Страница 64, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

266 В физике установлен следующий закон (закон Гука):

$F = kx$,

где F – сила упругости при растяжении (сжатии) упругого тела, k – коэффициент упругости этого тела, x – изменение его длины. Укажи вид зависимости между F и x при постоянном k. Вырази из этой формулы значения k и x.

Укажи вид зависимости между F и x при постоянном k

Закон Гука описывается формулой $F = kx$. В этой формуле коэффициент упругости $k$ является постоянной величиной для данного упругого тела. Формула имеет вид $y = ax$, где $y=F$, $x=x$ и $a=k$ (постоянный коэффициент). Такая зависимость называется прямой пропорциональностью.

Это означает, что сила упругости $F$ прямо пропорциональна изменению длины тела $x$. Во сколько раз увеличивается (уменьшается) изменение длины, во столько же раз увеличивается (уменьшается) и сила упругости. Графиком этой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат.

Ответ: прямая пропорциональность.

Вырази из этой формулы значения k и x

Чтобы выразить значение $k$ (коэффициент упругости) из исходной формулы $F = kx$, необходимо рассматривать $k$ как неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение ($F$) разделить на известный множитель ($x$). Для этого разделим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \ne 0$):

$\frac{F}{x} = \frac{kx}{x}$

$k = \frac{F}{x}$

Чтобы выразить значение $x$ (изменение длины) из формулы $F = kx$, нужно рассматривать $x$ как неизвестный множитель. Чтобы его найти, разделим произведение ($F$) на известный множитель ($k$). Для этого разделим обе части уравнения на $k$ (при условии, что $k \ne 0$):

$\frac{F}{k} = \frac{kx}{k}$

$x = \frac{F}{k}$

Ответ: $k = \frac{F}{x}$; $x = \frac{F}{k}$.

266 В физике установлен следующий закон (закон Гука):

$F = kx$,

где F – сила упругости при растяжении (сжатии) упругого тела, k – коэффициент упругости этого тела, x – изменение его длины. Укажи вид зависимости между F и x при постоянном k. Вырази из этой формулы значения k и x.

267 Найди среди данных формул прямую и обратную пропорциональности. Построй для каждой из них таблицу и график:

1) $y = x + 5$;

2) $y = 12 - x$;

3) $y = 2x$;

4) $y = \frac{x}{2}$;

5) $y = x^2$;

6) $y = 5x - 3$;

7) $y = \frac{8}{x}$;

8) $y = \frac{12}{x}$.

Сначала определим, что такое прямая и обратная пропорциональность.

Прямая пропорциональность — это зависимость между двумя величинами, при которой их отношение остается постоянным. Она выражается формулой $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, не равный нулю. Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат (точку (0, 0)).

Обратная пропорциональность — это зависимость, при которой произведение двух величин остается постоянным. Она выражается формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, не равный нулю. Графиком обратной пропорциональности является гипербола.

Проанализируем данные формулы, чтобы найти среди них прямую и обратную пропорциональности.

• Формулы $y=2x$ (3) и $y=\frac{x}{2}$ (4) соответствуют виду $y=kx$. Это прямые пропорциональности.
• Формулы $y=8:x$ (7) и $y=\frac{12}{x}$ (8) соответствуют виду $y=\frac{k}{x}$. Это обратные пропорциональности.
• Формулы 1, 2, 5 и 6 не являются ни прямой, ни обратной пропорциональностью, так как не соответствуют их определениям.

Теперь построим таблицы и графики для каждой найденной пропорциональности.

3) $y=2x$

Эта формула задает прямую пропорциональность, так как имеет вид $y=kx$ с коэффициентом пропорциональности $k=2$. Графиком является прямая линия, проходящая через начало координат.

Таблица значений:

График функции:

Ответ: Прямая пропорциональность.

4) $y=\frac{x}{2}$

Эту формулу можно записать как $y=0.5x$. Она задает прямую пропорциональность с коэффициентом $k=0.5$. Графиком также является прямая линия, проходящая через начало координат.

Таблица значений:

График функции:

Ответ: Прямая пропорциональность.

7) $y=8:x$

Эта формула эквивалентна записи $y=\frac{8}{x}$. Она задает обратную пропорциональность с коэффициентом $k=8$. Графиком является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Таблица значений:

График функции:

Ответ: Обратная пропорциональность.

8) $y=\frac{12}{x}$

Эта формула задает обратную пропорциональность с коэффициентом $k=12$. Графиком также является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

Таблица значений:

График функции:

Ответ: Обратная пропорциональность.

267 Найди среди данных формул прямую и обратную пропорциональность.

Построй для каждой из них таблицу и график:

1) $y = x + 5;$

2) $y = 12 - x;$

3) $y = 2x;$

4) $y = \frac{x}{2};$

5) $y = x^2;$

6) $y = 5x - 3;$

7) $y = 8 : x;$

8) $y = \frac{12}{x}.$

268 Для 6 порций суфле из тыквы требуется 800 г тыквы, 150 г манной крупы, 100 г муки, 8 яиц, 50 г сыра, 0,5 стакана молока, 100 г сливочного масла, 1 столовая ложка сахара и 1 чайная ложка соли. Какое количество каждого из продуктов потребуется для приготовления 15 порций этого суфле?

Чтобы найти необходимое количество продуктов для 15 порций суфле, сначала определим, во сколько раз 15 порций больше 6 порций. Для этого разделим большее число на меньшее. Этот результат будет коэффициентом, на который нужно умножить количество каждого ингредиента.

Рассчитаем коэффициент пропорциональности: $k = 15 \div 6 = 2.5$.

Теперь рассчитаем необходимое количество каждого продукта, умножив исходное количество на $2.5$.

Тыква:
$800 \text{ г} \times 2.5 = 2000 \text{ г}$, или $2$ кг.
Ответ: 2000 г (2 кг) тыквы.

