на 2

Чтобы уменьшить число $y$ на 2, необходимо выполнить операцию вычитания.

Ответ: $y - 2$

б) в 5 раз

Чтобы уменьшить число $y$ в 5 раз, необходимо выполнить операцию деления.

Ответ: $\frac{y}{5}$

в) на четверть

Уменьшить число $y$ на четверть означает вычесть из $y$ одну четверть от этого же числа, то есть $\frac{1}{4}y$. В результате получаем: $y - \frac{1}{4}y = (1 - \frac{1}{4})y = \frac{3}{4}y$.

Ответ: $\frac{3}{4}y$

г) на 30 %

Уменьшение числа на $p$ процентов эквивалентно его умножению на коэффициент $(1 - \frac{p}{100})$. В данном случае $p = 30$, поэтому получаем: $y \cdot (1 - \frac{30}{100}) = y \cdot (1 - 0.3) = 0.7y$.

Ответ: $0.7y$

266 1) Увеличь число $x$:
а) на 3;
б) в 4 раза;
в) на треть;
г) на 160%.

2) Уменьши число $y$:
а) на 2;
б) в 5 раз;
в) на четверть;
г) на 30%.

267 Найди:

а) $\frac{4}{7}$ от 0,35;

б) 0,08 от 12;

в) 25 % от 5,6;

г) 70 % от $a$;

д) число, $\frac{2}{3}$ которого равны 1,8;

е) число, 0,9 которого равны 72;

ж) число, 2 % которого равны 0,64;

з) число, 40 % которого равны $b$.

а) Чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить это число на данную дробь. Для удобства вычислений представим десятичное число 0,35 в виде обыкновенной дроби: $0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$.
Теперь выполним умножение:
$\frac{4}{7} \cdot 0,35 = \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{20} = \frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Ответ: 0,2.

б) Чтобы найти часть от числа, выраженную десятичной дробью, нужно умножить это число на данную дробь.
$0,08 \cdot 12 = 0,96$.
Ответ: 0,96.

в) Чтобы найти процент от числа, нужно перевести проценты в десятичную дробь и умножить число на эту дробь. $25\% = \frac{25}{100} = 0,25$.
$5,6 \cdot 0,25 = 1,4$.
Ответ: 1,4.

г) Переведем проценты в десятичную дробь: $70\% = \frac{70}{100} = 0,7$.
Чтобы найти 70% от числа $a$, умножим $a$ на 0,7:
$a \cdot 0,7 = 0,7a$.
Ответ: 0,7a.

д) Чтобы найти число по его части, нужно значение этой части разделить на дробь, которая эту часть выражает. Если $\frac{2}{3}$ от искомого числа равны 1,8, то для нахождения всего числа необходимо 1,8 разделить на $\frac{2}{3}$.
$1,8 \div \frac{2}{3} = 1,8 \cdot \frac{3}{2} = \frac{1,8 \cdot 3}{2} = 0,9 \cdot 3 = 2,7$.
Ответ: 2,7.

е) Если 0,9 от некоторого числа равны 72, то для нахождения этого числа нужно 72 разделить на 0,9.
$72 \div 0,9 = 720 \div 9 = 80$.
Ответ: 80.

ж) Чтобы найти число по его процентам, нужно сначала перевести проценты в десятичную дробь, а затем разделить данное значение на эту дробь. $2\% = \frac{2}{100} = 0,02$.
Если 2% от числа равны 0,64, то для нахождения всего числа нужно 0,64 разделить на 0,02.
$0,64 \div 0,02 = 64 \div 2 = 32$.
Ответ: 32.

з) Переведем 40% в десятичную дробь: $40\% = \frac{40}{100} = 0,4$.
Если 40% от искомого числа равны $b$, то для нахождения этого числа нужно $b$ разделить на 0,4.
$b \div 0,4 = b \div \frac{4}{10} = b \cdot \frac{10}{4} = b \cdot 2,5 = 2,5b$.
Ответ: 2,5b.

267 Найди:

а) $ \frac{4}{7} $ от 0,35;

б) 0,08 от 12;

в) 25% от 5,6;

г) 70% от $a$;

д) число, $ \frac{2}{3} $ которого равны 1,8;

е) число, 0,9 которого равны 72;

ж) число, 2% которого равны 0,64;

з) число, 40% которого равны $b$.