Манная крупа:
$150 \text{ г} \times 2.5 = 375 \text{ г}$.
Ответ: 375 г манной крупы.

Мука:
$100 \text{ г} \times 2.5 = 250 \text{ г}$.
Ответ: 250 г муки.

Яйца:
$8 \text{ шт.} \times 2.5 = 20 \text{ шт.}$.
Ответ: 20 яиц.

Сыр:
$50 \text{ г} \times 2.5 = 125 \text{ г}$.
Ответ: 125 г сыра.

Молоко:
$0.5 \text{ стакана} \times 2.5 = 1.25 \text{ стакана}$ (или $1 \frac{1}{4}$ стакана).
Ответ: 1,25 стакана молока.

Сливочное масло:
$100 \text{ г} \times 2.5 = 250 \text{ г}$.
Ответ: 250 г сливочного масла.

Сахар:
$1 \text{ столовая ложка} \times 2.5 = 2.5 \text{ столовой ложки}$ (или $2 \frac{1}{2}$ столовые ложки).
Ответ: 2,5 столовой ложки сахара.

Соль:
$1 \text{ чайная ложка} \times 2.5 = 2.5 \text{ чайной ложки}$ (или $2 \frac{1}{2}$ чайные ложки).
Ответ: 2,5 чайной ложки соли.

268 Для 6 порций суфле из тыквы требуется 800 г тыквы, 150 г манной крупы, 100 г муки, 8 яиц, 50 г сыра, 0,5 стакана молока, 100 г сливочного масла, 1 столовая ложка сахара и 1 чайная ложка соли. Какое количество каждого из продуктов потребуется для приготовления 15 порций этого суфле?

269 Найди x из пропорций, если значения всех переменных отличны от нуля:

1) $ \frac{x}{a} = \frac{b}{c} $;

2) $ \frac{n}{x} = \frac{d}{n} $;

3) $ \frac{a^2}{m} = \frac{x}{2m} $;

4) $ \frac{3k}{b} = \frac{k^2}{x} $.

1)

Дана пропорция: $\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$.

Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данной пропорции крайними членами являются $x$ и $c$, а средними — $a$ и $b$.

Получаем равенство:

$x \cdot c = a \cdot b$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на $c$. Так как по условию все переменные отличны от нуля, то $c \neq 0$.

$x = \frac{a \cdot b}{c}$

Ответ: $x = \frac{ab}{c}$.

2)

Дана пропорция: $\frac{n}{x} = \frac{d}{n}$.

Применим основное свойство пропорции. Крайние члены — $n$ и $n$, средние члены — $x$ и $d$.

Запишем их произведение в виде равенства:

$n \cdot n = x \cdot d$

$n^2 = xd$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $d$ (по условию $d \neq 0$):

$x = \frac{n^2}{d}$

Ответ: $x = \frac{n^2}{d}$.

3)

Дана пропорция: $\frac{a^2}{m} = \frac{x}{2m}$.

Используем основное свойство пропорции. Крайние члены — $a^2$ и $2m$, средние члены — $m$ и $x$.

Приравняем их произведения:

$a^2 \cdot 2m = m \cdot x$

$2a^2m = mx$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на $m$ (по условию $m \neq 0$):

$x = \frac{2a^2m}{m}$

Сократим $m$ в числителе и знаменателе:

$x = 2a^2$

Ответ: $x = 2a^2$.

4)

Дана пропорция: $\frac{3k}{b} = \frac{k^2}{x}$.

Воспользуемся основным свойством пропорции. Крайние члены — $3k$ и $x$, средние члены — $b$ и $k^2$.

Запишем равенство:

$3k \cdot x = b \cdot k^2$

$3kx = bk^2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $3k$ (по условию $k \neq 0$):

$x = \frac{bk^2}{3k}$

Сократим дробь на $k$:

$x = \frac{bk}{3}$

Ответ: $x = \frac{bk}{3}$.

269 Найди x из пропорций, если значения всех переменных отличны от нуля:

1) $\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$;

2) $\frac{n}{x} = \frac{d}{n}$;

3) $\frac{a^2}{m} = \frac{x}{2m}$;

4) $\frac{3k}{b} = \frac{k^2}{x}$.

270 Реши уравнения:

1) $ \frac{2,5}{6\frac{2}{3}} = \frac{2,1}{x-0,6} $;

2) $ (2x+4) : 4,5 = 1\frac{7}{9} : 0,01 $;

3) $ \frac{\frac{x}{3}+2}{0,05} = \frac{40x}{3} $;

4) $ 4\frac{1}{7} : (16x+8) = 0,25 : x $.

1) $\frac{2,5}{6\frac{2}{3}} = \frac{2,1}{x - 0,6}$

Это уравнение является пропорцией. Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$2,5 \cdot (x - 0,6) = 2,1 \cdot 6\frac{2}{3}$

Для удобства вычислений преобразуем десятичные и смешанные дроби в обыкновенные:

$2,5 = \frac{5}{2}$

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$2,1 = \frac{21}{10}$

$6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$

Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{5}{2} \cdot (x - \frac{3}{5}) = \frac{21}{10} \cdot \frac{20}{3}$

Вычислим правую часть уравнения:

$\frac{21}{10} \cdot \frac{20}{3} = \frac{21 \cdot 20}{10 \cdot 3} = 7 \cdot 2 = 14$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{5}{2} \cdot (x - \frac{3}{5}) = 14$

Раскроем скобки в левой части:

$\frac{5}{2}x - \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = 14$

$\frac{5}{2}x - \frac{3}{2} = 14$

Перенесем $-\frac{3}{2}$ в правую часть:

$\frac{5}{2}x = 14 + \frac{3}{2}$

$\frac{5}{2}x = \frac{28}{2} + \frac{3}{2}$

$\frac{5}{2}x = \frac{31}{2}$

Найдем $x$:

$x = \frac{31}{2} : \frac{5}{2} = \frac{31}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{31}{5} = 6,2$

Ответ: $x = 6,2$.

2) $(2x + 4) : 4,5 = 1\frac{7}{9} : 0,01$

Запишем уравнение в виде пропорции:

$\frac{2x + 4}{4,5} = \frac{1\frac{7}{9}}{0,01}$

Преобразуем числа в удобный для вычислений вид. Проще всего работать с обыкновенными дробями.

$4,5 = \frac{9}{2}$

$1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}$

$0,01 = \frac{1}{100}$

Подставим значения в уравнение:

$\frac{2x + 4}{\frac{9}{2}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{1}{100}}$

Вычислим правую часть:

$\frac{16}{9} : \frac{1}{100} = \frac{16}{9} \cdot 100 = \frac{1600}{9}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{2x + 4}{\frac{9}{2}} = \frac{1600}{9}$

Выразим $2x + 4$:

$2x + 4 = \frac{1600}{9} \cdot \frac{9}{2}$

$2x + 4 = \frac{1600}{2} = 800$

Теперь решим простое линейное уравнение:

$2x = 800 - 4$

$2x = 796$

$x = \frac{796}{2} = 398$

Ответ: $x = 398$.

3) $\frac{\frac{x}{3} + 2}{0,05} = \frac{40x}{3}$

Применим основное свойство пропорции:

$(\frac{x}{3} + 2) \cdot 3 = 0,05 \cdot 40x$

Раскроем скобки в левой части:

$\frac{x}{3} \cdot 3 + 2 \cdot 3 = x + 6$

Вычислим правую часть:

$0,05 \cdot 40x = (\frac{5}{100} \cdot 40)x = (\frac{1}{20} \cdot 40)x = 2x$

Получаем уравнение:

$x + 6 = 2x$

Перенесем $x$ в правую часть:

$6 = 2x - x$

$6 = x$

Ответ: $x = 6$.

4) $4\frac{1}{7} : (16x + 8) = 0,25 : x$

Запишем уравнение в виде пропорции. Область допустимых значений: $x \neq 0$ и $16x + 8 \neq 0$, то есть $x \neq -0,5$.

$\frac{4\frac{1}{7}}{16x + 8} = \frac{0,25}{x}$

Применим основное свойство пропорции:

$4\frac{1}{7} \cdot x = 0,25 \cdot (16x + 8)$

Преобразуем числа в дроби:

$4\frac{1}{7} = \frac{29}{7}$

$0,25 = \frac{1}{4}$

Подставим в уравнение:

$\frac{29}{7}x = \frac{1}{4}(16x + 8)$

Раскроем скобки в правой части:

$\frac{29}{7}x = \frac{1}{4} \cdot 16x + \frac{1}{4} \cdot 8$

$\frac{29}{7}x = 4x + 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$\frac{29}{7}x - 4x = 2$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{29}{7}x - \frac{28}{7}x = 2$

$\frac{1}{7}x = 2$

Найдем $x$:

$x = 2 \cdot 7 = 14$

Ответ: $x = 14$.

270 Реши уравнения:

1) $\frac{2,5}{\frac{6}{3}} = \frac{2,1}{x - 0,6};$

2) $(2x + 4) : 4,5 = 1\frac{7}{9} : 0,01;$

3) $\frac{\frac{x}{3} + 2}{0,05} = \frac{40x}{3};$

4) $4\frac{1}{7} : (16x + 8) = 0,25 : x.$

271 Реши задачи способом пропорций.

1) Машина грузоподъёмностью 2,5 т может перевезти некоторый груз за 18 рейсов. За сколько рейсов сможет перевезти этот груз машина, грузоподъёмность которой на 1 т меньше, если загрузка машин в обоих случаях полная?

2) Хозяйка купила 4,5 кг крупы по цене 12,8 р. за килограмм. Сколько крупы по цене на 3,2 р. за килограмм большей можно купить на эти деньги?

1) Сначала определим грузоподъемность второй машины. По условию, она на 1 тонну меньше, чем у первой:

$2,5 \text{ т} - 1 \text{ т} = 1,5 \text{ т}$

Грузоподъемность машины и количество рейсов, необходимых для перевозки одного и того же груза, являются обратно пропорциональными величинами. Это значит, что чем меньше грузоподъемность, тем больше рейсов потребуется. Обозначим искомое количество рейсов через $x$ и составим пропорцию:

$2,5$ т — $18$ рейсов
$1,5$ т — $x$ рейсов

Так как зависимость обратная, соотношение будет следующим (отношение грузоподъемностей равно обратному отношению количества рейсов):

$\frac{2,5}{1,5} = \frac{x}{18}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2,5 \times 18}{1,5} = \frac{45}{1,5} = 30$

Таким образом, машине с меньшей грузоподъемностью потребуется 30 рейсов.

Ответ: 30 рейсов.

2) Сначала найдем, сколько всего денег потратила хозяйка. Для этого умножим массу купленной крупы на ее цену:

$4,5 \text{ кг} \times 12,8 \text{ р/кг} = 57,6 \text{ р.}$

Теперь определим цену другой крупы. Фраза "по цене на 3,2 р. за килограмм большей" вероятнее всего содержит опечатку. Логично предположить, что имелось в виду "по цене на 3,2 р. за килограмм меньшей", так как только при более низкой цене можно купить большее количество крупы. Исходя из этого, найдем новую цену:

$12,8 \text{ р/кг} - 3,2 \text{ р/кг} = 9,6 \text{ р/кг}$

При фиксированной сумме денег цена товара и его количество, которое можно купить, являются обратно пропорциональными величинами. Пусть $x$ — количество килограммов крупы, которое можно купить по новой цене. Составим пропорцию:

$12,8$ р/кг — $4,5$ кг
$9,6$ р/кг — $x$ кг

Составим уравнение на основе обратной пропорциональности:

$\frac{12,8}{9,6} = \frac{x}{4,5}$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{12,8 \times 4,5}{9,6} = \frac{57,6}{9,6} = 6 \text{ кг}$

Это общее количество крупы, которое можно купить по новой, более низкой цене. Вопрос "Сколько крупы ... большей можно купить?" означает, что нужно найти, на сколько больше крупы можно купить. Для этого найдем разницу между новым и исходным количеством:

$6 \text{ кг} - 4,5 \text{ кг} = 1,5 \text{ кг}$

Ответ: на 1,5 кг больше.