268 БЛИЦтурнир

Составь выражения и упрости их.

a) Груши дороже яблок на 15 р., а яблоки дешевле винограда в 2 раза. На сколько груши дешевле винограда, если яблоки стоят $a$ р.?

б) Первый букет цветов стоит $b$ р., второй — на 40 \% дороже первого, а стоимость третьего составляет треть общей стоимости первого и второго букетов вместе. Сколько рублей надо заплатить за все три букета?

в) От куска ткани длиной $d$ м отрезали в первый раз 20 \% всей длины, во второй раз — 30 \% всей первоначальной длины, а в третий раз — на 5 м меньше, чем во второй раз. Сколько метров ткани осталось в куске?

г) В бидоне было $x$ л молока. Сначала из него отлили 25 \% всего молока, а потом 20 \% остатка. Сколько молока ещё осталось в бидоне?

а) Обозначим стоимость яблок, груш и винограда.
Стоимость яблок: $a$ р.
Груши дороже яблок на 15 р., следовательно, их стоимость составляет: $(a + 15)$ р.
Яблоки дешевле винограда в 2 раза, значит, виноград в 2 раза дороже яблок. Стоимость винограда: $2 \cdot a = 2a$ р.
Чтобы найти, на сколько груши дешевле винограда, нужно из стоимости винограда вычесть стоимость груш. Составим выражение:
$2a - (a + 15)$
Упростим его, раскрыв скобки:
$2a - a - 15 = a - 15$
Ответ: груши дешевле винограда на $(a - 15)$ р.

б) Найдем стоимость каждого букета и их общую стоимость.
Стоимость первого букета: $b$ р.
Второй букет на 40% дороже первого. Его стоимость составляет $100\% + 40\% = 140\%$ от стоимости первого. Выразим это в виде десятичной дроби: $1.4$.
Стоимость второго букета: $b \cdot 1.4 = 1.4b$ р.
Общая стоимость первого и второго букетов вместе: $b + 1.4b = 2.4b$ р.
Стоимость третьего букета составляет треть от общей стоимости первых двух: $\frac{1}{3} \cdot (2.4b) = 0.8b$ р.
Общая стоимость трех букетов равна сумме их стоимостей:
$b + 1.4b + 0.8b = (1 + 1.4 + 0.8)b = 3.2b$ р.
Ответ: за все три букета надо заплатить $3.2b$ р.

в) Определим, сколько ткани отрезали каждый раз и сколько осталось.
Первоначальная длина ткани: $d$ м.
В первый раз отрезали 20% от всей длины: $0.2d$ м.
Во второй раз отрезали 30% от первоначальной длины: $0.3d$ м.
В третий раз отрезали на 5 м меньше, чем во второй: $(0.3d - 5)$ м.
Общая длина отрезанной ткани: $0.2d + 0.3d + (0.3d - 5) = 0.8d - 5$ м.
Чтобы найти, сколько ткани осталось, вычтем из первоначальной длины общую длину отрезанных кусков:
$d - (0.8d - 5) = d - 0.8d + 5 = 0.2d + 5$ м.
Ответ: в куске осталось $(0.2d + 5)$ м ткани.

г) Посчитаем, сколько молока оставалось в бидоне после каждого действия.
Изначально было: $x$ л молока.
Сначала отлили 25% всего молока, значит, осталось $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначального объема:
$x \cdot 0.75 = 0.75x$ л.
Затем отлили 20% от остатка. Следовательно, в бидоне осталось $100\% - 20\% = 80\%$ от нового количества:
$0.75x \cdot 0.8 = 0.6x$ л.
Ответ: в бидоне ещё осталось $0.6x$ л молока.

268 БЛИЦтурнир.

Составь выражения и упрости их:

а) Груши дороже яблок на 15 р., а яблоки дешевле винограда в 2 раза. На сколько груши дешевле винограда, если яблоки стоят $a$ р.?

б) Первый букет цветов стоит $b$ р., второй — на 40% дороже первого, а стоимость третьего составляет треть общей стоимости первого и второго букетов вместе. Сколько рублей надо заплатить за все три букета?

в) От куска ткани длиной $d$ м отрезали в первый раз 20% всей длины, во второй раз – 30% всей первоначальной длины, а в третий раз – на 5 м меньше, чем во второй раз. Сколько метров ткани осталось в куске?

г) В бидоне было $x$ л молока. Сначала из него отлили 25% всего молока, а потом 20% остатка. Сколько молока еще осталось в бидоне?