271 Реши задачи способом пропорций:

1) Машина грузоподъемностью 2,5 т может перевезти некоторый груз за 18 рейсов. За сколько рейсов сможет перевезти этот груз машина, грузоподъемность которой на 1 т меньше, если загрузка машин в обоих случаях полная?

2) Хозяйка купила 4,5 кг крупы по цене 12,8 р. за килограмм. Сколько крупы по цене на 3,2 р. за килограмм большей можно купить на эти деньги?

272 Найди неизвестную операцию.

1) $\boxed{a} \xrightarrow{+3} \boxed{\phantom{x}} \xrightarrow{-8} \boxed{\phantom{x}}$

$\boxed{a} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{x}}$

2) $\boxed{b} \xrightarrow{-4} \boxed{\phantom{x}} \xrightarrow{-5} \boxed{\phantom{x}}$

$\boxed{b} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{x}}$

3) $\boxed{c} \xrightarrow{-7} \boxed{\phantom{x}} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{x}}$

$\boxed{c} \xrightarrow{+5} \boxed{\phantom{x}}$

4) $\boxed{d} \xrightarrow{+2} \boxed{\phantom{x}} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{x}}$

$\boxed{d} \xrightarrow{-3} \boxed{\phantom{x}}$

5) $\boxed{\phantom{x}} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{x}} \xrightarrow{+8} \boxed{\phantom{x}}$

$\boxed{e} \xrightarrow{+6} \boxed{\phantom{x}}$

6) $\boxed{\phantom{x}} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{x}} \xrightarrow{-2} \boxed{\phantom{x}}$

$\boxed{f} \xrightarrow{+5} \boxed{\phantom{x}}$

Чтобы найти неизвестную операцию, необходимо приравнять результат, полученный при последовательном выполнении операций на верхнем пути, к результату, полученному на нижнем пути.

Верхний путь представляет собой две последовательные операции над переменной a: сначала прибавление 3, а затем вычитание 8. Нижний путь — это одна операция, которая дает тот же результат. Найдем эту операцию, объединив операции верхнего пути:

$+3 - 8 = -5$

Таким образом, одна операция, заменяющая две, — это вычитание 5.

Ответ: -5

Аналогично первому пункту, найдем результирующую операцию для верхнего пути, где из переменной b сначала вычитают 4, а потом 5:

$-4 - 5 = -9$

Неизвестная операция — это вычитание 9.

Ответ: -9

В этой задаче известен результат на нижнем пути ($+5$) и одна из операций на верхнем пути ($-7$). Обозначим неизвестную операцию как $x$. Тогда мы можем составить уравнение, так как результат обоих путей должен быть одинаковым:

$-7 + x = +5$

Чтобы найти $x$, перенесем -7 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 5 + 7$

$x = 12$

Неизвестная операция — это прибавление 12.

Ответ: +12

Результат на нижнем пути равен $-3$. На верхнем пути известна первая операция ($+2$), а вторая — неизвестна (обозначим ее $x$). Составим уравнение:

$+2 + x = -3$

Найдем $x$:

$x = -3 - 2$

$x = -5$

Неизвестная операция — это вычитание 5.

Ответ: -5

В этой задаче неизвестна первая операция на верхнем пути (обозначим ее $x$). Вторая операция — $+8$. Результат на нижнем пути — $+6$. Составим уравнение:

$x + 8 = +6$

Найдем $x$:

$x = 6 - 8$

$x = -2$

Неизвестная операция — это вычитание 2.

Ответ: -2

Неизвестна первая операция на верхнем пути (обозначим ее $x$). Вторая операция — $-2$. Результат на нижнем пути — $+5$. Составим уравнение:

$x - 2 = +5$

Найдем $x$:

$x = 5 + 2$

$x = 7$

Неизвестная операция — это прибавление 7.

Ответ: +7

272 Найди неизвестную операцию:

1) $\boxed{\text{a}} \xrightarrow{+3} \boxed{\phantom{X}} \xrightarrow{-8} \boxed{\phantom{X}}$

$\boxed{\text{a}} \underset{?}{\curvearrowright} \boxed{\phantom{X}}$

2) $\boxed{\text{b}} \xrightarrow{-4} \boxed{\phantom{X}} \xrightarrow{-5} \boxed{\phantom{X}}$

$\boxed{\text{b}} \underset{?}{\curvearrowright} \boxed{\phantom{X}}$

3) $\boxed{\text{c}} \xrightarrow{-7} \boxed{\phantom{X}} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{X}}$

$\boxed{\text{c}} \underset{+5}{\curvearrowright} \boxed{\phantom{X}}$

4) $\boxed{\text{d}} \xrightarrow{+2} \boxed{\phantom{X}} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{X}}$

$\boxed{\text{d}} \underset{-3}{\curvearrowright} \boxed{\phantom{X}}$

5) $\boxed{\text{e}} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{X}} \xrightarrow{+8} \boxed{\phantom{X}}$

$\boxed{\text{e}} \underset{+6}{\curvearrowright} \boxed{\phantom{X}}$

6) $\boxed{\text{f}} \xrightarrow{?} \boxed{\phantom{X}} \xrightarrow{-2} \boxed{\phantom{X}}$

$\boxed{\text{f}} \underset{+5}{\curvearrowright} \boxed{\phantom{X}}$

285. Докажи с помощью контрпримера, что следующие утверждения не являются равносильными:

а) $x^2 = 25$ и $x = 5$;

б) $x^2 = 16$ и $x = -4$;

в) $|x| = 7$ и $x = 7$;

г) $|x| < 9$ и $x < 2$.

а) $x^2 = 25$ и $x = 5$

Два утверждения называются равносильными, если множества их решений совпадают.
1) Уравнение $x^2 = 25$ имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$. Множество решений: $\{-5; 5\}$.
2) Уравнение $x = 5$ имеет один корень: $x = 5$. Множество решений: $\{5\}$.
Множества решений не совпадают, следовательно, утверждения не являются равносильными.
Контрпримером является $x = -5$. Для этого значения первое утверждение $x^2 = 25$ истинно, так как $(-5)^2 = 25$, а второе утверждение $x=5$ ложно, так как $-5 \neq 5$.
Ответ: контрпример $x = -5$.

б) $x^2 = 16$ и $x = -4$

1) Решениями уравнения $x^2 = 16$ являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Множество решений: $\{-4; 4\}$.
2) Решением уравнения $x = -4$ является только $x = -4$. Множество решений: $\{-4\}$.
Множества решений не совпадают, следовательно, утверждения не равносильны.
Контрпримером является $x = 4$. При $x = 4$ первое утверждение $x^2 = 16$ истинно, так как $4^2 = 16$, а второе утверждение $x = -4$ ложно, так как $4 \neq -4$.
Ответ: контрпример $x = 4$.

в) $|x| = 7$ и $x = 7$

1) Уравнение $|x| = 7$ имеет два корня: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$. Множество решений: $\{-7; 7\}$.
2) Уравнение $x = 7$ имеет один корень: $x = 7$. Множество решений: $\{7\}$.
Множества решений различны, следовательно, утверждения не являются равносильными.
Контрпримером является $x = -7$. Для этого значения первое утверждение $|x| = 7$ верно, так как $|-7| = 7$, а второе утверждение $x = 7$ неверно, так как $-7 \neq 7$.
Ответ: контрпример $x = -7$.

г) $|x| < 9$ и $x < 2$

1) Решением неравенства $|x| < 9$ является интервал $(-9; 9)$.
2) Решением неравенства $x < 2$ является интервал $(-\infty; 2)$.
Поскольку множества решений не совпадают, утверждения не равносильны.
В качестве контрпримера можно взять число, которое принадлежит одному множеству решений, но не принадлежит другому. Например, $x = 5$. Это значение удовлетворяет первому неравенству, так как $|5| < 9$ (что верно), но не удовлетворяет второму, так как утверждение $5 < 2$ является ложным.
Ответ: контрпример $x = 5$.

285 Докажи с помощью контрпримера, что следующие утверждения не являются равносильными:

а) $x^2 = 25$ и $x = 5$;

б) $x^2 = 16$ и $x = -4$;

в) $|x|=7$ и $x=7$;

г) $|x|<9$ и $x<2$.

286 Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания

$(a, b, c, d \ne 0):$

а) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = ...;$

В) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{b}{a} = ...;$

б) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a}{c} = ...;$

Г) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff \frac{a+b}{b} = ...$

а)

Данное утверждение является основным свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Исходное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Умножим обе части равенства на произведение знаменателей $bd$. Поскольку по условию $b \neq 0$ и $d \neq 0$, это преобразование является равносильным.
$\frac{a}{b} \cdot bd = \frac{c}{d} \cdot bd$
$a \cdot d = c \cdot b$
Следовательно, пропущенное выражение — это $bc$.
Ответ: $bc$.

б)

Это одно из производных свойств пропорции, которое получается путем перестановки средних членов.
Исходное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Из основного свойства пропорции мы знаем, что $ad = bc$.
Разделим обе части этого равенства на $cd$. Это возможно, так как по условию $c \neq 0$ и $d \neq 0$.
$\frac{ad}{cd} = \frac{bc}{cd}$
После сокращения дробей получаем:
$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
Следовательно, пропущенное выражение — это $\frac{b}{d}$.
Ответ: $\frac{b}{d}$.

в)

Это свойство получается путем "переворачивания" обеих дробей в пропорции.
Исходное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Поскольку по условию $a, c \neq 0$, обе части равенства не равны нулю. Если два ненулевых числа равны, то и обратные им числа также равны.
Возьмем обратные величины от левой и правой частей равенства:
$(\frac{a}{b})^{-1} = (\frac{c}{d})^{-1}$
$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
Следовательно, пропущенное выражение — это $\frac{d}{c}$.
Ответ: $\frac{d}{c}$.

г)

Это еще одно производное свойство пропорции.
Исходное равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Прибавим к обеим частям равенства единицу:
$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$
Приведем каждую часть к общему знаменателю:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$
$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$
Следовательно, пропущенное выражение — это $\frac{c+d}{d}$.
Ответ: $\frac{c+d}{d}$.

286 Допиши предложения так, чтобы получились истинные высказывания

$(a, b, c, d \ne 0):$

a) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = ...;$

б) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{c} = ...;$

В) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = ...;$

Г) $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{b} = ...$

287 Придумай два равносильных высказывания и объедини их в одно предложение тремя разными способами.

Для решения задачи необходимо сначала придумать два равносильных высказывания. Равносильные (или эквивалентные) высказывания — это утверждения, которые всегда имеют одинаковое значение истинности, то есть они либо оба истинны, либо оба ложны. По сути, они выражают один и тот же факт, но разными словами.