269 1) Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) 18 и 21;

б) 28 и 245;

в) 16 и 160;

г) 27 и 100.

2) Чем интересны примеры (в) и (г)? Закончи предложения:

«Если число $a$ является делителем числа $b$, то $\text{НОД}(a, b) = \dots$, $\text{НОК}(a, b) = \dots$»;

«Если число $a$ кратно числу $b$, то $\text{НОД}(a, b) = \dots$, $\text{НОК}(a, b) = \dots$».

а) 18 и 21
Сначала разложим числа 18 и 21 на простые множители.
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
$21 = 3 \cdot 7$
Наибольший общий делитель (НОД) — это произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени. Общий множитель — 3. Таким образом:
НОД(18, 21) = 3.
Наименьшее общее кратное (НОК) — это произведение всех простых множителей, входящих в разложения, взятых с наибольшим показателем степени.
НОК(18, 21) = $2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$.
Ответ: разложение на множители: $18 = 2 \cdot 3^2$, $21 = 3 \cdot 7$; НОД(18, 21) = 3; НОК(18, 21) = 126.

б) 28 и 245
Разложим числа 28 и 245 на простые множители.
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$245 = 5 \cdot 49 = 5 \cdot 7^2$
Для нахождения НОД берем общие простые множители с наименьшим показателем. Общий множитель — 7.
НОД(28, 245) = 7.
Для нахождения НОК берем все простые множители из обоих разложений с наибольшим показателем.
НОК(28, 245) = $2^2 \cdot 5 \cdot 7^2 = 4 \cdot 5 \cdot 49 = 20 \cdot 49 = 980$.
Ответ: разложение на множители: $28 = 2^2 \cdot 7$, $245 = 5 \cdot 7^2$; НОД(28, 245) = 7; НОК(28, 245) = 980.

в) 16 и 160
Разложим числа 16 и 160 на простые множители.
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
$160 = 16 \cdot 10 = 2^4 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5$
Находим НОД. Общий множитель — 2, наименьший показатель — 4.
НОД(16, 160) = $2^4 = 16$.
Находим НОК. Множители — 2 и 5, наибольшие показатели — 5 и 1 соответственно.
НОК(16, 160) = $2^5 \cdot 5 = 32 \cdot 5 = 160$.
Ответ: разложение на множители: $16 = 2^4$, $160 = 2^5 \cdot 5$; НОД(16, 160) = 16; НОК(16, 160) = 160.

г) 27 и 100
Разложим числа 27 и 100 на простые множители.
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$
У чисел 27 и 100 нет общих простых множителей, следовательно, они взаимно простые. НОД взаимно простых чисел равен 1.
НОД(27, 100) = 1.
НОК взаимно простых чисел равен их произведению.
НОК(27, 100) = $27 \cdot 100 = 2700$.
Ответ: разложение на множители: $27 = 3^3$, $100 = 2^2 \cdot 5^2$; НОД(27, 100) = 1; НОК(27, 100) = 2700.

2) Чем интересны примеры (в) и (г)? Закончи предложения:
Примеры (в) и (г) иллюстрируют два особых случая при нахождении НОД и НОК.
В примере (в) одно число (16) является делителем другого (160). В такой ситуации НОД равен меньшему числу (делителю), а НОК — большему числу (кратному).
В примере (г) числа (27 и 100) являются взаимно простыми. В этом случае их НОД всегда равен 1, а НОК равен произведению этих чисел.

Основываясь на этих правилах, закончим предложения:
«Если число a является делителем числа b, то НОД(a, b) = a, НОК(a, b) = b»;
«Если число a кратно числу b, то НОД(a, b) = b, НОК(a, b) = a».
Ответ: В примере (в) одно число является делителем другого, а в примере (г) числа взаимно простые. «Если число a является делителем числа b, то НОД(a, b) = a, НОК(a, b) = b»; «Если число a кратно числу b, то НОД(a, b) = b, НОК(a, b) = a».

269 1) Разложи числа на простые множители и найди их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) 18 и 21; б) 28 и 245; в) 16 и 160; г) 27 и 100.

2) Чем интересны примеры (в) и (г)? Закончи предложения:

Если число $a$ является делителем числа $b$, то $\text{НОД}(a,b)=...$, $\text{НОК}(a,b)=...$

Если число $a$ кратно числу $b$, то $\text{НОД}(a,b)=...$, $\text{НОК}(a,b)=...$