В качестве примера возьмем два высказывания из геометрии:

• Высказывание 1: «Треугольник является равносторонним».
• Высказывание 2: «Все углы треугольника равны $60^\circ$».

Эти два высказывания равносильны. Если треугольник равносторонний, то все его стороны равны, а значит, и все углы равны между собой. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, каждый угол будет равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. И наоборот, если все углы треугольника равны $60^\circ$, то он является равноугольным, а следовательно, и равносторонним.

Теперь объединим эти два высказывания в одно предложение тремя разными способами.

Первый способ

Используем наиболее распространенную логическую связку для выражения равносильности — «тогда и только тогда, когда». Эта фраза является прямым словесным эквивалентом знака $ \iff $.

Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны $60^\circ$.

Ответ: Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда все его углы равны $60^\circ$.

Второй способ

Используем конструкцию «необходимо и достаточно». Она показывает, что выполнение одного условия является обязательным (необходимым) и в то же время исчерпывающим (достаточным) для истинности другого.

Для того чтобы треугольник был равносторонним, необходимо и достаточно, чтобы все его углы были равны $60^\circ$.

Ответ: Для того чтобы треугольник был равносторонним, необходимо и достаточно, чтобы все его углы были равны $60^\circ$.

Третий способ

Объединим два утверждения через условную конструкцию «если..., то...», добавив в конце оборот «и наоборот». Этот оборот подразумевает, что утверждение верно и в обратную сторону (то есть из второго высказывания следует первое).

Если треугольник является равносторонним, то все его углы равны $60^\circ$, и наоборот.

Ответ: Если треугольник является равносторонним, то все его углы равны $60^\circ$, и наоборот.

287 Придумай два равносильных высказывания и объедини их в одно предложение тремя разными способами.

288 Запиши решение уравнений, используя знак $\Leftrightarrow$:

а) $-0,5x + 3 = 0;$

б) $-0,5x + 3 \cdot x = -5;$

в) $-x - 3x + 2x = 0,4;$

г) $0,02x - x + 0,7x = -2,8;$

д) $-2x - 4 + x = -0,8;$

е) $0,6x - x + 2,5 = 1 \frac{1}{2}.$

а) $-0,5x + 3 = 0 \Leftrightarrow -0,5x = -3 \Leftrightarrow x = \frac{-3}{-0,5} \Leftrightarrow x = 6$.

Ответ: $x = 6$.

б) $-0,5x + 3 \cdot x = -5 \Leftrightarrow (-0,5 + 3)x = -5 \Leftrightarrow 2,5x = -5 \Leftrightarrow x = \frac{-5}{2,5} \Leftrightarrow x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

в) $-x - 3x + 2x = 0,4 \Leftrightarrow (-1 - 3 + 2)x = 0,4 \Leftrightarrow -2x = 0,4 \Leftrightarrow x = \frac{0,4}{-2} \Leftrightarrow x = -0,2$.

Ответ: $x = -0,2$.

г) $0,02x - x + 0,7x = -2,8 \Leftrightarrow (0,02 - 1 + 0,7)x = -2,8 \Leftrightarrow -0,28x = -2,8 \Leftrightarrow x = \frac{-2,8}{-0,28} \Leftrightarrow x = 10$.

Ответ: $x = 10$.

д) $-2x - 4 + x = -0,8 \Leftrightarrow (-2x + x) - 4 = -0,8 \Leftrightarrow -x = -0,8 + 4 \Leftrightarrow -x = 3,2 \Leftrightarrow x = -3,2$.

Ответ: $x = -3,2$.

е) $0,6x - x + 2,5 = 1\frac{1}{2} \Leftrightarrow 0,6x - x + 2,5 = 1,5 \Leftrightarrow (0,6 - 1)x = 1,5 - 2,5 \Leftrightarrow -0,4x = -1 \Leftrightarrow x = \frac{-1}{-0,4} \Leftrightarrow x = 2,5$.

Ответ: $x = 2,5$.

288 Запиши решение уравнений, используя знак $ \Leftrightarrow $:

а) $-0,5x + 3 = 0;$

б) $-0,5x + 3 \cdot x = -5;$

в) $-x - 3x + 2x = 0,4;$

г) $0,02x - x + 0,7x = -2,8;$

д) $-2x - 4 + x = -0,8;$

е) $0,6x - x + 2,5 = 1\frac{1}{2}.$

Л 289 Найди неизвестные члены пропорции. Расположи полученные числа в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам, и ты узнаешь, как называется группировка российских спутников, обеспечивающая навигацию автомобилей и другого транспорта.

C

$\frac{x}{18} = \frac{7}{3}$

Г

$\frac{-2.4}{8} = \frac{9.6}{x}$

A

$\frac{0.3}{-x} = \frac{-1.5}{10}$

O

$\frac{14}{-5} = \frac{x}{0.1}$

Н

$\frac{32}{1.6} = \frac{4}{x}$

C

$\frac{6}{x} = \frac{1.2}{0.5}$

Л

$\frac{x}{16} = \frac{0.5}{-2}$

Для решения задачи найдем неизвестный член $x$ в каждой пропорции, используя основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство записывается как $a \cdot d = b \cdot c$.

$\frac{x}{18} = \frac{7}{3}$
$x \cdot 3 = 18 \cdot 7$
$3x = 126$
$x = \frac{126}{3}$
$x = 42$

Ответ: $x=42$

$\frac{-2,4}{8} = \frac{9,6}{x}$
$-2,4 \cdot x = 8 \cdot 9,6$
$-2,4x = 76,8$
$x = \frac{76,8}{-2,4}$
$x = -32$

Ответ: $x=-32$

$\frac{0,3}{-x} = \frac{-1,5}{10}$
$0,3 \cdot 10 = (-x) \cdot (-1,5)$
$3 = 1,5x$
$x = \frac{3}{1,5}$
$x = 2$

Ответ: $x=2$

$\frac{14}{-5} = \frac{x}{0,1}$
$14 \cdot 0,1 = -5 \cdot x$
$1,4 = -5x$
$x = \frac{1,4}{-5}$
$x = -0,28$

Ответ: $x=-0,28$

$\frac{32}{1,6} = \frac{4}{x}$
$32 \cdot x = 1,6 \cdot 4$
$32x = 6,4$
$x = \frac{6,4}{32}$
$x = 0,2$

Ответ: $x=0,2$

$\frac{6}{x} = \frac{1,2}{0,5}$
$6 \cdot 0,5 = x \cdot 1,2$
$3 = 1,2x$
$x = \frac{3}{1,2}$
$x = 2,5$

Ответ: $x=2,5$

$\frac{x}{16} = \frac{0,5}{-2}$
$x \cdot (-2) = 16 \cdot 0,5$
$-2x = 8$
$x = \frac{8}{-2}$
$x = -4$

Ответ: $x=-4$

Теперь расположим полученные числа в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:

1. $-32$ (Г)
2. $-4$ (Л)
3. $-0,28$ (О)
4. $0,2$ (Н)
5. $2$ (А)
6. $2,5$ (С)
7. $42$ (С)

Сложив буквы в этом порядке, получаем название группировки российских спутников: ГЛОНАСС.

Π 289 Найди неизвестные члены пропорции. Расположи полученные числа в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам, и расшифруй слово. Что оно означает?

Н

$\frac{x}{18} = \frac{7}{3}$

Т

$\frac{1}{0,07} = \frac{x}{5,6}$

А

$\frac{-2,4}{8} = \frac{9,6}{x}$

М

$\frac{0,3}{-x} = \frac{-1,5}{10}$

У

$\frac{32}{1,6} = \frac{4}{x}$

Е

$\frac{6}{x} = \frac{1,2}{0,5}$

Р

$\frac{x}{16} = \frac{0,5}{-2}$

Г

$\frac{14}{-5} = \frac{x}{0,1}$

290 Отметь на координатной прямой цветным карандашом множество точек, удовлетворяющее данному неравенству. Запиши множество его целых решений и 2 дробных решения:

a) $-2 \le x < 3$;

б) $-4 < x \le 0$;

в) $-5 < x < -1$;

г) $-1 \le x \le 2$.

а) $-2 \le x < 3$

На координатной прямой множество точек, удовлетворяющее данному неравенству, — это числовой промежуток от $-2$ до $3$. Точка $-2$ включается в промежуток, так как неравенство нестрогое ($ \le $), и на прямой она обозначается закрашенным кружком. Точка $3$ не включается в промежуток, так как неравенство строгое ($ < $), и обозначается пустым ("выколотым") кружком. Штриховкой отмечается участок прямой между этими точками. Этот промежуток записывается как $[-2; 3)$.

Множество целых решений — это все целые числа, которые больше или равны $-2$ и меньше $3$.
Целые решения: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

Два дробных решения — это любые два нецелых числа из данного промежутка.
Дробные решения (пример): $1.5$ и $-0.8$.

Ответ: множество целых решений $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$; два дробных решения: $1.5$ и $-0.8$.

б) $-4 < x \le 0$

На координатной прямой это множество точек представляет собой промежуток от $-4$ до $0$. Точка $-4$ не включается в промежуток (строгое неравенство $ < $), поэтому обозначается выколотым кружком. Точка $0$ включается в промежуток (нестрогое неравенство $ \le $), поэтому обозначается закрашенным кружком. Этот промежуток записывается как $(-4; 0]$.

Множество целых решений — это все целые числа, которые строго больше $-4$ и меньше или равны $0$.
Целые решения: $\{-3, -2, -1, 0\}$.

Два дробных решения — это любые два нецелых числа из данного промежутка.
Дробные решения (пример): $-3.5$ и $-0.1$.

Ответ: множество целых решений $\{-3, -2, -1, 0\}$; два дробных решения: $-3.5$ и $-0.1$.

в) $-5 < x < -1$

На координатной прямой это множество точек представляет собой промежуток от $-5$ до $-1$. Обе граничные точки, $-5$ и $-1$, не включаются в промежуток, так как оба неравенства строгие ($ < $), и обозначаются выколотыми кружками. Этот промежуток записывается как $(-5; -1)$.

Множество целых решений — это все целые числа, которые строго больше $-5$ и строго меньше $-1$.
Целые решения: $\{-4, -3, -2\}$.

Два дробных решения — это любые два нецелых числа из данного промежутка.
Дробные решения (пример): $-4.2$ и $-2.8$.

Ответ: множество целых решений $\{-4, -3, -2\}$; два дробных решения: $-4.2$ и $-2.8$.

г) $-1 \le x \le 2$

На координатной прямой это множество точек представляет собой промежуток от $-1$ до $2$. Обе граничные точки, $-1$ и $2$, включаются в промежуток, так как оба неравенства нестрогие ($ \le $), и обозначаются закрашенными кружками. Этот промежуток записывается как $[-1; 2]$.

Множество целых решений — это все целые числа, которые больше или равны $-1$ и меньше или равны $2$.
Целые решения: $\{-1, 0, 1, 2\}$.

Два дробных решения — это любые два нецелых числа из данного промежутка.
Дробные решения (пример): $0.5$ и $1.75$.

Ответ: множество целых решений $\{-1, 0, 1, 2\}$; два дробных решения: $0.5$ и $1.75$.

290 Отметь на координатной прямой цветным карандашом множество точек, удовлетворяющее данному неравенству. Запиши множество его целых решений и 2 дробных решения:

а) $-2 \le x < 3;$

б) $-4 < x \le 0;$

в) $-5 < x < -1;$

г) $-1 \le x \le 2.$

291. Начерти на координатной плоскости произвольный отрезок, абсциссы и ординаты точек которого удовлетворяют данным неравенствам:

а) $1 \leq x \leq 4$; $2 \leq y \leq 5$;

в) $-3 \leq x \leq 2$; $-4 \leq y \leq 3$;

б) $0 \leq x \leq 6$; $-3 \leq y \leq 0$;

г) $-5 \leq x \leq 1$; $-62 \leq y \leq -2$.

Сколько таких отрезков можно провести?

Для решения задачи необходимо понять, что заданные неравенства определяют на координатной плоскости прямоугольную область. Любой отрезок, оба конца которого лежат внутри этой области или на её границах, будет удовлетворять условию. Мы приведем по одному примеру для каждого случая.

а) Неравенства $1 \le x \le 4$ и $2 \le y \le 5$ задают прямоугольник с вершинами в точках $(1, 2)$, $(4, 2)$, $(4, 5)$ и $(1, 5)$. Выберем две произвольные точки внутри этого прямоугольника, например, $A(2, 3)$ и $B(3, 4)$. Соединив эти точки, получим отрезок $AB$, все точки которого удовлетворяют заданным неравенствам.
Ответ: Например, отрезок с концами в точках $A(2, 3)$ и $B(3, 4)$.

б) Неравенства $0 \le x \le 6$ и $-3 \le y \le 0$ задают прямоугольник с вершинами в точках $(0, -3)$, $(6, -3)$, $(6, 0)$ и $(0, 0)$. В качестве примера возьмем отрезок с концами в точках $C(1, -2)$ и $D(5, -1)$.
Ответ: Например, отрезок с концами в точках $C(1, -2)$ и $D(5, -1)$.

в) Неравенства $-3 \le x \le 2$ и $-4 \le y \le 3$ задают прямоугольник с вершинами в точках $(-3, -4)$, $(2, -4)$, $(2, 3)$ и $(-3, 3)$. В качестве примера можно взять отрезок, соединяющий точки $E(-2, -1)$ и $F(1, 2)$.
Ответ: Например, отрезок с концами в точках $E(-2, -1)$ и $F(1, 2)$.

г) Неравенства $-5 \le x \le 1$ и $-62 \le y \le -2$ задают прямоугольник с вершинами в точках $(-5, -62)$, $(1, -62)$, $(1, -2)$ и $(-5, -2)$. Примером такого отрезка может служить отрезок с концами в точках $G(-4, -50)$ и $H(0, -10)$.
Ответ: Например, отрезок с концами в точках $G(-4, -50)$ и $H(0, -10)$.

Сколько таких отрезков можно провести?
В каждой из заданных прямоугольных областей содержится бесконечное множество точек. Так как для построения отрезка можно выбрать любую пару из этих точек, то и количество отрезков, которые можно провести, будет бесконечным.
Ответ: Можно провести бесконечно много таких отрезков.

291 Начерти на координатной плоскости произвольный отрезок, абсциссы и ординаты точек которого удовлетворяют данным неравенствам:

а) $1 \le x \le 4$; $2 \le y \le 5$;

б) $0 \le x \le 6$; $-3 \le y \le 0$;

в) $-3 \le x \le 2$; $-4 \le y \le 3$;

г) $-5 \le x \le 1$; $-62 \le y \le -2$.

Сколько таких отрезков можно провести?

292 a) У причала стояли двухместные и четырёхместные лодки. Сколько было лодок каждого вида, если всех лодок было 40, а мест в них — 128?

б) У Миши были двухрублёвые и пятирублёвые монеты на общую сумму 77 р. Всего монет было 25. Сколько монет каждого вида было у Миши?

а) Пусть $x$ — количество двухместных лодок, а $y$ — количество четырёхместных лодок. Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:
1. Общее количество лодок: $x + y = 40$
2. Общее количество мест: $2x + 4y = 128$

Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 40 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(40 - y) + 4y = 128$
$80 - 2y + 4y = 128$
$80 + 2y = 128$
$2y = 128 - 80$
$2y = 48$
$y = 24$
Таким образом, было 24 четырёхместных лодки.

Теперь найдём количество двухместных лодок, подставив значение $y$ в первое уравнение:
$x = 40 - 24$
$x = 16$
Было 16 двухместных лодок.

Проверка:
Всего лодок: $16 + 24 = 40$.
Всего мест: $16 \cdot 2 + 24 \cdot 4 = 32 + 96 = 128$.
Все условия выполнены.

Ответ: было 16 двухместных лодок и 24 четырёхместные лодки.

б) Пусть $x$ — количество двухрублёвых монет, а $y$ — количество пятирублёвых монет. Составим систему уравнений на основе условий задачи:
1. Общее количество монет: $x + y = 25$
2. Общая сумма денег: $2x + 5y = 77$

Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 25 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(25 - y) + 5y = 77$
$50 - 2y + 5y = 77$
$50 + 3y = 77$
$3y = 77 - 50$
$3y = 27$
$y = 9$
Следовательно, у Миши было 9 пятирублёвых монет.

Теперь найдём количество двухрублёвых монет, подставив значение $y$ в первое уравнение:
$x = 25 - 9$
$x = 16$
У Миши было 16 двухрублёвых монет.

Проверка:
Всего монет: $16 + 9 = 25$.
Общая сумма: $16 \cdot 2 + 9 \cdot 5 = 32 + 45 = 77$ рублей.
Все условия выполнены.

Ответ: у Миши было 16 двухрублёвых монет и 9 пятирублёвых монет.

292 a) У причала стояли двухместные и четырехместные лодки. Сколько было лодок каждого вида, если всех лодок было 40, а мест в них – 128?

б) У Миши были двухрублевые и пятирублевые монеты на общую сумму 77 руб. Всего монет было 25. Сколько монет каждого вида было у Миши?